Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 56

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Observação: não apresentaremos os cálculos por serem semelhantes aos dos 
exercícios anteriores. 
(a) mdc(624, 504, 90) Resposta: 6 
Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que é 24. A seguir acha-se o 
mdc(24, 90) que é 6. 
(b) mdc(285, 675, 405) 
mdc(285, 675) = 5; mdc(5, 405) = 5. Resposta: 5. 
(c) mdc(209, 299, 102) 
mdc(209, 299) = 1 e mdc(1, 102) = 1. Resposta:- 1. 
(d) mdc(69, 398, 253) 
mdc(69, 398) = 23 e mdc(23, 253) = 23. Resposta: 23 
 
03 – Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada 
uma das seguintes igualdades: 
 
Observação: usaremos sentenças de mesma cor para indicar a origem dos dados 
substituídos. 
(a) mdc(56, 72) = 56x + 72y 
mdc(56, 72) = 8  resolver 8 = 
56x + 72y 
72 = 56.1 + 16 
56 = 16.3 + 8 
16 = 8.2 + 0 
Tomando a penúltima igualdade; 
8 = 56 – 16.3. Tirando o valor de 16 na 
primeira igualdade e substituindo na penúltima: 
8 = 56 – (72 – 56.1).3  8 = 56 + 56.3 – 
72.3 
8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3. 
 
(b) mdc(24, 138) = 24x + 138y 
mdc(24, 138) = 6  resolver 6 = 
24x + 138y 
138 = 24.5 + 18 
 24 = 18.1 + 6 
 18 = 6.3 + 0 (mdc = 6) 
6 = 24 – 18.1 
6 = 24 – (138 – 24.5).1 
6 = 24 + 24.5 – 138.1 
6 = 24.6 + 138(-1)  x = 6 e y = -1 
 
(c) mdc(119, 272) 
Mdc(119, 272) = 17 
272 = 119.2 + 34 
119 = 34.3 + 17 
 34 = 17.2 + 0 
17 = 119 – 34.3 
17 = 119 – (272 – 119.2).3 = 119.7 – 272.3 
17 = 119.7 + 272(-3) . Portanto, x = 7 e y = -
3 
 
(d) mdc(1769, 2378) = 1769x + 
2378y 
mdc(1769, 2378) = 29 
2378 = 1769 .1 + 609 
1769 = 609.2 + 551 
 609 = 551.1 + 58 
 551 = 58.9 + 29 
 58 = 29.2 + 0 
 
29 = 551 – 58.9 
29 = 551 – (609 – 551.1) = 551.2 – 609 
29 = (1769 – 609.2).2 – 609 = 1769. 2 – 
609.5 
29 = 1769.2 – (2378 – 1769.1).5 
29 = 1769.7 + 2387(-5)  x = 7 e y = -5. 
 
 
04 – Achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades: