desafios kolygt

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D) \( 4 \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** A cotangente é o inverso da tangente. Portanto, \( \cot(\phi) = 
\frac{1}{\tan(\phi)} = \frac{1}{2} \). 
 
12. Qual é o valor de \( \cos(60^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta: B) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O cosseno de 60 graus é conhecido como \( \frac{1}{2} \) em um 
triângulo retângulo. 
 
13. Se \( \sin(\alpha) = \frac{5}{13} \), qual é o valor de \( \cos(\alpha) \)? 
 A) \( \frac{12}{13} \) 
 B) \( \frac{5}{12} \) 
 C) \( \frac{13}{5} \) 
 D) \( \frac{3}{5} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{12}{13} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), temos \( 
\cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \). 
Portanto, \( \cos(\alpha) = \frac{12}{13} \). 
 
14. Qual é o valor de \( \sin(270^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( -1 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: B) \( -1 \)** 
 **Explicação:** O seno de 270 graus é -1, pois em um círculo unitário, o ponto 
correspondente a 270 graus tem coordenadas (0, -1). 
 
15. Se \( \cos(\theta) = \frac{3}{5} \), qual é o valor de \( \sin(2\theta) \)? 
 A) \( \frac{24}{25} \) 
 B) \( \frac{12}{25} \) 
 C) \( \frac{9}{25} \) 
 D) \( \frac{15}{25} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{24}{25} \)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). 
Primeiro, calculamos \( \sin(\theta) \) usando \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \). 
Assim, \( \sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \) e \( \sin(\theta) = 
\frac{4}{5} \). Portanto, \( \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
16. Qual é o valor de \( \tan(30^\circ) \)? 
 A) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
 B) \( \sqrt{3} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 0 \) 
 **Resposta: A) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)** 
 **Explicação:** A tangente de 30 graus é a razão entre o seno e o cosseno de 30 graus, 
que são \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), respectivamente. Portanto, \( \tan(30^\circ) 
= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 
 
17. Se \( \sin(\theta) = 0.6 \), qual é o valor de \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \)? 
 A) \( 1 \) 
 B) \( 0.36 \) 
 C) \( 0.64 \) 
 D) \( 0.8 \) 
 **Resposta: A) \( 1 \)** 
 **Explicação:** A identidade fundamental da trigonometria afirma que \( \sin^2(\theta) 
+ \cos^2(\theta) = 1 \) para qualquer ângulo \( \theta \). 
 
18. Qual é o valor de \( \sin(120^\circ) \)? 
 A) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( -\frac{1}{2} \) 
 D) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)** 
 **Explicação:** O seno de 120 graus é positivo, pois está no segundo quadrante. 
Usando a relação \( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = 
\frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 
19. Se \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( \theta \) em graus? 
 A) \( 30^\circ \) 
 B) \( 60^\circ \) 
 C) \( 120^\circ \) 
 D) \( 150^\circ \) 
 **Resposta: A) \( 60^\circ \) e C) \( 120^\circ \)** 
 **Explicação:** O cosseno é positivo em \( 60^\circ \) e negativo em \( 120^\circ \), 
portanto as soluções são \( \theta = 60^\circ \) e \( \theta = 120^\circ \). 
 
20. Qual é o valor de \( \sin(360^\circ) \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( -1 \) 
 D) \( 0.5 \) 
 **Resposta: A) \( 0 \)** 
 **Explicação:** O seno de 360 graus é 0, pois em um círculo unitário, o ponto 
correspondente a 360 graus tem coordenadas (1, 0). 
 
21. Se \( \tan(\phi) = 3 \), qual é o valor de \( \sin(\phi) \)? 
 A) \( \frac{3}{\sqrt{10}} \) 
 B) \( \frac{3}{5} \) 
 C) \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) 
 D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{3}{\sqrt{10}} \)**