Elementos de Aritmética e Álgebra

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<p>Matemática</p><p>Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Material didático</p><p>para o ensino da disciplina</p><p>Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>do curso de Licenciatura em Matemática</p><p>do Campus Blumenau da UFSC</p><p>preparado e digitado por Felipe Vieira</p><p>- 2014 -</p><p>Sumário</p><p>Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii</p><p>1. Estrutura do livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii</p><p>2. Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii</p><p>3. Um pouco de história. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv</p><p>3.1. A evolução do estudo dos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi</p><p>1. Números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1. Axiomas de Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>2. Operações em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>3. Sistema de numeração em outras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>3.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>3.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>3.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>3.4. Tabela de tabuada em outras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>4. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>2. Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>1. Construção de Z a partir de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2. Operações em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3. Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>3.1. Princípio da boa ordem (PBO) em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.2. Princípio do menor inteiro (PMI) em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>4. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>3. Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>1. Algoritmo da divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2. Múltiplos e divisores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>3. Critérios de divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>5. Teorema fundamental da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</p><p>6. Máximo divisor comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58</p><p>7. Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64</p><p>8. Números relativamente primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>9. Equações diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>i</p><p>ii Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>10. Congruências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>11. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>4. Números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85</p><p>1. Construção de Q a partir de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85</p><p>2. Operações em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89</p><p>2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90</p><p>2.4. Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>3. Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</p><p>4. Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97</p><p>4.1. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102</p><p>5. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>5. Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</p><p>1. Existência de números que não são racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</p><p>2. Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</p><p>3. Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</p><p>4. Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113</p><p>5. Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115</p><p>6. Equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117</p><p>7. Inequações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121</p><p>8. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123</p><p>Referências Bibliográficas . . . . . . .</p><p>obviamente implica num absurdo, pois não há produto de primos que resulte</p><p>em 1.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.28: Note que</p><p>342 2</p><p>171 3</p><p>57 3</p><p>19 19</p><p>1</p><p>logo 342 = 2 · 32 · 19.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.29: Quais são todos divisores de 342?</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 55</p><p>Basta permutar os fatores primos de sua fatoração e obter</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>19</p><p>2 · 3</p><p>2 · 19</p><p>32</p><p>3 · 19</p><p>2 · 32</p><p>2 · 3 · 19</p><p>32 · 19</p><p>2 · 32 · 19 ,</p><p>além de todos os opostos dos números acima.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.30: Tem-se</p><p>540 2</p><p>270 2</p><p>135 3</p><p>45 3</p><p>15 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>e portanto 540 = 22 · 33 · 5.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.31: Qual o menor natural que possui cinco fatores primos distintos em</p><p>sua fatoração?</p><p>2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310 .</p><p>�</p><p>Observação 3.5: Dado natural a os números 1 e a são seus divisores impróprios.</p><p>Se existirem outros divisores, serão chamados divisores próprios.</p><p>�</p><p>56 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Teorema 3.4: (Teorema fundamental da aritmética em Z) Para todo inteiro a com</p><p>1 < |a| existem números primos positivos</p><p>p1 < p2 < . . . < pr</p><p>com r ∈ N e α1, α2 . . . , αr naturais tais que</p><p>a = E · pα1</p><p>1 · p</p><p>α2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r</p><p>de forma única a menos da ordem dos fatores primos, onde E = 1 se 0 < a e</p><p>E = −1 se a < 0.</p><p>Demonstração: A demonstração é análoga ao caso dos naturais, no Teorema 3.3.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.32: Note que −240 = (−1) · 24 · 3 · 5.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.33: Vamos fatorar o número 576. Note que 576 = 242 e já que 24 =</p><p>23 · 3, segue que</p><p>576 = (24)2 = (23 · 3)2 = 26 · 32 .</p><p>�</p><p>Portanto qualquer quadrado tem, nos expoentes dos números primos da sua fatora-</p><p>ção, múltiplos de 2. De forma análoga, um número é um cubo se os expoentes dos</p><p>primos em sua fatoração são múltiplos de 3, e assim por diante.</p><p>Exemplo 3.34: Qual o menor inteiro positivo não nulo a tal que 6615a é um qua-</p><p>drado?</p><p>Já que 6615 = 33 · 5 · 72 e precisamos que todas potências dos fatores primos sejam</p><p>par, precisa-se que a = 3 · 5 = 15. Daí</p><p>6615a = 34 · 52 · 72 = (32 · 5 · 7)2 = 3152 .</p><p>�</p><p>Teorema 3.5: (Teorema de Euclides) O conjunto de números primos é infinito.</p><p>Demonstração: Suponha por absurdo que seja finito, ou seja, todos os primos</p><p>conhecidos estão no conjunto</p><p>P = {p1, p2 . . . pn} .</p><p>Note que q = (p1 · p2 . . . pn) + 1 não é divisível por nenhum dos pi acima, logo</p><p>é primo. Além disso ele não está em P , pois é maior que todos aqueles primos.</p><p>Absurdo, afinal todos primos estão lá. Portanto há infinitos números primos, tanto</p><p>em N quanto em Z.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 57</p><p>�</p><p>Exemplo 3.35: O produto de três números consecutivos é divisível por 6?</p><p>Sim, pois certamente há um número par e um múltiplo de 3 nesse produto. Portanto,</p><p>em sua fatoração, o produto terá um fator 2 · 3 ou seja, 6.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.36: Encontre mil números consecutivos que não são primos.</p><p>(1001)!+2 ,</p><p>(1001)!+3 ,</p><p>...</p><p>(1001)!+1001 .</p><p>É chamado deserto de primos. Para qualquer n natural, é possível encontrar n</p><p>consecutivos não primos de forma análoga.</p><p>�</p><p>Uma das aplicações mais importantes da fatoração é o cálculo do mdc e do mmc,</p><p>que veremos na próxima seção.</p><p>O número de divisores positivos de um dado número</p><p>a = pα1</p><p>1 · p</p><p>α2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r</p><p>é</p><p>pα1+1</p><p>1 · pα2+1</p><p>2 . . . pαr+1</p><p>r .</p><p>Exemplo 3.37: Qual o menor natural a que possui exatamente 8 divisores?</p><p>Precisa-se que a conta acima resulte em 8. Mas note que 8 pode ser escrito apenas</p><p>de duas formas utilizando naturais maiores que 1:</p><p>8 = 2 · 2 · 2 ou 8 = 4 · 2 .</p><p>Portanto, como procuramos o menor número com aquela propriedade, ou</p><p>a = 22−1 · 32−1 · 52−1 = 30</p><p>ou</p><p>a = 24−1 · 32−1 = 24</p><p>ou ainda</p><p>a = 22−1 · 34−1 = 54 .</p><p>Logo a resposta é 24.</p><p>�</p><p>58 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>6. Máximo divisor comum</p><p>Basicamente se quer encontrar o maior número que divide dois (ou mais) números</p><p>simultaneamente.</p><p>Exemplo 3.38: Considere os números 24 e 52.</p><p>Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24,−1,−2,−3,−4 . . . ,</p><p>52 : 1, 2, 4, 13, 26, 52,−1,−2,−4 . . . .(5)</p><p>O maior número que aparece nas duas listagens é 4. Portanto o maior divisor</p><p>comum entre 24 e 52 é 4.</p><p>�</p><p>Definição 3.6: Sejam a, b números inteiros não simultaneamente nulos. Então o</p><p>número 0 < d é o mdc entre a e b quando</p><p>1) d é divisor de a e de b.</p><p>2) Se c divide a e b então c divide d.</p><p>Notação: d = mdc(a, b).</p><p>Assim para a, b inteiros tem-se mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|).</p><p>Observação 3.6: Note que não é possível definir mdc(0, 0), pois todo número na-</p><p>tural é divisor de 0.</p><p>Exemplo 3.39: mdc(36, 24) = 12.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.40: mdc(16, 35) = 1.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.41: Segue que mdc(−52, 44) = mdc(52, 44) = 4.</p><p>�</p><p>Uma forma de calcularmos o mdc é através da fatoração dos números em questão.</p><p>Para isso, basta fatorá-los e o mdc será o produto dos fatores comuns.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 59</p><p>Exemplo 3.42: Calcule mdc(1500, 525).</p><p>1500 2</p><p>750 2</p><p>375 3</p><p>125 5</p><p>25 5</p><p>5 5</p><p>1</p><p>525 3</p><p>175 5</p><p>35 5</p><p>7 7</p><p>1</p><p>Portanto mdc(1500, 525) = 3 · 52 = 75.</p><p>�</p><p>Basicamente o mdc é o produto dos fatores primos em comum.</p><p>Outra ferramenta para calcular mdc é dada pelo teorema a seguir.</p><p>Teorema 3.6: (Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc) Considere a, b, q, r ∈</p><p>N com b 6= 0, 0 ≤ r < b e a = bq + r. Então</p><p>mdc(a, b) = mdc(b, r) .</p><p>�</p><p>Veja como utilizar este teorema para calcular mdc(128,−82).</p><p>Exemplo 3.43: Primeiramente note que mdc(128,−82) = mdc(128, 82). O que se</p><p>faz é aplicar sucessivas divisões euclidianas, fazendo o divisor se transformar em</p><p>dividendo e o resto se transformar em divisor. Assim que o resto ser zero, o mdc</p><p>será o divisor.</p><p>128 = 82 · 1 + 46</p><p>82 = 46 · 1 + 36</p><p>46 = 36 · 1 + 10</p><p>36 = 10 · 3 + 6</p><p>10 = 6 · 1 + 4</p><p>6 = 4 · 1 + 2</p><p>4 = 2 · 2 + 0</p><p>Como o resto é zero, conclui-se que</p><p>mdc(128, 82) = mdc(82, 46) = . . . = mdc(4, 2) = 2 .</p><p>�</p><p>60 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 3.44: Calcule mdc(53, 48).</p><p>53 = 48 · 1 + 5</p><p>48 = 5 · 9 + 3</p><p>5 = 3 · 1 + 2</p><p>3 = 2 · 1 + 1</p><p>2 = 1 · 2 + 0</p><p>Logo</p><p>mdc(53, 48) = . . . = mdc(2, 1) = 1 .</p><p>�</p><p>Importante ressaltar que os restos sempre diminuem, portanto em algum momento</p><p>este será igual a zero e o processo é finito.</p><p>Para calcular o mdc entre três ou mais números, basta calcular sucessivamente o</p><p>mdc dois a dois.</p><p>Exemplo 3.45: Calcule mdc(42, 96, 58).</p><p>96 = 42 · 2 + 12 ,</p><p>42 = 12 · 3 + 6 ,</p><p>12 = 6 · 2 + 0 .</p><p>Logo</p><p>mdc(96, 42) = 6 .</p><p>Agora mdc(6, 58).</p><p>58 = 6 · 9 + 4 ,</p><p>6 = 4 · 1 + 2 ,</p><p>4 = 2 · 2 + 0 .</p><p>Logo</p><p>mdc(42, 96, 58) = mdc(6, 58) = 2 .</p><p>�</p><p>Abaixo seguem algumas propriedades do mdc.</p><p>Proposição 3.17: Dados a, b ∈ Z, tem-se mdc(a, b) = mdc(b, a).</p><p>Demonstração: Como o cáculo do mdc pode ser feito através da fatoração, não</p><p>importa se fatoramos primeiro a ou primeiro b.</p><p>�</p><p>Proposição 3.18: Se a ∈ Z∗ tem-se mdc(a, 0) = |a|.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 61</p><p>Demonstração: Todos números dividem o 0, portanto basta calcular o maior que</p><p>divide a, ou seja, |a|.</p><p>�</p><p>Proposição 3.19: Se a, b ∈ Z e a|b então mdc(a, b) = |a|.</p><p>Demonstração: O maior divisor simultâneo de a e de b é menor ou igual a ambos.</p><p>Como a divide tanto a quanto b, ele é o mdc.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.46: Já que 7|21, segue que mdc(7, 21) = 7.</p><p>�</p><p>Proposição 3.20: Sejam a, b, c ∈ Z. Se d = mdc(a, b) então</p><p>d · |c| = mdc(ac, bc) .</p><p>Demonstração: Vamos provar que d · |c| satisfaz as duas condições da Definição</p><p>3.6. Primeiro, pelo Corolário 3.1, note que</p><p>d|a, d|b⇒ d · |c| | a|c| e d · |c| | b|c|</p><p>e portanto dc|ac e dc|bc. Para a segunda condição, seja k em sua forma fatorada</p><p>k = pα1</p><p>1 · p</p><p>α2</p><p>2 . . . pαk</p><p>k .</p><p>Suponha que k|ac e k|bc. Então podemos separar a fatoração prima de k em duas</p><p>partes: uma cujo produto divide c, digamos</p><p>qβ1</p><p>1 · q</p><p>β2</p><p>2 . . . qβs</p><p>s</p><p>e o produto da outra parte divide a e b, digamos</p><p>q</p><p>βs+1</p><p>s+1 . . . qβr</p><p>r ,</p><p>onde os q são primos dentre os p e os β são expoentes dentre os α. Por hipótese</p><p>então esse segundo produto dividirá d, pois este é o mdc(a, b). Logo</p><p>k = qβ1</p><p>1 · q</p><p>β2</p><p>2 . . . qβs</p><p>s q</p><p>βs+1</p><p>s+1 . . . qβr</p><p>r</p><p>dividirá dc. Assim, como o mdc é sempre positivo, segue que d · |c| = mdc(ac, bc).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.47: De mdc(7, 21) = 7 segue que mdc(7 · 5, 21 · 5) = 7 · 5 = 35.</p><p>�</p><p>Proposição 3.21: Sejam a, b ∈ Z e d = mdc(a, b). Assim tem-se</p><p>a = dp e b = dq</p><p>com p, q ∈ Z. Então mdc(p, q) = 1.</p><p>62 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Demonstração: Caso 1 < n = mdc(p, q), pela Proposição 3.20 teríamos dn =</p><p>mdc(dp, dq) = mdc(a, b), que seria uma contradição à hipótese d = mdc(a, b).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.48: mdc(−42, 96) = 6 e já que −42 = 6 · (−7) e 96 = 6 · 16 segue que</p><p>mdc(−7, 16) = 1.</p><p>�</p><p>Diremos que a fatoração de um número a está contida na fatoração de um número b</p><p>inteiros quando todos os fatores que aparecem na fatoração de a também aparecem</p><p>na fatoração de b. Assim, note que se a|b então a fatoração de a está contida na</p><p>fatoração de b.</p><p>Proposição 3.22: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a|bc e mdc(a, b) = 1 então a|c.</p><p>Demonstração: Já que a|bc então todos primos da fatoração de a estão contidos</p><p>na fatoração de bc. Mas mdc(a, b) = 1, então a fatoração de a não contém primos</p><p>em comum com a fatoração em b. Logo só resta os primos da fatoração de a estarem</p><p>contidos na fatoração de c, ou seja, a|c.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.49: Já que 10|90, 90 = 3 · 30 e mdc(10, 3) = 1 então 10|30.</p><p>�</p><p>Proposição 3.23: Sejam a, b, c ∈ Z com a|c, b|c e mdc(a, b) = 1. Então ab|c.</p><p>Demonstração: Novamente analisando a fatoração de a e b, as hipóteses implicam</p><p>que todos primos das fatorações de a e b estão contidas em c. Além disso, como</p><p>mdc(a, b) = 1, as fatorações não têm ninguém em comum. Logo, o produto ab terá</p><p>fatoração que estará contida em c, ou seja, ab|c.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.50: Note que 5|60, 3|60 e mdc(5, 3) = 1. Portanto, já que 3 · 5 = 15,</p><p>segue que 3 · 5 = 15|60.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.51: Encontre todos pares de números naturais cujo produto é 4800 e</p><p>mdc é 20.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 63</p><p>Denote os números procurados por a e b. Então</p><p>ab = 4800 ,</p><p>mdc(a, b) = 20 .</p><p>De a = 20p e b = 20q conclui-se que mdc(p, q) = 1 pela Proposição 3.21 e, assim:</p><p>20p · 20q = 4800⇒ pq = 12 .</p><p>Assim procuramos p e q tais que pq = 12 e mdc(p, q) = 1. As possibilidades são</p><p>(p, q) ∈ {(1, 12), (3, 4)}</p><p>e portanto os pares (a, b) procurados são (20, 240) e (60, 80).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.52: O mdc entre dois números naturais a e 2a + 1 (com a ∈ N) é</p><p>sempre 1. Verdadeiro ou falso?</p><p>Se a = 1 o resultado é óbvio. Suponha então que 1 < a e note que fazendo sucessivas</p><p>divisões obtém-se o seguinte.</p><p>2a+ 1 = a · 2 + 1 ,</p><p>a = 1 · a+ 0 .</p><p>Logo mdc(2a+ 1, a) = 1.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.53: Dividindo-se dois números naturais pelo seu mdc, a soma dos quo-</p><p>cientes obtidos é 8. Determine-os sabendo que sua soma é 384.</p><p>Sejam a e b os números procurados e denote d = mdc(a, b). Assim a = dp e b = dq</p><p>com mdc(p, q) = 1 e p+q = 8. As únicas possibilidades para (p, q) são (1, 7) e (3, 5).</p><p>Note também que dp+ dq = 384 mas já que p+ q = 8 tem-se d = 48.</p><p>Portanto (a, b) ∈ {(48, 336), (144, 240)}.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.54: Sejam a = 26 · 33 · 52, b = 25 · 54 e d = 2r · 3s · 5t. Quem devem ser</p><p>r, s, t para que mdc(a, b) = d?</p><p>Já que mdc(a, b) = 25 · 52 precisa-se de r = 5, s = 0 e t = 2.</p><p>�</p><p>64 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>7. Mínimo múltiplo comum</p><p>É o menor número positivo não nulo que é múltiplo de dois ou mais números.</p><p>Exemplo 3.55: Determine o menor número natural não nulo divisível simultanea-</p><p>mente por 12 e 15.</p><p>Para isso basta listar os múltiplos e procurar o menor que está em ambas listagens.</p><p>Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 . . . ,</p><p>Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75 . . . .</p><p>Assim o menor múltiplo comum é 60.</p><p>Definição 3.7: Sejam a, b números inteiros. Então 0 ≤ m é o mínimo múltiplo</p><p>comum de a e b quando</p><p>1) m é múltiplo de a e de b.</p><p>2) Se c é múltiplo de a e de b então c é múltiplo de m.</p><p>Notação: m = mmc(a, b).</p><p>Observação 3.7: O único múltiplo de 0 é o próprio 0, portanto mmc(0, 0) = 0.</p><p>Note que para a, b inteiros tem-se mmc(a, b) = mmc(|a|, |b|). O mmc entre dois ou</p><p>mais números é obtido fatorando-os e tomando o produto dos fatores que aparecem</p><p>em pelo menos uma das fatorações, com os maiores expoentes possíveis. Assim,</p><p>garantimos o item 2) acima.</p><p>Exemplo 3.56: Calcule mmc(825, 315).</p><p>825 3</p><p>275 5</p><p>55 5</p><p>11 11</p><p>1</p><p>315 3</p><p>105 3</p><p>35 5</p><p>7 7</p><p>1</p><p>Portanto mmc(825, 315) = 32 · 52 · 7 · 11 = 17325.</p><p>�</p><p>Outra maneira de calcular o mmc entre dois números é através da proposição a</p><p>seguir.</p><p>Proposição 3.24: Sejam a, b ∈ Z não simultaneamente nulos. Então</p><p>|a| · |b| = mdc(a, b) ·mmc(a, b) .</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 65</p><p>Demonstração: Este resultado é uma simples consequência da decomposição em</p><p>fatores primos, dada no Teorema 3.4</p><p>�</p><p>Portanto dados dois números, calcula-se o mdc entre eles, e posteriormente seu mmc</p><p>através da proposição acima.</p><p>Exemplo 3.57: Calcule mmc(21, 14).</p><p>Facilmente conclui-se que mdc(21, 14) = 7. Portanto</p><p>21 · 14 = 7 ·mmc(21, 14)⇒ mmc(21, 14) = 21 · 2 = 42 .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.58: Calcule mmc(65, 26).</p><p>Primeiramente utiliza-se o algoritmo de Euclides para calcular seu mdc.</p><p>6 5</p><p>1 3</p><p>2 6</p><p>2</p><p>2 6</p><p>0</p><p>1 3</p><p>2 ⇒ mdc(65, 26) = 13</p><p>Logo</p><p>65 · 26 = 13 ·mmc(65, 26)⇒ mmc(65, 26) = 130 .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.59: Calcule mmc(−20, 74).</p><p>Começa-se utilizando o algoritmo de Euclides para achar mdc(20, 74).</p><p>7 4</p><p>1 4</p><p>2 0</p><p>3</p><p>2 0</p><p>6</p><p>1 4</p><p>1</p><p>1 4</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>Logo mdc(−20, 74) = mdc(20, 74) = 2. Assim</p><p>| − 20||74| = 2 ·mmc(−20, 74)⇒ mmc(−20, 74) = 740 .</p><p>�</p><p>As proposições a seguir são consequências da Proposição 3.24.</p><p>Proposição 3.25: Seja a ∈ Z∗. Então mmc(a, 0) = 0.</p><p>Demonstração: Segue do fato de 0 ser o menor múltiplo não negativo de a e 0.</p><p>�</p><p>Proposição 3.26: Sejam a, b ∈ Z com a 6= 0. Se a|b então mmc(a, b) = |b|.</p><p>66 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Demonstração: Pela Proposição 3.19 sabemos que mdc(a, b) = |a|. Portanto</p><p>|a||b| = mdc(a, b) ·mmc(a, b) = |a| ·mmc(a, b)⇒ mmc(a, b) = |b| .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.60: Como 17|(−51), segue que mmc(17,−51) = | − 51| = 51.</p><p>�</p><p>Proposição 3.27: Sejam a, b ∈ Z∗ com d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Pela</p><p>Proposição 3.21, note que a = dp e b = dq com mdc(p, q) = 1 e p, q ∈ Z∗. Então</p><p>m = |a| · |q| e m = |b| · |p|.</p><p>Demonstração: Segue da Proposição 3.24:</p><p>|a||b| = mdc(a, b) ·mmc(a, b)⇒ d|p||b| = dm⇒ |p||b| = m,</p><p>|a||b| = mdc(a, b) ·mmc(a, b)⇒ |a|d|q| = dm⇒ |a||q| = m.</p><p>�</p><p>Proposição 3.28: Nos termos da proposição anterior, também vale a recíproca: se</p><p>m = mmc(a, b), m = |a| · |p| e m = |b| · |q| então mdc(p, q) = 1.</p><p>Demonstração: Suponha que mdc(p, q) = d. Como d|p e d|q segue que existem c</p><p>e f inteiros tais que p = dc e q = df , assim como d|m implica que existe k ∈ Z tal</p><p>que m = dk. Vamos provar que k é múltiplo de a e de b, implicando que m ≤ k e</p><p>portanto d = 1. Note que</p><p>dk = m = |a||p| = |a||dc| = |a|d|c| ,</p><p>dk = m = |b||q| = |b||df | = |a|d|f | .</p><p>Daí k = |a||c| e k = |a||f |, ou seja, k é múltiplo tanto de a quanto de b e, pela</p><p>definição de mmc, concluímos que m ≤ k. Já que dk = m ≤ k, só podemos ter</p><p>d = 1.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.61: Considere a = 21 e b = 14. Obtem-se 7 = mdc(21, 14) e 42 =</p><p>mmc(21, 14).</p><p>Note que 21 = 7 · 3 e 14 = 7 · 2 e utilizando a proposição acima de fato tem-se</p><p>42 = 21 · 2 = 14 · 3 .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.62: Encontre todos pares de números naturais cujo mdc é 12 e cujo</p><p>mmc é 240.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 67</p><p>Sejam a, b os números procurados e sabe-se que a = 12p e b = 12q commdc(p, q) = 1.</p><p>Daí pela Proposição 3.24:</p><p>12 · 240 = 12p · 12q ⇒ 20 = pq .</p><p>Com isso os possíveis (p, q) são (1, 20) e (4, 5). Portanto os pares de números pro-</p><p>curados são (12, 240) e (48, 60).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.63: O mmc(a, b) é 1260 e ao dividir 1260 por a e b respectivamente,</p><p>o produto dos quocientes é 90. Determine todos pares a, b de números inteiros que</p><p>satisfazem estas condições.</p><p>Tem-se 1260 = ap e 1260 = bq com pq = 90 e mdc(p, q) = 1 pela Proposição 3.21.</p><p>Assim os possíveis (p, q) são</p><p>{(1, 90), (2, 45), (5, 18), (9, 10)} ,</p><p>que implica</p><p>(a, b) ∈ {(1260, 14), (630, 28), (252, 70), (140, 126)} .</p><p>�</p><p>8. Números relativamente primos</p><p>Definição 3.8: Dois números inteiros a e b são ditos relativamente primos, ou</p><p>primos entre si, quando mdc(a, b) = 1.</p><p>Assim, 16 e 35 são números primos entre si.</p><p>Proposição 3.29: Se a, b ∈ Z são relativamente primos então mmc(a, b) = |a| · |b|.</p><p>Demonstração: Já que a e b são relativamente</p><p>primos, por definição sabemos que</p><p>mdc(a, b) = 1. Sabemos pela Proposição 3.24 que</p><p>|a| · |b| = mdc(a, b) ·mmc(a, b) .</p><p>Portanto |a| · |b| = 1 ·mmc(1, b).</p><p>�</p><p>9. Equações diofantinas</p><p>Uma equação diofantina é uma equação da forma</p><p>ax+ by = c ,</p><p>68 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>com a, b, c ∈ Z e x, y variáveis. Nem todas equações diofantinas possuem solução, e</p><p>a identidade de Bézout é um teorema que nos fornece uma ferramenta para checar</p><p>quando que certos tipos de equação possuem solução.</p><p>Teorema 3.7: (Identidade de Bézout) Sejam a, b ∈ Z com d = mdc(a, b). Então a</p><p>equação diofantina</p><p>ax+ by = d</p><p>possui solução.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.64: mdc(13, 4) = 1 e de fato 1 = 13 · 1 + 4 · (−3).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.65: mdc(−25, 15) = 5 e 5 = (−25) · (−2) + 15 · (−3).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.66: mdc(53, 48) = 1 e 1 = 53 · (−19) + 48 · 21.</p><p>�</p><p>Para encontrar a solução de uma tal equação, podemos utilizar o método das divisões</p><p>sucessivas. Considere a equação</p><p>53x+ 48y = 1 .</p><p>Passo 1: Escreva as divisões sucessivas</p><p>53 = 48 · 1 + 5 ,</p><p>48 = 5 · 9 + 3 ,</p><p>5 = 3 · 1 + 2 ,</p><p>3 = 2 · 1 + 1 .</p><p>Passo 2: Isole os restos</p><p>5 = 53 + (−1) · 48 ,</p><p>3 = 48 + (−9) · 5 ,</p><p>2 = 5 + (−1) · 3 ,</p><p>1 = 3 + (−1) · 2 .</p><p>Passo 3: Utilizando o passo 2 para fazer substituições de baixo para cima:</p><p>1 = 3 + (−1).2 = [48 + (−9).5] + (−1)[5 + (−1).3]</p><p>= [48 + (−9).(53 + (−1).48)] + (−1)[(53 + (−1).48) + (−1).(48 + (−9).5)]</p><p>= [48.10 + 53.(−9)] + (−1)[53 + (−2).48 + 9(53 + (−1).48)]</p><p>= 48.21 + 53.(−19)</p><p>A partir da Identidade de Bézout, podemos concluir que há mais casos em que uma</p><p>equação diofantina possui solução.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 69</p><p>Proposição 3.30: Sejam a, b, c ∈ Z. A equação diofantina</p><p>ax+ by = c</p><p>tem solução inteira quando mdc(a, b)|c.</p><p>Demonstração: Já que mdc(a, b)|c, temos f ∈ Z tal que f ·mdc(a, b) = c. Assim,</p><p>basta resolver a equação</p><p>ax+ by = mdc(a, b)</p><p>e multiplicar a solução por f .</p><p>�</p><p>Essas equações aparecem na hora de resolver problemas práticos.</p><p>Exemplo 3.67: Quantas mesas para 6 pessoas e quantas mesas para 4 pessoas são</p><p>necessárias para acomodar 90 convidados, de maneira a usar pelo menos uma mesa</p><p>de cada tipo?</p><p>Basicamente, procura-se x e y estritamente positivos tais que</p><p>6x+ 4y = 90 .</p><p>Pela proposição acima a equação possui solução pois mdc(6, 4) = 2 e 2|90. Utilizando</p><p>a identidade de Bézout pode-se resolver 6x+ 4y = 2 para obter</p><p>6 · 1 + 4 · (−1) = 2 .</p><p>Multiplicando a equação acima por 45 obtém-se</p><p>6 · 45 + 4 · (−45) = 90</p><p>e portanto x = 45 e y = −45 resolvem a equação diofantina em questão. Mas o</p><p>problema permanece, afinal, não se pode considerar −45 mesas!</p><p>�</p><p>Para encontrar soluções plausíveis para o nosso problema prático, utiliza-se a pro-</p><p>posição abaixo.</p><p>Proposição 3.31: Sejam a, b, c ∈ Z∗ e x0, y0 uma solução inteira da equação dio-</p><p>fantina</p><p>ax+ by = c .</p><p>Então essa equação possui infinitas soluções inteiras da forma{</p><p>x = x0 + b1t ,</p><p>y = y0 − a1t .</p><p>(6)</p><p>onde d = mdc(a, b), a = a1d, b = b1d e t percorre o conjunto dos números inteiros.</p><p>�</p><p>70 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>A solução dada em (6) é dita solução geral da equação diofantina ax+ by = c.</p><p>Retomando o Exemplo 3.67.</p><p>Exemplo 3.68: Já foi resolvido</p><p>6x+ 4y = 90</p><p>obtendo</p><p>6 · 45 + 4 · (−45) = 90 .</p><p>Já que mdc(6, 4) = 2 tem-se</p><p>6 = 2 · 3⇒ a1 = 3 ,</p><p>4 = 2 · 2⇒ b1 = 2 .</p><p>e portanto a solução geral do problema é{</p><p>x = 45 + 2t ,</p><p>y = −45− 3t .</p><p>Portanto variando t em Z encontra-se infinitas soluções. Como o problema ne-</p><p>cessita de soluções positivas, somente nos interessam os t tais que x e y resultem</p><p>simultaneamente em números positivos. Ou seja:</p><p>0 < 45 + 2t ,</p><p>0 < −45− 3t .</p><p>Isto implica que</p><p>−23 < t ,</p><p>t < −15 .</p><p>Assim tem-se que t ∈ {−22,−21,−20,−19,−18,−17,−16} e portanto as possíveis</p><p>soluções são</p><p>(x, y) ∈ {(1, 21), (3, 18), (5, 15), (7, 12), (9, 9), (11, 6), (13, 3)} .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.69: Encontre a solução geral da equação diofantina</p><p>3x+ 4y = 20 .</p><p>Começa-se procurando a solução de</p><p>3x+ 4y = mdc(3, 4) = 1 .</p><p>Facilmente concluí-se que uma solução particular é x = −1 e y = 1, ou seja</p><p>3 · (−1) + 4 · 1 = 1 .</p><p>Multiplicando por 20 obtém-se</p><p>3 · (−20) + 4 · (20) = 20 .</p><p>Já que 4 = 1 · 4 e 3 = 1 · 3 obtém-se a1 = 4 e b1 = 3 e portanto a solução geral é{</p><p>x = −20 + 4t ,</p><p>y = 20− 3t .</p><p>�</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 71</p><p>Exemplo 3.70: Encontre a solução geral da equação diofantina</p><p>4x− 8y = 24 .</p><p>Primeiramente resolvemos</p><p>4x− 8y = mdc(4,−8) = 4 .</p><p>Uma solução particular é x = 1 e y = 0, afinal</p><p>4 · 1− 8 · 0 = 4 .</p><p>Multiplicando a solução por 6 obtém-se</p><p>4 · 6− 8 · 0 = 24 .</p><p>Já que −8 = (−2) · 4 e 4 = 1 · 4 obtém-se a1 = −2 e b1 = 1 e portanto a solução</p><p>geral é {</p><p>x = 6− 2t ,</p><p>y = 0− 1t = −t .</p><p>�</p><p>10. Congruências</p><p>Definição 3.9: Sejam a, b,m números inteiros com 1 < m. Diz-se que “a é côngruo</p><p>a b módulo m” quando m divide a− b, ou analogamente quando a− b é múltiplo de</p><p>m.</p><p>Notação: a ≡ b(mod m).</p><p>Exemplo 3.71: Tem-se 27− 6 = 21 múltiplo de 7. Logo</p><p>27 ≡ 6(mod 7) .</p><p>�</p><p>É importante analisar separadamente o que acontece quando m ≤ 1.</p><p>• Se m = 1 então a− b sempre é múltiplo de m. Logo</p><p>a ≡ b(mod 1),∀a, b ∈ Z .</p><p>• Se m = 0 então somente 0 é múltiplo de m. Logo</p><p>a ≡ a(mod 0), ∀a ∈ Z .</p><p>• Se m < 0 então a − b é múltiplo de m quando a − b é múltiplo de |m| e</p><p>portanto não é necessário trabalhar com m negativo.</p><p>72 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 3.72: Tem-se</p><p>49 ≡ 1(mod 4) ,</p><p>49 ≡ 49(mod 4) ,</p><p>49 ≡ 89(mod 4) ,</p><p>49 ≡ 449(mod 4) ,</p><p>49 ≡ 9(mod 4) ,</p><p>49 ≡ −55(mod 4) ,</p><p>49 ≡ 1(mod 4) ,</p><p>49 ≡ −7(mod 4) .</p><p>�</p><p>Abaixo seguem algumas propriedades da relação de congruência módulo m.</p><p>Proposição 3.32: Seja m ∈ Z com 1 < m. Então:</p><p>1) a ≡ a(mod m), ∀a ∈ Z.</p><p>2) a ≡ b(mod m)⇒ b ≡ a(mod m), ∀a, b ∈ Z.</p><p>3) a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m)⇒ a ≡ c(mod m), ∀a, b, c ∈ Z.</p><p>Demonstração: Vejamos:</p><p>1) Como a− a = 0 = 0 ·m, segue que a ≡ a(mod m), ∀a ∈ Z.</p><p>2) a ≡ b(mod m) ⇒ b − a = mx, para algum x ∈ Z ⇒ a − b = m(−x).</p><p>Portanto b ≡ a(mod m),∀a, b ∈ Z.</p><p>3) a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m)⇒ b−a = mx e c−b = my para x, y ∈ Z⇒</p><p>c− a = (c− b) + (b− a) = my +mx = m(x+ y). Portanto a ≡ c(mod m),</p><p>∀a, b, c ∈ Z.</p><p>�</p><p>Uma outra forma de enunciar a proposição acima segue.</p><p>Proposição 3.33: Seja m ∈ Z com 1 < m. Então a relação de congruência módulo</p><p>m em Z é:</p><p>1) Reflexiva.</p><p>2) Simétrica.</p><p>3) Transitiva.</p><p>�</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 73</p><p>Exemplo 3.73: Sabemos que 32 ≡ 10(mod 11) pois 32 − 10 = 22 = 2 · 11 e que</p><p>142 ≡ 32(mod 11) pois 142 − 32 = 110 = 10 · 11. Utilizando o item (3) acima,</p><p>conclui-se que 142 ≡ 10(mod 11).</p><p>�</p><p>Proposição 3.34: Sejam a, b, c, d,m ∈ Z com 1 < m. Se a ≡ b(mod m) e também</p><p>c ≡ d(mod m) então</p><p>1) a+ c ≡ b+ d(mod m).</p><p>2) a− c ≡ b− d(mod m).</p><p>3) ac ≡ bd(mod m).</p><p>4) an ≡ bn(mod m), ∀ 1 ≤ n.</p><p>Demonstração: As hipóteses implicam na existência de x, y ∈ Z tais que b− a =</p><p>mx e d− c = my. Vejamos cada item:</p><p>1) (b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) = mx + my = m(x + y). Logo</p><p>a+ c ≡ b+ d(mod m).</p><p>2) (b − d) − (a − c) = (b − a) + (c − d) = mx − my = m(x − y). Assim</p><p>a− c ≡ b− d(mod m).</p><p>3) (bd)− (ac) = bd+ (−ad+ ad)− ac = (b− a)d+ (d− c)a = mxd+mya =</p><p>m(xd+ ya). Daí ac ≡ bd(mod m).</p><p>4) É sabido que b− a divide bn − an, consequentemente bn − an também será</p><p>múltiplo de m. Daí an ≡ bn(mod m), ∀1 ≤ n.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.74: Sabe-se que 49 ≡ 1(mod 4). Utilizando o item (4) acima, conclui-se</p><p>que 499 ≡ 1(mod 4).</p><p>�</p><p>Exemplo 3.75: Sabemos que 15 ≡ 1(mod 7) e 10 ≡ 3(mod 7). Pela proposição</p><p>acima, conclui-se que</p><p>15 + 10 ≡ 1 + 3(mod 7) ou seja 25 ≡ 4(mod 7) ,</p><p>15− 10 ≡ 1− 3(mod 7) ou seja 5 ≡ −2(mod 7) ,</p><p>15 · 10 ≡ 1 · 3(mod 7) ou seja 150 ≡ 3(mod 7) .</p><p>�</p><p>Proposição 3.35: Sejam a, b,m ∈ Z com 1 < m. Então a ≡ b(mod m) se e</p><p>somente se a e b têm o mesmo resto na divisão euclidiana por m.</p><p>Demonstração: Da divisão euclidiana porm, sabemos que a = qm+r e b = pm+s</p><p>com 0 ≤ r < m e 0 ≤ s < m. Assim b− a = pm+ s− (qm+ r) = m(p− q) + (s− r).</p><p>74 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Logo b − a é múltiplo de m se e somente se s − r é múltiplo de m. Assim, só nos</p><p>resta que s− r = 0 e portanto r = s.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.76: Temos que 121 = 5 · 24 + 1 e 401 = 5 · 80 + 1 portanto,</p><p>na divisão</p><p>por 5, 121 e 401 tem o mesmo resto. Logo 121 ≡ 401(mod 5).</p><p>�</p><p>Da Proposição 3.35 acima segue uma consequência natural:</p><p>Corolário 3.2: Se r é o resto da divisão de a por m então</p><p>a ≡ r(mod m) .</p><p>Além disso, r é o menor número inteiro positivo côngruo a a módulo m.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.77: Sabe-se que 34 = 4 · 8 + 2 portanto 34 ≡ 2(mod 8).</p><p>�</p><p>Utilizando estas proposições pode-se resolver o problema seguinte.</p><p>Exemplo 3.78: Qual o resto da divisão de 223 por 7?</p><p>Procura-se o menor número inteiro r com 0 ≤ r ≤ 6 tal que</p><p>223 ≡ r(mod 7) .</p><p>Sabe-se que</p><p>23 ≡ 1(mod 7) .</p><p>Assim utilizando Proposição 3.34 (4) com n = 7 obtém-se</p><p>221 ≡ 1(mod 7) .</p><p>Já que</p><p>22 ≡ 4(mod 7) ,</p><p>pelo item (3) da mesma proposição conclui-se que</p><p>223 ≡ 4(mod 7) .</p><p>Já que 4 é menor que 7, o resto procurado é 4.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.79: Se</p><p>402 ≡ 654(mod m) ,</p><p>quem são os possíveis m?</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 75</p><p>Procura-se os números naturais 1 < m que dividem 402− 654 = 252, ou seja</p><p>m ∈ {2, 3, 4, 6, 7, 9 . . . } .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.80: Qual o resto da divisão de</p><p>15 + 25 + · · ·+ 1005</p><p>por 4?</p><p>Note que as potências de pares divididas por 4 têm resto zero, já que há no mínimo</p><p>5 fatores 2. Já para as potências de ímpares, note que qualquer número ímpar é da</p><p>forma 2k + 1 para k inteiro. Assim, como</p><p>(2k + 1)5 = 8 · i+ 4 · j + 2k + 1 ,</p><p>tem-se que o resto da divisão de (2k + 1)5 por 4 é o resto da divisão de 2k + 1 por</p><p>4. Notando os padrões, estes se repetem na forma 1, 3, 1, 3 . . . . Somando os restos</p><p>de 2 em 2 se tem um múltiplo de 4. Logo o número acima é um múltiplo de 4.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.81: Qual o resto da divisão de 220 por 41? Como</p><p>25 ≡ −9(mod 41) ,</p><p>segue que</p><p>210 ≡ (−9)2(mod 41) ,</p><p>ou seja</p><p>210 ≡ −1(mod 41)</p><p>e portanto</p><p>220 ≡ (−1)2(mod 41) ,</p><p>daonde segue que o resto é 1.</p><p>�</p><p>11. Exercícios</p><p>Exercício 3.1: Pesquise sobre:</p><p>a) Princípio da casa dos pombos.</p><p>b) Paradoxo do hotel de Hilbert.</p><p>c) Sistema infinito de Dedekind.</p><p>d) Teorema das quatro cores.</p><p>76 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exercício 3.2: Uma sala de aula tem 32 estudantes. Mostre que pelo menos 2</p><p>estudantes fazem aniversário no mesmo dia (não necessariamente no mesmo mês.</p><p>Exercício 3.3: Dados 8 números naturais diferentes, nenhum deles menor que 1</p><p>ou maior do que 15, mostre que pelo menos três pares deles têm a mesma diferença</p><p>positiva.</p><p>Exercício 3.4: Faça as divisões euclidianas abaixo:</p><p>a) 34 por 3</p><p>c) 75 por 7</p><p>e) 101 por 2</p><p>g) 21 por 4</p><p>i) 52354 por 21</p><p>k) 24893 por 41</p><p>b) 3912 por 12</p><p>d) 132 por 6</p><p>f) 345 por 11</p><p>h) 121349 por 19</p><p>j) 9346 por 15</p><p>l) 60001 por 4.</p><p>Exercício 3.5: Determine o menor número natural de 4 algarismos distintos que</p><p>seja divisível por 21.</p><p>Exercício 3.6: Determine o maior número natural de 5 algarismos distintos que</p><p>seja divisível por 7.</p><p>Exercício 3.7: O número 25 · 7 é divisível por 2? Porque?</p><p>Exercício 3.8: O número 25 · 7 é divisível por 5? Porque?</p><p>Exercício 3.9: O número 25 · 7 é divisível por 14? Porque?</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 77</p><p>Exercício 3.10: É verdade que se um número é divisível por 4 e 3, então ele é</p><p>divisível por 12?</p><p>Exercício 3.11: O número x não é divisível por 3. É possível que 2x seja divisível</p><p>por 3?</p><p>Exercício 3.12: Mostre que a soma de números pares é par.</p><p>Exercício 3.13: Mostre que o produto de números ímpares é ímpar.</p><p>Exercício 3.14: Mostre que qualquer número inteiro de 3 algarismos, com os 3</p><p>algarismos iguais, é divisível por 37.</p><p>Exercício 3.15: Teste a divisibilidade dos seguintes números pelos primos naturais</p><p>menores que 23:</p><p>a) 23499</p><p>c) 13473</p><p>e) 84934</p><p>g) 2050</p><p>i) 20590</p><p>b) 39134</p><p>d) 9599</p><p>f) 34342</p><p>h) 455</p><p>j) 7654563.</p><p>Exercício 3.16: Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número primo</p><p>23.</p><p>Exercício 3.17: Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número primo</p><p>29.</p><p>78 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exercício 3.18: Pode um número de três dígitos, sendo o algarismo das unidades</p><p>maior que o algarismo das dezenas em 1 unidade e o algarismo das dezenas maior</p><p>que o algarismo das centenas em 1 unidade, ser primo?</p><p>Exercício 3.19: Dados dois primos distintos p e q, quantos divisores em N têm os</p><p>números pq, p2q e p4q4?</p><p>Exercício 3.20: Dado que p, p+ 10 e p+ 14 são números primos, encontre p.</p><p>Exercício 3.21: Encontre todas soluções naturais da equação x2 − y2 = 31.</p><p>Exercício 3.22: Sabendo que 2 + a e 35 − b são divisíveis por 11, prove que a + b</p><p>também é.</p><p>Exercício 3.23: Determine o menor número inteiro positivo pelo qual devemos mul-</p><p>tiplicar 6776, de modo que o produto seja a terceira potência de algum número.</p><p>Exercício 3.24: Se o resto da divisão de um número primo por 3 é 1, mostre que</p><p>na divisão deste número por 6, o resto também é 1.</p><p>Exercício 3.25: Encontre um único número que seja um cubo (terceira potência de</p><p>outro número), admita 16 divisores e na sua divisão euclidiana por 43 o quociente</p><p>seja um número primo e o resto seja 1.</p><p>Exercício 3.26: Determine r e s para que n = 23.5r.7s tenha 84 divisores.</p><p>Exercício 3.27: Teste a primalidade dos seguintes números:</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 79</p><p>a) 523</p><p>c) 233</p><p>e) 243</p><p>g) 777</p><p>i) 445</p><p>b) 137</p><p>d) 301</p><p>f) 517</p><p>h) 337</p><p>j) 67.</p><p>Exercício 3.28: Fatore:</p><p>a) 679</p><p>c) 6345</p><p>e) 949</p><p>g) 13412</p><p>i) 2522</p><p>b) 856</p><p>d) 999</p><p>f) 13445</p><p>h) 4096</p><p>j) 6743.</p><p>Exercício 3.29: Descubra quantos divisores positivos possuem os números abaixo:</p><p>a) 423</p><p>c) 1365</p><p>e) 423</p><p>g) 112</p><p>i) 22</p><p>b) 85</p><p>d) 99</p><p>f) 144</p><p>h) 1024</p><p>j) 674.</p><p>Exercício 3.30: Quais são as possibilidades para o mdc entre n e 2n+ 4?</p><p>Exercício 3.31: Dados x = 23 · 310 · 5 · 72 e x = 25 · 3 · 11, encontre mdc(x, y) e</p><p>mmc(x, y).</p><p>80 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exercício 3.32: Quais são as possibilidades para dois números inteiros que têm</p><p>mdc e mmc iguais?</p><p>Exercício 3.33: Determine os pares de números cujo produto é 3600 e cujo mmc</p><p>é 1200.</p><p>Exercício 3.34: Determine os números naturais n tais que mmc(n, 54) = 54.</p><p>Exercício 3.35: Calcule:</p><p>a) mdc(456, 356) e mmc(456, 356)</p><p>b) mdc(22, 680) e mmc(22, 680)</p><p>c) mdc(532, 22) e mmc(532, 22)</p><p>d) mdc(82, 100) e mmc(82, 100)</p><p>e) mdc(523, 234) e mmc(523, 234)</p><p>f) mdc(902, 424) e mmc(902, 424)</p><p>g) mdc(44, 356) e mmc(44, 356)</p><p>h) mdc(46, 356) e mmc(46, 356)</p><p>i) mdc(832, 112) e mmc(832, 112)</p><p>j) mdc(111, 1111) e mmc(111, 1111).</p><p>Exercício 3.36: Confira se os pares de números abaixo são relativamente primos:</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 81</p><p>a) 234 e 232</p><p>c) 14 e 777</p><p>e) 69 e 134</p><p>g) 67 e 22</p><p>i) 948 e 949</p><p>b) 2394 e 3333</p><p>d) 753 e 643</p><p>f) 363 e 636</p><p>h) 55 e 10101</p><p>j) 449 e 944.</p><p>Exercício 3.37: Prove que dois números consecutivos são sempre relativamente</p><p>primos.</p><p>Exercício 3.38: Quais números menores que 30 são relativamente primos com 30?</p><p>Exercício 3.39: Confira quais equações diofantinas abaixo possuem solução. Re-</p><p>solva aquelas solúveis.</p><p>a) 3x+ 5y = 2</p><p>c) 11x− 7y = 31</p><p>e) 2t− 2y = 79</p><p>g) 8x+ 12k = 40</p><p>i) 7k − 30t = 12</p><p>b) 32x− 14y = 90</p><p>d) 14x+ 20y = 12</p><p>f) 30x− 8y = 3</p><p>h) 20x− 12y = 5</p><p>j) 14y + 20k = 2.</p><p>Exercício 3.40: Um canil possui casinhas de cães que comportam 4 cães e outras</p><p>que comportam 6 cães. Qual o menor número de casinhas que o canil precisa para</p><p>comportar 50 cães?</p><p>Exercício 3.41: Queremos transportar 120 latas em dois tipos de caixa: uma que</p><p>comporta 8 latas e outra que comporta 11 latas. Qual o menor número de caixas a</p><p>se usar para fazer esse transporte?</p><p>82 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exercício 3.42: Nos carros do tipo A cabem 5 pessoas, nos carros do tipo B cabem</p><p>8 pessoas. No mínimo quantos carros são necessários para se fazer uma viagem em</p><p>um grupo de 75 pessoas utilizando-se apenas carros dos tipos A e B?</p><p>Exercício 3.43: Uma reação química está balanceada quando o número de átomos</p><p>de um mesmo elemento é igual tanto do lado direito quanto do lado esquerdo da</p><p>reação. A reação abaixo representa a formação do ácido sulfúrico. Encontre os</p><p>valores de a, b, c, d, e para balanceá-la, lembrando que dado um elemento hipotético</p><p>X, a notação mXn significa m · n átomos desse elemento:</p><p>aNa2S4O6</p><p>+ bH2O2 → cNa2SO4 + dH2O + eH2SO4.</p><p>Exercício 3.44: Confira quais congruências abaixo são verdadeiras:</p><p>a) 249 ≡ 2(mod 8)</p><p>c) 342 ≡ 6(mod 21)</p><p>e) 277 ≡ 3(mod 23)</p><p>g) 526 ≡ 5(mod 15)</p><p>i) 741 ≡ 1(mod 11)</p><p>b) 375 ≡ 1(mod 3)</p><p>d) 291 ≡ 3(mod 33)</p><p>f) 239 ≡ 4(mod 51)</p><p>h) 942 ≡ 7(mod 12)</p><p>j) 1153 ≡ 2(mod 23).</p><p>Exercício 3.45: Qual o menor inteiro positivo, que é côngruo ao produto</p><p>11 · 18 · 23 · 22 · 13 · 19</p><p>módulo 7?</p><p>Exercício 3.46: Determine o resto da divisão de</p><p>14 + 24 + · · ·+ 1004</p><p>por 4.</p><p>Exercício 3.47: Encontre o resto das seguintes divisões:</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 83</p><p>a) 266 por 3</p><p>c) 436 por 5</p><p>e) 273 por 7</p><p>g) 561 por 3</p><p>i) 2100 por 3</p><p>b) 563 por 2</p><p>d) 775 por 5</p><p>f) 331 por 7</p><p>h) 255 por 3</p><p>j) 341 por 5.</p><p>CAPíTULO 4</p><p>Números racionais</p><p>1. Construção de Q a partir de Z</p><p>Em 2000 a.C. os babilônios já usavam frações.</p><p>Em torno de 1700 a.C., os egípcios estudavam frações de numerador 1.</p><p>Os romanos se concentravam em frações com denominador 12 (1 a.C.).</p><p>No século VI o denominador era escrito acima do numerador sem o traço.</p><p>Por volta do século XI os árabes introduziram o traço.</p><p>Em 1585 Simon Stevin apresentou a notação decimal (denominador 10).</p><p>Uma fração é a notação encontrada para representar um certo número que resolve</p><p>uma equação específica. Por exemplo, a solução da equação 3x = 1 é um número</p><p>que se representa por</p><p>1</p><p>3 ,</p><p>a terça parte de 1.</p><p>Ou seja, define-se as frações como soluções de certas equações. No caso de uma</p><p>equação genérica bx = a com a, b inteiros e b 6= 0, a solução é a fração</p><p>a</p><p>b</p><p>.</p><p>O conjunto destas soluções é chamado conjunto dos números racionais, denotado Q.</p><p>Simbolicamente</p><p>Q =</p><p>{</p><p>a</p><p>b</p><p>: a, b ∈ Z, b 6= 0</p><p>}</p><p>.</p><p>A letra Q foi utilizada pela primeira vez para representar esse conjunto por Giuseppe</p><p>Peano, por conta da palavra italiana quoziente, que significa quociente.</p><p>A nomenclatura em uma fração segue</p><p>a</p><p>b</p><p>→ numerador</p><p>→ denominador .</p><p>De forma geral tem-se a seguinte tabela.</p><p>85</p><p>86 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>x = 1</p><p>2 x = 3</p><p>2 x = 5</p><p>2 . . . x = −1</p><p>2 x = −3</p><p>2 . . .</p><p>2x=1 2x=3 2x=5 . . . (-2)x=1 (-2)x=3 . . .</p><p>4x=2 4x=6 4x=10 . . . (-4)x=2 (-4)x=6 . . .</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>(-2)x=-1 (-2)x=-3 (-2)x=-5 . . . 2x=-1 2x=-3 . . .</p><p>(-4)x=-2 (-4)x=-6 (-4)x=-10 . . . 4x=-2 4x=-6 . . .</p><p>Tabela 1. Frações de denominador 2</p><p>Já que os números inteiros podem ser escritos como frações com denominador 1,</p><p>segue que Z ( Q e além disso</p><p>a</p><p>b</p><p>= 0⇔ a = 0 .</p><p>Note que 3</p><p>4 e 6</p><p>8 provém das equações</p><p>4x = 3 ,</p><p>8x = 6 .</p><p>A primeira multiplicada por 2 é a segunda equação. Portanto as equações são</p><p>equivalentes e possuem a mesma solução. Com isso as respectivas frações solução</p><p>também são equivalentes, ou seja, representam o mesmo número racional.</p><p>De forma análoga, pode-se obter infinitas representações para um mesmo número</p><p>racional, basta multiplicar o numerador e o denominador pela mesmo número inteiro</p><p>não nulo (seria o mesmo que multiplicar uma equação por esse número). Por exemplo</p><p>3</p><p>7 = 9</p><p>21 = −18</p><p>−42 = 6</p><p>14 = . . . .</p><p>Obviamente pode-se também cancelar fatores comuns do numerador e do denomi-</p><p>nador.</p><p>Exemplo 4.1: Subtraindo-se um mesmo número não nulo do numerador e do de-</p><p>nominador de 8</p><p>12 , pode-se obter uma nova fração equivalente à essa?</p><p>Procuramos a ∈ Z∗ tal que</p><p>8</p><p>12 = 8− a</p><p>12− a .</p><p>Números racionais 87</p><p>Ou seja, tem-se a mesma solução para as equações</p><p>12x = 8 ,</p><p>(12− a)x = 8− a .</p><p>Somando-se as duas equações obtém-se</p><p>−ax = −n</p><p>e, portanto, já que a 6= 0, vale x = 1. Daí conclui-se erroneamente que 12 = 8.</p><p>Absurdo!</p><p>Portanto não há a ∈ Z∗ que cumpra as exigências do problema.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.2: Soma-se 7 ao denominador de 2</p><p>14 . Quanto se deve somar ao nume-</p><p>rador para se obter uma fração equivalente?</p><p>Procura-se a ∈ Z∗ tal que</p><p>2</p><p>14 = 2 + a</p><p>21 .</p><p>Ou seja, tem-se a mesma solução para as equações</p><p>14x = 2 ,</p><p>21x = 2 + a .</p><p>(7)</p><p>A segunda equação menos a primeira resulta em</p><p>7x = a .</p><p>Logo 14x = 2a que juntamente com a primeira equação em 7 garante a = 1.</p><p>�</p><p>Notação:</p><p>c</p><p>a</p><p>b</p><p>= c+ a</p><p>b</p><p>.</p><p>Há uma nomenclatura especial para alguns tipos de frações.</p><p>i) Fração própria:</p><p>a</p><p>b</p><p>com a < b .</p><p>ii) Fração imprópria:</p><p>a</p><p>b</p><p>com b < a .</p><p>iii) Fração decimal:</p><p>a</p><p>b</p><p>com b = 10 .</p><p>iv) Fração aparente:</p><p>a</p><p>b</p><p>com a múltiplo de b .</p><p>88 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>v) Fração unitária:</p><p>a</p><p>b</p><p>com a = 1 .</p><p>2. Operações em Q</p><p>As definições e propriedades serão adaptadas de Z (vide Capítulo 2).</p><p>2.1. Adição</p><p>Definição 4.1: Dados dois números racionais a</p><p>b e c</p><p>d define-se</p><p>a</p><p>b</p><p>+ c</p><p>d</p><p>= ad+ bc</p><p>bd</p><p>.</p><p>Exemplo 4.3:</p><p>3</p><p>8 + 13</p><p>6 = 3.6 + 13.8</p><p>8.6 = 18 + 104</p><p>48 = 122</p><p>48 .</p><p>Pode-se simplificar e obter</p><p>122</p><p>48 = 2 · 61</p><p>2 · 24 = 61</p><p>24 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.4:</p><p>3</p><p>17 + 7</p><p>17 = 3.17 + 7.17</p><p>17.17 = 10.17</p><p>17.17 = 10</p><p>17 .</p><p>Ou seja, ao somar frações com mesmo denominador, basta somar os numeradores e</p><p>manter o denominador!</p><p>�</p><p>Exemplo 4.5:</p><p>3 + 6</p><p>7 = 3</p><p>1 + 6</p><p>7 = 3.7 + 1.6</p><p>1.7 = 21.6</p><p>7 = 27</p><p>7 .</p><p>�</p><p>Sejam a</p><p>b ,</p><p>c</p><p>d e e</p><p>f números racionais. Então valem:</p><p>A1) Propriedade associativa da adição:</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>(</p><p>c</p><p>d</p><p>+ e</p><p>f</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>a</p><p>b</p><p>+ c</p><p>d</p><p>)</p><p>+ e</p><p>f</p><p>.</p><p>A2) Propriedade comutativa da adição:</p><p>a</p><p>b</p><p>+ c</p><p>d</p><p>= c</p><p>d</p><p>+ a</p><p>b</p><p>.</p><p>Números racionais 89</p><p>A3) Propriedade do elemento neutro da adição:</p><p>a</p><p>b</p><p>+ 0</p><p>1 = a</p><p>b</p><p>= 0</p><p>1 + a</p><p>b</p><p>.</p><p>A6) Propriedade do elemento oposto: Existe único −a</p><p>b tal que</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>(</p><p>−a</p><p>b</p><p>)</p><p>= 0 =</p><p>(</p><p>−a</p><p>b</p><p>)</p><p>+ a</p><p>b</p><p>.</p><p>O oposto de a</p><p>b , representado por −a</p><p>b , pode ser representado de variadas formas:</p><p>−a</p><p>b</p><p>= −a</p><p>b</p><p>= a</p><p>−b</p><p>.</p><p>Exemplo 4.6: Uma piscina é enchida por duas torneiras. A primeira sozinha a</p><p>enche em 2 horas, enquanto a segunda em 5 horas. Quanto do tanque é enchido</p><p>pelas duas torneiras juntas em 1 hora?</p><p>Note que em uma hora, a primeira torneira enche 1</p><p>2 da piscina e a segunda, 1</p><p>5 .</p><p>Portanto, juntas, elas enchem</p><p>1</p><p>2 + 1</p><p>5 = 5</p><p>10 + 2</p><p>10 = 7</p><p>10 .</p><p>�</p><p>2.2. Multiplicação</p><p>Definição 4.2: Dados dois números racionais a</p><p>b e c</p><p>d define-se</p><p>a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>= ac</p><p>bd</p><p>.</p><p>Exemplo 4.7:</p><p>7</p><p>11 ·</p><p>4</p><p>9 = 7.4</p><p>11.9 = 28</p><p>99 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.8:</p><p>3 · 7</p><p>2 = 3</p><p>1 ·</p><p>7</p><p>2 = 3.7</p><p>1.2 = 21</p><p>2 .</p><p>�</p><p>Sejam a</p><p>b ,</p><p>c</p><p>d e e</p><p>f números racionais. Então valem:</p><p>M1) Propriedade associativa da multiplicação:</p><p>a</p><p>b</p><p>·</p><p>(</p><p>c</p><p>d</p><p>· e</p><p>f</p><p>)</p><p>= a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>· e</p><p>f</p><p>=</p><p>(</p><p>a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>)</p><p>· e</p><p>f</p><p>.</p><p>90 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>M2) Propriedade comutativa da multiplicação:</p><p>a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>= c</p><p>d</p><p>· a</p><p>b</p><p>.</p><p>M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação:</p><p>a</p><p>b</p><p>· 1</p><p>1 = a</p><p>b</p><p>= 1</p><p>1 ·</p><p>a</p><p>b</p><p>.</p><p>M4) Propriedade do elemento inverso da multiplicação:</p><p>a</p><p>b</p><p>· b</p><p>a</p><p>= 1 .</p><p>Notação:</p><p>(</p><p>a</p><p>b</p><p>)−1</p><p>= b</p><p>a</p><p>.</p><p>2.3. Subtração</p><p>Assim como em Z, subtrair é simplesmente somar o oposto.</p><p>Definição 4.3: Dados dois números racionais a</p><p>b e c</p><p>d define-se</p><p>a</p><p>b</p><p>− c</p><p>d</p><p>= ad− bc</p><p>bd</p><p>.</p><p>Exemplo 4.9:</p><p>4</p><p>9 −</p><p>5</p><p>6 = 4.6− 5.9</p><p>9.6 = −21</p><p>54 .</p><p>Pode-se simplificar e obter</p><p>−21</p><p>54 = −7</p><p>18 .</p><p>�</p><p>Números racionais 91</p><p>Exemplo 4.10: Uma quadra tem 201</p><p>2m de comprimento e 123</p><p>4m de largura. Quan-</p><p>tos metros a mais tem o comprimento em relação à largura? (31</p><p>4 )</p><p>201</p><p>2 − 123</p><p>4 =</p><p>(</p><p>20 + 1</p><p>2</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>12 + 3</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>20 + 1</p><p>2 − 12− 3</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>20− 12 + 1</p><p>2 −</p><p>3</p><p>4</p><p>)</p><p>= 8 + 2</p><p>4 −</p><p>3</p><p>4</p><p>= 8− 1</p><p>4</p><p>= 32</p><p>4 −</p><p>1</p><p>4</p><p>= 31</p><p>4 .</p><p>�</p><p>2.4. Divisão</p><p>Definição 4.4: Dados dois números racionais a</p><p>b e c</p><p>d define-se</p><p>a</p><p>b</p><p>÷ c</p><p>d</p><p>= a</p><p>b</p><p>· d</p><p>c</p><p>= ad</p><p>bc</p><p>.</p><p>Pode-se também denotar</p><p>a</p><p>b</p><p>÷ c</p><p>d</p><p>= a</p><p>b</p><p>: c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>.</p><p>Exemplo 4.11:</p><p>5</p><p>13 ÷</p><p>7</p><p>4 = 5</p><p>13 ·</p><p>4</p><p>7 = 5 · 4</p><p>13 · 7 = 20</p><p>91 .</p><p>�</p><p>Diz-se que dividir é multiplicar pelo inverso. A divisão no conjunto dos números</p><p>racionais não é associativa, não é comutativa e nem possui elemento neutro.</p><p>Definição 4.5: Um número racional a</p><p>b</p><p>é dito irredutível quando</p><p>mdc(a, b) = 1 .</p><p>Teorema 4.1: Todo número racional pode ser expresso na forma a</p><p>b</p><p>com</p><p>mdc(a, b) = 1 .</p><p>92 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Demonstração: Dada uma fração a</p><p>b tal que mdc(a, b) = d > 1, poder-se-á simpli-</p><p>ficar essa fração por d, e o mdc entre o numerador e o denominador resultantes será</p><p>1.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.12:</p><p>32</p><p>20 = 4 · 8</p><p>4 · 5 = 8</p><p>5 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.13: Uma jarra tem capacidade de dois terços de litro. Quando estiver</p><p>cheia com água até</p><p>a metade, quantos mililitros de água ela conterá?</p><p>A metade de dois terços é</p><p>1</p><p>2 ·</p><p>2</p><p>3 = 1</p><p>3 .</p><p>Logo há um terço de litro de água, ou seja, 333ml.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.14: Qual número multiplicado por dois quintos resulta em sete oitavos?</p><p>Procura-se o número x tal que</p><p>x · 2</p><p>5 = 7</p><p>8 .</p><p>Multiplicando os dois lados da igualdade por 5</p><p>2 obtém-se</p><p>x · 2</p><p>5</p><p>5</p><p>2 = 7</p><p>8 .</p><p>5</p><p>2 ⇒ x = 7</p><p>8 .</p><p>5</p><p>2 = 7 · 5</p><p>8 · 2 = 35</p><p>16 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.15: Um tanque contém 750 litros de água e está com seis décimos de</p><p>sua capacidade. Quantos litros cabem neste tanque quando o mesmo está cheio?</p><p>Basicamente tem-se que a capacidade total x satisfaz</p><p>6</p><p>10 · x = 750.</p><p>Multiplicando ambos os lados por 10</p><p>6 , concluímos que x = 1250l.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.16: Quantos metros por segundo correspondem a 200 quilômetros por</p><p>hora?</p><p>200 km</p><p>1 h = 200 · 1000 m</p><p>1 · 3600 s = 2000 m</p><p>36 s = 500 m</p><p>9 s = 500</p><p>9 m/s</p><p>Números racionais 93</p><p>Note que o que se fez foi multiplicar a velocidade inicial por 10 e depois dividi-la por</p><p>36. Assim, obtém-se a velocidade em metros por segundo.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.17: Quanto deve-se subtrair de 2</p><p>3 para se obter a terça parte de 3</p><p>5?</p><p>Queremos encontrar x tal que</p><p>2</p><p>3 − x = 1</p><p>3 ·</p><p>3</p><p>5 ,</p><p>ou seja:</p><p>x = 2</p><p>3 −</p><p>1</p><p>5 = 10</p><p>15 −</p><p>3</p><p>15 = 7</p><p>15 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.18: Uma peça de malha encolheu 2</p><p>15 de seu comprimento ficando com</p><p>39 metros. Qual seu tamanho original?</p><p>Seja C seu comprimento. Logo</p><p>C − 2</p><p>15C = 39 .</p><p>Disso concluímos que</p><p>15</p><p>15C −</p><p>2</p><p>15C = 39</p><p>13</p><p>15C = 39</p><p>C = 15</p><p>13 · 39</p><p>C = 45 .</p><p>Portanto o comprimento inicial da peça é 45m.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.19: A fortuna de João foi dividida da seguinte forma:</p><p>• Um quinto para seu irmão mais velho.</p><p>• Um sexto do restante para seu irmão mais novo.</p><p>• Partes iguais do restante para cada um de seus 12 filhos.</p><p>Que fração da fortuna recebeu cada filho?</p><p>Seja F a fortuna. Assim seu irmão mais velho recebeu 1</p><p>5F e restou 4</p><p>5F .</p><p>O irmão mais novo recebeu</p><p>1</p><p>6</p><p>(4</p><p>5F</p><p>)</p><p>= 2</p><p>15F .</p><p>94 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Portanto ainda restam</p><p>4</p><p>5F −</p><p>2</p><p>15F = 2</p><p>3F .</p><p>Assim cada filho recebeu</p><p>1</p><p>12</p><p>(2</p><p>3F</p><p>)</p><p>= 2</p><p>36 = 1</p><p>18F ,</p><p>ou seja, um dezoito avos da fortuna.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.20: Ache dois racionais de denominadores 5 e 7 com soma 26</p><p>35 .</p><p>Procura-se x, y ∈ Z tais que</p><p>x</p><p>5 + y</p><p>7 = 26</p><p>35 .</p><p>Somando o lado esquerdo, tem-se que resolver a equação</p><p>7x+ 5y</p><p>35 = 26</p><p>35 .</p><p>Duas frações com mesmo denominador são iguais quando os numeradores são iguais.</p><p>Logo, temos de resolver a equação diofantina</p><p>7x+ 5y = 26 .</p><p>Aplicando a Identidade de Bèzout (Capítulo 2, Seção 9) encontra-se x = −52 e</p><p>y = 78.</p><p>�</p><p>Exemplo 4.21: Determine a ∈ Z de modo que 10a</p><p>2a−1 seja um inteiro.</p><p>Com a = 1 obtém-se o número 10.</p><p>�</p><p>3. Relação de ordem</p><p>Note que um número racional a</p><p>b é positivo quando ab é positivo, ou seja, quando</p><p>0 < a e 0 < b ou quando a < 0 e b < 0.</p><p>Além disso a fração acima só é zero quando a = 0 ou seja, se ab = 0. E por último</p><p>a fração só será negativa se ab é negativa. Assim pode-se definir</p><p>Q+ =</p><p>{</p><p>a</p><p>b</p><p>: a ∈ Z, b ∈ Z∗, 0 ≤ ab</p><p>}</p><p>e</p><p>Q∗</p><p>+ =</p><p>{</p><p>a</p><p>b</p><p>: a, b ∈ Z, 0 < ab</p><p>}</p><p>.</p><p>Também note que</p><p>−a</p><p>b</p><p>= a</p><p>−b</p><p>e −a</p><p>−b</p><p>= a</p><p>b</p><p>,</p><p>Números racionais 95</p><p>portanto qualquer racional pode ser escrito com denominador positivo. Assim rede-</p><p>fina</p><p>Q =</p><p>{</p><p>a</p><p>b</p><p>: a, b ∈ Z, 0 < b</p><p>}</p><p>.</p><p>Com isso pode-se definir a relação de ordem no conjunto dos números racionais.</p><p>Definição 4.6: Dados racionais a</p><p>b ,</p><p>c</p><p>d tem-se:</p><p>i) a</p><p>b</p><p>≤ c</p><p>d</p><p>quando c</p><p>d</p><p>− a</p><p>b</p><p>∈ Q+.</p><p>ii) a</p><p>b</p><p><</p><p>c</p><p>d</p><p>quando c</p><p>d</p><p>− a</p><p>b</p><p>∈ Q∗</p><p>+.</p><p>Para entender melhor a definição acima, note que</p><p>a</p><p>b</p><p>≤ c</p><p>d</p><p>⇔ c</p><p>d</p><p>− a</p><p>b</p><p>∈ Q+</p><p>⇔ cb− ad</p><p>bd</p><p>∈ Q+</p><p>⇔ cb− ad ∈ Z+</p><p>⇔ ad ≤ cb .</p><p>Assim, se 0 < b e 0 < d tem-se</p><p>a</p><p>b</p><p>≤ c</p><p>d</p><p>⇔ ad ≤ cb .</p><p>Exemplo 4.22: Tem-se</p><p>3</p><p>4 ≤</p><p>5</p><p>6 ,</p><p>pois 3 · 6 ≤ 4 · 5.</p><p>�</p><p>Outra maneira de comparar frações é escrevê-las com o mesmo denominador e sim-</p><p>plesmente comparar os numeradores. Repetindo o exemplo acima, já que</p><p>3</p><p>4 = 18</p><p>24 ,</p><p>5</p><p>6 = 20</p><p>24 ,</p><p>conclui-se que a fração de baixo é maior.</p><p>Muitas propriedades são análogas ao caso dos números inteiros.</p><p>Proposição 4.1: A relação ≤ em Q possui as seguintes propriedades.</p><p>i) Reflexiva.</p><p>ii) Antissimétrica.</p><p>iii) Transitiva.</p><p>�</p><p>96 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Proposição 4.2: Sejam x, y, w, z ∈ Q. Então valem as seguintes afirmações.</p><p>i) x ≤ y ⇔ x+ w ≤ y + w.</p><p>ii) x ≤ y, 0 ≤ w ⇒ xw ≤ yw.</p><p>iii) x ≤ y, w ≤ 0⇒ yw ≤ xw.</p><p>iv) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x+ w ≤ y + z.</p><p>v) x ≤ y ⇔ −y ≤ −x.</p><p>Demonstração: É análogo às demonstrações da Proposição 2.14. O item iv) segue</p><p>do item i). O item v) segue do item iii).</p><p>�</p><p>A proposição acima continua verdadeira ao se trocar ≤ por < em todas sentenças.</p><p>Abaixo seguem mais algumas proposições importantes.</p><p>Proposição 4.3: Para qualquer número racional w tem-se que 0 < w implica 0 < 1</p><p>w .</p><p>Demonstração: Já que 0 < w = w · 1 segue que 0 < 1</p><p>w .</p><p>�</p><p>Proposição 4.4: Para qualquer número racional w tem-se que w < 0 implica 1</p><p>w < 0.</p><p>Demonstração: Já que w · 1 = w < 0 segue que 1</p><p>w < 0.</p><p>�</p><p>Proposição 4.5: Se um número racional w satisfaz 0 < w < 1 então vale 1 < 1</p><p>w .</p><p>Demonstração: Tem-se 1</p><p>w − 1 = 1−w</p><p>w que é positivo, já que tanto o numerador</p><p>quanto o denominador são positivos. Logo 1 < 1</p><p>w .</p><p>�</p><p>Proposição 4.6: Se um número racional w satisfaz 1 < w então vale 0 < 1</p><p>w < 1.</p><p>Demonstração: Pela Proposição 4.3 temos 0 < 1</p><p>w . Ainda, temos 1 − 1</p><p>w = w−1</p><p>w</p><p>que é positivo, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos. Logo</p><p>1</p><p>w < 1.</p><p>�</p><p>Proposição 4.7: Se dois racionais v, w satisfazem 0 < v < w então</p><p>0 < w−1 < v−1 .</p><p>Números racionais 97</p><p>Demonstração: Pela Proposição 4.3 segue que ambos w−1 e v−1 são positivos.</p><p>Então pelo item ii) da Proposição 4.2:</p><p>v < w ⇒ v · 1</p><p>vw</p><p>< w · 1</p><p>vw</p><p>⇒ 1</p><p>w</p><p><</p><p>1</p><p>v</p><p>.</p><p>�</p><p>Proposição 4.8: Se dois racionais v, w satisfazem v < w < 0 então</p><p>w−1 < v−1 < 0 .</p><p>Demonstração: É análoga à Proposição 4.7 acima.</p><p>�</p><p>4. Representação decimal</p><p>Como escrever uma fração na forma decimal? Tome como exemplo a fração 7</p><p>25 .</p><p>Este método vem do algoritmo da divisão de Euclides. A conta acima está reescrita</p><p>abaixo em sua forma original.</p><p>7 = 25 · 0 + 7→ resto 7 ← multiplique por 10</p><p>70 = 25 · 2 + 20→ resto 20 ← multiplique por 10</p><p>200 = 25 · 8 + 0→ resto 0 ← começam as substituições</p><p>20 · 10 = 25 · 8⇒ 20 = 25 · 8</p><p>10</p><p>⇒ 7 · 10 = 25 · 2 + 25 · 8</p><p>10</p><p>⇒ 7 = 25 · 2</p><p>10 + 25 · 8</p><p>102</p><p>⇒ 7</p><p>25 = 2</p><p>10 + 8</p><p>102 = 0, 28 .</p><p>No caso dos racionais negativos, basta aplicar o processo para seu módulo e tomar</p><p>o oposto da representação decimal obtida.</p><p>Exemplo 4.23: Já que</p><p>98 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>segue que</p><p>19</p><p>25 = 0, 76 .</p><p>Também vale que</p><p>−19</p><p>25 = −0, 76 .</p><p>�</p><p>Aplicando o mesmo processo para 2</p><p>3 obtém-se</p><p>e a conta continua repetida e indefinidamente. Nestes casos diz-se que a represen-</p><p>tação decimal é uma dízima periódica com período 6.</p><p>Notação:</p><p>2</p><p>3 = 0, 6 .</p><p>Para escrever um número decimal como uma fração o processo é simples.</p><p>Números racionais 99</p><p>Exemplo 4.24:</p><p>4, 735 = 4 + 0, 3 + 0, 07 + 0, 005</p><p>= 4 + 3</p><p>10 + 7</p><p>100 + 5</p><p>1000</p><p>= 4000 + 300 + 70 + 5</p><p>1000</p><p>= 4375</p><p>1000 = 35</p><p>8 .</p><p>�</p><p>No caso das dízimas periódicas, utiliza-se progressões geométricas (Capítulo 5, Seção</p><p>5).</p><p>Exemplo 4.25:</p><p>0, 5 = 0, 555 . . .</p><p>= 0 + 0, 5 + 0, 05 + 0, 005 + . . .</p><p>= 5</p><p>10 + 5</p><p>100 + 5</p><p>1000 + . . . .</p><p>Assim a dízima acima é a soma dos termos da PG que possui 5</p><p>10 como primeiro</p><p>termo e 1</p><p>10 como razão. Logo sua soma é</p><p>0, 5 = 5</p><p>10 + 5</p><p>100 + 5</p><p>1000 + . . .</p><p>=</p><p>5</p><p>10</p><p>1− 1</p><p>10</p><p>=</p><p>5</p><p>10</p><p>9</p><p>10</p><p>= 5</p><p>10 ·</p><p>10</p><p>9</p><p>= 5</p><p>9 .</p><p>�</p><p>100 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 4.26:</p><p>1, 2 = 1 + 2</p><p>10 + 2</p><p>100 + 2</p><p>1000 + . . .</p><p>= 1 +</p><p>2</p><p>10</p><p>1− 1</p><p>10</p><p>= 1 +</p><p>2</p><p>10</p><p>9</p><p>10</p><p>= 1 + 2</p><p>10 ·</p><p>10</p><p>9</p><p>= 1 + 2</p><p>9</p><p>= 11</p><p>9 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.27:</p><p>1, 27 = 1 + 0, 2 + 7</p><p>100 + 7</p><p>1000 + . . .</p><p>= 1 + 2</p><p>10 +</p><p>7</p><p>100</p><p>1− 1</p><p>10</p><p>= 10 + 2</p><p>10 +</p><p>7</p><p>100</p><p>9</p><p>10</p><p>= 12</p><p>10 + 7</p><p>100 ·</p><p>10</p><p>9</p><p>= 12</p><p>10 + 7</p><p>90</p><p>= 23</p><p>18 .</p><p>�</p><p>Números racionais 101</p><p>Exemplo 4.28:</p><p>0, 12 = 1</p><p>10 + 2</p><p>100 + 1</p><p>1000 + 2</p><p>10000 + 1</p><p>100000 + 2</p><p>1000000 + . . .</p><p>= 12</p><p>100 + 12</p><p>10000 + 12</p><p>1000000</p><p>=</p><p>12</p><p>100</p><p>1− 1</p><p>100</p><p>=</p><p>12</p><p>100</p><p>99</p><p>100</p><p>= 12</p><p>100 ·</p><p>100</p><p>99</p><p>= 12</p><p>99 = 4</p><p>33 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.29:</p><p>0, 9 = 1 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.30:</p><p>2, 9 = 3 .</p><p>�</p><p>Exemplo 4.31:</p><p>7, 379 = 7, 38 .</p><p>�</p><p>Isso indica que todo</p><p>racional pode ser escrito como dízima periódica. Além disso</p><p>pode-se descobrir se uma fração representa uma dízima olhando para o denominador.</p><p>Teorema 4.2: Uma fração irredutível admite representação decimal finita quando</p><p>o denominador possui somente os fatores 2 e 5 na sua fatoração prima.</p><p>�</p><p>A representação será infinita periódica quando o denominador possuir pelo menos</p><p>um fator diferente de 2 e de 5.</p><p>102 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>4.1. Operações</p><p>Há duas formas principais de operar números em sua forma decimal. A primeira</p><p>delas é transformar os respectivos números em frações e operá-los como vimos na</p><p>Seção 2.</p><p>Exemplo 4.32: Vamos calcular 0, 31 + 0, 0124 transformando-as em frações:</p><p>0, 31 + 0, 0124 = 31</p><p>100 + 124</p><p>10000</p><p>= 3100</p><p>10000 + 124</p><p>10000</p><p>= 3100 + 124</p><p>10000</p><p>= 3224</p><p>10000</p><p>= 403</p><p>1250</p><p>= 0, 3224 .</p><p>A segunda forma de operar números representados na forma decimal é na forma</p><p>compacta muito parecida com a que usamos para somar, multiplicar ou subtrair</p><p>números inteiros.</p><p>Para somar, fazemos ambos números terem o mesmo número de casas decimais do</p><p>lado direito da vírgula (adicionando alguns números 0 se necessário), alinhamos as</p><p>vírgulas de ambos os números e realizamos a operação.</p><p>Exemplo 4.33: Vamos calcular 0, 31 + 0, 0124, ou seja, 0, 3100 + 0, 0124:</p><p>0, 3100</p><p>+ 0, 0124</p><p>0, 3224</p><p>Exemplo 4.34: Calcule 24, 521 + 3, 1, ou seja, 24, 521 + 3, 100:</p><p>24, 521</p><p>+ 3, 100</p><p>27, 521</p><p>Para multiplicar, não é necessário que ambos números tenham o mesmo número</p><p>de algarismos no lado direito da vírgula. Faz-se a multiplicação sem considerar as</p><p>vírgulas e o número de casas decimais do resultado será a soma do número de casas</p><p>decimais de cada um dos números multiplicados.</p><p>Exemplo 4.35: Vamos calcular 9, 32 · 2, 4. Note que o nosso resultado terá 3 casas</p><p>após a vírgula:</p><p>Números racionais 103</p><p>9, 32</p><p>× 2, 4</p><p>3728</p><p>+ 1864</p><p>24, 368</p><p>�</p><p>O princípio envolvido é que, a conta acima, pode ser aberta da seguinte forma:</p><p>9, 32 · 2, 4 = 932</p><p>100 ·</p><p>24</p><p>10 = 932 · 24</p><p>1000 .</p><p>Ou seja, 9, 32 é um número inteiro dividido por 100 e por isso há 2 casas decimais na</p><p>sua representação. O número 2, 4 é um inteiro dividido por 10, tendo assim 1 casa</p><p>decimal em sua representação. Na multiplicação, teremos o produto de números</p><p>inteiros dividido por 1000, que resultará em 3 casas após a vírgula.</p><p>Exemplo 4.36: Vamos calcular 0, 1 · 3, 442:</p><p>0, 1</p><p>× 3, 442</p><p>02</p><p>04</p><p>04</p><p>+ 03</p><p>0, 3442</p><p>�</p><p>A subtração é feita do mesmo modo que a soma.</p><p>Exemplo 4.37: Vamos calcular 0, 233− 0, 03, ou seja, 0, 233− 0, 030:</p><p>0, 233</p><p>− 0, 030</p><p>0, 203</p><p>�</p><p>Exemplo 4.38: Calcule 24, 521− 3, 1, ou seja, 24, 521− 3, 100:</p><p>24, 521</p><p>− 3, 100</p><p>21, 421</p><p>�</p><p>104 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 4.39: Calcule 3, 713− 0, 247:</p><p>�</p><p>Observação 4.1: Para operar dízimas periódicas infinitas, basta transformá-las em</p><p>frações.</p><p>5. Exercícios</p><p>Exercício 4.1: Resolva:</p><p>a) 1</p><p>2 + 3</p><p>4 + 5</p><p>6 + 7</p><p>8</p><p>b) 23</p><p>22 − 13 + 44</p><p>−3</p><p>c) 23</p><p>19</p><p>( 5</p><p>23 − 22 + 91</p><p>2</p><p>)</p><p>d)</p><p>(</p><p>38− 45</p><p>2</p><p>) 36</p><p>21 − 34</p><p>(</p><p>94 + 3</p><p>12</p><p>)</p><p>e) 9324</p><p>(−32</p><p>−9</p><p>)</p><p>+ 3</p><p>6</p><p>(</p><p>−43− 3</p><p>8</p><p>)</p><p>f) −31</p><p>20 −</p><p>−31</p><p>−20</p><p>g) 4 + 2</p><p>3 −</p><p>−4</p><p>3</p><p>h) 5</p><p>(2</p><p>5 −</p><p>−7</p><p>25</p><p>)</p><p>i) 1</p><p>−2</p><p>−3</p><p>−4 − 1.</p><p>Números racionais 105</p><p>Exercício 4.2: Que fração da hora é o minuto? Quantos minutos há em 3</p><p>5 de hora?</p><p>Exercício 4.3: Existe fração equivalente a 1</p><p>3 com denominador 10?</p><p>Exercício 4.4: Quanto se deve subtrair de cada uma das frações 5</p><p>3 ,</p><p>18</p><p>13 ,</p><p>7</p><p>4 ,</p><p>8</p><p>5 respec-</p><p>tivamente, para se obter um inteiro?</p><p>Exercício 4.5: Numa sala há 20 alunos. Hoje estão presentes três quartos deles e,</p><p>dentre estes, dois quintos irão ao zoológico. Quantos estão presentes? Quantos irão</p><p>ao zoológico?</p><p>Exercício 4.6: Em qual situação 1 laranja é mais barata: 6 laranjas por 0, 34 reais</p><p>ou 8 laranjas por 0, 41 reais?</p><p>Exercício 4.7: Qual número multiplicado por 1</p><p>3 resulta em 3</p><p>5 ?</p><p>Exercício 4.8: Ache um número racional igual a 1001</p><p>715 cuja soma do numerador</p><p>com o denominador seja 48.</p><p>Exercício 4.9: Ache dois números racionais de denominadores 3 e 11, cuja dife-</p><p>rença é igual a 6</p><p>33 .</p><p>Exercício 4.10: Quais itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos?</p><p>106 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>a) 32</p><p>43 ≤</p><p>21</p><p>31</p><p>c) 2</p><p>31 ≤</p><p>3</p><p>21</p><p>e) 19</p><p>−32 ≤</p><p>−23</p><p>42</p><p>g) 324</p><p>12 <</p><p>1341</p><p>41</p><p>i) 6347</p><p>8743 ≤</p><p>43</p><p>56</p><p>k) −2</p><p>3 = 2</p><p>−3</p><p>b) −32</p><p>−4 ≤</p><p>93</p><p>12</p><p>d) 2</p><p>−123 < − 12</p><p>2387</p><p>f) 4</p><p>132 <</p><p>3</p><p>99</p><p>h) −21</p><p>31 ≤</p><p>99</p><p>136</p><p>j) −9</p><p>2 ≤</p><p>−45</p><p>13</p><p>l) −4</p><p>−333 = 1</p><p>76 .</p><p>Exercício 4.11: Escreva como uma fração simplificada:</p><p>a) 0, 132</p><p>c) 2, 192</p><p>e) 3, 5</p><p>g) 21, 412</p><p>i) 0, 9</p><p>k) 3, 234</p><p>b) −2, 93</p><p>d) −3, 003</p><p>f) 2, 93</p><p>h) 9, 211</p><p>j) 2, 39</p><p>l) 7, 4.</p><p>Exercício 4.12: Escreva na forma decimal:</p><p>Números racionais 107</p><p>a) 32</p><p>43</p><p>c) 3</p><p>31</p><p>e) 19</p><p>5</p><p>g) 323</p><p>20</p><p>i) 63</p><p>15</p><p>k) −2</p><p>5</p><p>b) −32</p><p>−9</p><p>d) 2</p><p>7</p><p>f) 4</p><p>19</p><p>h) −21</p><p>6</p><p>j) −9</p><p>13</p><p>l) −41</p><p>5 .</p><p>Exercício 4.13: Resolva:</p><p>a) 2, 4 + 3, 12 + 1, 11− 7, 99</p><p>b) 0, 002− 3, 034 + 5, 4</p><p>c) 3, 1− 1, 3 + 5, 55</p><p>d) 12, 44− 42, 3</p><p>e) 0, 1 + 1, 2 + 2, 3</p><p>f) 3, 1234− 2, 833</p><p>g) 4, 33− 8, 44(3, 21− 6, 9)− 32, 11</p><p>h) 9, 9 · 1, 1</p><p>i) 1, 2 · 3, 02 + 1, 9</p><p>j) 8, 44(1, 31 + 3, 9)</p><p>k) 9, 12 · 4, 22 · 0, 01</p><p>l) 0, 34 · 3, 45− 2, 1.</p><p>CAPíTULO 5</p><p>Números reais</p><p>1. Existência de números que não são racionais</p><p>Existem números que não podem ser escritos como frações, e de fato é fácil encontrá-</p><p>los: ao construir um quadrado de lado medindo 1, a diagonal não é racional!</p><p>Teorema 5.1: Não existe número racional cujo quadrado é 2.</p><p>Demonstração: Suponha por absurdo que seja possível. Ou seja, existe a</p><p>b</p><p>irredu-</p><p>tível (mdc(a, b) = 1) tal que (</p><p>a</p><p>b</p><p>)2</p><p>= 2 .</p><p>Assim a2 = 2b2 e portanto 2|a2. Como 2 é primo segue pela Proposição 3.16 que</p><p>2|a. Então a é par e pode-se escrever a = 2c com c ∈ Z. Substituindo na igualdade</p><p>acima obtém-se</p><p>4c2 = 2b2 ⇒ 2c2 = b2 ,</p><p>daí 2|b2 e pelo mesmo argumento acima tem-se que b é par. Portanto a fração a</p><p>b não</p><p>é irredutível e segue um absurdo.</p><p>Logo não há fração cujo quadrado seja igual a 2, ou seja,</p><p>√</p><p>2 não é racional.</p><p>�</p><p>Tais números são ditos Irracionais. Outros números além do</p><p>√</p><p>2 são irracionais: π,</p><p>e, √p com p primo etc.</p><p>2. Potenciação</p><p>Considere um número real r e um número natural a.</p><p>Definição 5.1: Definimos o número real ra como sendo o número</p><p>ra = r · r · · · r︸ ︷︷ ︸</p><p>a vezes</p><p>.</p><p>Exemplo 5.1: Temos</p><p>32 = 3 · 3 = 9 .</p><p>109</p><p>110 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>�</p><p>Exemplo 5.2: Note que(5</p><p>2</p><p>)3</p><p>= 5</p><p>2 ·</p><p>5</p><p>2 ·</p><p>5</p><p>2 = 5 · 5 · 5</p><p>2 · 2 · 2 = 125</p><p>8 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.3: Segue que</p><p>(−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32 .</p><p>�</p><p>Podemos também definir potências negativas. Considere um número real r e um</p><p>número natural a.</p><p>Definição 5.2: Definimos o número real r−a como sendo o número</p><p>r−a = 1</p><p>ra</p><p>.</p><p>Exemplo 5.4: Então</p><p>3−2 = 1</p><p>32 = 1</p><p>3 · 3 = 1</p><p>9 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.5: Segue que(5</p><p>2</p><p>)−3</p><p>= 1(5</p><p>2</p><p>)3 = 1</p><p>5</p><p>2 ·</p><p>5</p><p>2 ·</p><p>5</p><p>2</p><p>= 1</p><p>125</p><p>8</p><p>= 8</p><p>125 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.6: Vale que (</p><p>−3</p><p>8</p><p>)−2</p><p>= 1(</p><p>−3</p><p>8</p><p>)2 = 1</p><p>9</p><p>64</p><p>= 64</p><p>9 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.7: Expresse em uma fração irredutível</p><p>10−1 + 15−2 + 6 · 7−1 + (4 · 8)−1 .</p><p>Números reais 111</p><p>Tem-se</p><p>10−1 + 15−2 + 6 · 7−1 + (4 · 8)−1 = 1</p><p>10 + 1</p><p>152 + 6</p><p>7 + 1</p><p>32</p><p>= 225 + 10</p><p>225 · 10 + 6 · 32 + 7</p><p>7 · 32</p><p>= 135</p><p>2250 + 199</p><p>224</p><p>= 135 · 224 + 199 · 2250</p><p>2250 · 224</p><p>= 477990</p><p>504000</p><p>= 5311</p><p>5600 .</p><p>(8)</p><p>�</p><p>Vejamos algumas propriedades que envolvem a potenciação.</p><p>Proposição 5.1: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ N. Então:</p><p>1) ra · rb = ra+b.</p><p>2) ra · sa = (rs)a.</p><p>3) r0 = 1.</p><p>Demonstração: 1) Segue da definição de potência:</p><p>ra · rb = r · r · · · r︸ ︷︷ ︸</p><p>a vezes</p><p>· r · r · · · r︸ ︷︷ ︸</p><p>b vezes</p><p>= r · r · · · r︸ ︷︷ ︸</p><p>a+b vezes</p><p>= ra+b .</p><p>2) Será verdade pois a multiplicação de números reais é comutativa:</p><p>ra · sa = r · r · · · r︸ ︷︷ ︸</p><p>a vezes</p><p>· s · s · · · s︸ ︷︷ ︸</p><p>a vezes</p><p>= rs · rs · · · rs︸ ︷︷ ︸</p><p>a vezes</p><p>= (rs)a .</p><p>3) Segue:</p><p>r0 = r1−1 = r1 · r−1 = r · 1</p><p>r</p><p>= r</p><p>r</p><p>= 1 .</p><p>�</p><p>É imediato concluir que a propriedade acima vale também para potências negativas.</p><p>Corolário 5.1: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ Z. Então:</p><p>1) ra · rb = ra+b.</p><p>2) ra · sa = (rs)a.</p><p>112 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>�</p><p>3. Radiciação</p><p>Considere um número real r e um número natural b.</p><p>Definição 5.3: Definimos o número real r</p><p>1</p><p>b como sendo o número</p><p>b</p><p>√</p><p>r ,</p><p>que satisfaz</p><p>(</p><p>b</p><p>√</p><p>r</p><p>)b = r .</p><p>Quando b = 2 escreve-se apenas</p><p>√</p><p>r. Acredita-se que o símbolo originou-se do r da</p><p>palavra radix, que em latim é o nome dessa operação.</p><p>Uma consequência direta da definição é que, no conjunto dos números reais, é im-</p><p>possível calcular raízes de ordem par de números negativos. Tais raízes resultam em</p><p>números do conjunto dos números complexos C.</p><p>Exemplo 5.8: Note que 32 = 9. Portanto</p><p>√</p><p>9 = 3.</p><p>�</p><p>Exemplo 5.9: Já que (5</p><p>2</p><p>)3</p><p>= 125</p><p>8 ,</p><p>segue que</p><p>3</p><p>√</p><p>125</p><p>8 = 5</p><p>2 .</p><p>�</p><p>Com as definições acima, podemos definir expoentes fracionários. Considere um</p><p>número real r e um número racional a</p><p>b</p><p>.</p><p>Definição 5.4: Definimos o número real r</p><p>a</p><p>b como sendo o número</p><p>b</p><p>√</p><p>ra</p><p>ou (</p><p>b</p><p>√</p><p>r</p><p>)a</p><p>.</p><p>Exemplo 5.10: Vamos calcular</p><p>(1</p><p>8</p><p>) 2</p><p>3</p><p>. Note que</p><p>(1</p><p>8</p><p>) 2</p><p>3</p><p>= 3</p><p>√(1</p><p>8</p><p>)2</p><p>= 3</p><p>√( 1</p><p>64</p><p>)</p><p>= 1</p><p>4 .</p><p>Números reais 113</p><p>A radiciação satisfaz algumas importantes propriedades que veremos abaixo.</p><p>Proposição 5.2: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ Z. Então:</p><p>1) a</p><p>√</p><p>r · b</p><p>√</p><p>r = ( ab</p><p>√</p><p>r)a+b.</p><p>2) a</p><p>√</p><p>r · a</p><p>√</p><p>s = a</p><p>√</p><p>rs.</p><p>Demonstração: 1) Note que:(</p><p>a</p><p>√</p><p>r · b</p><p>√</p><p>r</p><p>)ab =</p><p>(</p><p>r</p><p>1</p><p>a · r</p><p>1</p><p>b</p><p>)ab</p><p>= r</p><p>ab</p><p>a · r</p><p>ab</p><p>b = rb · ra = ra+b .</p><p>Ou seja:</p><p>a</p><p>√</p><p>r · b</p><p>√</p><p>r =</p><p>(</p><p>ab</p><p>√</p><p>ra+b</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>ab</p><p>√</p><p>r</p><p>)a+b</p><p>.</p><p>2) Note que:</p><p>a</p><p>√</p><p>r · a</p><p>√</p><p>s = r</p><p>1</p><p>a · s</p><p>1</p><p>a .</p><p>Também, já que r</p><p>1</p><p>a · s</p><p>1</p><p>a elevado a potência a resulta em rs, segue que</p><p>r</p><p>1</p><p>a · s</p><p>1</p><p>a = a</p><p>√</p><p>rs .</p><p>�</p><p>4. Progressões aritméticas</p><p>Definição 5.5: Uma PA (Progressão aritmética) é uma sequência de números cuja</p><p>diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Essa diferença é dita</p><p>razão da PA.</p><p>É comum denotar uma PA por a1, a2, a3 . . . , an . . ..</p><p>Exemplo 5.11: A sequência dos números naturais ímpares</p><p>1, 3, 5, 7 . . . , 2n− 1 . . .</p><p>é uma PA com razão 2.</p><p>�</p><p>Exemplo 5.12: A sequência definida por an = n</p><p>2 , para n = 1, 2, 3 . . ., pode ser vista</p><p>como</p><p>1</p><p>2 ,</p><p>2</p><p>2 ,</p><p>3</p><p>2 . . . ,</p><p>n</p><p>2 . . . ,</p><p>uma PA com razão 1</p><p>2 .</p><p>�</p><p>114 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Proposição 5.3: A soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo</p><p>a1 e n-ésimo termo an é</p><p>(a1 + an)n</p><p>2 .</p><p>Demonstração: Seja então uma PA com termos a1, a2 . . . , an . . . e razão r e denote</p><p>S a soma dos n primeiros termos. Então:</p><p>S = a1 + a2 + . . .+ an−1 + an ,</p><p>S = an + an−1 + . . .+ a2 + a1 .</p><p>Somando as equações acima obtemos</p><p>2S = (a1 + an) + (a2 + an−1) + . . .+ (an + a1)</p><p>= (a1 + an) + (a1 + n+ an − n) + . . .+ (an + a1)</p><p>= (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (an + a1)</p><p>= (a1 + an)n .</p><p>Portanto</p><p>S = (a1 + an)n</p><p>2 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.13: Considere a progressão aritmética</p><p>1, 2, 3 . . . , n . . . ,</p><p>cuja razão é 1. Assim a soma dos n primeiros termos é:</p><p>1 + 2 + . . .+ n = (a1 + an)n</p><p>2</p><p>= (1 + n)n</p><p>2</p><p>= n(n+ 1)</p><p>2 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.14: Seja a progressão aritmética</p><p>1</p><p>8 ,</p><p>2</p><p>8 ,</p><p>3</p><p>8 . . . ,</p><p>n</p><p>8 . . . ,</p><p>Números reais 115</p><p>cuja razão é 1</p><p>8 . Assim a soma dos 15 primeiros termos é:</p><p>(a1 + an)n</p><p>2 =</p><p>(1</p><p>8 + 15</p><p>8</p><p>)</p><p>15</p><p>2</p><p>=</p><p>(16</p><p>8</p><p>)</p><p>15</p><p>2</p><p>= 2 · 15</p><p>2</p><p>= 15 .</p><p>�</p><p>5. Progressões geométricas</p><p>Definição 5.6: Uma PG (Progressão geométrica) é uma sequência de números cuja</p><p>divisão entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Essa divisão é dita</p><p>razão da PG.</p><p>É comum denotar uma PG por a1, a2, a3 . . . , an . . ..</p><p>Exemplo 5.15: A sequência</p><p>3, 9, 27, 81 . . . , 3n . . .</p><p>é uma PG com razão 3.</p><p>�</p><p>Exemplo 5.16: A sequência definida por an = (−2)n, para n = 1, 2, 3 . . ., pode ser</p><p>vista como</p><p>−2, 4,−8 . . . , (−2)n . . .</p><p>uma PG com razão −2.</p><p>�</p><p>Proposição 5.4: A soma dos n primeiros termos de uma PG com razão q e primeiro</p><p>termo a1 é</p><p>(1− qn)a1</p><p>1− q .</p><p>Demonstração: Seja então uma PG com termos a1, a2 . . . , an . . . e razão q e denote</p><p>S a soma dos n primeiros termos. Então:</p><p>S = a1 + a2 + . . .+ an−1 + an ,</p><p>qS = q(a1 + a2 + . . .+ an−1 + an) = a2 + a3 + . . .+ an + an+1 .</p><p>116 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Fazendo a primeira equação menos a segunda:</p><p>(1− q)S = a1 − an+1 = a1 − a1q</p><p>n = a1(1− qn) .</p><p>Logo</p><p>S = (1− qn)a1</p><p>1− q .</p><p>�</p><p>Foge do escopo deste livro, porém não é difícil concluir o seguinte corolário, baseado</p><p>na proposição anterior.</p><p>Corolário 5.2: Se a razão q de uma PG satisfaz −1 < q < 1, então a soma de</p><p>todos os termos dessa PG é</p><p>a1</p><p>1− q .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.17: Considere a progressão geométrica</p><p>1</p><p>2 ,</p><p>1</p><p>4 ,</p><p>1</p><p>8 . . . ,</p><p>1</p><p>2n . . . ,</p><p>que pode ser vista como</p><p>1</p><p>21 ,</p><p>1</p><p>22 ,</p><p>1</p><p>23 . . . ,</p><p>1</p><p>2n . . . ,</p><p>cuja razão é 1</p><p>2 . Vamos somar os primeiros 10 termos:</p><p>(1− q10)a1</p><p>1− q =</p><p>(</p><p>1−</p><p>(1</p><p>2</p><p>)10</p><p>)</p><p>1</p><p>2</p><p>1− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>(</p><p>210</p><p>210 −</p><p>1</p><p>210</p><p>)</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= 210 − 1</p><p>210</p><p>= 1− 1</p><p>210 .</p><p>A soma de todos os termos, já que a razão está entre −1 e 1, é:</p><p>a1</p><p>1− q =</p><p>1</p><p>2</p><p>1− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= 1 .</p><p>Números reais 117</p><p>�</p><p>Exemplo 5.18: Vamos escrever o número decimal 0, 231 como uma fração. Note</p><p>que</p><p>0, 231 = 0, 23 + 0, 001</p><p>= 23</p><p>100 + 0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . . .</p><p>A soma</p><p>0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . .</p><p>é a soma dos termos de uma PG com primeiro termo 0, 001 e razão 1</p><p>10 . Ou seja:</p><p>0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . . = a1</p><p>1− q</p><p>= 0, 001</p><p>1− 1</p><p>10</p><p>=</p><p>1</p><p>1000</p><p>9</p><p>10</p><p>= 1</p><p>1000 ·</p><p>10</p><p>9</p><p>= 1</p><p>900 .</p><p>Portanto</p><p>0, 231 = 0, 23 + 0, 001</p><p>= 23</p><p>100 + 1</p><p>900</p><p>= 207 + 1</p><p>900</p><p>= 208</p><p>900</p><p>= 52</p><p>225 .</p><p>�</p><p>6. Equações polinomiais</p><p>Definição 5.7: Uma equação polinomial de uma variável é uma igualdade de ex-</p><p>pressões que envolvem números, operações e variáveis, sendo que essas últimas só</p><p>podem estar elevadas a números naturais.</p><p>118 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Aqui estaremos interessados em equações polinomiais que possuem apenas uma va-</p><p>riável, por exemplo:</p><p>x2 − 3x+ 1 = 0 ,</p><p>y3 − y2 = 3y − 1 ,</p><p>z2 = 1 .</p><p>O grau de uma equação é o maior expoente da variável envolvida. O que queremos</p><p>é saber quais valores para a variável tornam tais equações verdadeiras. Tais valores</p><p>são chamados raízes da equação e para encontrá-las temos de isolar, quando possível,</p><p>a variável.</p><p>O princípio envolvido é: ao termos uma equação, podemos realizar a mesma ope-</p><p>ração de soma, subtração, multiplicação ou divisão em ambos lados da equação e a</p><p>igualdade se mantém.</p><p>Exemplo 5.19: Vamos resolver a equação 5x− 21 = −2x:</p><p>5x− 21 = −2x</p><p>5x+ 2x− 21 + 21 = −2x+ 2x+ 21</p><p>7x = 21</p><p>x = 3 .</p><p>�</p><p>Todas as equações de grau 1 se resolvem como acima.</p><p>Exemplo 5.20: Vamos encontrar as raízes da equação −2x− 12 = 3x+ 31.</p><p>−2x− 12 = 3x+ 31</p><p>−2x− 12 + 2x = 3x+ 31 + 2x</p><p>−12 = 31 + 5x</p><p>5x = −43</p><p>x = −43</p><p>5 .</p><p>�</p><p>Para resolver equações de grau 2, utilizamos o método chamado de “completar qua-</p><p>drados”, ilustrado abaixo.</p><p>Números reais 119</p><p>Exemplo 5.21: Vamos resolver a equação −2x = −x2 + 3.</p><p>−2x = −x2 + 3</p><p>x2 − 2x− 3 = 0</p><p>(x− 1)2 − 4 = 0</p><p>(x− 1)2 = 4</p><p>x− 1 = ±</p><p>√</p><p>4</p><p>x = ±2 + 1</p><p>x = 3 ou x = −1 .</p><p>�</p><p>O método consiste em escrever as equações de grau 2 no formato</p><p>(x+ a)2 = b .</p><p>Exemplo 5.22: Encontre as raízes de x2 = x+ 6.</p><p>x2 = x+ 6</p><p>x2 − x = 6(</p><p>x− 1</p><p>2</p><p>)2</p><p>− 1</p><p>4 = 6(</p><p>x− 1</p><p>2</p><p>)2</p><p>= 6 + 1</p><p>4(</p><p>x− 1</p><p>2</p><p>)2</p><p>= 25</p><p>4</p><p>x− 1</p><p>2 = ±</p><p>√</p><p>25</p><p>4</p><p>x− 1</p><p>2 = ±5</p><p>2</p><p>x = ±5</p><p>2 + 1</p><p>2</p><p>x = 3 ou x = −2 .</p><p>�</p><p>Para as equações de grau maior que 2, devemos encontrar raízes separadamente.</p><p>Cada vez que encontrarmos uma raiz, conseguiremos diminuir o grau do polinômio</p><p>envolvido. Repetindo esse processo quantas vezes forem necessárias, chegaremos a</p><p>polinômios de grau 2, que já sabemos resolver.</p><p>Exemplo 5.23: Encontre os valores de x para os quais x3 = 2x.</p><p>120 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Há uma resposta óbvia: x = 0. Portanto, o que fazemos é colocar x−0 em evidência</p><p>na igualdade acima.</p><p>x3 = 2x</p><p>x3 − 2x = 0</p><p>(x− 0)(x2 − 2) = 0 .</p><p>Assim, as raízes do polinômio x3 = 2x são as raízes já calculadas (x = 0), junta-</p><p>mente com as raízes de x2 − 2. Vamos encontrá-las:</p><p>x2 − 2 = 0</p><p>x2 = 2</p><p>x = ±</p><p>√</p><p>2 .</p><p>Logo as raízes são x = 0, x =</p><p>√</p><p>2 e x = −</p><p>√</p><p>2.</p><p>�</p><p>Exemplo 5.24: Encontre as raízes do polinômio x4 − x3 − 7x2 + x+ 6.</p><p>Note que x = 0 não é uma raiz. Vamos checar se x = 1 é raiz:</p><p>(1)4 − (1)3 − 7(1)2 + (1) + 6 = 1− 1− 7 + 1 + 6</p><p>= 0 .</p><p>Logo podemos colocar x− 1 em evidência no polinômio acima, obtendo:</p><p>x4 − x3 − 7x2 + x+ 6 = 0</p><p>(x− 1)(x3 − 7x− 6) = 0 .</p><p>Agora precisamos calcular as raízes do polinômio x3 − 7x − 6. Novamente há uma</p><p>raiz óbvia: x = −1. Portanto podemos colocar x− (−1) = x+ 1</p><p>em evidência:</p><p>x3 − 7x− 6 = 0</p><p>(x+ 1)(x2 − x− 6) = 0 .</p><p>Pelo Exemplo 5.22 sabemos que as raízes de x2 − x− 6 são x = 3 e x = −2. Logo,</p><p>as raízes de x4 − x3 − 7x2 + x+ 6 são</p><p>x = 1 ,</p><p>x = −1 ,</p><p>x = 3 ,</p><p>x = −2 .</p><p>�</p><p>Números reais 121</p><p>7. Inequações polinomiais</p><p>Definição 5.8: Uma inequação polinomial de uma variável é uma desigualdade de</p><p>expressões que envolvem números, operações e variáveis, sendo que essas últimas só</p><p>podem estar elevadas a números naturais.</p><p>Aqui estaremos interessados em inequações polinomiais que possuem apenas uma</p><p>variável, por exemplo:</p><p>x2 − 3x+ 1 < 0 ,</p><p>y3 − y2 ≥ 3y − 1 ,</p><p>z2 ≤ 1 .</p><p>O grau de uma inequação é o maior expoente da variável. Estaremos interessados</p><p>em resolver tais inequações, isto é, saber quais valores para a variável tornam as</p><p>respectivas inequações verdadeiras. Para isso, o que temos de fazer é isolar, quando</p><p>possível, a variável.</p><p>O princípio envolvido é: ao termos uma inequação, podemos realizar a mesma ope-</p><p>ração de multiplicação ou divisão por um número positivo, soma ou subtração em</p><p>ambos lados e a desigualdade se mantém. Ao se multiplicar ou dividir ambos os</p><p>lados por um número negativo, a desigualdade se inverte (análogo à Proposição 4.2</p><p>ii) e iii)). Comecemos com inequações de grau 1.</p><p>Exemplo 5.25: Vamos resolver a inequação 5x− 21 ≤ −2x.</p><p>5x− 21 ≤ −2x</p><p>5x+ 2x− 21 + 21 ≤ −2x+ 2x+ 21</p><p>7x ≤ 21</p><p>x ≤ 3 .</p><p>�</p><p>Exemplo 5.26: Encontre os valores de x onde vale −5x− 21 ≤ −2x.</p><p>−5x− 21 ≤ −2x</p><p>−5x+ 2x− 21 + 21 ≤ −2x+ 2x+ 21</p><p>−3x ≤ 21</p><p>x ≥ −7 .</p><p>�</p><p>Existem várias maneiras gráficas ou analíticas para resolver inequações de grau maior</p><p>ou igual a 2. Veremos como resolver de forma analítica. Basicamente começamos</p><p>encontrando as raízes para escrever a inequação como um produto de polinômios de</p><p>grau 1.</p><p>Exemplo 5.27: Resolva x2 < x+ 6.</p><p>122 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Vimos no Exemplo 5.22 que as raízes do polinômio x2 − x− 6 são x = 3 e x = −2.</p><p>Portanto o problema pode ser visto como:</p><p>x2 < x+ 6</p><p>x2 − x− 6 < 0</p><p>(x− 3)(x+ 2) < 0 .</p><p>Note que precisamos descobrir quando que o produto de duas parcelas é menor que</p><p>0. Para que isso ocorra, uma das parcelas deve ser menor que 0 e a outra deve ser</p><p>maior que 0. Ou seja, precisamos que:</p><p>x− 3 < 0 e x+ 2 > 0</p><p>ou</p><p>x− 3 > 0 e x+ 2 < 0 .</p><p>Cada uma das linhas se resume a:</p><p>x < 3 e x > −2 ou seja, − 2 < x < 3</p><p>ou</p><p>x > 3 e x < −2 que nunca acontece.</p><p>Logo a solução da inequação x2 < x+ 6 é −2 < x < 3.</p><p>�</p><p>Exemplo 5.28: Resolva 3x2 − 24 ≤ −6x.</p><p>Temos:</p><p>3x2 − 24 ≤ −6x</p><p>3x2 + 6x− 24 ≤ 0</p><p>3(x2 + 2x− 8) ≤ 0</p><p>3(x− 2)(x+ 4) ≤ 0 .</p><p>Portanto, precisamos que:</p><p>x− 2 ≤ 0 e x+ 4 ≥ 0</p><p>ou</p><p>x− 2 ≥ 0 e x+ 4 ≤ 0 .</p><p>Então, segue que:</p><p>x ≤ 2 e x ≥ −4 ou seja, − 4 ≤ x ≤ 2</p><p>ou</p><p>x ≥ 2 e x ≤ −4 que nunca acontece.</p><p>Logo a solução da inequação 3x2 − 24 ≤ −6x é −4 ≤ x ≤ 2.</p><p>�</p><p>Números reais 123</p><p>8. Exercícios</p><p>Exercício 5.1: Simplifique:</p><p>a)</p><p>( 8</p><p>125</p><p>)−3</p><p>c)</p><p>(4</p><p>9</p><p>)− 3</p><p>2</p><p>e)</p><p>( 5</p><p>−4</p><p>)−3</p><p>g)</p><p>( 4</p><p>12</p><p>) 3</p><p>2</p><p>i)</p><p>(√</p><p>2</p><p>3√4</p><p>)−6</p><p>k)</p><p>(</p><p>5√2√</p><p>7</p><p>)− 5</p><p>2</p><p>m)</p><p>(√</p><p>3</p><p>)5</p><p>o)</p><p>(</p><p>− 3√5</p><p>)6</p><p>b)</p><p>√</p><p>64</p><p>−23</p><p>d)</p><p>√</p><p>34</p><p>f)</p><p>√</p><p>12√</p><p>3</p><p>h)</p><p>√√</p><p>81</p><p>j)</p><p>√</p><p>23 · 52√√</p><p>100</p><p>l)</p><p>3√−343√</p><p>49</p><p>n)</p><p>3√−1000</p><p>5√32</p><p>p) 10</p><p>(10)−1 .</p><p>Exercício 5.2: Em cada progressão aritmética abaixo, encontre o termo an, a razão</p><p>e a soma dos n primeiros termos:</p><p>a) n = 15 na PA: −5,−2, 1, 4 . . .</p><p>b) n = 23 na PA: 10, 20</p><p>3 ,</p><p>10</p><p>3 . . .</p><p>c) n = 7 na PA: −7, −41</p><p>6 ,</p><p>−40</p><p>6 ,</p><p>−39</p><p>6 . . .</p><p>d) n = 71 na PA: 0, −1</p><p>6 ,</p><p>−1</p><p>3 ,</p><p>−1</p><p>2 . . .</p><p>e) n = 20 na PA: −2</p><p>9 ,</p><p>4</p><p>9 ,</p><p>10</p><p>9 . . .</p><p>124 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>f) n = 16 na PA: −5</p><p>7 ,−</p><p>4</p><p>7 ,−</p><p>3</p><p>7 . . .</p><p>g) n = 23 na PA: −1</p><p>7 ,</p><p>6</p><p>7 ,</p><p>13</p><p>7 . . .</p><p>h) n = 22 na PA: an = 7− n</p><p>i) n = 312 na PA: an = 8n</p><p>3 .</p><p>Exercício 5.3: Encontre a razão e a soma de todos os termos das progressões geo-</p><p>métricas abaixo:</p><p>a) 2,−2</p><p>3 ,</p><p>2</p><p>9 ,−</p><p>2</p><p>27 ,</p><p>2</p><p>81 . . .</p><p>b) 1, 1√</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2 ,</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>2</p><p>. . .</p><p>c) 1, 3, 9, 27 . . .</p><p>d) 32, 16, 8, 4, 2 . . .</p><p>e) 31, 1</p><p>31 ,</p><p>1</p><p>313 . . .</p><p>f) 1000, 100, 10, 1, 1</p><p>10 . . .</p><p>g) 7</p><p>3 ,</p><p>7</p><p>9 ,</p><p>7</p><p>27 . . .</p><p>h) 3</p><p>3√2</p><p>,</p><p>3</p><p>3√4</p><p>,</p><p>3</p><p>2 ,</p><p>3</p><p>2 3√2</p><p>. . .</p><p>i) 5, 10</p><p>3 ,</p><p>20</p><p>9 . . .</p><p>j) an = 5n</p><p>k) an = 7n</p><p>11n .</p><p>Exercício 5.4: Resolva:</p><p>a) 35x = 7 + 30x− 2</p><p>Números reais 125</p><p>b) 123x− 71 = 23 + 101x</p><p>c) 3x</p><p>2 = 6</p><p>d) x2 = x+ 6</p><p>e) −12x− 5 = 7</p><p>f) 5x = 6− x2</p><p>g) 8− 3x = 2</p><p>3 + x</p><p>h) x3 = 27</p><p>i) x2 = 8</p><p>j) x4 − x2 = 6</p><p>k) x3 = x</p><p>l) x4 = x</p><p>m) x5 + 4x = 5x3.</p><p>Exercício 5.5: Resolva:</p><p>a) 35x ≤ 7 + 30x− 2</p><p>b) 123x− 71 > 23 + 101x</p><p>c) 3x</p><p>2 < 6</p><p>d) x2 ≥ x+ 6</p><p>e) −12x− 5 ≥ 7</p><p>f) 5x ≤ 6− x2</p><p>g) 8− 3x > 2</p><p>3 + x</p><p>h) x3 < 27</p><p>i) x2 ≥ 8</p><p>126 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>j) x4 − x2 ≤ 6</p><p>k) x3 ≤ x</p><p>l) x4 ≤ x</p><p>m) x5 + 4x < 5x3.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>[1] BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática - Tradução da 3aEdição</p><p>Americana. Edgard Blucher, São Paulo, 2012.</p><p>[2] BRANDT, C. F.; MORETTI, M. Aprendizagem do Sistema de Numeração. Editora Prismas,</p><p>Curitiba, 2013.</p><p>[3] BURTON, D. M. Teoria Elementar dos Números. LTC, Rio de Janeiro, 2016.</p><p>[4] CARAÇA, B. J. Os conceitos fundamentais da Matemática. Editora Gradiva, Lisboa, 1998.</p><p>[5] CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. A compreensão dos conceitos aritméticos. Editora</p><p>Papirus, Campinas, 1998.</p><p>[6] CARVALHO, N. T. B.; GIMENEZ, C. S. C. Fundamentos de Matemática I. Universidade</p><p>Aberta do Brasil, Florianópolis, 2009.</p><p>[7] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de Aritmética. Editora da UFSC, Florianópolis, 2009.</p><p>[8] EUCLIDES. Os Elementos. Editora UNESP, Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo, 2009.</p><p>[9] EVES, H. Introdução à História da Matemática. Editora da UNICAMP, Campinas, 1995.</p><p>[10] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. IMPA, Rio de Janeiro, 2015.</p><p>[11] HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Coleção Textos Universitários. IMPA, Rio de Janeiro,</p><p>2005.</p><p>[12] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 6 - Complexos, Polinômios, Equações.</p><p>Atual Editora, São Paulo, 2013.</p><p>[13] SANTOS, J. P. O. Introdução à Teoria dos Números. IMPA, Rio de Janeiro, 2007.</p><p>127</p><p>Índice Remissivo</p><p>Algarismo, 3</p><p>Algoritmo da divisão</p><p>em N, 39</p><p>em Z, 40</p><p>Axiomas de Peano, 1</p><p>Congruências, 72</p><p>Conjunto limitado inferiormente, 34</p><p>Demais bases</p><p>adição, 13</p><p>multiplicação, 14</p><p>subtração, 15</p><p>Demonstração por absurdo, 33</p><p>Divisibilidade, 42, 43</p><p>critérios, 45</p><p>quantidade de divisores, 57</p><p>Elemento mínimo, 34</p><p>Equações diofantinas, 67</p><p>solução geral, 70</p><p>Equações polinomiais, 118</p><p>Fatoração, 56, 58</p><p>Frações, 85</p><p>irredutíveis, 91, 102</p><p>nomenclatura de frações, 87</p><p>Inequações polinomiais, 121</p><p>Mínimo múltiplo comum, 64, 65</p><p>Máximo divisor comum, 58, 60, 64</p><p>Números inteiros, 23</p><p>adição, 24</p><p>multiplicação, 25</p><p>relação de ordem, 29</p><p>subtração, 26</p><p>Números irracionais, 109</p><p>Números naturais, 1</p><p>adição, 2, 4</p><p>multiplicação, 5</p><p>subtração, 6</p><p>Números primos, 51, 52</p><p>teorema de Euclides, 56</p><p>Números racionais, 85</p><p>adição, 88, 89</p><p>divisão, 91</p><p>multiplicação, 89, 90</p><p>relação de ordem, 95, 96</p><p>subtração, 90</p><p>Números reais, 109</p><p>potências, 109, 111</p><p>progressão aritmética, 113, 114</p><p>progressão geométrica, 115</p><p>raízes, 112, 113</p><p>Números relativamente primos, 67</p><p>Princípio da boa ordem em N, 33</p><p>Princípio de indução, 2</p><p>Princípio do menor inteiro em Z, 34</p><p>Produto cartesiano, 2</p><p>Representação decimal, 97, 102, 117</p><p>operações, 102</p><p>Representação polinomial, 3, 5, 11</p><p>Tabuada, 17</p><p>Teorema fundamental da aritmética, 53</p><p>129</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127</p><p>Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129</p><p>Introdução</p><p>Este material foi inspirado nas notas de aula da disciplina “Elementos de Aritmética</p><p>e Álgebra”, que consta na primeira fase do curso Licenciatura em Matemática da</p><p>UFSC - Campus Blumenau.</p><p>1. Estrutura do livro</p><p>O conteúdo deste livro, assim como alguns exemplos e exercícios foram retirados dos</p><p>livros que constam na bibliografia.</p><p>A ordem de conteúdos segue a construção dos conjuntos mais simples aos mais com-</p><p>plicados. Iniciamos com os números naturais e suas operações de adição e multiplica-</p><p>ção, estudaremos algumas propriedades dessas e também discutiremos as operações</p><p>com números escritos em outras bases.</p><p>Depois passamos aos números inteiros, inspirados na vontade de subtrair números.</p><p>Após discutir algumas propriedades dessa nova operação, descobriremos que além</p><p>de operar, há maneiras de relacionar elementos através de relações de ordem.</p><p>Na sequência analisa-se a divisibilidade e a multiplicidade nesses conjuntos: critérios</p><p>de divisibilidade, fatoração, números primos, o algoritmo de Euclides, mdc e mmc.</p><p>Por fim estudaremos algumas equações simples, as equações diofantinas.</p><p>Posteriormente estuda-se o conjunto dos números racionais, norteado pela vontade</p><p>de dividir. Após analisar suas propriedades, veremos como escrever frações como</p><p>números decimais e vice-versa.</p><p>Por fim, segue-se para o conjunto dos números reais, pois descobriremos que existem</p><p>números que não podem ser escritos como fração. Com isso estudaremos o conceito</p><p>de raíz de um número, assim como resolveremos equações gerais e inequações poli-</p><p>nomiais.</p><p>2. Pré-requisitos</p><p>Não há pré-requisitos para a leitura deste livro, todo conteúdo necessário para lê-lo</p><p>está aqui contido.</p><p>iii</p><p>iv Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>3. Um pouco de história</p><p>Como indicar a quantidade de alunos presentes em nossa sala hoje? Como saber se</p><p>há mais pedras aqui ou lá?</p><p>Até o desenvolvimento do sistema de numeração posicional, a matemática pouco se</p><p>desenvolveu. E a todo momento utiliza-se os números: horas, questões financeiras,</p><p>comparações...</p><p>Os primeiros indícios matemáticos são de mais de 40 mil anos atrás. Atualmente</p><p>o mais antigo aceito instrumento matemático é o Osso de Lebombo, encontrado na</p><p>Suazilândia e datado entre 43 e 44 mil anos atrás, é uma ferramenta que possui 29</p><p>entalhes marcando supostamente o calendário lunar.</p><p>Figura 1. Osso de Lebombo</p><p>Outro importante instrumento é a tíbia de lobo, conhecida como Wolf bone. Datada</p><p>de aproximadamente 30 mil a.C. e encontrada na antiga Tchecoslováquia, possui 57</p><p>cortes transversais divididos em blocos de cinco.</p><p>Figura 2. Tíbia de lobo</p><p>Introdução v</p><p>Muito tempo depois finalmente utilizou-se símbolos especiais para se representar os</p><p>números, principalmente no norte da China, norte da Índia1, Egito e Mesopotâmia2.</p><p>Uma das possíveis motivações surge da bem conhecida história do pastor de ovelhas:</p><p>Pela manhã, ao liberar as ovelhas para as pastagens, um pastor coletava uma pedra</p><p>para cada ovelha que possuía. Se ao recolher as ovelhas sobravam pedras, então</p><p>faltavam ovelhas.</p><p>Esta história representa uma simples comparação de conjuntos, o conjunto de pedras</p><p>corresponde ao conjunto de ovelhas. Isso indica que a muito tempo já se sabia</p><p>que para realizar a contagem, pode-se utilizar a mesma representação para uma</p><p>mesma quantidade de pedras, ovelhas, pessoas, ou de qualquer coisa que se queira</p><p>representar ou contar.</p><p>O problema é que conforme se evolui, é necessário contar quantidades maiores:</p><p>população, fortunas, produção. . . . Portanto se teve que encontrar maneiras de</p><p>expressar quantidades de maneira sistemática que pode ser facilmente estendida.</p><p>Para isso, criou-se formas de repetir a contagem:</p><p>se 1 homem corresponde à 10 ovelhas então 2 homens correspondem à 20 ovelhas.</p><p>Assim há dois símbolos: um para cada item a ser contado, e outro para cada grupo</p><p>de itens contados. Há alguns outros importantes modelos que utilizaram tais ideias:</p><p>1) Egípcios: (3 mil a.C.) - base dez, sistema aditivo. Possuíam símbolos espe-</p><p>ciais para 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 mas não para o zero.</p><p>2) Babilônios: (3 mil a.C. - Iraque) - base dez para números menores que 60,</p><p>base 60 para maiores que 60. Não havia símbolo para o zero, mas deixavam</p><p>um espaço vazio para representá-lo. Sabiam multiplicar grandes números.</p><p>3) Gregos: (600 a.C.) - base dez, sistema aditivo. Utilizavam 27 letras e acentos</p><p>e conseguiam representar até o número dez mil com 4 letras e acentos.</p><p>4) Chineses e japoneses: (300 a.C.) - sistema aditivo e multiplicativo. Pos-</p><p>suíam 18 símbolos, sendo um deles o zero.</p><p>5) Romanos: (1 d.C.) - base dez e sistema aditivo. Representavam números</p><p>com as letras I, V,X,L,C,D,M e posteriormente implantaram a subtra-</p><p>ção3.</p><p>6) Maias: (400 d.C.) - base 20, cujos símbolos eram pontos e traços.</p><p>1Local onde surgiram os atuais algarismos.</p><p>2Atual Iraque.</p><p>3Não se pode colocar o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. Barra horizontal em cima</p><p>de um símbolo representa multiplicação por mil.</p><p>vi Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Figura 3. Sistema de numeração Maia</p><p>Os novos símbolos surgiram na Índia em 250 a.C., parecia ser de base 10 mas não</p><p>havia o zero nem a notação posicional. Estes últimos surgiram entre 400 e 700 d.C.</p><p>São conhecidos como arábicos pois foram estes que os difundiram por volta de 800</p><p>d.C. Na verdade quem os descreveu foi o persa al-Kowarizmi4, que atribuiu o sis-</p><p>tema aos indianos. A padronização final dos símbolos foi resultado da invenção da</p><p>imprensa em torno de 1500 d.C.</p><p>3.1. A evolução do estudo dos números</p><p>À medida que as civilizações se desenvolveram quis-se algo mais: problemas surgi-</p><p>ram, soluções foram procuradas. Dois dos famosos achados contém muitos dos tais</p><p>problemas e soluções: o papiro de Rhind e o papiro de Moscou.</p><p>Figura 4. Papiro de Rhind</p><p>4A palavra algarismo deriva deste nome, assim como álgebra.</p><p>Introdução vii</p><p>Na Grécia começou-se a estudar as propriedades dos números, multiplicidade, di-</p><p>visores, números primos, como pode-se conferir na obra Elementos de Euclides [8]</p><p>(300 a.C.)5.</p><p>A partir do século XIX começou-se a estudar estruturas algébricas, ou seja, conjuntos</p><p>com elementos equipados com operações que satisfazem certas condições: anéis,</p><p>grupos, semigrupos.</p><p>E finalmente desde 1950 se tem interesse nos números por conta do crescente uso</p><p>da criptografia, principalmente por motivos militares e de transferência de dados</p><p>sigilosos através da internet.</p><p>5Muito de seu conteúdo deve-se à escola Pitagórica (500 a.C.).</p><p>CAPíTULO 1</p><p>Números naturais</p><p>1. Axiomas de Peano</p><p>A formulação axiomática do conjunto dos números naturais foi dada por Giuseppe</p><p>Peano em 1889, época em que já se conhecia o conceito de zero, número natural</p><p>e sucessor. A estrutura elaborada por Peano teve como princípio o fato de que os</p><p>números naturais podem ser ordenados de forma que cada elemento tem um sucessor,</p><p>a partir do zero.</p><p>Assim, 5 axiomas formam a base da estrutura dos números naturais.</p><p>Axioma 1: Zero é um número natural.</p><p>Axioma 2: Se a é um número natural então a tem um único sucessor que também</p><p>é um número natural.</p><p>Axioma 3: Zero não é sucessor de nenhum número natural.</p><p>Axioma 4: Se dois números naturais têm sucessores iguais, então eles próprios são</p><p>iguais.</p><p>Axioma 5: Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o</p><p>sucessor de todo elemento de S, então S é o conjunto de todos os naturais.</p><p>Para representar o conjunto dos número naturais utiliza-se o símbolo N e para</p><p>representar o zero, o símbolo 0. O sucessor de um número natural a é representado</p><p>por a+. Pode-se reescrever os axiomas numa forma simbólica mais compacta.</p><p>Axioma 1: 0 ∈ N.</p><p>Axioma 2: a ∈ N⇒ ∃! a+ ∈ N.</p><p>Axioma 3: (∀a ∈ N)a+ 6= 0.</p><p>Axioma 4: a+ = b+ ⇒ a = b.</p><p>Axioma 5: (0 ∈ S) ∧ (∀a ∈ S ⇒ a+ ∈ S)⇒ S = N.</p><p>1</p><p>2 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>O quinto</p><p>axioma não é necessário na construção dos número naturais, porém oferece</p><p>uma importante ferramenta de demonstração, conhecida como Princípio de indução.</p><p>Após a invenção da imprensa e a uniformização dos algarismos definiu-se que1</p><p>N = {0, 1, 2, 3 . . . } ,</p><p>N∗ = {1, 2, 3 . . . } .</p><p>2. Operações em N</p><p>Dado um certo conjunto C considere seu produto cartesiano</p><p>C × C = {(x, y) : x, y ∈ C} .</p><p>Em N duas operações são definidas: adição e multiplicação.</p><p>2.1. Adição</p><p>A definição da operação de adição, representada por +, é a seguinte:</p><p>+ : N×N→ N</p><p>(a, b) 7→ a+ b ,</p><p>onde {</p><p>a+ 0 = a = 0 + a</p><p>a+ b+ = (a+ b)+ = a+ + b .</p><p>Os termos a e b são ditos somandos ou parcelas, e o resultado da operação é chamada</p><p>de soma. Assim, utilizando o conceito de sucessor, consegue-se somar quaisquer dois</p><p>números naturais (embora isso possa demandar batante trabalho!)</p><p>Exemplo 1.1:</p><p>3 + 2 = 3 + 1+ = (3 + 1)+ = (3 + 0+)+ = [(3 + 0)+]+ = (3+)+ = 4+ = 5 .</p><p>�</p><p>Portanto a soma do par (3, 2) em N é 5. No cotidiano utiliza-se maneiras mais</p><p>rápidas de somar números, e isso vem da maneira visualmente fácil na qual escreve-</p><p>se os números: na base dez. Nesta base, a representação do número é a mesma que</p><p>a quantidade que o próprio número representa.</p><p>Exemplo 1.2:</p><p>524 = 500 + 20 + 4</p><p>= 5 · 100 + 2 · 10 + 4</p><p>= 5 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 .</p><p>1Algun autores não consideram 0 um número natural. Isso se deve ao uso desse conjunto nas</p><p>diversas subáreas matemáticas.</p><p>Números naturais 3</p><p>�</p><p>Também é importante notar que utilizando apenas dez algarismos</p><p>{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>consegue-se escrever qualquer número, não importa de qual tamanho. Não é neces-</p><p>sário considerar outros símbolos como um algarismo.</p><p>De maneira geral, se abcd representa um número de quatro algarismos a, b, c, d, então:</p><p>abcd = a · 103 + b · 102 + c · 101 + d · 100 = (abcd)10 .</p><p>Tal representação é chamada representação polinomial do número em questão na</p><p>base 10.</p><p>Exemplo 1.3:</p><p>7809354 = 7 · 106 + 8 · 105 + 0 · 104 + 9 · 103 + 3 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100</p><p>= (7809354)10 .</p><p>�</p><p>Assim, para realizar a adição de forma compacta e rápida, pode-se utilizar essa</p><p>representação.</p><p>Exemplo 1.4:</p><p>31 + 326 = 3 · 101 + 1 · 100 + 3 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100</p><p>= 3 · 102 + 3 · 101 + 2 · 101 + 1 · 100 + 6 · 100</p><p>= 3 · 102 + (3 + 2) · 101 + (1 + 6) · 100</p><p>= 3 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100</p><p>= 357 .</p><p>�</p><p>Vamos repetir o processo para realizamos a adição abaixo.</p><p>152 + 764 = (1 · 102 + 5 · 101 + 2 · 100) + (7 · 102 + 6 · 101 + 4 · 100)</p><p>= 8 · 102 + 11 · 101 + 6 · 100</p><p>= (∗) .</p><p>4 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Note que há um problema em 11 ·101, pois 11 não é um algarismo permitido na base</p><p>10. Portanto devemos desconstruir essa parcela:</p><p>(∗) = 8 · 102 + 11 · 101 + 6 · 100</p><p>= 8 · 102 + (10 + 1) · 101 + 6 · 100</p><p>= 8 · 102 + 1 · 102 + 1 · 101 + 6 · 100</p><p>= 9 · 102 + 1 · 101 + 6 · 100</p><p>= 916 .</p><p>Note que esta desconstrução é o “vai um” que se utiliza na forma reduzida de fazer</p><p>a adição.</p><p>+</p><p>1</p><p>1 5 2</p><p>7 6 4</p><p>9 1 6</p><p>Existem 5 propriedades básicas que a adição satisfaz no conjunto dos números na-</p><p>turais. Sejam a, b e c números naturais:</p><p>A1) Associatividade da adição:</p><p>a+ (b+ c) = a+ b+ c = (a+ b) + c .</p><p>A2) Comutatividade da adição:</p><p>a+ b = b+ a .</p><p>A3) Existência de elemento neutro da adição:</p><p>a+ 0 = 0 + a = a .</p><p>A4) Lei do cancelamento da adição:</p><p>a+ b = a+ c⇒ b = c</p><p>b+ a = c+ a⇒ b = c .</p><p>A5) Lei do anulamento:</p><p>a+ b = 0⇒ a = b = 0 .</p><p>É interessante perceber que mesmo sem conhecer as propriedades acima, ao se fazer</p><p>um simples cálculo mental, utiliza-se essas propriedades com o intuito de facilitar a</p><p>adição de grandes números.</p><p>Exemplo 1.5:</p><p>765 + 372 = (700 + 60 + 5) + (300 + 70 + 2)</p><p>por (A1) = 700 + 60 + 5 + 300 + 70 + 2</p><p>por (A2) = 700 + 300 + 60 + 70 + 5 + 2</p><p>por (A1) = (700 + 300) + (60 + 70) + (5 + 2)</p><p>= 1000 + 130 + 7</p><p>= 1137 .</p><p>Números naturais 5</p><p>�</p><p>2.2. Multiplicação</p><p>A multiplicação é representada por · e associa cada par (a, b) de números naturais</p><p>ao número natural a · b:</p><p>· : N×N→ N</p><p>(a, b) 7→ a · b ,</p><p>onde </p><p>a · 0 = 0 = 0 · a</p><p>a · b+ = a · b+ a</p><p>a+ · b = a · b+ b .</p><p>Os números multiplicados são chamados de fatores e o resultado denomina-se pro-</p><p>duto.</p><p>Exemplo 1.6:</p><p>2 · 3 = 1+ · 3 = 1 · 3 + 3 = 0+ · 3 + 3 = 0 · 3 + 3 + 3 = 0 + 3 + 3 = 3 + 3 = 6 .</p><p>�</p><p>Também podemos realizar a multiplicação através da representação polinomial dos</p><p>fatores, exemplificado abaixo (aplicaremos a mesma desconstrução utilizada na equa-</p><p>ção (2.1)).</p><p>346 · 13 = (3 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100) · (1 · 101 + 3 · 100)</p><p>= 3 · 103 + 9 · 102 + 4 · 102 + 12 · 101 + 6 · 101 + 18 · 100</p><p>= 3 · 103 + 13 · 102 + 18 · 101 + 18 · 100</p><p>= 3 · 103 + 10 · 102 + 3 · 102 + 10 · 101 + 8 · 101 + 10 · 100 + 8 · 100</p><p>= 3 · 103 + 1 · 103 + 3 · 102 + 1 · 102 + 8 · 101 + 1 · 101 + 8 · 100</p><p>= 4 · 103 + 4 · 102 + 9 · 101 + 8 · 100</p><p>= 4498 .</p><p>Novamente a desconstrução é o “vai um”. Compactadamente tem-se o seguinte.</p><p>3 4 6</p><p>1 3</p><p>1 0 3 8</p><p>3 4 6</p><p>4 4 9 8</p><p>×</p><p>+</p><p>Na multiplicação valem as seguintes 4 propriedades básicas. Sejam a, b e c números</p><p>naturais:</p><p>M1) Associatividade da multiplicação:</p><p>a · (b · c) = abc = (a · b) · c .</p><p>6 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>M2) Comutatividade da multiplicação:</p><p>a · b = b · a .</p><p>M3) Existência de elemento neutro da multiplicação:</p><p>a · 1 = 1 · a = a .</p><p>D) Distributividade:</p><p>(a+ b) · c = a · c+ b · c</p><p>a · (b+ c) = a · b+ a · c .</p><p>As propriedades acima nos permitem operar números de várias maneiras.</p><p>Exemplo 1.7:</p><p>(7 + 2) · 4 = 7 · 4 + 2 · 4 = 28 + 8 = 36 ,</p><p>(7 + 2) · 4 = 9 · 4 = 36 .</p><p>�</p><p>Definição 1.1: Dado um número inteiro a, o fatorial de a, denotado a!, é o produto</p><p>de todos números positivos menores ou iguais a a.</p><p>Por definição, 0! = 1.</p><p>Exemplo 1.8: Segue que</p><p>7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .</p><p>�</p><p>2.3. Subtração</p><p>No conjunto dos números naturais não é possível subtrair quaisquer dois números,</p><p>afinal, o resultado pode não estar em N. Assim apenas consideramos a subtração</p><p>a− b quando o número a é maior que o número b.</p><p>Exemplo 1.9: Vamos calcular 539− 128:</p><p>539− 128 = (5 · 102 + 3 · 101 + 9 · 100)− (1 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100)</p><p>= (5− 1) · 102 + (3− 2) · 101 + (9− 8) · 100</p><p>= 4 · 102 + 1 · 101 + 1 · 100</p><p>= 411 .</p><p>�</p><p>Números naturais 7</p><p>Agora vejamos o exemplo 148− 72:</p><p>148− 72 = (1 · 102 + 4 · 101 + 8 · 100)− (7 · 101 + 2 · 100)</p><p>= 1 · 102 + (4− 7) · 101 + (8− 2) · 100</p><p>= 1 · 102 + (4− 7) · 101 + 6 · 100</p><p>= (∗) .</p><p>Note que se teria um algarismo negativo multiplicando 101. Para que isso não ocorra,</p><p>toma-se emprestada uma parcela de 102.</p><p>(∗) = 10 · 101 + (4− 7) · 101 + 6 · 100</p><p>= (10 + 4− 7) · 101 + 6 · 100</p><p>= 7 · 101 + 6 · 100</p><p>= 76 .</p><p>O processo de tomar uma parcela emprestada é exatamente o que se faz na conta</p><p>compacta abaixo, ao não se poder diretamente fazer a subtração 4− 7.</p><p>No Capítulo 2, Seção 2.3, em que estaudaremos o conjunto dos números inteiros,</p><p>analisaremos a subtração em maiores detalhes.</p><p>3. Sistema de numeração em outras bases</p><p>Por analogia à base 10, ao se escrever números na base 5 utiliza-se apenas 5 algaris-</p><p>mos: {0, 1, 2, 3, 4}, e tais algarismos estarão multiplicando potências de 5.</p><p>Exemplo 1.10: Para escrever 87 na base 5, note que a maior potência de 5 que é</p><p>menor que 87 é 52 = 25 e ainda tal potência cabe três vezes em 87. Assim</p><p>87 = 3 · 52 + 12 .</p><p>Precisa-se descobrir como escrever 12 na base 5. Obviamente a potência 52 é maior</p><p>que 12, e portanto a próxima potência de 5 que é menor que 12 é 51. De fato, pode-se</p><p>adicionar duas parcelas de tal potência e obter</p><p>12 = 2 · 51 + 2 .</p><p>Analogamente ao feito acima, o número 2 é igual a duas vezes a potência 50, ou seja</p><p>2 = 2 · 50 .</p><p>Reunindo as três equações acima, obtém-se</p><p>87 = 3 · 52 + 2 · 51 + 2 · 50 .</p><p>8 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Conclui-se então que o número 87 é igual à 322 na base 5, ou seja</p><p>87 = (322)5 .</p><p>�</p><p>Exemplo 1.11: Para representar 131 na base 5, note que a maior potência de 5</p><p>que é menor que 131 é 53 = 125 que cabe uma vez em 131. Assim</p><p>131 = 1 · 53 + 6 .</p><p>Note que 52 é maior que 6, consequentemente a potência 51 é a maior que é menor</p><p>do que 6. Portanto</p><p>6 = 1 · 51 + 1 .</p><p>Já que</p><p>1 = 1 · 50 ,</p><p>obtém-se</p><p>131 = 1 · 53 + 1 · 51 + 1</p><p>· 50</p><p>= 1 · 53 + 0 · 52 + 1 · 51 + 1 · 50</p><p>= (1011)5 .</p><p>Logo</p><p>131 = (1011)5 .</p><p>�</p><p>É importante mencionar que devemos utilizar todas potências da base dada, nem</p><p>que estejam multiplicadas por zero.</p><p>Exemplo 1.12: Escreva 20 na base 5.</p><p>20 = 4 · 51</p><p>Portanto:</p><p>20 = 4 · 51 + 0 · 50 .</p><p>Logo</p><p>20 = (40)5 .</p><p>�</p><p>Exemplo 1.13: Para representar 75 na base 5, veja que</p><p>75 = 3 · 52 .</p><p>Logo escreve-se</p><p>75 = 3 · 52 + 0 · 51 + 0 · 50 .</p><p>Daí</p><p>75 = (300)5 .</p><p>�</p><p>Números naturais 9</p><p>O mesmo procedimento se aplica à qualquer base: fixada base 1 < b ∈ N, todo</p><p>número natural a tem uma representação polinomial única na forma</p><p>a = ar.b</p><p>r + ar−1.b</p><p>r−1 + · · ·+ a1.b</p><p>1 + a0.b</p><p>0 ,</p><p>e esta representação também poderá ser apresentada na forma</p><p>a = (arar−1 . . . a1a0)b .</p><p>A tática é sempre a mesma da aplicada nos exemplos acima.</p><p>Exemplo 1.14: Note que</p><p>87 = 1 · 81 + 6</p><p>= 1 · 34 + 6</p><p>= 1 · 34 + 2 · 3</p><p>= 1 · 34 + 2 · 31</p><p>= 1 · 34 + 0 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 0 · 30 .</p><p>Logo</p><p>87 = (10020)3 .</p><p>�</p><p>A representação polinomial acima permite de maneira ainda mais simples aplicar o</p><p>processo contrário, ou seja, dado um número em uma certa base, pode-se facilmente</p><p>descobrir qual a quantidade que ele representa.</p><p>Exemplo 1.15: Segue que</p><p>(12)3 = 1 · 31 + 2 · 30</p><p>= 1 · 3 + 2 · 1</p><p>= 3 + 2</p><p>= 5 .</p><p>Logo</p><p>(12)3 = 5 .</p><p>�</p><p>Exemplo 1.16: Tem-se</p><p>(1111)7 = 1 · 73 + 1 · 72 + 1 · 71 + 1 · 70</p><p>= 1 · 343 + 1 · 49 + 1 · 7 + 1</p><p>= 343 + 49 + 7 + 1</p><p>= 400 .</p><p>Logo</p><p>(1111)7 = 400 .</p><p>�</p><p>10 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Assim como é possível fazer a ida e a volta na mesma conta.</p><p>Exemplo 1.17: Vamos transformar (114)5 para a base 7.</p><p>(114)5 = 1 · 52 + 1 · 51 + 4 · 50</p><p>= 1 · 25 + 1 · 5 + 4 · 1</p><p>= 25 + 5 + 4</p><p>= 34</p><p>= 4 · 7 + 6</p><p>= 4 · 71 + 6 · 70 .</p><p>Logo</p><p>(114)5 = (46)7 .</p><p>�</p><p>Exemplo 1.18: Escreva (423)7 na base 2.</p><p>(423)7 = 4 · 72 + 2 · 71 + 3 · 70</p><p>= 4 · 49 + 2 · 7 + 3 · 1</p><p>= 196 + 14 + 3</p><p>= 213</p><p>= 128 + 64 + 16 + 4 + 1</p><p>= 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 .</p><p>Logo</p><p>(423)7 = (11010110)2 .</p><p>�</p><p>Ao se trabalhar com bases maiores que dez, um problema surge: não há uma unici-</p><p>dade a respeito do significado do número (12)13, pois ele pode representar o número</p><p>com algarismos 1 e 2, ou o número com um algarismo único 12, já que na base 13</p><p>tem-se os algarismos sendo todos números entre 0 e 12. Para evitar tal problema,</p><p>se renomeia todos algarismos maiores ou iguais a dez:</p><p>0, 1, . . . , 9, 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d . . . .</p><p>Exemplo 1.19: Descubra que quantidade é representada por (13b)13.</p><p>(13b)13 = 1 · (13)2 + 3 · (13)1 + b · (13)0</p><p>= 1 · 169 + 3 · 13 + 11 · 1</p><p>= 169 + 39 + 11</p><p>= 219 .</p><p>Logo</p><p>(13b)13 = 219 .</p><p>Números naturais 11</p><p>�</p><p>Exemplo 1.20: Escreva 55 e 60 na base 5.</p><p>55 = 2 · 52 + 1 · 51 + 0 · 50 = (210)5 ,</p><p>60 = 2 · 52 + 2 · 51 + 0 · 50 = (220)5 .</p><p>Notavelmente a diferença é de uma unidade da parcela que representa a multiplicação</p><p>por 5.</p><p>�</p><p>Exemplo 1.21: Um outro método para se determinar a representação polinomial</p><p>dos números é através da divisão sucessiva. Para escrever 59 na base 3, comece</p><p>dividindo 59 por 3, e depois sucessivamente faça a divisão de cada quociente tam-</p><p>bém por 3, até que o quociente seja zero.</p><p>5 9</p><p>2 9</p><p>2</p><p>3</p><p>1 9 1 9</p><p>1</p><p>3</p><p>6</p><p>6</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>0 Aí basta tomar os restos de trás para frente</p><p>para obter</p><p>59 = (2012)3 .</p><p>�</p><p>O motivo desta tática funcionar pode ser descoberto ao se desconstruir as contas</p><p>feitas acima.</p><p>59 = 19 · 3 + 2</p><p>= (6 · 3 + 1) · 3 + 2</p><p>= [(2 · 3 + 0) · 3 + 1] · 3 + 2</p><p>= (2 · 32 + 0 · 3 + 1) · 3 + 2</p><p>= 2 · 33 + 0 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30</p><p>= (2012)3 .</p><p>É fácil notar que os restos são os algarismos procurados.</p><p>Exemplo 1.22: Escreva 341 na base 8.</p><p>3 4 1</p><p>2 1</p><p>5</p><p>8</p><p>4 2 4 2</p><p>2</p><p>8</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>8</p><p>0 Logo</p><p>341 = (525)8 .</p><p>�</p><p>Exemplo 1.23: Represente 1717 na base 11.</p><p>12 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>1 7 1 7</p><p>6 1</p><p>6 7</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1 5 6 1 5 6</p><p>4 6</p><p>2</p><p>1 1</p><p>1 4 1 4</p><p>3</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>0</p><p>Daí</p><p>1717 = (1321)11 .</p><p>�</p><p>De fato</p><p>1717 = 1 · (11)3 + 3 · (11)2 + 2 · (11)1 + 1 · (11)0 .</p><p>Os computadores trabalham em código binário (sistema sim ou não), ou seja, base</p><p>2. Utilizam apenas 0’s e 1’s. Veremos agora que a operação de números é análoga</p><p>em qualquer base.</p><p>3.1. Adição</p><p>Considere a adição entre (134)5 e (11)5.</p><p>(134)5 + (11)5 = (1 · 52 + 3 · 51 + 4 · 50) + (1 · 51 + 1 · 50)</p><p>= 1 · 52 + (3 · 51 + 1 · 51) + (4 · 50 + 1 · 50)</p><p>= 1 · 52 + 4 · 51 + (5 · 50)</p><p>= 1 · 52 + 4 · 51 + 1 · 51</p><p>= 1 · 52 + 5 · 51</p><p>= 1 · 52 + 1 · 52</p><p>= 2 · 52</p><p>= (200)5 .</p><p>Soma-se separadamente cada algarismo que multiplica o mesmo expoente do número</p><p>5. Ao somar-se 4 e 1, que acompanham 50, obtém-se um número que não é um</p><p>algarismo da base 5. Para resolver este problema transforma-se este número em um</p><p>algarismo que agora acompanha 51. O mesmo posteriormente aconteceu com 51,</p><p>que foi resolvido transformando a potência em 52. Notoriamente, esta soma pode</p><p>ser compactada no seguinte molde.</p><p>Exemplo 1.24: Para somar (235)6 e (452)6 utiliza-se a mesma tática.</p><p>Números naturais 13</p><p>�</p><p>Exemplo 1.25: A soma de (243)5 e (431)5 segue.</p><p>�</p><p>Portanto, independentemente da base, a adição segue o mesmo princípio que utili-</p><p>zamos para somar números na base 10.</p><p>3.2. Multiplicação</p><p>Vejamos como funciona a multiplicação.</p><p>(531)7 · (13)7 = (5 · 72 + 3 · 71 + 1 · 70) · (1 · 71 + 3 · 70)</p><p>= (5 · 73 + 3 · 72 + 1 · 71) + (15 · 72 + 9 · 71 + 3 · 70)</p><p>= (5 · 73 + 3 · 72 + 1 · 71) + (2 · 73 + 2 · 72 + 2 · 71 + 3 · 70)</p><p>= 7 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70</p><p>= (7 + 0) · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70</p><p>= 7 · 73 + 0 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70</p><p>= 1 · 74 + 0 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70</p><p>= (10533)7 .</p><p>A multiplicação acima pode ser feita de forma curta.</p><p>14 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 1.26: Multiplique (710)9 e (88)9.</p><p>�</p><p>Exemplo 1.27: Multiplique (710)9 e (100)9.</p><p>Note que (88)9 + (1)9 = (100)9. Assim é de se esperar que</p><p>(70180)9 + (710)9 = (71000)9 .</p><p>�</p><p>Logo a forma compacta da multiplicação em qualquer base funciona de modo análogo</p><p>ao que já se conhece, na base 10.</p><p>3.3. Subtração</p><p>A ideia é sempre manter algarismos permitidos multiplicando expoentes da base</p><p>em questão, podendo assim tomar-se emprestado ou emprestar na medida que for</p><p>necessário. Vejamos abaixo.</p><p>(235)8 − (173)8 = (2 · 82 + 3 · 81 + 5 · 80)− (1 · 82 + 7 · 81 + 3 · 80)</p><p>= (2− 1) · 82 + (3− 7) · 81 + (5− 3) · 80</p><p>= 1 · 82 + (3− 7) · 81 + 2 · 80</p><p>= 8 · 81 + (3− 7) · 81 + 2 · 80</p><p>= 4 · 81 + 2 · 80</p><p>= (42)8 .</p><p>Números naturais 15</p><p>Note que (3 − 7) é negativo e portanto não é um algarismo permitido. Assim se</p><p>toma emprestado 8 unidades da potência seguinte, 82. A subtração acima também</p><p>funciona de forma compacta analogamente à subtração da base 10.</p><p>Exemplo 1.28: Abaixo subtrai-se (101)2 de (1010)2.</p><p>Ou seja, (1010)2 = 10 é o dobro de (101)2 = 5.</p><p>�</p><p>Exemplo 1.29: Segue a subtração (713)9 − (247)9.</p><p>�</p><p>Exemplo 1.30: Some, multiplique e subtraia os números (c74)13 e (999)13 onde</p><p>a = 10, b = 11, c = 12.</p><p>16 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>�</p><p>3.4. Tabela de tabuada em outras bases</p><p>Na base 10 a tabela de tabuada2 é aquela em que se lista todas possíveis multipli-</p><p>cações entre os algarismos (de 0 a 9). Pode-se fazer o mesmo para qualquer base,</p><p>inclusive montando tábuas de tabuada da soma além da multiplicação. Lembrando</p><p>que as respostas também devem apresentar apenas algarismos permitidos na respec-</p><p>tiva base, abaixo seguem 3 exemplos.</p><p>Adição na base 5:</p><p>+ 0 1 2 3 4</p><p>0 0 1 2 3 4</p><p>1 1 2 3 4 10</p><p>2 2 3 4 10 11</p><p>3 3 4 10 11 12</p><p>4 4 10 11 12 13</p><p>Multiplicação na base 5:</p><p>2Também conhecida como tábua de tabuada.</p><p>Números naturais 17</p><p>+ 0 1 2 3 4</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>1 0 1 2 3 4</p><p>2 0 2 4 11 13</p><p>3 0 3 11 14 22</p><p>4 0 4 13 22 31</p><p>Multiplicação na base 7:</p><p>+ 0 1 2 3 4 5 6</p><p>0 0 0 0 0 0 0 0</p><p>1 0 1 2 3 4 5 6</p><p>2 0 2 4 6 11 13 15</p><p>3 0 3 6 12 15 21 24</p><p>4 0 4 11 15 22 26 33</p><p>5 0 5 13 21 26 34 42</p><p>6 0 6 15 24 33 42 51</p><p>4. Exercícios</p><p>Exercício 1.1: Pesquise sobre:</p><p>a) Papiro de Rhind.</p><p>b) Papiro de Moscou.</p><p>c) Elementos de Euclides.</p><p>d) Números romanos.</p><p>e) O persa al-Khwarizmi.</p><p>f) Wolf bone ou Wolf tibia.</p><p>g) Osso de Lebombo.</p><p>h) Osso de Ishango.</p><p>Exercício 1.2: Pesquise e faça o que se pede:</p><p>a) Defina números figurados e dê exemplos.</p><p>18 Elementos de Aritmética</p><p>e Álgebra</p><p>b) Defina números perfeitos e dê exemplos.</p><p>c) Defina números amigos e dê exemplos.</p><p>Exercício 1.3: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Pe-</p><p>ano 2, 3 e 4? E apenas 1, 2 e 4? E 1, 3 e 4?</p><p>Exercício 1.4: Dê a representação polinomial dos números:</p><p>a) 320</p><p>c) 9997</p><p>b) 9183743</p><p>d) 5363.</p><p>Exercício 1.5: Resolva:</p><p>a) 234 + (523 + 191)14</p><p>b) 343 + (21(142 + 93) + 2) + 21(41 + 13(933 + 218 + 3))</p><p>c) 3(21(32 + 812) + 2) + 21</p><p>d) 94 + 3(24 + 94(34(21 + 90)) + 8) + 2</p><p>e) 1 + ((2 + 3)4 + 5(6 + 7)8)9</p><p>f) 193874 + 238564 + 2374 + 2374 + 19783</p><p>g) 3187 · 1908</p><p>h) (189273 + 12312)390</p><p>i) 123456789 + 987654321.</p><p>Exercício 1.6: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = a+ 2b .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei</p><p>do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?</p><p>Números naturais 19</p><p>Exercício 1.7: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = ab+ 2 .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei</p><p>do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?</p><p>Exercício 1.8: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = (1 + a)b .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei</p><p>do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?</p><p>Exercício 1.9: Quais são as 5 propriedades satisfeitas pela adição em N?</p><p>Exercício 1.10: Quais são as 4 propriedades satisfeitas pela multiplicação em N?</p><p>Exercício 1.11: Calcule 10!, 17! e 9!.</p><p>Exercício 1.12: Encontre todos os números naturais iguais à soma dos fatoriais</p><p>dos seus algarismos.</p><p>Exercício 1.13: Como funciona a subtração em N?</p><p>Exercício 1.14: O que significa a ≤ b em N?</p><p>Exercício 1.15: Qual número é maior: 1234567 · 1234569 ou 1234568 · 1234568?</p><p>Exercício 1.16: Como você definiria a divisão em N? Seria possível dividir qual-</p><p>quer número natural por qualquer outro número natural? Há exceções?</p><p>20 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exercício 1.17: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da</p><p>base 6.</p><p>Exercício 1.18: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da</p><p>base 8.</p><p>Exercício 1.19: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da</p><p>base 12 (onde 10 = a e 11 = b).</p><p>Exercício 1.20: Escreva:</p><p>a) 25 na base 2</p><p>c) 3546 na base 2</p><p>e) 25 na base 3</p><p>g) 59 na base 4</p><p>i) 2345 na base 4</p><p>k) 59 na base 5</p><p>m) 25 na base 5</p><p>o) 32454 na base 5</p><p>q) 39 na base 7</p><p>s) (342786)9 na base 8</p><p>b) 25 na base 12</p><p>d) 345 na base 12</p><p>f) 1234 na base 12</p><p>h) 2342 na base 12</p><p>j) 252525 na base 12</p><p>l) (935)15 na base 10</p><p>n) 132 na base 12</p><p>p) 87 na base 12</p><p>r) (322)5 na base 10</p><p>t) (322)5 na base 3.</p><p>Exercício 1.21: Calcule:</p><p>Números naturais 21</p><p>a) (123)4 + (321)4</p><p>c) (166)7 + (3611)7</p><p>e) (16)9 + (47456)9</p><p>g) (8888)9 · (77777)9</p><p>i) (242)5 · (74)9</p><p>k) (454)7 · (5246)7</p><p>m) (273564)8 − (15677)8</p><p>o) (12121)3 − (2121)3</p><p>b) (1011)2 · (1000)2</p><p>d) (143)9 · (5255)9</p><p>f) (2222)3 + (1111)3</p><p>h) (3210)4 + (123)4</p><p>j) (78247)9 · (1284)9</p><p>l) (878)9 · (545)9</p><p>n) (500)6 − (253)6</p><p>p) (3082)9 − (283)9.</p><p>Exercício 1.22: Considerando 10 = a, 11 = b e 12 = c, calcule:</p><p>a) (168)13 + (361a)13</p><p>c) (123c)13 + (ba72)13</p><p>e) (ba7)13 + (323b)13</p><p>g) (108)13 · (9129)13</p><p>i) (242a)13 · (999)13</p><p>k) (1344)13 − (24c)13</p><p>m) (cba0)13 − (979)13</p><p>b) (cb3a)13 · (a3bc)13</p><p>d) (4123)11 · (aaa)11</p><p>f) (33ba)13 + (94c)13</p><p>h) (bb1)12 + (234a)12</p><p>j) (aaa)13 · (bbb)13</p><p>l) (11111)11 − (a21a)11</p><p>n) (ababa)12 − (bb9b)12.</p><p>Exercício 1.23: Sabendo que (630n)7 − (x27)9 = (4x46)8, encontre o valor de n.</p><p>CAPíTULO 2</p><p>Números inteiros</p><p>1. Construção de Z a partir de N</p><p>No conjunto dos números naturais somente se pode subtrair um número menor de</p><p>um maior. Porém o anseio de subtrair qualquer par de números nos leva a expandir</p><p>o conjunto dos números naturais. Ao conjunto N acrescenta-se todas diferenças b−a</p><p>com b menor que a, formando um novo conjunto.</p><p>Assim, 0− 1, 1− 2, 2− 3, . . . será representado pelo inteiro −1.</p><p>Analogamente 0− 2, 1− 3, 2− 4, . . . será representado pelo inteiro −2.</p><p>E assim sucessivamente para definir o número −a, com a ∈ N, que representará o</p><p>número 0− a. Denota-se</p><p>Z = {· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . } .</p><p>A letra Z foi introduzida pelo matemática alemão Edmund Landau, por conta da</p><p>palavra alemã Zahl, que significa número. Geometricamente tem-se</p><p>Note também que N ( Z. Define-se alguns outros importantes subconjuntos de Z.</p><p>• Inteiros não nulos:</p><p>Z∗ = {· · · − 2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . } .</p><p>• Inteiros não negativos:</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } .</p><p>• Inteiros positivos:</p><p>Z∗</p><p>+ = {1, 2, 3 . . . } .</p><p>• Inteiros não positivos:</p><p>Z− = {0,−1,−2,−3 . . . } .</p><p>23</p><p>24 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>• Inteiros negativos:</p><p>Z∗</p><p>− = {−1,−2,−3 . . . } .</p><p>2. Operações em Z</p><p>Todas operações definidas em N serão estendidas para Z.</p><p>2.1. Adição</p><p>Definida como</p><p>+ : Z×Z→ Z</p><p>(a, b) 7→ a+ b .</p><p>Chama-se a e b de parcelas e a+ b é a soma.</p><p>Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes afirmações.</p><p>A1) Propriedade associativa da adição:</p><p>a+ (b+ c) = a+ b+ c = (a+ b) + c .</p><p>A2) Propriedade comutativa da adição:</p><p>a+ b = b+ a .</p><p>A3) Propriedade do elemento neutro da adição:</p><p>a+ 0 = 0 + a = a .</p><p>A4) Propriedade do cancelamento da adição:</p><p>a+ b = a+ c⇒ b = c .</p><p>A6) Propriedade do elemento oposto: Existe único −a tal que</p><p>a+ (−a) = 0 = (−a) + a .</p><p>Em Z não vale a lei do anulamento (A5), já que a + b = 0 não necessariamente</p><p>implica a = b = 0, pois dois opostos somados resulta em zero (A6).</p><p>É importante frisar que o símbolo −, utilizado aqui para simbolizar o oposto de</p><p>um número, também é utilizado para indicar a operação de subtração, que veremos</p><p>adiante.</p><p>Observação 2.1: Note que (A6) não garante apenas a existência, mas também a</p><p>unicidade do oposto. Assim dado a ∈ Z, se para algum b ∈ Z sabe-se que a+ b = 0,</p><p>então a unicidade em (A6) garante que b = −a.</p><p>Números inteiros 25</p><p>2.2. Multiplicação</p><p>Continua sendo representada por ·.</p><p>· : Z×Z→ Z</p><p>(a, b) 7→ a · b .</p><p>Os números a e b são os fatores, e a · b é o produto.</p><p>Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes propriedades.</p><p>M1) Propriedade associativa da multiplicação:</p><p>a · (b · c) = (a · b) · c .</p><p>M2) Propriedade comutativa da multiplicação:</p><p>a · b = b · a .</p><p>M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação:</p><p>a · 1 = 1 · a = a .</p><p>M4) Propriedade do cancelamento da multiplicação: Se c 6= 0 então</p><p>a · c = b · c⇒ a = b .</p><p>D) Propriedade distributiva:</p><p>(a+ b) · c = a · c+ b · c</p><p>a · (b+ c) = a · b+ a · c .</p><p>As propriedades acima implicam algumas proposições importantes. A proposição</p><p>abaixo nos diz que qualquer número inteiro multiplicado por 0, resulta em 0.</p><p>Proposição 2.1: Seja a ∈ Z, então a · 0 = 0 · a = 0.</p><p>Demonstração: Seja a ∈ Z:</p><p>0 + a · 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 .</p><p>Daí, pela propriedade do cancelamento da adição (A4):</p><p>0 + a · 0 = a · 0 + a · 0⇒ 0 = a · 0 .</p><p>�</p><p>Proposição 2.2: Seja a ∈ Z, então (−1) · a = −a.</p><p>Demonstração: Seja a ∈ Z. Note que</p><p>a+ (−1) · a = 1 · a+ (−1) · a = [1 + (−1)] · a = 0 · a = 0 .</p><p>Já que −a é o único oposto de a, segue que −a = (−1) · a.</p><p>�</p><p>26 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Ou seja, um número multiplicado por −1 resulta em seu oposto.</p><p>Proposição 2.3: Sejam a, b ∈ Z. Se a · b = 0 então a = 0 ou b = 0.</p><p>Demonstração: Se a = 0 o problema estaria resolvido. Então supõe-se que a 6= 0 e</p><p>deve-se provar que b = 0. Note que a · b = 0 = a ·0 e então, pela lei do cancelamento</p><p>(M4) e já que a 6= 0, segue que b = 0.</p><p>�</p><p>A partir de agora, denotaremos a · b simplesmente por ab.</p><p>2.3. Subtração</p><p>Dados a, b pertencentes a Z define-se a diferença a− b como</p><p>a− b = a+ (−b).</p><p>Assim a subtração em Z é uma função</p><p>− : Z×Z→ Z</p><p>(a, b) 7→ a+ (−b) .</p><p>Não é associativa, nem comutativa e não há elemento neutro. Vejamos algumas</p><p>propriedades que envolvem a subtração.</p><p>Proposição 2.4: Sejam a, b ∈ Z, então (a− b) + b = a.</p><p>Demonstração:</p><p>(a− b) + b = [a+ (−b)] + b</p><p>A1= a+ [(−b) + b] A6= a+ 0 A3= a .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.1: (7− 9) + 9 = 7 e (−3− 1) + 1 = −3.</p><p>�</p><p>Proposição 2.5: Sejam a, b ∈ Z, então −(a+ b) = (−a) + (−b) = −a− b.</p><p>Demonstração: Note que</p><p>a+ b+ [(−a) + (−b)] A1,A2= [a+ (−a)] + [b+ (−b)] A6= 0 + 0 A3= 0 .</p><p>Logo já</p><p>que o oposto é único</p><p>−(a+ b) = (−a) + (−b) ,</p><p>que por definição é igual a −a− b.</p><p>�</p><p>Números inteiros 27</p><p>Exemplo 2.2: −(5 + 1) = −5−1 = −6 e −(−3 + 12) = −(−3)−12 = 3−12 = −9.</p><p>�</p><p>Proposição 2.6: Sejam a, b ∈ Z, então −(ab) = (−a)b = a(−b).</p><p>Demonstração: Utilizando propriedades e proposições anteriores:</p><p>(−a)b Prop.2.2= [(−1)a]b M1= (−1)(ab) Prop.2.2= −(ab) .</p><p>A segunda igualdade pode ser demonstrada de forma análoga.</p><p>�</p><p>Exemplo 2.3: −(7 · 9) = (−7) · 9 = 7 · (−9) = −63.</p><p>�</p><p>A próxima proposição nos garante que o oposto do oposto de um número, é o próprio</p><p>número.</p><p>Proposição 2.7: Seja a ∈ Z, então −(−a) = a.</p><p>Demonstração: Pela propriedade (A6) tem-se que</p><p>−a+ a = 0 .</p><p>Portanto a é o oposto de −a, ou seja, a = −(−a).</p><p>�</p><p>Observação 2.2: Dado a ∈ Z, nem sempre −a significa um número negativo.</p><p>• se a é um número positivo então −a é de fato negativo;</p><p>• se a é negativo então seu oposto −a representa um número positivo;</p><p>Proposição 2.8: Sejam a, b ∈ Z, então (−a)(−b) = ab.</p><p>28 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Demonstração:</p><p>(−a)(−b) Prop.2.6= −[a(−b)] Prop.2.6= −[−(ab)] Prop.2.7= ab .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.4: Segue que</p><p>(−7)(−15) = 7 · 15 = 105</p><p>e</p><p>(−3)(21) = 3(−21) = −63 .</p><p>�</p><p>Proposição 2.9: Sejam a, b ∈ Z, então −(a− b) = b− a.</p><p>Demonstração: Note que</p><p>(a− b) + (b− a) A1= a+ [(−b) + b] + (−a) A6= a+ (−a) A6= 0 .</p><p>Como o oposto é único, segue que b− a = −(a− b).</p><p>�</p><p>Exemplo 2.5: −(23− 11) = 11− 23 = −12 e −(−3− 1) = 1− (−3) = 1 + 3 = 4.</p><p>�</p><p>Proposição 2.10: Sejam a, b, c ∈ Z, então a(b− c) = ab− ac.</p><p>Demonstração:</p><p>a(b− c) = a[b+ (−c)] D= ab+ a(−c) Prop.2.6= ab+ (−ac) = ab− ac .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.6: Note que</p><p>3(2− 19) = 3 · 2− 3 · 19 = 6− 57 = −51</p><p>e</p><p>4(−3− 1) = 4(−3)− 4 · 1 = −12− 4 = −16 .</p><p>�</p><p>3. Relação de ordem</p><p>Definição 2.1: Dados a, b inteiros diz-se que “a é menor ou igual a b” quando b−a</p><p>pertence a Z+.</p><p>Números inteiros 29</p><p>Simbolicamente</p><p>a ≤ b⇔ b− a ∈ Z+ .</p><p>É equivalente à b ≥ a ou “b é maior ou igual a a”, ou</p><p>a ≤ b⇔ ∃c ∈ Z+ : a+ c = b ,</p><p>pois basta escolher c = b− a.</p><p>A relação ≤ satisfaz quatro importantes propriedades.</p><p>Proposição 2.11: Sejam a, b, c ∈ Z.</p><p>1) Reflexiva: a ≤ a.</p><p>2) Antissimétrica: a ≤ b, b ≤ a⇒ a = b.</p><p>3) Transitiva: a ≤ b, b ≤ c⇒ a ≤ c.</p><p>4) Total: a ≤ b ou b ≤ a.</p><p>Demonstração: 1) Note que a− a = 0 ∈ Z+. Logo a ≤ a.</p><p>2) Segue:</p><p>a ≤ b⇒ b− a ∈ Z+ ,</p><p>b ≤ a⇒ a− b ∈ Z+ .</p><p>Ou seja, b− a = a− b = 0 e portanto a = b.</p><p>3) Segue:</p><p>a ≤ b⇒ b− a ∈ Z+ ,</p><p>b ≤ c⇒ c− b ∈ Z+ .</p><p>Daí, c− a = (c− b) + (b− a) ∈ Z+ e portanto a ≤ c.</p><p>4) Sejam a, b ∈ Z+ e note que b− a ∈ Z+ ou b− a ∈ Z∗</p><p>−. No primeiro caso a ≤ b e</p><p>no segundo b ≤ a.</p><p>�</p><p>Consequentemente a relação ≤ em Z é dita relação de ordem total em Z. Qualquer</p><p>relação num dado conjunto que satisfaça os 4 itens acima é dita relação de ordem</p><p>total. Vejamos mais algumas propriedades que envolvem a relação de ordem ≤.</p><p>Proposição 2.12: Seja a ∈ Z.</p><p>0 ≤ a⇔ −a ≤ 0 .</p><p>Demonstração:</p><p>0 ≤ a⇔ a ∈ Z+</p><p>Prop.2.7⇔ −(−a) ∈ Z+ ⇔ 0− (−a) ∈ Z+ ⇔ −a ≤ 0 .</p><p>�</p><p>30 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Proposição 2.13: Seja a ∈ Z.</p><p>a ≤ 0⇔ 0 ≤ −a .</p><p>Demonstração:</p><p>a ≤ 0⇔ 0− a ∈ Z+ ⇔ −a− 0 ∈ Z+ ⇔ 0 ≤ −a .</p><p>�</p><p>Proposição 2.14: Sejam a, b, c ∈ Z.</p><p>1) a ≤ b⇔ a+ c ≤ b+ c.</p><p>2) a ≤ b, 0 ≤ c⇒ ac ≤ bc.</p><p>3) a ≤ b, c ≤ 0⇒ bc ≤ ac.</p><p>Demonstração: 1) Note que</p><p>a ≤ b⇔ b− a ∈ Z+ ⇔ b+ c− c− a ∈ Z+ ⇔ b+ c− (a+ c) ∈ Z+ ⇔ a+ c ≤ b+ c .</p><p>2) Segue:</p><p>a ≤ b⇒ b− a ∈ Z+ ⇒ c(b− a) ∈ Z+ ⇒ bc− ac ∈ Z+ .</p><p>Ou seja, ac ≤ bc.</p><p>3) Muito parecida à demonstração acima:</p><p>a ≤ b⇒ b− a ∈ Z+ ⇒ c(b− a) ∈ Z− ⇒ −c(b− a) ∈ Z+ ⇒ ac− bc ∈ Z+ .</p><p>Ou seja, bc ≤ ac.</p><p>�</p><p>Exemplo 2.7:</p><p>7 ≤ 11⇒ 7 + 5 ≤ 11 + 5⇒ 12 ≤ 16,</p><p>−15 ≤ 0⇒ −15 + (−7) ≤ 0 + (−7)⇒ −22 ≤ −7 .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.8:</p><p>−4 ≤ 1⇒ (−4) · 5 ≤ 1 · 5⇒ −20 ≤ 5,</p><p>5 ≤ 13⇒ 5 · 8 ≤ 13 · 8⇒ 40 ≤ 104 .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.9:</p><p>4 ≤ 9⇒ 9 · (−15) ≤ 4 · (−15)⇒ −135 ≤ −60,</p><p>−5 ≤ 2⇒ 2(−9) ≤ (−5)(−9)⇒ −18 ≤ 45 .</p><p>�</p><p>Números inteiros 31</p><p>Proposição 2.15: Sejam a, b ∈ Z.</p><p>a ≤ b⇒ −b ≤ −a .</p><p>Demonstração:</p><p>a ≤ b Prop.2.14(1)⇒ a− b ≤ b− b⇒ a− b ≤ 0</p><p>Prop.2.14(1)⇒ a− b− a ≤ 0− a A2,A3⇒ −b ≤ −a .</p><p>�</p><p>Exemplo 2.10:</p><p>−4 ≤ 1⇒ −1 ≤ 4,</p><p>3 ≤ 13⇒ −13 ≤ −3 .</p><p>�</p><p>Proposição 2.16: Sejam a, b ∈ Z.</p><p>1) 0 ≤ a, 0 ≤ b⇒ 0 ≤ ab.</p><p>2) a ≤ 0, 0 ≤ b⇒ ab ≤ 0.</p><p>3) a ≤ 0, b ≤ 0⇒ 0 ≤ ab.</p><p>Demonstração: 1) Segue da Proposição 2.14, item 2).</p><p>2) Segue da Proposição 2.14, item 3).</p><p>3) Segue da Proposição 2.14, item 3).</p><p>�</p><p>Exemplo 2.11: Vejamos um exemplo de uso para cada item acima:</p><p>0 ≤ 11, 0 ≤ 13⇒ 0 ≤ 11 · 13⇒ 143,</p><p>0 ≤ 8,−4 ≤ 0⇒ 8(−4) ≤ 0⇒ −32 ≤ 0,</p><p>−9 ≤ 0,−11 ≤ 0⇒ 0 ≤ (−9)(−11)⇒ 0 ≤ 99 .</p><p>�</p><p>Proposição 2.17: Sejam a, b, c, d ∈ Z. Se a ≤ b, c ≤ d então a+ c ≤ b+ d.</p><p>Demonstração:</p><p>a ≤ b⇒ b− a ∈ Z+ ,</p><p>c ≤ d⇒ d− c ∈ Z+ .</p><p>Daí, (b+ d)− (a+ c) = (b− a) + (d− c) ∈ Z+ e portanto a+ c ≤ b+ d.</p><p>32 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>�</p><p>Exemplo 2.12:</p><p>4 ≤ 7, 1 ≤ 12⇒ 4 + 1 ≤ 7 + 12⇒ 5 ≤ 19,</p><p>−10 ≤ 1, 2 ≤ 91⇒ −10 + 2 ≤ 1 + 91⇒ −8 ≤ 92 .</p><p>�</p><p>Além da relação “menor ou igual”, pode-se definir a relação “menor”.</p><p>Definição 2.2: Dados a, b inteiros diz-se que “a é menor que b” quando b − a</p><p>pertence a Z∗</p><p>+. Simbolicamente</p><p>a < b⇔ b− a ∈ Z∗</p><p>+ ,</p><p>ou ainda</p><p>a < b⇔ ∃c ∈ Z∗</p><p>+ : b = a+ c .</p><p>É importante mencionar que todas proposições acima mencionadas continuam va-</p><p>lendo ao se trocar ≤ por <.</p><p>Proposição 2.18: (Tricotomia) Dado a ∈ Z somente uma das opções abaixo ocorre.</p><p>1) a < 0,</p><p>2) a = 0,</p><p>3) 0 < a.</p><p>�</p><p>A proposição acima pode ser demonstrada utilizando-se argumentos de lógica.</p><p>3.1. Princípio da boa ordem (PBO) em N</p><p>Definição 2.3: Diz-se que a é o menor elemento de um subconjunto não vazio S</p><p>de N quando a ∈ S e para todo b ∈ S vale a ≤ b.</p><p>Teorema 2.1: Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor</p><p>elemento.</p><p>�</p><p>Exemplo 2.13:</p><p>A = {2, 3, 4 . . . } → menor elemento: 2 ,</p><p>A = {8, 12, 16, 20 . . . } → menor elemento: 8 ,</p><p>A = { números pares } → menor elemento: 0 .</p><p>Números inteiros 33</p><p>As duas proposições seguintes são consequências do PBO. Para demonstrar o pri-</p><p>meiro deles utiliza-se um método chamado “demonstração por absurdo”, que funci-</p><p>ona baseado na lógica.</p><p>Quando se tem uma sentença verdadeira, tudo que se concluir a partir dela será</p><p>também verdadeiro. Portanto, qualquer sentença que implica em uma mentira deve</p><p>ser falsa. É assim que este método de demonstração funciona: suponha algo que</p><p>desconfia ser falso, e conclua uma mentira óbvia. Assim a suposição inicial é de fato</p><p>falsa.</p><p>Proposição 2.19: Se a ∈ N e 0 ≤ a ≤ 1 então a = 0 ou a = 1.</p><p>Demonstração: Por absurdo, suponha que existe número natural b entre 0 e 1 que</p><p>seja diferente desses.</p><p>Defina o conjunto</p><p>S = {c ∈ N : 0 < c < 1} ,</p><p>que é não vazio já que b ∈ S, e note que S ⊂ N. Pelo PBO existe m ∈ S tal que</p><p>m ≤ c para todo c ∈ S. Por estar em S segue que 0 < m < 1.</p><p>Multiplicando esta desigualdade por m obtém-se 0 < m2 < m que juntamente com</p><p>a desigualdade inicial implica</p><p>0 < m2 < m < 1 .</p><p>Portanto m2 está em S e é menor que m. Absurdo!</p><p>Logo não pode existir número natural estritamente entre 0 e 1.</p><p>�</p><p>Proposição 2.20: Se a, b ∈ N∗ então existe um menor n ∈ N∗ tal que b < na.</p><p>Demonstração: Defina o conjunto</p><p>S = {n ∈ N∗ : b < na} .</p><p>Note que S 6= ∅ pois b+ 1 ∈ S e que S ⊂ N. Pelo PBO existe um menor m ∈ S que</p><p>satisfaz a proposição.</p><p>�</p><p>Exemplo 2.14: Dados 4 e 22, o número 6 é o menor natural tal que 22 < 6 · 4.</p><p>�</p><p>3.2. Princípio do menor inteiro (PMI) em Z</p><p>Considere duas importantes definições.</p><p>34 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Definição 2.4: (Conjunto limitado inferiormente); Seja A um subconjunto de nú-</p><p>meros inteiros. Diz-se que A é limitado inferiormente quando existe inteiro m tal</p><p>que m ≤ a para todo a ∈ A.</p><p>Note que m não precisa estar em A.</p><p>Exemplo 2.15: O conjunto A = {−3,−2,−1 . . . } é limitado inferiormente por</p><p>qualquer inteiro menor ou igual a −3.</p><p>Exemplo 2.16: O conjunto A = { números pares } em Z não é limitado inferior-</p><p>mente.</p><p>Definição 2.5: (Elemento mínimo) Seja m um elemento pertencente ao conjunto</p><p>A. Diz-se que m é o elemento mínimo de A quando m ≤ a para todo a ∈ A.</p><p>O elemento mínimo deve estar no conjunto em questão. Este é denotado por</p><p>m = min(A) .</p><p>Agora o PMI.</p><p>Teorema 2.2: Se A é um subconjunto não nulo de Z e A é limitado inferiormente</p><p>então</p><p>A possui um mínimo.</p><p>�</p><p>Ou seja, se um subconjunto de números inteiros é limitado inferiormente, então</p><p>pode-se encontrar um elemento de A que é o menor entre todos os elementos de A.</p><p>4. Exercícios</p><p>Exercício 2.1: Por qual motivo criamos o conjunto dos números inteiros, Z?</p><p>Exercício 2.2: Quais os elementos de Z∗</p><p>+? E de Z−?</p><p>Exercício 2.3: Em Z, qual propriedade adicional a soma satisfaz?</p><p>Exercício 2.4: O termo −a, para a ∈ Z, é sempre negativo? Explique e exemplifi-</p><p>que.</p><p>Números inteiros 35</p><p>Exercício 2.5: Resolva:</p><p>a) 93− (47 + 22)23− 983</p><p>b) 9− 8 + 7− 6 + 5− 4 + 3− 2 + 1</p><p>c) 9− (8− (7− (6− (5− (4− (3− (2− 1)))))))</p><p>d) 9393− 233 + 92837− (78(93− 18(23 + 99)))</p><p>e) 8493 + 49(22− 34)− 234(83 + 939)− 13</p><p>f) 8439− 3112(383 + 94(38− 122))</p><p>g) −2387 + 39874− 245987 + 387(397 + 1211− 4444)</p><p>h) (3903− 4232)(−138) + 393(394− 3984)</p><p>i) 987654321− 123456789.</p><p>Exercício 2.6: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = a− b+ 4 .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui</p><p>Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?</p><p>Exercício 2.7: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = b+ a− 1 .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui</p><p>Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?</p><p>Exercício 2.8: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = 3 + b− a .</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui</p><p>Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?</p><p>Exercício 2.9: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação</p><p>a ∗ b = a− 3b .</p><p>36 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui</p><p>Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?</p><p>Exercício 2.10: Demonstre que “para todo inteiro a, tem-se (−1)a = −a”.</p><p>Exercício 2.11: Liste o máximo de propriedades que a subtração não satisfaz.</p><p>Exercício 2.12: Demonstre que “para todo inteiro a, tem-se −(−a) = a”.</p><p>Exercício 2.13: A soma de dois inteiros positivos é 10. Qual o valor máximo e o</p><p>valor mínimo da soma dos seus quadrados?</p><p>Exercício 2.14: Geometricamente falando, dados a, b ∈ Z, o que significa |b− a|?</p><p>Exercício 2.15: Qual o significado do princípio da boa ordem (PBO)?</p><p>Exercício 2.16: Encontre aplicações práticas (não necessariamente úteis) do PBO.</p><p>Exercício 2.17: Quais itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos?</p><p>a) (123)4 ≤ (221)3</p><p>c) (3166)8 ≤ (3611)7</p><p>e) (16)9 ≤ (444)5</p><p>g) (8888)9 < (77777)9</p><p>i) (242)5 ≤ (74)9</p><p>k) (454)7 = (2244)5</p><p>b) (22)3 ≤ (111)2</p><p>d) (224)9 < (5255)7</p><p>f) (12121)3 ≤ (1111)4</p><p>h) (2102)4 ≤ (312)6</p><p>j) (276455)8 ≤ (15677)9</p><p>l) (12212)3 ≤ (1231)4.</p><p>Números inteiros 37</p><p>Exercício 2.18: Quais são as 4 propriedades que a relação ≤ satisfaz em Z?</p><p>Exercício 2.19: Dados a, b ∈ Z defina a seguinte relação:</p><p>a@b⇔ a+ b é positivo ou 0 .</p><p>Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva?</p><p>Exercício 2.20: Dados a, b ∈ Z defina a seguinte relação:</p><p>a@b⇔ a+ b = 2 .</p><p>Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva?</p><p>CAPíTULO 3</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da</p><p>aritmética</p><p>Este assunto é abordado nos livros VII, VIII, IX dos Elementos de Euclides (300</p><p>a.C.)</p><p>1. Algoritmo da divisão</p><p>1 8 2</p><p>− 1 2</p><p>6 2</p><p>− 6 0</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 5</p><p>182 é o dividendo, 12 o divisor, 15 o quociente e 2 o resto. O resto deve sempre ser</p><p>menor que o divisor.</p><p>Sempre pode-se tirar a prova real:</p><p>182 = 12 · 15 + 2 .</p><p>Teorema 3.1: (Algoritmo da divisão em N) Sejam a, b ∈ N com b 6= 0. Então</p><p>existe único par de números naturais q, r com 0 ≤ r < b tais que</p><p>a = bq + r .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.1: Dados a = 7 e b = 4, segue que</p><p>7 = 4 · 1 + 3 .</p><p>Note que de fato 3 < 4.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.2: Para a = 5 e b = 13, segue que</p><p>5 = 13 · 0 + 5 .</p><p>Note que 5 < 13.</p><p>39</p><p>40 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>�</p><p>Analise a divisão abaixo.</p><p>1 1 4</p><p>− 7</p><p>4 4</p><p>− 4 2</p><p>2</p><p>7</p><p>1 6</p><p>O que se faz é utilizar o algoritmo da divisão duas vezes.</p><p>11 = 7 · 1 + 4</p><p>⇒ 110 = 7 · 10 + 40</p><p>⇒ 114 = 7 · 10 + 44</p><p>Agora para o 44</p><p>44 = 7 · 6 + 2</p><p>Juntando as duas equações obtém-se</p><p>144 = 7 · 10 + 7 · 6 + 2</p><p>= 7 · 16 + 2 .</p><p>Teorema 3.2: (Algoritmo da divisão em Z) Sejam a, b ∈ Z com b 6= 0. Então</p><p>existe único par de números inteiros q, r com 0 ≤ r < |b| tais que</p><p>a = bq + r .</p><p>�</p><p>Assim o resto é sempre um número não negativo, independentemente de se estar no</p><p>conjunto dos números naturais ou dos números inteiros.</p><p>Exemplo 3.3: Para a = −55 e b = 4, segue que:</p><p>−55 = 4 · (−14) + 1 .</p><p>Temos 1 < 4.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.4: Dados a = 67 e b = −5, temos:</p><p>67 = (−5) · (−13) + 2 .</p><p>e 2 < | − 5|.</p><p>�</p><p>Observação 3.1: Considere o divisor b = 2. Então só há dois possíveis restos: 0</p><p>ou 1. Assim para qualquer a inteiro tem-se apenas duas possibilidades.</p><p>a = 2q + 0→ pares,</p><p>a = 2q + 1→ ímpares.(1)</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 41</p><p>�</p><p>Observação 3.2: Para o divisor b = 3 tem-se 3 possíveis restos e, portanto, seguem</p><p>as três possibilidades para um inteiro a:</p><p>a = 3q + 0 ,</p><p>a = 3q + 1 ,</p><p>a = 3q + 2 .</p><p>(2)</p><p>Com isso podemos separar o conjunto Z em três partes disjuntas.</p><p>resto 0: {. . .− 6,−3, 0, 3 . . .} ,</p><p>resto 1: {. . .− 5,−2, 1, 4 . . .} ,</p><p>resto 2: {. . .− 4,−1, 2, 5 . . .} .</p><p>(3)</p><p>�</p><p>Observação 3.3: Generalizando para um divisor b 6= 0 qualquer, todo inteiro a pode</p><p>ser expresso de uma das b formas a seguir.</p><p>a = bq + 0 ,</p><p>a = bq + 1 ,</p><p>...</p><p>a = bq + (b− 1) .</p><p>(4)</p><p>�</p><p>Exemplo 3.5: Determine todos os números naturais que na divisão euclidiana por</p><p>7 têm o quociente igual ao dobro do resto.</p><p>Seja n o tal número procurado. Assim</p><p>n = 7q + r ,</p><p>onde q = 2r e 0 ≤ r < 7. Então</p><p>n = 7 · 2r + r ,</p><p>que implica n = 15r. Como 0 ≤ r < 7 conclui-se que</p><p>n ∈ {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90} .</p><p>�</p><p>Exemplo 3.6: Quais números naturais de dois algarismos, quando divididos pela</p><p>soma de seus algarismos, resulta quociente 4 e resto zero?</p><p>Seja n o número de dois dígitos procurado. Assim n = 10a + b (1 ≤ a ≤ 9 e</p><p>0 ≤ b ≤ 9) e, portanto a hipótese implica que:</p><p>10a+ b = (a+ b)4 ,</p><p>42 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>e daí 2a = b. Com isso tem-se apenas a ∈ {1, 2, 3, 4} (para que b seja apenas um</p><p>dígito) e então</p><p>n ∈ {12, 24, 36, 48} .</p><p>�</p><p>2. Múltiplos e divisores</p><p>Definição 3.1: (Divisibilidade em N) Sejam a, b números naturais. Diz-se que a é</p><p>divisor de b quando existe um número natural n tal que b = an.</p><p>Definição 3.2: (Divisibilidade em Z) Sejam a, b números inteiros. Diz-se que a é</p><p>divisor de b quando existe um número inteiro n tal que b = an.</p><p>Note que nos dois casos, n também é um divisor de b.</p><p>Exemplo 3.7: O número 48 é divisor de 144 pois 144 = 48 · 3.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.8: Em Z o número −15 é divisor de 90 pois 90 = (−15) · (−6).</p><p>�</p><p>Notação: a|b (traço vertical).</p><p>Pelos exemplos acima, 48|144 e (−15)|90. Caso contrário 3 - 8.</p><p>Simbolicamente tem-se</p><p>(∀a, b ∈ Z)(a|b⇔ ∃n ∈ Z : b = an) .</p><p>São equivalentes as seguintes sentenças.</p><p>• a é divisor de b.</p><p>• a divide b.</p><p>• b é divisível por a.</p><p>• b é múltiplo de a.</p><p>Vamos analisar o que acontece se a ou b é igual a zero:</p><p>1) Se a 6= 0 e b = 0: Já que 0 = an vale para n = 0, segue que a|0, ∀a ∈ Z∗.</p><p>2) Se a = 0 e b 6= 0: A equação b = 0 ·n nunca ocorre. Portanto 0 - b, ∀b ∈ Z∗.</p><p>3) Se a = 0 e b = 0: Note que 0 = 0 ·n é sempre verdade ∀n ∈ Z. Consequen-</p><p>temente vale 0|0.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 43</p><p>Portanto o zero divide apenas o zero. Assim, ao utilizarmos a expressão a|b, estará</p><p>implícito que não ocorre simultaneamente que a = 0 e b 6= 0.</p><p>Observação 3.4: O fato de n no item 3) acima poder assumir qualquer valor, nos</p><p>impossibilita de definir o número 0</p><p>0 .</p><p>Sejam a, b, c ∈ Z. Vejamos algumas propriedades a respeito da divisibilidade.</p><p>Proposição 3.1: Para todo número inteiro a tem-se que a divide a.</p><p>Demonstração: De fato a = a · 1.</p><p>�</p><p>Proposição 3.2: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b e b divide c então a divide c.</p><p>Demonstração: A hipótese a|b significa, por definição, que existe número inteiro</p><p>n tal que b = an, assim como b|c implica a existência de um número inteiro m tal</p><p>que c = bm. Daí obtém-se c = anm que é a definição de a|c.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.9: Pela proposição acima, (−4)|8 e 8|24 implicam que −4|24.</p><p>�</p><p>Proposição 3.3: Sejam a,</p><p>b, c ∈ Z. Se a divide b e b divide a então a = b ou</p><p>a = −b.</p><p>Demonstração: Novamente por definição a hipótese a|b implica b = an para algum</p><p>número inteiro n. Assim como b|a implica a = bm para algum inteiro m. Então</p><p>a = anm ,</p><p>que pela lei do cancelamento (M4) implica 1 = nm. No conjunto dos números</p><p>inteiros tem-se portanto que ou n = m = 1 ou n = m = −1. Logo a = b ou a = −b.</p><p>�</p><p>Proposição 3.4: Sejam a, b ∈ Z. Se a divide b então a divide bc para qualquer</p><p>número inteiro c.</p><p>Demonstração: De a|b segue que existe número inteiro n tal que b = an e portanto</p><p>bc = anc. Daí obtém-se a|bc.</p><p>�</p><p>44 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Exemplo 3.10: Da proposição acima:</p><p>3|21⇒ 3|21 · 2⇒ 3|42 e</p><p>−5|15⇒ −5|15(−6)⇒ −5| − 90 .</p><p>�</p><p>Da proposição também segue o seguinte.</p><p>Corolário 3.1: Sejam a, b ∈ Z. Se a divide b então ac divide bc para qualquer</p><p>número inteiro c.</p><p>�</p><p>Proposição 3.5: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b e a divide c então a divide b + c</p><p>e b− c.</p><p>Demonstração: De a|b e a|c conclui-se a existência de dois números inteiros n,m</p><p>tais que b = an e c = am. Logo b+ c = a(n+m) e b− c = a(n−m) e o resultado</p><p>segue.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.11: Segue da proposição acima:</p><p>7|21 e 7| − 42⇒ 7|(21 + (−42))⇒ 7| − 21 e</p><p>−10|30,−10|80⇒ −10|(30− 80)⇒ −10| − 50 .</p><p>�</p><p>Proposição 3.6: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b+ c e a divide b então a divide c.</p><p>Demonstração: De a|(b + c) e a|b tem-se dois números inteiros n,m tais que</p><p>b+ c = an e b = am. Logo c = b+ c− b = a(n−m) e o resultado segue.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.12: Segue da proposição acima:</p><p>8|(24 + 32) e 8|24⇒ 8|32 e</p><p>2|(4 + 40) e 2| ⇒ 2|40 .</p><p>�</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 45</p><p>3. Critérios de divisibilidade</p><p>Emmuitas situações é necessário saber se um dado número é divisível por um número</p><p>primo, por exemplo, no intuito de fatorá-lo. Portanto estudaremos e provaremos</p><p>a validade de alguns critérios de divisibilidade. O mais simples é o critério de</p><p>divisibilidade por 2.</p><p>Definição 3.3: Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par.</p><p>Exemplo 3.13: Os números inteiros 1432 e −322 são divisíveis por 2, enquanto os</p><p>números 67 e −10101 não, pois são ímpares.</p><p>�</p><p>Esse é um critério óbvio que surge da definição de números pares. Alguns critérios</p><p>serão enunciados na forma de proposições, pois requerem uma demonstração.</p><p>Critério da divisibilidade por 3.</p><p>Proposição 3.7: Um número inteiro a é divisível por 3 se e somente se a soma de</p><p>seus algarismos é divisível por 3.</p><p>Demonstração: Seja a = a1a2 . . . an um número com n dígitos a1, a2 . . . , an. Note</p><p>que</p><p>a = a1a2 . . . an</p><p>= a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + . . .+ an · 100</p><p>= a1 + 99 . . . 9︸ ︷︷ ︸</p><p>n−2</p><p>· a1 + a2 + 99 . . . 9︸ ︷︷ ︸</p><p>n−3</p><p>· a2 + . . .+ an−1 + 9 · an−1 + an</p><p>= 9 ·</p><p>11 . . . 1︸ ︷︷ ︸</p><p>n−2</p><p>· a1 + 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸</p><p>n−3</p><p>· a2 . . .+ an−1</p><p>+ (a1 + a2 + . . .+ an) .</p><p>Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 3, pois é múltiplo de</p><p>9, temos que a é divisível por 3 se e somente se a1 + a2 + . . .+ an também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.14: O número 3473115 é divisível por 3 pois</p><p>3 + 4 + 7 + 3 + 1 + 1 + 5 = 24</p><p>e</p><p>2 + 4 = 6</p><p>que é múltiplo de 3. Já o número −9392 não é divisível por 3, já que</p><p>9 + 3 + 9 + 2 = 23</p><p>e</p><p>2 + 3 = 5</p><p>46 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>que não é divisível por 3.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 5.</p><p>Proposição 3.8: Um número inteiro a é divisível por 5 se e somente se termina</p><p>em 5 ou 0.</p><p>Demonstração: Basta notar que 5 multiplicado por um número par termina em 0</p><p>e multiplicado por um número ímpar termina em 5.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.15: Pela proposição acima, os números inteiros −234923740 e 3155 são</p><p>divisíveis por 5, enquanto os números 19384 e −123731 não, pois não terminam em</p><p>0 nem em 5.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 7.</p><p>Proposição 3.9: Um número inteiro a é divisível por 7 se e somente se o dobro</p><p>do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é divisível</p><p>por 7.</p><p>Demonstração: Considere a = a1a2 um número com n−1 algarismos condensados</p><p>em a1 e outro algarismo a2. Vamos provar que a divisibilidade de a por 7 equivale</p><p>a divisibilidade de a1 − 2a2 por 7. Suponha que a seja divisível por 7. Então</p><p>a = 10a1 + a2 = 7k ⇒ a2 = 7k − 10a1 ,</p><p>para algum k ∈ Z. Daí</p><p>a = 10a1 + a2</p><p>= (9a1 + 3a2) + (a1 − 2a2)</p><p>= (9a1 + 3 · (7k − 10a1)) + (a1 − 2a2)</p><p>= (9a1 + 21k − 30a1) + (a1 − 2a2)</p><p>= (21k − 21a1) + (a1 − 2a2)</p><p>= 21(k − a1) + (a1 − 2a2) .</p><p>Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 7, pois é múltiplo de</p><p>21, temos que a é divisível por 3 se e somente se a1 − 2a2 também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.16: Vamos descobrir se o número inteiro 20481 é divisível por 7. Para</p><p>isso, precisamos decidir se</p><p>2048− 2 · 1 = 2046</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 47</p><p>é divisível por 7. Aplicando novamente o método, precisamos descobrir se</p><p>204− 2 · 6 = 192</p><p>é divísivel por 7. Mais uma vez aplicando o método, note que</p><p>19− 2 · 2 = 15</p><p>não é divisível por 7. Portanto o número inicial 20481 também não é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.17: Vamos analisar a divisibilidade de 25613 por 7.</p><p>2561− 2 · 3 = 2555.</p><p>Daí</p><p>255− 2 · 5 = 245.</p><p>Mais uma vez aplicando o método:</p><p>24− 2 · 5 = 14 ,</p><p>que é divisível por 7. Portanto o número 25613 é divisível por 7.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 11. Dado um número inteiro a, considere seu algarismo</p><p>das unidades o primeiro, o algarismo das dezenas o segundo, o algarismo das centenas</p><p>o terceiro algarismo e assim sucessivamente.</p><p>Proposição 3.10: Um número inteiro a é divisível por 11 se e somente se a di-</p><p>ferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de</p><p>ordem par for divisível por 11.</p><p>Demonstração: Vamos separar a demonstração em dois casos. Em cada um fare-</p><p>mos a demonstração para um número pequeno de algarismos, pois para a demons-</p><p>tração completa basta generalizarmos utilizando o Princípio de indução.</p><p>1o caso: a tem uma quantidade par de algarismos: Vamos ilustrar esse caso com um</p><p>número de 4 algarismos a = a1a2a3a4. Daí</p><p>a = 1000a1 + 100a2 + 10a3 + a4</p><p>= (1001a1 + 99a2 + 11a3) + [(a2 + a4)− (a1 + a3)]</p><p>= 11(91a1 + 9a2 + a3) + [(a2 + a4)− (a1 + a3)] .</p><p>Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é</p><p>divisível por 11 se e somente se (a2 + a4)− (a1 + a3) também é.</p><p>2o caso: a tem uma quantidade ímpar de algarismos: Vamos ilustrar esse caso com</p><p>um número de 5 algarismos a = a1a2a3a4a5. Daí</p><p>a = 10000a1 + 1000a2 + 100a3 + 10a4 + a5</p><p>= (9999a1 + 1001a2 + 99a3 + 11a4) + [(a1 + a3 + a5)− (a2 + a4)]</p><p>= 11(909a1 + 91a2 + 9a3 + a4) + [(a1 + a3 + a5)− (a2 + a4)] .</p><p>48 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é</p><p>divisível por 11 se e somente se (a1 + a3 + a5)− (a2 + a4) também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.18: Vamos analisar a divisibilidade de 197346 por 11.</p><p>6 + 3 + 9− (4 + 7 + 1) = 18− 12 = 6 .</p><p>Logo o número 197346 não é divisível por 11.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.19: Para o número 3193487, note que</p><p>7 + 4 + 9 + 3− (8 + 3 + 1) = 23− 12 = 11 .</p><p>Logo o número 3193487 é divisível por 11.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 13.</p><p>Proposição 3.11: Um número inteiro a é divisível por 13 se e somente se o quá-</p><p>druplo do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é</p><p>divisível por 13.</p><p>Demonstração: Considere</p><p>a = a1a2 . . . an</p><p>um número com n algarismos a1, a2 . . . , an e denote k = a1a2 . . . an−1. Vamos provar</p><p>que a divisibilidade de a por 13 equivale a divisibilidade de 4an + k por 13. Note</p><p>que</p><p>n = 10k + an</p><p>= 13k + (an − 3k) .</p><p>Daí</p><p>13|n⇔ 13|4n⇔ 13|4(13k + (an − 3k))⇔ 13|(4an − 12k)⇔</p><p>⇔ 13|(4an − 12k + 13k)⇔ 13|(4an + k) .</p><p>Assim, a é divisível por 13 se e somente se 4an + k também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.20: Vejamos se 2873462 é divisível por 13.</p><p>287346 + 4 · 2 = 287354 .</p><p>Daí</p><p>28735 + 4 · 4 = 28751 .</p><p>Mais uma vez:</p><p>2875 + 4 · 1 = 2879 .</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 49</p><p>Novamente</p><p>287 + 4 · 9 = 323</p><p>e, por fim,</p><p>32 + 4 · 3 = 44 ,</p><p>que não é divisível por 13. Portanto o número 2873462 não é divisível por 13.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 17.</p><p>Proposição 3.12: Um número inteiro a é divisível</p><p>por 17 se e somente se o quín-</p><p>tuplo do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é</p><p>divisível por 17.</p><p>Demonstração: Considere</p><p>a = a1a2 . . . an</p><p>um número com n algarismos a1, a2 . . . , an e denote k = a1a2 . . . an−1. Vamos provar</p><p>que a divisibilidade de a por 17 equivale a divisibilidade de k − 5an por 17. Note</p><p>que</p><p>n = 10k + an</p><p>= 17k + (an − 7k) .</p><p>Daí</p><p>17|n⇔ 17|5n⇔ 17|5(17k + (an − 7k))⇔ 17|(5an − 35k)⇔</p><p>⇔ 17|(5an − 35k + 34k)⇔ 17|(5an − k)⇔ 17|(k − 5an) .</p><p>Assim, a é divisível por 17 se e somente se k − 5an também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.21: Vejamos se 87436 é divisível por 17.</p><p>8743− 5 · 6 = 8713 .</p><p>Daí</p><p>871− 5 · 3 = 856 .</p><p>Novamente</p><p>85− 5 · 6 = 55</p><p>e, por fim,</p><p>5− 5 · 5 = −20 ,</p><p>que não é divisível por 17. Portanto 87436 não é divisível por 17.</p><p>�</p><p>Critério da divisibilidade por 19.</p><p>50 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Proposição 3.13: Um número inteiro a é divisível por 19 se e somente se o dobro</p><p>do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é divisível</p><p>por 19.</p><p>Demonstração: Considere</p><p>a = a1a2 . . . an</p><p>um número com n algarismos a1, a2 . . . , an e denote k = a1a2 . . . an−1. Vamos provar</p><p>que a divisibilidade de a por 19 equivale a divisibilidade de k + 2an por 19. Note</p><p>que</p><p>n = 10k + an</p><p>= 19k + (an − 9k) .</p><p>Daí</p><p>19|n⇔ 19|2n⇔ 19|2(19k + (an − 9k))⇔ 19|(2an − 18k)⇔</p><p>⇔ 19|(2an − 18k + 19k)⇔ 19|(2an + k) .</p><p>Assim, a é divisível por 19 se e somente se 2an + k também é.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.22: Vejamos se 3598106 é divisível por 19.</p><p>359810 + 2 · 6 = 359822 .</p><p>Daí</p><p>35982 + 2 · 2 = 35986 .</p><p>Mais uma vez:</p><p>3598 + 2 · 6 = 3610 .</p><p>Novamente</p><p>361 + 2 · 0 = 361</p><p>e, por fim,</p><p>36 + 2 · 1 = 38 ,</p><p>que é divisível por 19. Portanto o número 3598106 é divisível por 19.</p><p>�</p><p>Note que se percebe um padrão nos critérios de divisibilidade: sempre devemos</p><p>somar ou subtrair um múltiplo do último dígito ao número inicial sem o último</p><p>algarismo, para então checar a divisibilidade. Caso o número remanescente ainda</p><p>seja muito grande, repete-se o processo.</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 51</p><p>4. Números primos</p><p>Os números primos são estudados desde 230 a.C., citados no crivo de Eratóstenes.</p><p>Muito se sabe a respeito destes números devido à Fermat (1601 - 1665), Euler (1707</p><p>- 1783), Hardy (1877 - 1947), Ramanujan (1887 - 1920), Erdös (1913 - 1996) entre</p><p>outros. Seu estudo pertence à área chamada Teoria dos números, e o interesse nesses</p><p>números foi renovado por conta da criptografia utilizada em transmissões de dados.</p><p>Definição 3.4: Um número natural p é primo quando:</p><p>1) p 6= 0 e p 6= 1.</p><p>2) Os únicos divisores de p são 1 e p.</p><p>De forma análoga define-se números primos no conjunto dos números inteiros.</p><p>Definição 3.5: Um número inteiro p é primo quando |p| é primo em N.</p><p>Exemplo 3.23: Assim</p><p>2, 5 e 37 são primos em N ,</p><p>−2,−19 e 37 são primos em Z .</p><p>Segue que 2 e -2 são os únicos primos pares em Z.</p><p>�</p><p>Pode-se dizer que um número inteiro p é primo quando:</p><p>1) p 6= 0, p 6= −1, p 6= 1,</p><p>2) os únicos divisores de p são 1,−1, p,−p.</p><p>Para descobrir se um dado número p é primo, temos de testar sua divisibilidade</p><p>quanto aos números que são menores que p. Mas perceba que pela Proposição 3.2,</p><p>é necessário apenas checar sua divisibilidade pelos números primos menores que p.</p><p>Outra constatação importante é que basta testar a divisibilidade pelos números</p><p>primos cujo quadrado são menores que o dado número. Para ilustrarmos essa cons-</p><p>tatação, considere o exemplo abaixo.</p><p>Exemplo 3.24: Vamos analisar se 101 é primo.</p><p>não é par⇒ não é divisível por 2 ,</p><p>1 + 0 + 1 = 2 que não é múltiplo de 3⇒ não é divisível por 3 ,</p><p>não termina em 0 nem em 5⇒ não é divisível por 5 ,</p><p>10− 2 · 1 = −1 que não é múltiplo de 7⇒ não é divisível por 7 .</p><p>Essa análise já nos garante que 101 é primo i.e., não precisamos analisar o próximo</p><p>primo, 11. A explicação é a seguinte: se 101 é divisível por 11, então já que 11 ·11 ></p><p>101, haverá outro número menor que 11 que será divisor de 101. Ou seja, teremos</p><p>52 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>algum primo menor que 11 que divide 101, mas como já testamos todos esses e a</p><p>divisibilidade falhou, o número 101 é primo.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.25: Vamos descobrir se 389 é primo. Pelos critérios de divisibilidade</p><p>estudados na seção anterior:</p><p>não é par⇒ não é divisível por 2 ,</p><p>3 + 8 + 9 = 20 que não é múltiplo de 3⇒ não é divisível por 3 ,</p><p>não termina em 0 nem em 5⇒ não é divisível por 5 ,</p><p>38− 2 · 9 = 20 que não é múltiplo de 7⇒ não é divisível por 7 ,</p><p>9 + 3− 8 = 4 que não é múltiplo de 11⇒ não é divisível por 11 ,</p><p>38 + 4 · 9 = 74 que não é múltiplo de 13⇒ não é divisível por 13 ,</p><p>38− 5 · 9 = −7 que não é múltiplo de 17⇒ não é divisível por 17 ,</p><p>38 + 2 · 9 = 56 que não é múltiplo de 19⇒ não é divisível por 19 .</p><p>O próximo primo é 23, mas 23 · 23 = 529 > 389 e portanto não precisamos testar.</p><p>Logo 389 é um número primo.</p><p>�</p><p>Seguem abaixo algumas propriedades que envolvem os números primos.</p><p>Proposição 3.14: Se a é inteiro e 1 < |a| então a admite pelo menos um divisor</p><p>primo.</p><p>Demonstração: Para demonstrar que a proposição vale em N, defina</p><p>S = {n ∈ N : 1 < n, n|a} .</p><p>Já que S é não vazio (pois contém a) e é um subconjunto de N, segue pelo PBO</p><p>(Seção 3.1) que existe mínimo p em S, ou seja, 1 < p ≤ n, ∀n ∈ S e p|a. Por absurdo</p><p>suponha que p não é primo. Portanto existem números naturais b, c maiores que 1</p><p>tais que p = bc. Então tem-se que b < p e b|a o que é um absurdo. Logo p é primo</p><p>e divide a.</p><p>�</p><p>Proposição 3.15: Sejam a, p números inteiros com p primo. Assim, p não divide</p><p>a se, e somente se, vale que mdc(a, p) = 1.</p><p>Demonstração: A volta é óbvia. Para a ida, note que os únicos divisores de p são</p><p>1 e p, e como p não divide a, só é possível mdc(a, p) = 1.</p><p>�</p><p>Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 53</p><p>Exemplo 3.26: O número primo 13 não divide o número 100 logo, pela proposição</p><p>acima, mdc(13, 100) = 1.</p><p>�</p><p>Proposição 3.16: Sejam a, b, p números inteiros com p primo. Se p divide ab então</p><p>p divide a ou p divide b.</p><p>Demonstração: Sua demonstração requer ferramentas que veremos adiante, ao</p><p>estudarmos as equações diofantinas.</p><p>�</p><p>Exemplo 3.27: O número 7 divide o número 70, que pode ser escrito como 14 · 5.</p><p>De fato, conforme a proposição acima antecipa, 7 divide também o número 14.</p><p>�</p><p>5. Teorema fundamental da aritmética</p><p>Teorema 3.3: (Teorema fundamental da aritmética em N) Para todo natural 1 < a</p><p>existem números primos</p><p>p1 < p2 < . . . < pr</p><p>com r ∈ N∗ e α1, α2 . . . , αr naturais tais que</p><p>a = pα1</p><p>1 pα2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r</p><p>de forma única a menos da ordem dos fatores primos.</p><p>Demonstração: Vamos provar primeiramente a existência de tal decomposição e</p><p>depois a unicidade. Seja a um número natural qualquer. Se a é primo, o resultado</p><p>vale. Suponha que não seja e, pela Proposição 3.14, existe primo p1 que divide a,</p><p>ou seja, a = p1b.</p><p>Se b é primo, a existência é válida. Se b não é primo, repita o processo para obter</p><p>a = p1p2c. Analisando c e repetindo o processo quantas vezes forem necessárias,</p><p>obtemos a como um produto de números primos</p><p>a = p1p2 . . . pt</p><p>com t ∈ N∗. Como alguns desses primos podem ser repetidos, podemos escrever</p><p>a = pα1</p><p>1 pα2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r</p><p>com r ∈ N∗.</p><p>Para provar a unicidade dessa decomposição, suponha que</p><p>a = pα1</p><p>1 pα2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r = qβ1</p><p>1 qβ2</p><p>2 . . . qβs</p><p>s</p><p>com números primos p1 < p2 < . . . < pr e q1 < q2 < . . . < qs, além de r, s ∈ N e</p><p>α1, α2 . . . , αr e β1, β2 . . . , βs números naturais. Vamos supôr que r ≤ s.</p><p>54 Elementos de Aritmética e Álgebra</p><p>Utilizando a Proposição 3.16 podemos concluir que p1 divide um dos primos qj , que</p><p>implica que eles são iguais. Sem perda de generalidade, suponha que p1 = q1. Daí,</p><p>pela lei do cancelamento do produto (M4)</p><p>pα2</p><p>2 . . . pαr</p><p>r n = qβ2</p><p>2 . . . qβs</p><p>s .</p><p>Note que α1 = β1, pois se fossem diferentes algum outro primo qj , com j 6= 1, teria</p><p>de ser igual a p1, que implicaria o absurdo q1 < qj = p1 = q1.</p><p>Repetindo o processo mais r − 1 vezes, segue que pi = qi para todos 0 < i ≤ r. Se</p><p>r = s a unicidade está resolvida. Suponha que não. Então</p><p>1 = q</p><p>βr+1</p><p>r+1 . . . qβs</p><p>s ,</p><p>que</p>