Modelagem de Quadricóptero

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Modélisation du 
quadricoptère
Modélisation du quadricoptère
1. Définition des repères 
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• Le repère inertiel 𝐹! = 𝑂! , 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! :
Ø Lié à la surface de la terre par son origine Oi ;
Ø Représente le référentiel terrestre où se trouve le pilote ;
Ø Il est fixe et 𝑂! indique généralement la position de départ du
quadricoptère.
• Le repère de la base du drone 𝐹" = 𝑂", 𝑥", 𝑦", 𝑧" .
Ø Il est attaché à l’origine du châssis du drone au point 𝑂" ;
Ø Permet de décrire l’orientation du drone.
2. Définitions des positions et vitesses, 
linéaires et angulaires
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Dans le repère inertiel Fi
Position linéaire : 𝜉 =
𝑥
𝑦
𝑧
𝑒𝑛 (𝑚) ; Vitesse linéaire : �̇� =
�̇�
�̇�
�̇�
𝑒𝑛 (𝑚/𝑠)
Position angulaire : 𝜂 =
𝜙
𝜃
𝜓
𝑒𝑛 (𝑟𝑎𝑑) ; Vitesse angulaire �̇� =
�̇�
�̇�
�̇�
𝑒𝑛 (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
Où ϕ, θ, ψ représentent les angles d’Euler.
Ils permettent de représenter l’orientation du drone dans le repère de la base :
𝑂!
𝑥!
𝑧!
𝑦!
𝜙𝜃
𝜓
2. Définitions des positions et vitesses, 
linéaires et angulaires
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Dans le repère de la base Fb
Vitesse linéaire : 𝜈 =
𝑢
𝑣
𝑤
𝑒𝑛 (𝑚/𝑠) ; Vitesse angulaire 𝛺 =
𝑝
𝑞
𝑟
𝑒𝑛 (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
2. Définitions des positions et vitesses, 
linéaires et angulaires
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𝑅# =
𝐶$𝐶% 𝑆&𝑆$𝐶% − 𝐶&𝑆% 𝐶&𝑆$𝐶% + 𝑆&𝑆%
𝐶$𝑆% 𝑆&𝑆$𝑆% + 𝐶&𝐶% 𝐶&𝑆$𝑆% − 𝑆&𝐶%
−𝑆$ 𝑆&𝐶$ 𝐶&𝐶$
La matrice de rotation 𝑅# permet de ramener l’expression des vitesses 
linéaires depuis le repère Fb dans le repère Fi :
Avec C(.) = cos(.) et S(.) = sin(.)
2. Définitions des positions et vitesses, 
linéaires et angulaires
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La vitesse linéaire ν s’exprime alors depuis le repère Fb, dans le repère Fi par : 
E�̇� = 𝑅#𝜈 𝑒𝑛 ( ⁄𝑚 𝑠
La matrice 𝑊#'( permet de passer la vitesse angulaire Ω du repère Fb au 
repère Fi :
𝑊#'( =
1 𝑆&𝑇$ 𝐶&𝑇$
0 𝐶& −𝑆&
0 ⁄𝑆& 𝐶$ ⁄𝐶& 𝐶$
E�̇� = 𝑊#'(𝛺 𝑒𝑛 (𝑟𝑎 ⁄𝑑 𝑠
La relation entre la vitesse angulaire Ω dans le repère Fb et la vitesse angulaire �̇�
dans le repère Fi est :
2. Définitions des positions et vitesses, 
linéaires et angulaires
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Considérons que le quadricoptère est un corps rigide, d’où : 
• Il peut être considéré comme indéformable ; 
• Permet de modéliser le drone comme une masse ponctuelle, sans volume ;
• Toute sa masse, ses forces et ses moments sont considérés appliqués en un 
point ; 
• Le quadricoptère sera modélisé comme un corps rigide à six degrés de liberté, 
définis par sa position ξ et son orientation η dans l’espace. 
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La somme des forces de portances Tz générée par les hélices des quatre 
moteurs, dans le repère de la base Fb est 
𝑇) =
0
0
L
!*(
+
𝑓!
𝑒𝑛 𝑁
E𝑓! = −𝑘𝜔!, 𝑒𝑛 (𝑁
Avec la force fi générée par l’hélice i (𝑖 = 1,… , 4 ) :
3. Paramètres d’efforts
Force
𝑓!
𝑓"
𝑓#
𝑓$
𝑇𝑧k : constante de portance liée au type d’hélice utilisée
𝜔! : vitesse de rotation de l’hélice i
𝑚𝑔
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La force 𝑇), exprimée dans le repère Fi devient la force F :
Avec l3 = [ 0 0 1 ]T𝐹 = 𝑅#𝑇)𝑙- ; 𝑒𝑛 𝑁
𝐹 =
𝐶%𝑆$𝐶& + 𝑆%𝑆&
𝑆%𝑆$𝐶& − 𝐶%𝑆&
𝐶$𝐶&
𝑇)
Ou encore :
3. Paramètres d’efforts
Force
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3. Paramètres d’efforts
Couple
L’expression des couples appliqués au drone donne : 
𝜏" =
𝐿
𝑀
𝑁
=
)𝑙𝑘(𝜔., −𝜔,,
)𝑙𝑘(𝜔-, −𝜔(,
)𝑏(𝜔(, −𝜔,, +𝜔-, −𝜔.,
𝑒𝑛 𝑁.𝑚
Ou : l Longueur d’un bras du drone entre son centre d’inertie et l’axe de rotation d’un 
moteur (quadricoptère symétrique sur x et y) ; 
b la constante de traînée liée à la géométrie de l’hélice.
𝑂"
𝑥"
𝑧"
𝑦"
𝐿𝑀
𝑁
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3. Paramètres d’efforts
En résumé
ω1, ω2, ω3, ω4 : Vitesses de rotation des moteurs
L, M, N : Couple autour des axes xb, yb, zb
f1, f2, f3, f4: Forces de portances 
Tz = ∑!*(!*. 𝑓!
𝑧"
𝑁
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4. Expression des accélérations (Newton)
Linéaire
Selon la seconde loi de Newton, les équations du mouvement d’un
quadricoptère dans le repère Fi s’expriment comme suit :
𝑚�̈� = 𝐹 +𝑚𝑔𝑙- + 𝐹/01
= 𝑅#𝑇)𝑙- +𝑚𝑔𝑙- + 𝐹/01
Où 𝐹/01 = 𝐹0 𝐹2 𝐹) 3 représente les forces de perturbation externe.
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Le formalisme de Newton permet d’exprimer les équations du mouvement 
dans le repère inertiel Fi selon les angles d’Euler, tel que :
avec : × le produit vectoriel ;
𝛺 la vitesse angulaire du drone dans le repère de la base Fb ;
𝐽 étant la matrice d’inertie définie par :
𝐽 =
𝐽00 0 0
0 𝐽22 0
0 0 𝐽))
4. Expression des accélérations (Newton)
Angulaire
𝐽�̇� = 𝑀 − 𝛺×𝐽𝛺
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Avec les couples M appliqué au drone défini par : 
𝑀 = 𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀7 + 𝜏"
Où 
• 𝑀4 : Le couplage généré par la traînée des l’hélices ; 
• 𝑀5 : Les couples inertiels des moteurs ;
• 𝑀6 : Les couples gyroscopiques ;
• 𝑀7 : L’interaction du flux d’air sur la rotation de l’hélice. 
En regroupant 𝑀4 , 𝑀5 , 𝑀6, 𝑀7 dans le couple externe Mext nous obtenons : 
4. Expression des accélérations (Newton)
Angulaire
𝐽�̇� = −𝛺×𝐽𝛺 + 𝜏" +𝑀/01
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Il est généralement pratique de représenter le modèle du drone à partir des
vitesses et accélérations, linéaires et angulaires tel que :
𝑃1 a
�̇� = 𝑅#𝜈
𝑚�̈� = 𝑇)𝑅#𝑙- +𝑚𝑔𝑙- + 𝐹/01
𝑃8 b
�̇� = 𝑊#'(Ω
𝐽Ω̇ = −Ω×𝐽Ω + 𝜏" +𝑀/01
4. Expression des accélérations (Newton)
Où Pt désigne le système en translation et Pr désigne le système en rotation 
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En consiférant 𝐹/01 = 0 nous obtenons :
𝑚
�̈�
�̈�
�̈�
=
𝐶&𝑆$𝐶% + 𝑆&𝑆%
𝐶&𝑆$𝑆% − 𝑆&𝐶%
𝐶&𝐶$
9":#
𝑇) −
0
0
𝑚𝑔
;6:#
+
c𝐹0
𝐹2
𝐹)