numeros SBQL

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c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos \( du = \frac{1}{x}dx \), então 
a integral se transforma em \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + 
\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + 
\frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{5}{12} \). 
 
11. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{8} \) 
 d) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Assim, \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 
0 \right] = \frac{\pi}{4} \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \ln(e) \) 
 c) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 d) 0 
 **Resposta:** c) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \). Avaliando de 1 a \( e \), temos 
\( [\ln(e) - \ln(1)] = 1 - 0 = 1 \). 
 
14. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 3 \). 
 
15. **Qual é a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\cos(x) + C \) 
 b) \( \frac{3}{4} \sin^2(x) - \frac{1}{4} \sin^4(x) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \) 
 d) \( \cos^2(x) + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{4} \sin^2(x) - \frac{1}{4} \sin^4(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \) e integramos 
por partes ou substituímos \( u = \cos(x) \). 
 
16. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 3x + 2) \, dx \)?** 
 a) \( 2 \) 
 b) \( \frac{8}{3} \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{8}{3} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \int_0^1 (x^2 + 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 
\frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = 
\frac{8}{3} \). 
 
17. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 
\( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1 \). 
 
18. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sin^2(x) \) 
 c) \( \cos^2(x) \) 
 d) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é conhecida e dada por \( \frac{d}{dx} \tan(x) = 
\sec^2(x) \). 
 
19. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{5}{4} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{3}{4} \) 
 d) \( \frac{7}{4} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{7}{4} \)