Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 29

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(b) O inteiro n é um número triangular se e somente se 8n + 1 é um quadrado 
perfeito. 
Demonstração:- Se n é um número triangular, então existe um inteiro m, tal que n 
= m(m + 1)/2. 
Tem-se: n = m(m + 1)/2  n = (m2 + m)/2  2n = m2 + m  m2 + m – 2n 
= 0. 
As raízes dessa equação são 
Portanto, a raiz m será um 
inteiro positivo se e somente se 8n + 1 for um quadrado perfeito. Cqd. 
 
(c) Se n é um número triangular, então 9n + 1, 25n + 3 e 49n + 6 também são 
números triangulares. Solução: se n é triangular, então existe k, tal que 
conforme exercício6 letra “a”. 
(i) Para 9n + 1: 9n + 1 = 9[(k)(k + 1)/2 + 1 = (9k2 + 9k + 2)/2 = (3k + 1)(3k + 
2)/2 . Fazendo 3k + 1 = K’, resulta: 
(ii) Para 25n 
+ 3: 25n + 3 = 25. k(k + 1)/2 + 3 = (25k2 + 25k + 6)/2 = (5k + 2)(5k + 3)/2 . 
Fazendo 5k + 3 = K’, resulta: 
 
(iii) Para 49n + 6 : 49n + 6 = 49.k(k + 1)/2 + 6 = (49k2 + 49k + 12)/2 = (7k + 
3)(7k + 4)/2. Fazendo 7k + 3 = K’, resulta 
 
 
7 – Na seqüência dos números triangulares achar: 
(a) dois números triangulares cuja soma e cuja diferença também sejam números 
triangulares; 
(b) três números triangulares consecutivos cujo produto seja um quadrado 
perfeito; 
(c) três números triangulares consecutivos cuja soma seja um quadrado perfeito. 
SOLUÇÃO: A solução pode ser feita observando a seqüência dos números 
triangulares. 
Conforme visto em exercícios anteriores, os números triangulares têm a forma n.(n 
+ 1)/2. 
Assim, temos a lista dos números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 
45, 55, 66, 78... (n)(n+1)/2, da qual se obtém: 
Resposta:- (a) os números são: 21 e 15 
 (b) Temos 6 x 10 x 15 = 900 que é um quadrado perfeito. 
 (c) Temos 15 + 21 + 28 = 64 é um quadrado perfeito. 
 CAPÍTULO 3 - Questões 8 a 10