Dr Eng Moisés de Mattos Dias__Circ_III_Apo_I

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1
1. TRANSFOMADA DE LAPLACE 
 
1.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE - FUNÇÕES COMPLEXAS 
 
 Seja f(t) uma função tempo que é diferente de zero para t  0. Então, a 
transformada direta de Laplace de f(t), indicada por L [f(t)], é definida por 
 
dtetfsFtfL
t
 

0
)()()]([ [01] 
 
 Assim, a operação L[ ] transforma f(t), que está no domínio do tempo, em F(s), 
que está no domínio da frequência complexa, ou simplesmente no domínio s, onde s é a 
variável complexa  + j. Embora pareça que a integração possa ser difícil, logo ficará 
claro que a aplicação do método da transformada de Laplace utiliza tabelas que abrangem 
todas as funções possíveis de serem encontradas em teoria elementar de circuitos. 
 Existe uma unicidade nos pares de transformada; ou seja, se f1(t) e f2(t) tiverem a 
mesma imagem no domínio s, F(s), então f1(t) = f2(t). Isso permite retornar em outra 
direção, do domínio s para o domínio no tempo, um processo chamado transformada 
inversa de Laplace, L-1 [F(s)] = f(t). A transformada inversa de Laplace pode também ser 
expressa como uma integral, a integral de inversão complexa 
 



 
j
j
st dsesF
j
tfsFL 0
0
)(
2
1)()]([1 

 [02] 
 
 Basicamente, a transformada de Laplace é uma ferramenta matemática, utilizada, 
por exemplo, para resolver equações diferenciais (ou sistemas de equações diferenciais). 
Portanto, pode ser utilizada para resolução de circuitos elétricos. A T.L. transforma 
equações íntegro-diferenciais (no domínio tempo) em equações algébricas simples em s 
(no domínio frequência), que podem então ser resolvidas a partir de métodos de resolução 
de sistemas de equações. Após a resolução do sistema de equações, aplica-se a anti-
transformada (ou transformada inversa), retornando ao domínio tempo. Esta solução, é a 
mesma solução que seria obtida, se a equação íntegro-diferencial fosse resolvida 
diretamente por algum outro método. 
 
1.2. PLANO “S” - DIAGRAMAS DE PÓLOS E ZEROS 
 
 Seja uma equação diferencial no domínio tempo f(t), obtido a partir de um circuito 
elétrico qualquer. Passando esta equação para o domínio s (aplicando a transformada), 
resulta numa outra equação em s. Alguns termos desta equação em s podem ser na forma 
de frações. Neste caso, pode-se encontrar o mínimo múltiplo comum, resultando então 
numa única equação na forma de fração, ou seja 
)(
)()()()()(
sD
sNsIsFLtitf  [03] 
 
 2
onde N(s) é o numerador e D(s) o denominador e ambos são polinomiais. 
 As raízes de N(s) também são conhecidas como Zeros do sistema, e os valores das 
raízes, são aqueles valores que tornam a função nula. Os valores destas raízes são 
representados por círculos no plano complexo s =  + j. 
 As raízes de D(s) também são conhecidas como Pólos do sistema, e os valores das 
raízes, são aqueles valores que tornam a função infinita. Os valores destas raízes são 
representados por cruzes (ou xis) no plano complexo s =  + j. 
 Salienta-se que uma função F(s), pode dar algumas características do circuito que 
esta função representa, sem a necessidade de se encontrar a anti-transformada. 
 
1.3. PROPRIEDADES E EXEMPLOS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 A Tab. 01 mostra a transformada de Laplace para algumas funções. 
 
Tab. 01 - Transformada de Laplace para algumas funções 
 
 
 
1.4. TEOREMA DO VALOR INICIAL E FINAL 
 
 Tomando o limite de s   (por valores reais) da transformada direta de Laplace 
da derivada df(t)/dt. 
 
 3
)}0()({
)()(
0limlim  





 fssFdte
dt
tdf
dt
tdfL St
SS
 [04] 
 
 
 Mas e-st no integrando se aproxima de zero, à medida que s  . Assim 
 
0)}0()({lim  

fssF
S
 [05] 
 
 Uma vez que f(0+) é uma constante, pode-se escrever 
 
)}({)0( lim ssFf
S 
  [06] 
 
que é a expressão do teorema do valor inicial. Da mesma forma o teorema do valor final 
resulta em 
)}({)( lim
0
ssFf
S
 [07] 
 
1.5. APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS 
 
 Para resolver um circuito elétrico qualquer a partir da T.L., não é necessário 
montar as equações no domínio tempo a partir da leis de Kirchoff e encontrar a 
transformada a partir deste equações. Antes, pode representar os componentes, como 
impedâncias e fontes já em s (domínio frequência), e montar as equações a partir das leis 
de Kirchoff diretamente no domínio frequência. A Tab. 02 mostra alguns componentes e a 
sua transformada de Laplace. 
 
1.6. DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA 
 
 Para encontrar a função no domínio tempo, parte-se da função no domínio s, e 
aplica-se a antitransformada. Entretanto, não é usual partir-se da integral representada na 
Eq. 02. O mais prático, é separar o polinômio fracionário que representa F(s) em frações 
parciais, de tal forma que cada parcela, já possua tabelado a sua antitransformada. 
 Considere Y(s), uma função no domínio s. A primeira etapa, consiste em encontrar 
as raízes do denominador, e representá-lo fatorado. A seguir, analisa-se as raízes de 
acordo com o que segue: 
 
 Raizes não repetidas reais 
 
)()())((
)(
)(
)()(
bs
B
as
A
bsas
sQ
sD
sNsF





 [08] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da Tab. 01 resulta 
 
 4
btat BeAetf  )( [09] 
 
Tab. 02 - Transformada de Laplace para alguns componentes 
 
 
 
 Raizes repetidas 
 
)()()(
)()( 1
2
2
2 as
A
as
A
as
sQsF





 [10] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da Tab. 01 resulta 
 
)()( 12 AtAetf at   [11] 
 
 Raizes repetidas e não repetidas 
 
)()()()()(
)()( 1
2
2
2 bs
B
as
A
as
A
bsas
sQsF







 [12] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da Tab. 01 resulta 
 
btat BeAtAetf   )()( 12 [13] 
 5
 
 Raizes complexas 
 
 Conservar o polinômio parcial destas raízes na ordem 2. Se D(S) de F(S) for 
representado por somente um polinômio de ordem 2, aplicar direto a tabela 1.1, e cuidar 
que F(S) deve ser representado da mesma forma da tabela. 
 Supondo uma função F(S) representada como 
 
222 )()())((
)()(
 





s
B
as
A
dcssas
sQsF [14] 
 
onde a é uma raiz real e s =  + j é a raiz complexa conjugada do polinômio de ordem 2. 
Entretanto, para aplicar a antitransformada de tabela para o segundo termo da fração 
parcial, esta deve ser representada como 
 
2222 )()( 

 

 S
K
s
B [15] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da Tab. 01 resulta 
 
)()( . tsenKeAetf tat   [16] 
 
 Se os termos das frações parciais da Eq. 14 não for solução, refazer como 
 
222 )()())((
)()(
 






s
CBs
as
A
dcssas
sQsF [17] 
 
 Para aplicar a antitransformada de tabela para o segundo termo da fração parcial, 
esta deve ser representada como 
 
2222 )(
)(
)( 

 




s
sK
s
CBs [18] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da Tab. 01 resulta 
 
)cos()( tKeAetf tat   [19] 
 
 Sistemas de segunda ordem 
 
 A corrente que circula num circuito elétrico R,L,C é representa por uma equação 
diferencial de segunda ordem elétrico, representada no domínio tempo como 
 
 6
)()()(2)()(1)()( 2
002
2
2
2
tvti
dt
tdi
dt
tidti
LCdt
tdi
L
R
dt
tid
  [20] 
 
 A solução para a equação diferencial acima, é uma expressão i(t) que satisfaz esta 
equação. Esta solução possui duas partes, a resposta homogênea, que depende do circuito 
e representa os transitórios do sistema, e uma resposta particular, que depende da fonte de 
alimentação e representa o regime permanente do sistema. 
 Entretanto, partindo-se de uma expressão F(S), no domínio frequência 
(transformada de Laplace), pode-se analisar os transitórios do sistema, sem a necessidade 
de antitransformar a função. Isto é possível, analisando-se os pólos e zeros da função. 
 Uma equação semelhante a Eq. 20, está representada a seguir 
 
2
00
2
0
2)(
)()(




SssD
sNsF [21] 
 
onde0 é a frequência natural de oscilação, calculada como 
 
LC
1
0  [22] 
 
 =  =  0 é o coeficiente de amortecimento, calculado como 
 
)(
2
serie
L
R
 )(
2
1 paralelo
RC
 [23] 
 
d é a frequência natural do sistema amortecido, calculado como 
 
22
0  d [24] 
 
 =  é a razão de amorcimento. 
 
 As raizes de S podem ser calculadas, a partir destes termos, como 
 
s                     0 0
2
0
2 2
0
2
0 0
2 1( ) [25] 
 
 A Fig. 01 mostra a representação destas grandezas no plano complexo s 
 
 O comportamento do circuito pode ser analisado a partir da equação 
características, assim: 
 
 Se  > 1 ambos os pólos são reais e negativos - hiperamortecido 
 
 Se  = 1 ambos os pólos são reais, negativos e iguais - criticamente amortecido 
 7
 
 Se 0
6
1
6
4
1226
10
6
1
6
1
146
12210
)(
)(
)(
2
2
2
2
1
SS
SS
SSS
SS
SSZ
SV
SI i 
 
 
1
2
2
1
2
12 1
1
//
1
//1)( R
SL
SC
SCR
xSL
SC
SCR
RSL
SC
SCRRSL
SC
RSZ 

















 





 











 











  
 
1
212
212
12//1212//12)( 

















 





 











 











 
S
S
S
Sx
S
S
S
S
SS
S
SZ 
 
1
2
2
2
2
12
2
2
1)1(
)1(
)( R
SCRLCS
SLLCRSR
SC
LCSSCR
SC
xSLSCR
SZ 






















 
 
 
122
)122(241
122
241
2)12(
2)12(
)( 2
22
2
2
2 

























SS
SSSS
SS
SS
S
SS
S
SxS
SZ 
 
   
1
)(
1
)1(
)(
2
2
12112
2
2
2
2
2
12
2






SCRLCS
RRCRLSLCRLCRS
SCRLCS
SCRLCSRSLLCRS
SZ 
 
   
LCL
R
SS
LC
R
L
RR
C
SRRS
LC
LC
SCRLCS
RRCRLSLCRLCRS
SZ
1
1
1
1
1
)(
)(
22
121
12
2
2
2
12112
2











 











 
Atribuindo os respectivos valores: 
 
 17
122
146)( 2
2



SS
SSSZ 
 
 
a) Determinação de i1(t): 
 
I1(S) pode ser determinado de duas maneiras: 
 




















6
1
6
4
1226
10
122
146
110
)(
1)()(
2
2
2
21
SS
SS
S
SS
SS
x
SSZ
xSVSI i 
 
a.1.) Diretamente a partir de Z(S) já determinado em valores 
 




















6
1
6
4
1226
10
122
146
110
)(
1)()(
2
2
2
21
SS
SS
S
SS
SS
x
SSZ
xSVSI i 
 
a.2) Por desenvolvimento algébrico: 
 
 
 
 




























 







21
21
121
12
2
22
1 1
1
1
1
)(
)()(
RR
RRx
LC
R
L
RR
C
SRRS
LCL
RSS
x
S
V
SZ
SVSI ii 
 
     
   
































 











21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
RS
RR
S
x
S
VSI i 
 
     
   


























 











21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
.
..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRLC
V
RRL
RVS
RR
SV
SI
iii
 
 
Atribuindo os valores resulta: 
 











6
1
6
4
1226
10
)(
2
2
1
SS
SS
S
SI 
 18
 
Observe que as duas maneiras resultam na mesma expressão. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i1(0+) 
 
  St SFStf |)(.|)( 0 
 



 





















SS
St SS
SS
SS
SS
S
SSISiti
6
1
6
4
122
6
10
6
1
6
4
1226
10
.|)(.)0(|)(
2
2
2
2
1101
 
 
Para resolução da equação acima, deve-ser aplicar L´Hospital, ou seja 
 
3
1
43
21
)]([
)]([
)(
)(|)(
K
K
dX
XDd
dX
XNd
KXK
KXK
XD
XNXF X 


 
Assim 
 
























SS
S
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
SS
SD
SNi
6
42
24
6
10
)]([
)]([
6
1
6
4
122
6
10
)(
)()0(
2
2
1 
 
A
dS
SDd
dS
SNd
S
S
dS
SDd
dS
SNd
i
S
S
33,3
12
40
2
4
6
10
)]([
)]([
6
42
24
6
10
)]([
)]([
)0(1 


















 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de i1() 
 
0|)(.|)(   St SFStf 
 
A
SS
SS
S
SSISiti
SS
St 10
6
1
6
10
6
1
6
4.00
10.20.2
6
10
6
1
6
4
1226
10
.|)(.)(|)(
0
2
2
0
2
2
0111 
























 
b) Determinação de vR1(t): 
 
I. Cálculo de vR1(0+) 
 
VxxRivtv RtR 33,3133,3)0()0(|)( 11101  
 
 
 19
II. Cálculo de vR1() 
 
VxxRivtv RtR 10110)()(|)( 1111  
 
c) Determinação de vL(t): 
 
Analisando a malha (1), observa-se: 
 

















146
)122()146(10
146
1221010)()()( 2
22
2
2
1 SS
SSSS
SSS
SS
SS
SVSVSV RiL 
 
146
2040
146
2410
146
2410)( 222
2

















SS
S
SS
S
SS
SS
S
SVL 
 
Do desenvolvimento anterior, observa-se: 
 
 Não é necessário que D(S) de VL(S) tenha como coeficiente UM para o termo de 
maior grau 
 VR1(S) = I1(S) x R1 = I1(S) x 1 = I1(S) 
 
Observa-se que, VL(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
111 )()()()()( xRSISVSVSVSV iRiL  
 
     
    
































 











21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
..)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
RS
RR
S
x
S
VR
S
VSV ii
L
 
 
     
    
































 











21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
.1)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
RS
RR
S
xRx
S
VSV i
L
 
 
         
    
































 












































 
21
1
21
212
21
1
21
21
21
2
1
21
1
21
212
.
11
.
..
.
11
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLC
R
RRL
RRS
RR
SR
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
 
 20
     
    
































 

































 








21
1
21
212
21
21
21
21
21
12
.
11
.
.111
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRL
RR
RR
x
L
RR
C
S
RR
RS
x
S
VSV i
L
 
 
   
    
































 
















21
1
21
212
2121
12
.
11
.
11
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
S
RR
RS
x
S
VSV i
L
 
 
   
   21
1
21
212
2121
1
.
11
.
1.1..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
V
RR
RVS
SV
ii
L



















 















 
 
Atribuindo os valores irá resultar na mesma expressão desenvolvida anteriormente, exceto 
pelo fato de que, no ultimo caso, o maior grau do denominador esta igualado a UM. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de vL(0+) 
 



 





SS
SLLtL SS
SS
SS
SSSVSvtv
146
2040
146
2040|)(.)0(|)( 2
2
20 
 
Aplicando L´Hospital duas vezes, ou derivando duas vezes: 
 
V
dS
SDd
dS
SNd
SS
SSv
S
L 67,6
12
80
)]([
)]([
146
2040)0(
2
2
2
2
2
2





 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de vL() 
 
V
SS
SSSVSvtv
S
SLLtL 0
10.40.6
0.200.40
146
2040|)(.)(|)( 2
2
0
2
2
0 







 
 
d) Determinação de i2(t): 
 
)146(
1020
2
1
146
2040
)(
)()( 222 
















SSS
S
SSS
S
SZ
SVSI
L
L 
 21
 
Observa-se que, I2(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
   
   
LS
x
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
V
RR
RVS
SZ
SVSI
ii
L
L
.
1
.
11
.
1.1..
)(
)()(
21
1
21
212
2121
1
2

































 















 
 
   
   


























 
















21
1
21
212
2121
1
2
.
11.
.
1.1..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRCL
V
RR
R
L
VS
SI
ii
 
 
Atribuindo os valores irá resultar na mesma expressão desenvolvida anteriormente, exceto 
pelo fato de que, no ultimo caso, o maior grau do denominador esta igualado a UM. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i2(0+) 
 



 





SS
St SS
S
SSS
SSSISiti
146
1020
)146(
1020|)(.)0(|)( 222202 
 
AplicandoL´Hospital, ou derivando: 
 
A
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
Si
SS
0
4.12
20
412
20
)]([
)]([
146
1020)0( 22 








 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de i2() 
 
A
SSS
SSSISiti
S
St 10
10.40.6
100.20
)146(
1020.|)(.)(|)( 2
0
20222 







 
 
e) Determinação de i3(t): 
 
Analisando o nó na parte central do circuito, observa-se 
 
)146(
1020102020
)146(
1020
)146(
102020)()()( 2
2
22
2
213 


















SSS
SSS
SSS
S
SSS
SSSISISI
 
 22
146
20
)146(
20)( 22
2
3 



SS
S
SSS
SSI 
 
Observa-se que, I3(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
     
   
































 











21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
RS
RR
S
x
S
VSI i 
 
   
   


























 
















21
1
21
212
2121
1
2
.
11.
.
1.1..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRCL
V
RR
R
L
VS
SI
ii
 
 
)()()( 213 SISISI  
 
     
   


































 











21
1
21
212
2121
2
21
2
3
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
RS
RR
S
x
S
VSI i 
 
   
   
































 
















21
1
21
212
2121
1
.
11
.
111
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
x
LRR
Rx
L
S
S
Vi 
 
     
   
































 













21
1
21
212
21
1
21
2
21
2
3
.
11
1
..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
R
RRL
RS
RR
S
x
S
VSI i 
 
     
   21
1
21
212
21
1
21
2
21
3
.
11
1
..
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
R
RRL
RxV
RR
SV
SI
i
i



















 












 
 
 23
   
   21
1
21
212
21
12
21
3
.
11
1
.
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
RRxV
RR
SV
SI
i
i



















 











 
 
 
   21
1
21
212
21
3
.
11
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RR
SV
SI
i



















 

 
 
Atribuindo os valores irá resultar na mesma expressão desenvolvida anteriormente, exceto 
pelo fato de que, no ultimo caso, o maior grau do denominador esta igualado a UM. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i3(0+) 
 



 



SS
St SS
S
SS
SSSISiti
146
20
146
20|)(.)0(|)( 2
2
23303 
 
Aplicando L´Hospital duas vezes, ou derivando duas vezes: 
 
A
dS
SDd
dS
SNd
SS
Si
S
33,3
6
20
)]([
)]([
146
20)0(
2
2
2
2
2
2
3 



 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de i3() 
 
A
SS
SSSISiti
S
St 0
10.40.6
0.20
146
20.|)(.)(|)( 2
2
0
20333 





 
 
g) Determinação de vC(t): 
 
146
201
146
20)()()( 223 














SSSSS
SSxZSISV CC 
 
Observa-se que, VC(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
 24
 
   

























 


SC
x
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RR
SV
SxZSISV
i
CC
1
.
11
.
)()()(
21
1
21
212
21
3 
 
Atribuindo os valores irá resultar na mesma expressão desenvolvida anteriormente, exceto 
pelo fato de que, no ultimo caso, o maior grau do denominador esta igualado a UM. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de vC(0+) 
 



 



SS
SCCtC SS
S
SS
SSVSvtv
146
20
146
20|)(.)0(|)( 220 
 
Aplicando L´Hospital, ou derivando: 
 
V
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
Sv
SS
c 0
4.12
20
412
20
)]([
)]([
146
20)0( 2 







 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de vC() 
 
V
SS
SSVSvtv
S
SCCtC 0
10.40.6
0.20
146
20|)(.)(|)( 2
0
20 





 
 
g) Determinação de vR2 (t): 
 
I. Cálculo de vR2 (0+) 
 
VxxRivtv RtR 66,6233,3)0()0(|)( 23202  
 
 
II. Cálculo de vR2() 
 
VxxRivtv RtR 020)()(|)( 2322  
 
h) Confirmando os valores encontrados 
 
I. Condições Iniciais: t = 0+ . 
 25
 
 
A
RR
v
ii i 33,3
21
10)0(
)0()0(
21
31 





 Ai 0)0(2  VvC 0)0(  
 
VxxRivR 33,3133,3)0()0( 111   
VxxRivv RL 66,6233,3)0()0()0( 232   
 
II. Condições de Regime Permanente: t   . 
 
A
R
vii i 10
1
10)(
)()(
1
21 

 Ai 0)(3  
 
VxxRivR 10110)()( 111  Vvvv RCL 0)()()( 2  
 
3. Determine i(t), vR(t), vL(t), vC(t) no domínio do tempo aplicando a T.L. 
 
 
 26
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
a) Determinação de i(t): 
15
5
2
2
1022
110
)(
)(
)( 2 



















SSS
S
SSSSZ
SV
SI i 
 
Raízes de D(S) : S1 = - 0,21 
 S2 = - 4,79 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4(
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
5)(









SS
SBSA
S
B
S
A
SS
SI 
 
Por Semelhança: 
 
5 = A(S + 4,79) + B(S + 0,21) = AS + 4,79A + BS + 0,21B 
 
S1.0 + S0.5 = S1.(A + B) + S0.(4,79A + 0,21B) 
 
S1  1,00 A + 1,00 B = 0 A = +1,09 
S0  4,79 A + 0,21 B = 5 B = - 1,09 
 
)79,4(
09,1
)21,0(
09,1)(




SS
SI 
 
De Tabela 
atKtf
aS
KSF 

 )()( 
 
ttti 79,421,0 09,109,1)(    
 
 27
 
 
b) Determinação de vR(t): 
 
tt
RR tvxtixRtitv 79,421,0 9,109,10)(10)()()(    
 
 
 
c) Determinação de vL(t): 
 
15
102.
15
5)()()( 22 








SS
SS
SS
SxZSISV LL 
 
Raízes de D(S) : S1 = - 0,21 
 S2 = - 4,79 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4(
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
10)(









SS
SBSA
S
B
S
A
SS
SSVL 
 
Por Semelhança: 
 
 28
10S = A(S + 4,79) + B(S + 0,21) = AS + 4,79A + BS + 0,21B 
 
S1.10 + S0.0 = S1.(A + B) + S0.(4,79A + 0,21B) 
 
S1  1,00 A + 1,00 B = 10 A = - 0,45 
S0  4,79 A + 0,21 B = 0 B = 10,45 
 
)79,4(
45,10
)21,0(
45,0)(




SS
SVL 
 
tt
L tv 21,079,4 45,0459,10)(    
 
 
d) Determinação de vC(t): 
)15(
102.
15
5)()()( 22 














SSSSSS
SxZSISV CC 
 
Raízes de D(S) : S1 = 0 
S2 = - 0,21 
 S3 = - 4,79 
 
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
10)(






S
C
S
B
S
A
SSS
SVC 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4()21,0)(79,4()(



SSS
SCSSBSSSASVC 
 
Por Semelhança: 
 
10 = AS2 + 0,21AS + 4,79AS + 1,006A + BS2 + 4,79BS + CS2 + 0,21CS 
 
 29
S2.0 + S1.0 + S0.10 = S2.(A + B + C) + S1.(5A – 4,79B + 0,21C) + S0.(1,006A) 
 
S2  1,00 A + 1,00 B + 1,00 C = 0 A = 10,00 
S1  5,00 A + 4,79 B + 0,21 C = 0 B = -10,45 
S0  1,006 A + 0,00 B + 0,00 C = 10 C = 0,45 
 
)79,4(
45,0
)21,0(
45,1010)(




SSS
SVC 
 
tt
C tv 79,421,0 45,0459,1010)(    
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo i(t) 
0 0 
0,1 0,3922 
0,2 0,626979 
... ... 
9,5 0,148255 
 
 
 
tempo vR(t) 
0 0 
0,1 3,922 
0,2 6,269793 
... ... 
9,5 1,482549 
 
 
 
tempo vL(t) 
0 10 
0,1 6,032107 
0,2 3,577749 
... ... 
9,5 -0,061206 
 
 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,1 0,045892 
0,2 0,152457 
... ... 
19,4 9,822253 
 
 
 
i(t) = 1,09*EXP(-0,21*A1)-1,09*EXP(-4,79*A1) 
vR(t) = 10,9*EXP(-0,21*A1)-10,9*EXP(-4,79*A1) 
vL(t) = 10,45*EXP(-4,79*A1)-0,45*EXP(-0,21*A1) 
vC(t) = 10-10,45*EXP(-0,21*A1)+0,45*EXP(-4,79*A1) 
 
4. Determine i(t), vR(t), vL(t), vC(t) no domínio do tempo aplicando a T.L. 
 
 30
 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
a) Determinação de i(t): 
222 97,0)25,0(
5
15,0
5
2
2
122
110
)(
)(
)(






















SSSS
S
SSSSZ
SV
SI iRaízes de D(S) : S1 = - 0,25 + j0,97 
 S2 = - 0,25 - j0,97 
 
Onde S =  + j :  = - 0,25 :  = 0,97 
 
Obs: Quando as raízes são um complexo conjugado, devem ser representadas como: 
 
D(S) = S2 + 0,5S +1 = (S - )2 + 2 = (S + 0,25)2 + 0,97 2 
De Tabela 
attsenKtf
aS
KSF 

 

 )..(.)(
)(
)( 22 
 
Reestruturando I(S) para a forma da Tabela, resulta 
 
222222 97,0)25,0(
97,015,5
97,0)25,0(
97,0
97,0)25,0(
5)(






SS
K
S
SI 
 
 31
onde K x 0,97 = 5  K = 5,15 
ttsenti 25,0).97,0(.15,5)(   
 
Observa-se que i(t) pode ser representado como o produto de duas funções, ou seja 
 
tt tftsentftxftftsenti 25,0
2121
25,0 .1)()97,0(.15,5)()()().97,0(.15,5)(    
 
Os gráficos das duas funções e de i(t) estão representados a seguir. 
 
 
 
 
b) Determinação de vR(t): 
 
tt
R tsenxtsenxRtitv 25,025,0 ).97,0(.15,51]).97,0(.15,5[)()(    
 
Observa-se que i(t) pode ser representado como o produto de duas funções, ou seja 
 32
 
tt tftsentftftftsenti 25,0
2121
25,0 .1)()97,0(.15,5)()(*)().97,0(.15,5)(    
 
Os gráficos de vR(t) são idênticos a i(t). 
 
c) Determinação de vC(t): 
 15,0
102
15,0
5)()()( 22 














SSSSSS
SxZSISV CC 
 
Raízes de D(S) : S1 = 0 
S2 = - 0,25 + j0,97 
 S3 = - 0,25 - j0,97 
 
Por Frações Parciais 
 15,0
10
15,0
)( 22 



SSSSS
B
S
ASVC 
 
o sistema acima resulta: A = 0 e A = 10 ??? 
 
Ocorre que, a transformada inversa do segundo termo da fração parcial acima resultará 
num cosseno e uma exponencial decrescente. Porém das Tabelas observa-se que, esta 
função, deve conter um termo em S no Numerador. Assim, refazer como: 
 
   15,0
)15,0(
15,0
10
15,0
)( 2
22
22 







SSS
CSBSSSA
SSSSS
CBS
S
ASVC 
 
S2  1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 0 A = 10,00 
S1  0,50 A + 0,00 B + 1,00 C = 0 B = -10,00 
S0  1,00 A + 0,00 B + 0,00 C = 10 C = -5,00 
 
222 97,0)25,0(
)5,0(1010
15,0
51010)(






S
S
SSS
S
S
SVC 
De Tabela 
attKtf
aS
aSKSF 


 

)..cos(.)(
)(
)()( 22 
 
Observa-se acima que, o segundo termo de VC(S) não está na forma da tabela. Assim, 
utiliza-se um artifício, ou seja 
 
222222 97,0)25,0(
5,2
97,0)25,0(
)25,0(1010
97,0)25,0(
)25,025,0(1010)(








SS
S
SS
S
S
SVC 
 
 33
Observa-se agora que o terceiro termo de VC(S) não está na forma da tabela, assim: 
 
222222 97,0)25,0(
97,057,2
97,0)25,0(
97,0
97,0)25,0(
5,2




 SS
K
S
 
 
onde K x 0,97 = 2,5  K = 2,57 
 
2222 97,0)25,0(
97,057,2
97,0)25,0(
)25,0(1010)(





SS
S
S
SVC 
 
tt
C tsenttv 25,025,0 ).97,0(.57,2).97,0cos(.1010)(    
 
 
 
d) Determinação de vL(t): 
  2222 97,0)25,0(
)25,025,0(10
15,0
102
15,0
5)()()(












S
S
SS
SS
SS
SxZSISV LL 
 
2222 97,0)25,0(
97,057,2
97,0)25,0(
)25,0(10)(





SS
SSVL 
 
tt
L tsenttv 25,025,0 ).97,0(.57,2).97,0cos(.10)(    
 
 34
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo i(t) 
0 0 
0,2 0,94442 
0,4 1,76302 
... ... 
19 -0,01815 
 
 
 
tempo vR(t) 
0 0 
0,2 0,944423 
0,4 1,763021 
... ... 
19 -0,01815 
 
 
 
tempo vL(t) 
0 10 
0,2 8,862558 
0,4 7,495988 
... ... 
19 0,088071 
 
 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,2 0,194852 
0,4 0,744414 
... 0 
19 9,930044 
 
 
 
i(t) = vR(t) = 5,15*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
vL(t) = 10*COS(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1)-2,57*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
vC(t) = 10-10*COS(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1)-2,57*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
 
 
5. Para o circuito abaixo, determine os pólos variando R = -  a + . 
 
 
 
 35
 
 
15,0
5
2
2
22
110
)(
)(
)( 2 



















RSSS
S
RSSSSZ
SV
SI i 
 
 
 R Raízes D(S) = S2 + 0,5RS + 1 
  S1 = 0– S2 = –  
 100 S1 = – 2 x 10-2 S2 = – 50 
( I ) 10 S1 = – 0,21 S2 = – 4,79 
(II) 4 S1 = – 1 S2 = – 1 
(III) 1 S1 = – 0,25 + j0,97 S2 = – 0,25 – j0,97 
(IV) 0 S1 = + J S2 = – j 
(V) – 1 S1 = + 0,25 + j0,97 S2 = + 0,25 – j0,97 
(VI) – 4 S1 = + 1 S2 = + 1 
(VII) – 10 S1 = + 0,21 S2 = + 4,79 
 –  S1 = 0+ S2 = +  
 
O gráfico a seguir, ilustra a representação do Lugar Geométrico das Raízes ou Root 
Locus no plano complexo: 
S =  + j 
 
 
 36
 
( I ) – Hiperamortecido – Raízes Reais, Negativas e Diferentes 
 
(II) – Criticamente Amortecido – Raízes Reais, Negativas e Iguais 
 
Gráfico muito semelhante ao ( I ) porém com decaimento mais acentuado 
 
(III) – Hipoamortecido – Raízes Complexo Conjugado, com parte Real Negativa 
 
 
(IV) – Oscilação Constante – Raízes Complexo Conjugado puramente imaginária 
 
 37
(V) – Oscilação Crescente (Sistema Instável) – Raízes Complexo Conjugado com parte 
Real Positiva 
 
(VI) e (VII) – Exponenciais Crescente (Sistema Instável) – Raízes Reais e Positivas 
 
Observações: 
 
 As respostas ( I ) – (II) e (III) representam circuitos estáveis, ou seja, a corrente 
tende a um valor real quando o tempo tende a infinito. Neste caso, observa-se que 
as raízes sempre tem parte Real Negativa e encontram-se no Semi-Plano Esquerdo 
do Plano Complexo S. 
 
 As respostas (V) – (VI) e (VII) representam circuitos instáveis, ou seja, a corrente 
tende a um valor infinito quando o tempo tende a infinito. Neste caso, observa-se 
que as raízes sempre tem parte Real Positiva e encontram-se no Semi-Plano 
Direito do Plano Complexo S. 
 
Das considerações anteriores, observa-se que o eixo j é a fronteira entre circuitos 
instáveis e estáveis. De fato, o critério do Lugar Geométrico das Raízes ou Root Locus é 
utilizado para identificar se um circuito é estável ou instável. Maiores considerações 
podem ser encontradas no estudo de Análise de Sistemas ou Sistemas de Controle. 
 
6. Determine a resposta completa no domínio do tempo para todas as tensões e correntes 
indicadas. 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 38
Obs: A determinação das expressões das grandezas (equações) podem ser realizadas a 
partir do exposto a seguir, ou considerando o DESENVOLVIMENTO ALGÉBRICO do 
EXEMPLO 2. Observa-se que a topologia do circuito é a mesma mudando somente o 
valor do capacitor. 
 
a) Determinação de i1(t) 
 
O circuito foi representado da seguinte forma 
 

































)33,0(
133,3
)3
1(
1
3
10
3
1
1
3
110
)(
)(
)(
)(
)( 2
2
2
2
2
2
11
1 SSS
SS
SSS
SS
SS
SSx
SSZ
SV
SZR
SV
SI
Tot
ii
 
 
A determinação de Z1(S) foi realizada como 

















 





 











 











 
S
S
S
Sx
S
S
S
S
SS
S
SZ
222
222
2//222//22)(1 
 
1
)(2
222
44
2)22(
2)22(
)( 2
2
2
2
21 

























SS
SS
SS
SS
S
SS
S
SxS
SZ 
 
1
)3
1(3
1
133
1
)1()22(1
1
)(2)()( 2
2
2
2
2
22
2
2
11 
















SS
SS
SS
SS
SS
SSSS
SS
SSRSZSZTot
 
Raízes de D(S): S1 = 0 
 S2 = - 0,5 + j0,28 
 S3 = - 0,5 - j0,28 
 
 39
)33,0(
33,0
33,0)33,0(
133,3)(
2
22
22
2
1 













SSS
CSBSAASAS
SS
CBS
S
A
SSS
SSSI 
 
Por Semelhança: 
 
S2  1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 3,33 A = 10,00 
S1  1,00 A + 0,00 B + 1,00 C = 3,33 B = - 20/3 = - 6,66 
S0  0,33 A + 0,00 B + 0,00 C = 3,33 C = - 20/3 = - 6,66 
 
 

















22221 28,0)5,0(
5,0)5,0(66,610
28,0)5,0(
166,610)(
S
S
SS
S
S
SI 
 
















22221 28,0)5,0(
5,066,6
28,0)5,0(
5,066,610)(
SS
S
S
SI 
 
O último termo de I1(S) deve ser reescrito como: 
 
89,1128,05,066,6
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
5,066,6
2222














 KKxx
S
K
S
 
 
tt tsentti 5,05,0
1 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,610)(    
 
 
b) Determinação de vR1(t)Como R1 = 1  vR1(t)  i1(t) 
 
tt
R tsenttv 5,05,0
1 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,610)(    
 40
 
c) Determinação de vL(t) 
 
Por malha, considerando o circuito original: 
 
)()()(0)()()( 11 SVSVSVSVSVSV RiLLRi  
 
Por malha, considerando o circuito simplificado: 
 
)()()(0)()()( 1111 SVSVSVSVSVSV RiZZRi  
 
Das considerações acima, percebe-se que VL(S)  VZ1(S) e VR1(S)  I1(S) 
 



























 22221 28,0)5,0(
28,089,11
28,0)5,0(
)5,0(66,61010)()()(
SS
S
SS
SVSVSV RiL
 


























3
1
)1(
3
20
28,0)5,0(
28,089,11
28,0)5,0(
)5,0(66,6)(
22222 SS
S
SS
SSVL 
 
tt
L tsenttv 5,05,0 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,6)(    
 
 41
 
d) Determinação de i2(t) 
 






















)3
1(
)1(
3
10
2
1
3
1
)1(
3
20
)(
)(
)(
222
SSS
S
S
x
SS
S
SZ
SV
SI
L
L 
 
)33,0(
33,0
33,0)33,0(
)1(
3
10)( 2
22
222 













SSS
CSBSAASAS
SS
CBS
S
A
SSS
SSI 
 
Por Semelhança: 
 
S2  1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 0,00 A = 10,00 
S1  1,00 A + 0,00 B + 1,00 C = 3,33 B = - 10,00 
S0  0,33 A + 0,00 B + 0,00 C = 3,33 C = - 20/3 = - 6,66 
 
222222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
1010
3
1
3
201010)(







SS
S
SSS
S
S
SI 
 
22222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
)5,05,0(1010)(





SS
S
S
SI 
 
2222222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
)5,0(10
28,0)5,0(
)5,0(1010)(








SSS
S
S
SI 
 
222222222 28,0)5,0(
66,1
28,0)5,0(
)5,0(1010
28,0)5,0(
566,6
28,0)5,0(
)5,0(1010)(











SS
S
SSS
S
S
SI
 
O último termo de I2(S) deve ser reescrito como: 
 
 42
93,528,066,1
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
66,1
2222














 KKx
S
K
S
 
 
tt tsentti 5,05,0
2 ).28,0(.93,5).28,0cos(1010)(    
 
 
 
e) Determinação de i3(t) 
 
33,0
33,3
)33,0(
133,3
)33,0(
133,3)()()(
222
2
213 

















SS
S
SSS
S
SSS
SSSISISI 
2222223 28,0)5,0(
)5,0(33,3
28,0)5,0(
)5,0(33,3
28,0)5,0(
)5,05,0(33,3)(









SS
S
S
SSI 
 
O último termo de I3(S) deve ser reescrito como: 
 
93,528,0)5,0(33,3
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
)5,0(33,3
2222














 KKxx
S
K
S
x 
 
tt tsentti 5,05,0
3 ).28,0(.93,5).28,0cos(33,3)(    
 43
 
 
f) Determinação de vC(t) 
22223 28,0)5,0(
66,6
33,0
66,62
33,0
33,3)()()(











SSSS
x
SS
SSxZSISV CC 
 
79,2328,066,6
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
66,6)( 2222 



 KKx
S
K
S
SVC 
 
t
C tsentv 5,0).28,0(.79,23)(   
 
 
g) Determinação de vR2(t) 
 
Como R2 = 2  vR2(t)  2.i3(t) 
 
tt
R tsenttv 5,05,0
2 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,6)(    
 
 44
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo i1(t) 
0 3,340000 
0,2 3,381067 
0,4 3,493407 
... ... 
19 10,00044 
 
 
tempo i2(t) 
0 0 
0,2 0,665488 
0,4 1,321357 
... ... 
19 9,999937 
 
 
 
tempo i3(t) 
0 3,330000 
0,2 2,708063 
0,4 2,166659 
... ... 
19 0,000506 
 
 
 
tempo vR2(t) 
0 6,660000 
0,2 5,414608 
0,4 4,330573 
... ... 
19 0,001015 
 
 
 
tempo vL(t) 
0 6,660000 
0,2 6,618932 
0,4 6,506592 
... ... 
19 -0,00044 
 
 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,2 1,204830 
0,4 2,176933 
... ... 
19 -0,001462 
 
 
 
i1(t) = vR1(t) = 10 - 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
i2(t) = 10-10*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-5,93*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
i3(t) = 3,33*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-5,93*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
 
vR2(t) = 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
vL(t) = + 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)+11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
vC(t) = 23,79*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
 
 
 
 
 45
7. Determine i(t). 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
O circuito acima foi representado genericamente. Isto possibilita uma análise e cálculo 
para qualquer circuito RLC série com carga no capacitor e indutor. 
 
Por malha 
0)(.1)(.)(..
22 


S
VSI
SC
LISISLSIR
S
SVp o
o
 
 
   
22
2222
22
][..1)(


 






 
S
S
VxSSLISVp
S
VLI
S
SVp
SC
SLRSI
o
oo
o 
 
   









 



S
S
SC
SLR
S
S
VxSSLISVp
SI
o
o
1
][.
)(
22
2222


 
 
 46



 



C
LSSR
S
VSVSLISLISVp
SI
oooo
1
.
)(
2
22
22232


 
 
  












 


L
L
C
RSLSS
VSLISVVpSLI
SI oooo
1
1
1
).(
)(
222
2223


 
 
  




 




LC
S
L
RSS
L
VSIS
L
VVpSI
SI
o
o
o
o
1
).(
)(
222
2
223



 
 
Caso a carga no capacitor esteja com polaridade invertida o termo - Vo2 / L terá sinal 
positivo. 
 
Caso a corrente no indutor esteja na direção oposta o termo + Io2 S terá sinal negativo. 
 
Atribuindo os valores do exemplo proposto resulta 
 
  6262
9523
1093,829,714.5.10
1014,7105.71,285.645,0)(
xSSS
xSxSSSI


 
 
Raízes de D(S): S1 = + j1000 
 S2 = - j1000 
 S3 = - 2.857,14 + j874,53 
 S4 = - 2.857,14 - j874,53 
 
Por Frações Parciais 
 
   62626262
9523
1093,829,714.5101093,829,714.5.10
1014,7105.71,285.645,0)(
xSS
DCS
S
BAS
xSSS
xSxSSSI









 
 
     
  6262
6262
1093,829,714.5.10
10.1093,829,714.5.)(
xSSS
SDCSxSSBASSI


 
 
Fazendo as devidas multiplicações de N(S) da equação acima resulta: 
 
 )1028,714.543.571.928.8()28,714.5()( 6123 CBASDBASCAS 
 47
0912360 1014,7000.50071,285.645,0)1043.571.928.8( SxSSSDBS  
 
Por Semelhança: 
 
S3  1,00 A + 0,00 B + 1,00 C + 0,00 D = 0,50 A = 4,27 
S2  5.714,28 A + 1,00 B + 0,00 C + 1,00 D = 64.285,71 B = - 5.929,17 
S1  8.928.571,43 A + 5.714,28 B + 106 C + 0,00 D = 500.000,00 C = - 3,77 
S0  0,00 A +8.928.571,43B + 0,00 C + 106 D = -7,14 x 109 D = 45.796,20 
 
)()(
83,874)14,857.2(
20,796.4577,3
10
17,929.527,4)( 2262 SISI
S
S
S
SSI HP 





 
 
Observa-se da expressão acima que a Solução Geral é composta por duas frações, 
detalhadas a seguir: 
 
IP  Solução Particular  Resposta em Regime Permanente  Resposta Forçada  
Depende da Fonte que alimenta o circuito 
 
IH  Solução Homogênea  Resposta Transitória  Resposta Natural  Depende dos 
Componentes RLC 
 
62
3
6262 10
1093,5
10
27,4
10
17,929.527,4)(







SS
S
S
SSI P 
 
2222 83,874)14,857.2(
)14,857.214,857.2
77,3
20,796.45(77,3
83,874)14,857.2(
20,796.4577,3)(






S
S
S
SSI H 
 
2222 83,874)14,857.2(
)14,857.253,147.12(77,3
83,874)14,857.2(
)14,857.2(77,3)(






SS
SSI H 
 
O último termo de IH(S) deve ser reescrito como: 
 
2222 83,874)14,857.2(
83,874
83,874)14,857.2(
)14,857.253,147.12(77,3




S
K
S
 
 
66,64
83.874
)14,857.253,147.12(77,3)14,857.253,147.12(77,383.874 

 KKx 
 
tt tsenttsentti 14,285714,2857 ).83,874(.66,64).83,874cos(.77,3)1000.(.93,5)1000cos(.27,4)(   
 
Os gráficos a seguir mostram as soluções Homogênea, Particular e Geral respectivamente. 
 
 48
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo iH(t) 
0 -3,77000 
0,0001 -7,06766 
0,0002 -8,45276 
... ... 
0,0094 -1,2E-10 
 
 
 
tempo iP(t) 
0 4,270000 
0,0001 3,656656 
0,0002 3,006775 
... ... 
0,0094 -4,41561 
 
 
tempo iG(t) 
0 0,50000 
0,0001 -3,41101 
0,0002 -5,44599 
... ... 
0,0094 -4,41561 
 
iH(t) = =-3,77*COS(874,83*A1)*EXP(-2857,14*A1)-64,66*SEN(874,83*A1)*EXP(-2857,14*A1) 
iP(t) = =4,27*COS(1000*A1)-5,93*SEN(1000*A1) 
iG(t) = iH(t) + iP(t)