Vamos resolver passo a passo a aproximação da integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1, 3]\) usando o método dos retângulos à esquerda com \( n = 10 \) subintervalos, e calcular o erro relativo. 1. Dados: - Função: \( f(x) = x^2 + 3 \) - Intervalo: \([a, b] = [1, 3]\) - Número de subintervalos: \( n = 10 \) - Valor exato da integral: \( I = \frac{44}{3} \approx 14,6667 \) 2. Passo 1: Calcular o tamanho do subintervalo \( \Delta x \): \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 3. Passo 2: Determinar os pontos de avaliação (pontos à esquerda): \[ x_i = a + (i-1) \Delta x, \quad i = 1, 2, ..., 10 \] Ou seja: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 1,2, \quad x_3 = 1,4, \quad ..., \quad x_{10} = 2,8 \] 4. Passo 3: Calcular \( f(x_i) \) para cada \( i \): \[ f(x_i) = x_i^2 + 3 \] Calculando: - \( f(1) = 1^2 + 3 = 4 \) - \( f(1,2) = 1,44 + 3 = 4,44 \) - \( f(1,4) = 1,96 + 3 = 4,96 \) - \( f(1,6) = 2,56 + 3 = 5,56 \) - \( f(1,8) = 3,24 + 3 = 6,24 \) - \( f(2,0) = 4 + 3 = 7 \) - \( f(2,2) = 4,84 + 3 = 7,84 \) - \( f(2,4) = 5,76 + 3 = 8,76 \) - \( f(2,6) = 6,76 + 3 = 9,76 \) - \( f(2,8) = 7,84 + 3 = 10,84 \) 5. Passo 4: Calcular a soma das áreas dos retângulos: \[ I_{aprox} = \Delta x \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = 0,2 \times (4 + 4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84) \] Somando os valores: \[ S = 4 + 4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84 = 69,4 \] Logo: \[ I_{aprox} = 0,2 \times 69,4 = 13,88 \] 6. Passo 5: Calcular o erro relativo: \[ Erro\ relativo = \left| \frac{I - I_{aprox}}{I} \right| = \left| \frac{14,6667 - 13,88}{14,6667} \right| \approx \frac{0,7867}{14,6667} \approx 0,0536 \quad (5,36\%) \] --- Resposta final: - Valor aproximado da integral pelo método dos retângulos à esquerda com \( n=10 \): 13,88 - Erro relativo em relação ao valor exato: 5,36% Se precisar de mais ajuda, é só chamar!