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**Resposta: A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x 
= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
22. Calcule \( \int \sin^2(x) \, dx \). 
A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
B) \( -\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
C) \( \frac{\sin(2x)}{2} + C \) 
D) \( -\frac{\sin(2x)}{2} + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a 
integral se torna \( \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \). 
 
23. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em 1, pois \( \tan(x) \) se 
comporta como \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0. 
 
24. Determine a integral \( \int (4x^3 + 2x^2 - 3) \, dx \). 
A) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \) 
B) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3 + C \) 
C) \( x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x + C \) 
D) \( 4x^4 + 2x^3 - 3 + C \) 
**Resposta: A) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \)** 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int 2x^2 \, dx = 
\frac{2}{3}x^3 \) e \( \int -3 \, dx = -3x \). 
 
25. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)? 
A) \( -\frac{1}{x^2} \) 
B) \( \frac{1}{x^2} \) 
C) \( -x^{-2} \) 
D) \( x^{-2} \) 
**Resposta: A) \( -\frac{1}{x^2} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \). 
 
26. Calcule \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \). 
A) \( \frac{e^{2x}}{13} (2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C \) 
B) \( \frac{e^{2x}}{13} (2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + C \) 
C) \( e^{2x} \sin(3x) + C \) 
D) \( e^{2x} \cos(3x) + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{e^{2x}}{13} (2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C \)** 
**Explicação:** Usando a integração por partes duas vezes, obtemos a expressão correta. 
 
27. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \( \infty \) 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** Aplicando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \), onde \( k = 2 \). 
 
28. Determine \( \frac{d}{dx} (x^2 \ln(x)) \). 
A) \( 2x \ln(x) + x \) 
B) \( 2x \ln(x) - x \) 
C) \( 2x \ln(x) + 2x \) 
D) \( x^2 \ln(x) \) 
**Resposta: A) \( 2x \ln(x) + x \)** 
**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x) = 
2x \ln(x) + x \). 
 
29. Qual é a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \)? 
A) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
B) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
C) \( -\frac{\sin(2x)}{2} + C \) 
D) \( \frac{\sin(2x)}{2} + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)** 
**Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \). 
 
30. Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{5x^3 - 4} \). 
A) 0 
B) \( \frac{3}{5} \) 
C) \( \frac{5}{3} \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta: B) \( \frac{3}{5} \)** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^3 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5} \). 
 
31. Determine a integral \( \int (2x + 3)^3 \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2}(2x + 3)^4 + C \) 
B) \( \frac{1}{4}(2x + 3)^4 + C \) 
C) \( \frac{1}{3}(2x + 3)^4 + C \) 
D) \( (2x + 3)^4 + C \) 
**Resposta: B) \( \frac{1}{4}(2x + 3)^4 + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = 2x + 3 \), temos \( du = 2dx \), então \( dx = 
\frac{du}{2} \). A integral se torna \( \int u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4}(2x 
+ 3)^4 + C \). 
 
32. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
A) \( 2xe^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \)