Cálculos de Derivadas e Integrais

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**Resposta: C) 3** 
**Explicação:** O limite é uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Usando fatoração, \( x^3 - 
1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \), então \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
76. Calcule a integral \( \int (x^2 + 1) e^{x^3} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
B) \( e^{x^3} + C \) 
C) \( \frac{1}{3} e^{x^3} x^2 + C \) 
D) \( \frac{1}{3} e^{x^3} x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \). Assim, a 
integral se torna \( \int e^{u} \frac{du}{3} = \frac{1}{3} e^{u} + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C \). 
 
77. Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \)? 
A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
B) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
C) \( 3x^2 + x^3 \) 
D) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
**Resposta: A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)** 
**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = x^3 \cdot \frac{1}{x} + 3x^2 
\ln(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
78. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \( \infty \) 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k 
\), onde \( k = 2 \). 
 
79. Determine a integral \( \int (3x^2 - 4) e^{x^3} \, dx \). 
A) \( e^{x^3} + C \) 
B) \( e^{x^3} (x^3 - 2) + C \) 
C) \( e^{x^3} (x^3 + 2) + C \) 
D) \( e^{x^3} (x^3 + 1) + C \) 
**Resposta: B) \( e^{x^3} (x^3 - 2) + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \). Portanto, a 
integral se torna \( \int e^{u} \, du = e^{u} + C = e^{x^3} + C \). 
 
80. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \)? 
A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
B) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
C) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
D) \( \frac{4}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
**Resposta: A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x 
= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \). 
 
81. Calcule \( \int (4x^3 - 5x^2 + 6) \, dx \). 
A) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 6x + C \) 
B) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 6 + C \) 
C) \( x^4 - \frac{5}{2}x^3 + 6x + C \) 
D) \( x^4 - \frac{5}{4}x^3 + 6 + C \) 
**Resposta: A) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 6x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -5x^2 \, dx = -
\frac{5}{3}x^3 \) e \( \int 6 \, dx = 6x \). 
 
82. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{x^3 + 5} \)? 
A) 0 
B) 2 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta: B) 2** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^3 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{5}{x^3}} = 2 \). 
 
83. Determine a integral \( \int (x^2 + 2x + 2) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2x + C \) 
B) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C \) 
C) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2 + C \) 
D) \( \frac{1}{3}x^3 + 2x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \), \( \int 2x \, dx = x^2 \) e 
\( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
84. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \)? 
A) \( 3e^{3x} \) 
B) \( e^{3x} \) 
C) \( 9e^{3x} \) 
D) \( 6e^{3x} \) 
**Resposta: A) \( 3e^{3x} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} \). 
 
85. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \). 
A) 0 
B) \( -\frac{25}{2} \) 
C) 1 
D) \( \infty \) 
**Resposta: B) \( -\frac{25}{2} \)** 
**Explicação:** Usando a expansão de Taylor, \( \cos(5x) \approx 1 - \frac{(5x)^2}{2} + 
O(x^4) \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25x^2}{2}}{x^2} = -\frac{25}{2} \). 
 
86. Determine a integral \( \int (5x^4 - 4x^3 + 2) \, dx \). 
A) \( x^5 - x^4 + 2x + C \) 
B) \( x^5 - x^4 + 2 + C \)