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b) \( -\frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \( -\frac{1}{3} \) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \tan(x) \): \( \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + 
O(x^5) \). Assim, \( x - \tan(x) = -\frac{x^3}{3} + O(x^5) \). 
 
48. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \), onde \( u = 
x^3 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 3x^2 \). 
 
49. **Qual é o valor da integral \( \int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 6 
 b) 8 
 c) 10 
 d) 12 
 **Resposta:** c) 10 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} + 
9 + 3 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) = 10 \). 
 
50. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} \)?** 
 a) 0 
 b) \( -\frac{9}{2} \) 
 c) \( \frac{9}{2} \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \( -\frac{9}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \cos(x) \): \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + 
O(x^4) \). Assim, \( \cos(3x) - 1 = -\frac{(3x)^2}{2} + O(x^4) = -\frac{9x^2}{2} \). 
 
51. **Qual é a integral \( \int (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C \) 
 b) \( \frac{x^4}{4} - 4x^3 + 2x^2 + C \) 
 c) \( \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + x^2 + C \) 
 d) \( \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \), \( \int -4x^2 
\, dx = -\frac{4x^3}{3} \), \( \int 4x \, dx = 2x^2 \). 
 
52. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 + 2) - 0 = 3 \). 
 
53. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 1}{2x^2 + 4} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \frac{5 + \frac{3}{x} + 
\frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^2}} \). À medida que \( x \to \infty \), os termos que incluem \( x 
\) tendem a 0. 
 
54. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x^3) \)?** 
 a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 b) \( 3x^2 \sin(x^3) \) 
 c) \( -x^2 \sin(x^3) \) 
 d) \( 3\cos(x^3) \) 
 **Resposta:** a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot 
\frac{du}{dx} \), onde \( u = x^3 \) e \( \frac{du}{dx} = 3x^2 \). 
 
55. **Qual é o valor da integral \( \int_1^2 (x^2 + 2x) \, dx \)?** 
 a) 3 
 b) 5 
 c) 7 
 d) 9 
 **Resposta:** b) 5 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} + 4 
\right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = 
\frac{16}{3} \). 
 
56. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 
5 \). 
 
57. **Qual é a integral \( \int (2x + 3) \, dx \)?** 
 a) \( x^2 + 3x + C \) 
 b) \( 2x^2 + 3x + C \) 
 c) \( x^2 + 3 + C \) 
 d) \( 2x + 3 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^2 + 3x + C \)