IPUO geometria

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18. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \)?** 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( \frac{1}{6} \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) \( 1 \) 
 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \): 
 \[ 
 \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \implies x - \sin(x) = \frac{x^3}{6} + O(x^5) 
 \] 
 Logo, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6} 
 \] 
 
19. **Qual é a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 - A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 - B) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 - C) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 - D) \( \frac{5}{4}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como: 
 \[ 
 \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = x^5 - x^3 + 2x + C 
 \] 
 
20. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 4x + 4) \, dx \)?** 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( 2 \) 
 - D) \( 3 \) 
 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (x^3 - 4x + 4) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ \frac{1}{4}(1)^4 - 2(1)^2 + 4(1) \right] - \left[ 0 \right] = \frac{1}{4} - 2 + 4 = \frac{9}{4} 
 \] 
 
21. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 - A) \( \sec^2(x) \) 
 - B) \( \sin^2(x) \) 
 - C) \( \cos^2(x) \) 
 - D) \( \sec(x) \) 
 
 **Resposta:** A) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é conhecida: 
 \[ 
 f'(x) = \sec^2(x) 
 \] 
 
22. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (6x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 2 \) 
 - C) \( 3 \) 
 - D) \( 4 \) 
 
 **Resposta:** A) \( 1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (6x^2 - 4x + 1) \, dx = 2x^3 - 2x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ 2(1)^3 - 2(1)^2 + (1) \right] - \left[ 0 \right] = 2 - 2 + 1 = 1 
 \] 
 
23. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \)?** 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( 2 \) 
 - D) \( \infty \) 
 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \tan(x) \): 
 \[ 
 \tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \implies \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} = 1 
 \] 
 
24. **Qual é a integral \( \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( x^4 - x^2 + x + C \) 
 - B) \( x^4 - x^2 + \frac{x}{2} + C \) 
 - C) \( 4x^4 - x^2 + x + C \) 
 - D) \( x^4 - \frac{2}{2}x^2 + x + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( x^4 - x^2 + x + C \)