8GAQ reprovados 8GAQ

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d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 **Explicação:** Esta é uma série conhecida, chamada de série de Basileia, cuja soma 
foi provada por Euler. 
 
12. **Problema 12:** 
 Calcule o limite: 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{4x^3 - 6x + 1} 
 \] 
 a) \(\frac{3}{4}\) 
 b) \(\frac{4}{3}\) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{4}\) 
 **Explicação:** Ao calcular o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), 
que é \(x^3\), resultando em \(\frac{3 + 0 - 0}{4 - 0 + 0} = \frac{3}{4}\). 
 
13. **Problema 13:** 
 Determine a integral: 
 \[ 
 \int_0^1 x e^{x^2} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{e^2 - 1}{2}\) 
 c) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2\), resultando em \(\frac{1}{2}\int e^u \, 
du\), que nos dá \(\frac{1}{2}(e - 1)\). 
 
14. **Problema 14:** 
 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva \(y = x^2\) em torno do eixo x, 
de \(x = 0\) a \(x = 1\). 
 a) \(\frac{\pi}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\pi\) 
 c) \(\frac{2}{5}\pi\) 
 d) \(\frac{1}{2}\pi\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{3}\pi\) 
 **Explicação:** Usamos o método dos discos: \(V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 \, dx = \pi 
\int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{5}\pi\). 
 
15. **Problema 15:** 
 Determine a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\). 
 a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 b) \(\frac{x}{1+x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{x^2}{1+x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 **Explicação:** A derivada da função arco tangente é bem conhecida e pode ser 
derivada usando a regra da cadeia. 
 
16. **Problema 16:** 
 Calcule a integral: 
 \[ 
 \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx 
 \] 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 c) \(\ln(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), resultando em \(\int \frac{1}{u} \, du 
= \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C\). 
 
17. **Problema 17:** 
 Encontre o valor de \(k\) tal que a função \(f(x) = kx^2 - 4x + 3\) tenha um mínimo em \(x = 
2\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Para que \(f(x)\) tenha um mínimo em \(x = 2\), a derivada \(f'(x) = 2kx - 
4\) deve ser zero em \(x = 2\), resultando em \(2k(2) - 4 = 0 \Rightarrow k = 2\). 
 
18. **Problema 18:** 
 Calcule a integral definida: 
 \[ 
 \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{6}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação:** Integramos: \(\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\) e \(\int_0^1 2x \, dx = 1\). 
Portanto, a soma é \(\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\). 
 
19. **Problema 19:** 
 Determine a integral: 
 \[ 
 \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx 
 \] 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\)