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32. **Qual é o valor de \( \int e^{x} \sin(e^{x}) \, dx \)?** 
 - A) \( -e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 - B) \( e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 - C) \( -e^{x} \sin(e^{x}) + C \) 
 - D) \( e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( -e^{x} \cos(e^{x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes: 
 \[ 
 \int e^{x} \sin(e^{x}) \, dx = -e^{x} \cos(e^{x}) + C 
 \] 
 
33. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 2 \) 
 - C) \( \frac{5}{3} \) 
 - D) \( \frac{7}{3} \) 
 
 **Resposta:** B) \( 2 \) 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 
\right) = \frac{7}{3} 
 \] 
 
34. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \)?** 
 - A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 - B) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 - C) \( \frac{1}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 - D) \( \frac{3}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} 
 \] 
 
35. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^4 (1 - x) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{6} \) 
 - B) \( \frac{1}{30} \) 
 - C) \( \frac{1}{24} \) 
 - D) \( \frac{1}{12} \) 
 
 **Resposta:** C) \( \frac{1}{30} \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula da integral beta: 
 \[ 
 \int_0^1 x^m (1-x)^n \, dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} 
 \] 
 Aqui, \( m = 4 \) e \( n = 1 \): 
 \[ 
 \frac{4! \cdot 1!}{(4+1+1)!} = \frac{24 \cdot 1}{6!} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30} 
 \] 
 
36. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \quad \text{onde } k = 2 \implies 2 
 \] 
 
37. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - D) \( \frac{1}{x} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada da função logarítmica é dada por: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} 
 \] 
 
38. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \) 
 - C) \( \frac{1}{4} \) 
 - D) \( \frac{1}{5} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 
\frac{2}{3} 
 \] 
 
39. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 (1 - x^2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{5} \) 
 - B) \( \frac{1}{6} \)