capitulo6 (1)

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INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z
Wilson Arnaldo Artuzi Junior
Ricardo Rodrigo Wolf Cruz
CURITIBA
2010
Sumário
1 - Introdução.......................................................................................................................................1
1.1 - Definição:................................................................................................................................1
a) Domínio do tempo discreto n..................................................................................................1
b) Domínio z...............................................................................................................................2
c) Par transformado.....................................................................................................................2
d) Transformada Direta...............................................................................................................2
e) Transformada Inversa..............................................................................................................2
2 - Região de Convergência da Transformada Z..................................................................................4
2.1 - Propriedades da ROC..............................................................................................................5
3 - Propriedades da Transformada Z....................................................................................................8
3.1 - Linearidade..............................................................................................................................8
3.2 - Deslocamento..........................................................................................................................8
3.3 - Produto por exponencial........................................................................................................10
3.4 - Reversão................................................................................................................................11
3.5 - Convolução............................................................................................................................11
4 - Transformação Bilinear.................................................................................................................12
4.1 - Transformada de Laplace e Transformada Z.........................................................................12
a) Transformada de Laplace......................................................................................................12
b) Transformada Z.....................................................................................................................12
c) Comparação..........................................................................................................................12
4.2 - Transformação bilinear..........................................................................................................12
Bibliografia.........................................................................................................................................16
1
1 Introdução
A Transformada Z é bastante utilizada para a análise de sistemas em tempo discreto. Pode 
ser aplicada no processamento digital de sinais, por exemplo, para obtenção do comportamento 
de sinais digitalizados e para a criação de filtros digitais.
Também é possível aplicar tal transformada em equações diferença lineares, que quando 
convertidas para o domínio z tornam-se equações algébricas de mais fácil solução. Neste caso, a 
resposta final é obtida pela utilização da transformada Z inversa após os cálculos. Do mesmo 
modo, pode-se obter funções de transferência de sistemas em função da variável z, utilizadas 
para verificação da resposta do sistema a uma entrada arbitrária. A transformada Z é o 
equivalente para sinais e sistemas discretos da transformada de Laplace, usada no caso contínuo.
1.1 Definição:
A transformada Z faz a mudança do domínio do tempo discreto para o domínio da variável 
z. É uma alternativa mais adequada que a transformada de Laplace quando a variável tempo não 
é contínua.
a) Domínio do tempo discreto n.
g [n] é uma sequência de números reais ordenados segundo valores crescentes de n. 
Neste caso, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …
Em casos práticos, g[n] é obtida através da amostragem de g(t) a intervalos regulares ∆t, 
ou seja, g[n] = g (n.∆t), como ilustrado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Exemplo de amostragem de sinal 
analógico.
2
b) Domínio z.
G(z) é uma função real da variável complexa . A variável z não tem 
significado físico e é contínua (ao contrário da variável n que é discreta). O plano complexo Z é 
ilustrado na Figura 1.2.
c) Par transformado.
A relação g[n] ↔ G(z) é unívoca, desde que considerada sua Região de Convergência 
(ROC).
d) Transformada Direta.
G  z = ∑
n=−∞
∞
g [n] z−n (1)
e) Transformada Inversa.
g [n ]= 1
2 j∮c
G  z  zn−1dz (2)
Na qual “c” é um contorno fechado no sentido anti-horário ao redor da origem do plano 
complexo z, como exemplificado na Figura 1.3.
Exemplo 1 (resolvido): Calcule a transformada Z direta do degrau unitário discreto, 
mostrado na Figura 1.4:
Figura 1.2: Plano complexo Z com 
exemplo de um valor possível da 
variável z em azul.
Figura 1.3: Exemplo de caminho 
fechado possível para a integral da 
Transformada Z inversa.
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Partindo da Equação 1:
Fórmula da soma dos termos de uma PG:
∑
k=m
n
r k= r
n1−rm
r−1
;r≠1 (3)
Usando r = 1/z; m = 0 e n = ∞:
Logo:
G(z) possui um pólo em z = 1 (valor que anula o denominador), a Região de Convergência 
(região do plano complexo Z para a qual |G(z)|<∞) fica sendo |z|>1, como mostra a FIGURA.
Figura 1.4: Função degrau unitário discreto, correspondente à g[n]=0 para n<0 e 
g[n]=1 para n≥0.
G  z=∑
n=−∞
∞
u [n ] z−n=∑
n=−∞
∞
0.z−n∑
n=−∞
∞
1.z−n
G  z=∑
n=0
∞
z−n=1 1
z
1
z2
 1
z3
...
g  z= 1/ z 
∞−1
1/ z−1
=
∞ , se∣z∣1 ;
−1
1 / z−1=
z
z−1 , se∣z∣1.
g  z= z
z−1
;∣z∣1
4
Exemplo 2: Calcule a transformada Z direta da sequência g[n] = anu[n], onde 0<a<1.
Resposta: , conforme a Figura 1.6.
2 Região de Convergência da Transformada Z
A Transformada Z de uma sequência g[n] é definida apenas para os valores de z no plano 
complexo que resultem em 
Figura 1.6: ROC da Transformada Z de anu[n] 
(Exemplo 2).
Figura 1.5: ROC da Transformada Z do degrau 
unitário u[n] (Exemplo 1).
g  z= z
z−a
;∣z∣a
5
∑
n=−∞
∞
∣g [n ] z−n∣∞ (4)
Os pontos no plano complexo Z que satisfazem a condição acima definem a região de 
convergência (ROC – Region of Convergence).
2.1 Propriedades da ROC
a. A ROC é sempre uma região conexa (uma única superfície) na forma de disco ou anel com 
centro na origem do plano complexo Z, como nos exemplos da Figura 2.1.
b. A ROC não contém os pólos de G(z) e é delimitada por estes. Pólos são os valores da 
variável z que anulam o denominador da função G(z) quando ela é expressa na forma 
racional (divisão de polinômios da variável z).
c. ROC de uma sequência finita:
Uma sequência é dita finita quando satisfaz a seguinte condição:
g [n ]=0 para nN 1e nN 2 (5)
Sendo N1 e N2 valores inteiros menores que infinito, como exemplificado na Figura 2.2.
Figura 2.1: Tipos possíveis para a Região de Convergência (ROC).
Figura 2.2: Exemplo de sequência finita com N1=-1 e N2=1.
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A ROC de uma sequência finita é todo o plano complexo, mas exclui |z|=∞, se N1<0, e |z|
=0, se N2>0.
d. ROC de uma sequência à direita:
Uma sequência é dita à direita quando satisfaz a condição:
g [n ]=0 para nN 1 (6)
A ROC de uma sequência à direita é o exterior de uma circunferência e exclui |z|=∞, se 
N1<0. Um exemplo de sequência à direita é apresentado na Figura 2.3.
e. ROC de uma sequência à esquerda:
Uma sequência é dita à esquerda quando satisfaz a condição:
g [n ]=0 para nN 2 (7)
A ROCde uma sequência à esquerda é o interior de uma circunferência e exclui |z|=0, se 
N2>0. Uma sequência à esquerda é ilustrada na Figura 2.4.
Figura 2.3: Exemplo de sequência à direita com N1=0. A função mostrada 
é g[n]=2-nu[n].
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f. ROC de uma sequência bilateral:
Uma sequência é dita bilateral quando não se enquadra nos casos anteriores e não é 
periódica, como ilustrado na Figura 2.5.
A ROC de uma sequencia bilateral é um anel (a>0 e b<∞ ,considerando a Figura 2.1).
g. ROC de uma sequência periódica:
Uma sequência é dita periódica quando apresenta um padrão que se repete 
indefinidamente, como na Figura 2.6.
Figura 2.4: Exemplo de sequência à esquerda com N2=0. A função mostrada é 
g[n]=u[-n].
Figura 2.5: Exemplo de sequência bilateral. A função mostrada é 
g [n ]=1,2−n
2
8
Não existe ROC para sequências periódicas, logo não é possível calcular sua 
Transformada Z.
Exemplo 3: Calcule a Transformada Z direta da sequência g[n] = -anu[-(n+1)].
Resposta: 
3 Propriedades da Transformada Z.
3.1 Linearidade
a.g [n]b.h[n]⇔a.G z b.H  z (8)
A ROC passa a ser a ROC de G(z) ∩ ROC de H(z), exceto quando há cancelamento de 
pólos.
3.2 Deslocamento
g [n−k ]⇔ z−k G  z  (9)
A ROC é a ROC de G(z), mas com possibilidade de alterações em |z| = 0 e |z| = ∞.
Exemplo 4 (resolvido): Sabendo que obtenha a Transformada Z do 
sinal g[n] apresentado na Figura 3.1.
Figura 2.6: Exemplo de sequência periódica. Neste caso é mostrada a função 
g[n]=(-1)n.
g  z= z
z−a
;∣z∣a
u [n]⇔ z
z−1
;∣z∣1
9
Este sinal pode ser representado pela soma entre um degrau unitário deslocado de 1 
unidade para a esquerda (Figura 3.2) e outro, com sinal negativo, deslocado de 2 unidades para a 
direita (Figura 3.3), ou seja, g[n] = u[n+1] – u[n-2].
Figura 3.1: g[n]=1, se |n|≤1; g[n]=0, se |n|>1.
Figura 3.2: Degrau unitário deslocado de uma unidade para esquerda (k = -1).
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Observe que para o sinal u[n+1] a ROC foi alterada, visto que trata-se de uma sequência à 
direita que se inicia antes do 0 (antes do deslocamento ela se iniciava no 0).
A ROC seria a intersecção das ROCs de u[n+1] e u[n-2], mas, neste caso, ocorre um 
cancelamento de pólo, pois:
Portanto o limite correspondente ao pólo z = 1 é alterado e:
3.3 Produto por exponencial
Figura 3.3: Degrau unitário deslocado de 2 unidades para a direita (k = 2).
u [n1]⇔ z1 z
z−1
;1∣z∣∞
u [n−2]⇔ z−2 z
z−1
;1∣z∣
u [n1]−u [n−2]⇔ z1 z
z−1
−z−2 z
z−1
=
z2− z−1
z−1
=
z3−1
z 2−z
z3−1
z2−z
=
 z2 z1. z−1
z.  z−1
u [n1]−u [n−2]⇔  z
2z1
z
;0∣z∣∞
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an g [n ]⇔G  z /a (10)
Para ROC de |z/a|.
Exemplo 5 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de 
anu[n].
3.4 Reversão
Para ROC de 1/|z|.
Exemplo 6 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de 
u[-n].
3.5 Convolução
Para ROC de G(z) ∩ ROC de H(z).
u [n]⇔ z
z−1
;∣z∣1
an u [n]⇔  z /a 
 z /a−1
= z
z−a
;∣ z /a∣1 ou∣z∣a
g [−n]⇔G 1/ z 
u [n]⇔ z
z−1
;∣z∣1
u [−n]⇔ 1/ z 
1/ z −1
= 1
1−z
;∣1 / z ∣1ou∣z∣1
∑
m=−∞
∞
g [n−m ]h [m]=g [n ]∗h[n ]
g [n ]∗h[n ]⇔G  z H  z 
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Exemplo 7:Sabendo que calcule a Transformada Z de -anu[-(n+1)] 
(mesmo do exemplo 3) usando as propriedades da Transformada Z.
Resposta: 
4 Transformação Bilinear
A transformação bilinear faz a mudança da variável da frequência complexa s (analógica) 
para a variável z (usada em sistemas digitais) de forma a permitir que um circuito elétrico 
analógico seja processado numericamente em computadores e em processadores digitais de 
sinais (DSPs).
4.1 Transformada de Laplace e Transformada Z
a) Transformada de Laplace
b) Transformada Z
c) Comparação
4.2 Transformação bilinear
A relação s = (1/∆t).ln(z) faz o mapeamento exato da variável s para a variável z, porém é 
de pouca utilidade prática. Porém, utilizando a relação z = (1+x)/(1-x), o logaritmo pode ser 
expandido usando a seguinte série de Taylor:
u [n]⇔ z
z−1
;∣z∣1
g  z= z
z−a
;∣z∣a
G s =∫
0
∞
g t e−st dt≈∑
n=0
∞
g n t e−snt t
G  z =∑
n=0
∞
g [n] z−n
G  s =G z⇒g n t  t=g [n] ;
e s t= z.
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ln1x1−x =2x23 x3 25 x5⋯ (11)
Utilizando tal expansão, a relação entre s e z pode ser reescrita como:
s= 2
 t [ z−1z113 z−1z1 
3
1
5 z−1z1
5
⋯]
e, considerando apenas a aproximação de primeira ordem, obtém-se uma transformação bilinear 
que apresenta importância prática quando associada à propriedade do deslocamento.
s= 2
 t
z−1
z1 (12)
Exemplo 8 (resolvido): Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão 
para o equivalente digital do circuito RC mostrado na Figura 4.1, considerando nulas as condições 
iniciais.
1. Domínio do tempo:
2. Domínio da variável s:
A integral correspondente às condições iniciais é nula, logo:
Figura 4.1: Circuito RC, considerando a tensão e a corrente discretas.
v t −R.i t − 1
C ∫−∞
t
i t dt=0
V  s −R.I  s− 1
C [ I  ss 1s∫−∞
0
i t dt]=0
v t ⇔V s 
i t ⇔ I  s
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3. Domínio da variável z:
s= 2
 t
z−1
z1
4. Domínio do tempo discreto n:
ou, considerando:
Lembrando que i[n] e v[n] = 0 para n <0. Pode-se representar esta resposta pelo diagrama 
apresentado na Figura 4.2.
V  s −[R 1Cs ] I  s=0
V  z −[R 1C  t2 z1z−1 ] I  z =0
z V  z−V  z −R t2C  z I  z R− t2C  I  z =0
z k V  z ⇔ v [nk ]
zk I  z ⇔i [nk ]
v [n1]−v [n]−R t2C i [n1]R− t2C i [n ]=0
i [n1]= 1
R t2C 
v [n1]−v [n]
R− t2C 
R t2C 
i [n]
a1=
RC− t2 
RC t2 
a2=
C
RC t2 
i [n1]=a2v [n1]−v [n]a1 i [n]
V s ⇔V  z 
I s ⇔ I  z 
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Exemplo 9: Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o 
equivalente digital do circuito RL mostrado na , considerando nulas as condições iniciais.
Resposta:
Figura 4.2: Diagrama recursivo representando a corrente em função da 
tensão no tempo discreto para um circuito RC. 
Figura 4.3: Circuito RL no tempo discreto.
i [n1]=  t /2R
 t /2L/R
v [n1]v [n]− t /2−L/R
 t /2L/R
i [n]
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Bibliografia
[1] B. P. Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, 2 edição, Bookman, Porto Alegre, Brasil, 2007.
[2] Roland, Digitalização, Brasil, 2010, disponível em http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/digitaliz.htm , 
acesso em 19/11/2010.
[3] Wilson Arnaldo Artuzi Junior, Notas pessoais de aula.
http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/digitaliz.htm
	1 Introdução
	1.1 Definição:
	a) Domínio do tempo discreto n.
	b) Domínio z.
	c) Par transformado.
	d) Transformada Direta.
	e) Transformada Inversa.
	2 Região de Convergência da Transformada Z
	2.1 Propriedades da ROC
	3 Propriedades da Transformada Z.
	3.1 Linearidade
	3.2 Deslocamento
	3.3 Produto por exponencial
	3.4 Reversão
	3.5 Convolução
	4 Transformação Bilinear
	4.1 Transformada de Laplace e Transformada Z
	a) Transformada de Laplace
	b) Transformada Z
	c) Comparação
	4.2 Transformação bilinear