ensino da aula 1HM

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B) \( -5 e^{-i\pi} \) 
C) \( 5 \text{cis} \pi \) 
D) \( 5 + 0i \) 
*Resposta: C) \( 5 \text{cis} \pi \)* 
**Explicação:** O módulo é 5 e o argumento é \( \pi \). 
 
83. Se \( z = -\sqrt{3} - i \), qual é o valor de \( \tan(\theta) \) onde \( \theta \) é o argumento 
de \( z \)? 
A) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
B) \( -\sqrt{3} \) 
C) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) 
D) \( -3 \) 
*Resposta: B) \( -\sqrt{3} \)* 
**Explicação:** \( \tan \theta = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 
 
84. Se \( z = 3 - 5i \), qual é \( z^2 \)? 
A) \( 9 - 30i \) 
B) \( 9 + 25 \) 
C) \( 34 - 30i \) 
D) \( -7 - 30i \) 
*Resposta: C) \( 34 - 30i \)* 
**Explicação:** Estão em \( (3-5i)^2 = 9 - 30i + 25i^2 = -16 - 30i \). 
 
85. Determine \( e^{i\frac{\pi}{2}} \). 
A) \( 0 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( i \) 
*Resposta: D) \( i \)* 
**Explicação:** Por Euler, \( e^{i\frac{\pi}{2}} = i \). 
 
86. O que é a soma dos módulos \( |3 + 4i| \) e \( |2 - 3i| \)? 
A) \( 8 \) 
B) \( 9 \) 
C) \( 10 \) 
D) \( 7 \) 
*Resposta: B) \( 9 \)* 
**Explicação:** O módulo de \( 3 + 4i = 5 \) e \( 2 - 3i = \sqrt{13} \). 
 
87. Se \( z = -4 + 3i \), determine \( |z^2| \). 
A) \( 5 \) 
B) \( 25 \) 
C) \( 16 \) 
D) \( 2 \) 
*Resposta: B) \( 25 \)* 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = 5 \), então \( |z^2| = 5^2 = 25 \). 
 
88. Se \( z = 2i \), qual é \( z^5 \)? 
A) \( 32i \) 
B) \( -32 \) 
C) \( 32 \) 
D) \( -32i \) 
*Resposta: B) \( -32 \)* 
**Explicação:** \( z^5 = (2i)^5 = 32i^5 = -32 \). 
 
89. Se \( z = 1 + i\sqrt{3} \), qual é \( z^2 \)? 
A) \( 4i \) 
B) \( -2 + 4i \) 
C) \( -2 - 2i \) 
D) \( 4 + 2\sqrt{3} i \) 
*Resposta: C) \( -2 + 4i \)* 
**Explicação:** Calculando \( z^2 = (1 + i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
90. Qual é a forma polar de \( z = 2 - 2i \)? 
A) \( 2\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}} \) 
B) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
C) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
D) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
*Resposta: C) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \)* 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}\left(-1\right) + \pi = \frac{5\pi}{4} \). 
 
91. Determine \( z_1 = 8 e^{i\frac{\pi}{2}} \). 
A) \( 0 \) 
B) \( 8i \) 
C) \( 8 \) 
D) \( 8 - i \) 
*Resposta: B) \( 8i \)* 
**Explicação:** Por Euler, \( 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8i \). 
 
92. Se \( z = 8e^{-i\frac{\pi}{4}} \), qual é \( z^2 \)? 
A) \( 64e^{-i\frac{\pi}{2}} \) 
B) \( 64e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
C) \( 64e^{-i\frac{3\pi}{4}} \) 
D) \( 64e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
*Resposta: A) \( 64e^{-i\frac{\pi}{2}} \)* 
**Explicação:** \( (8e^{-i\frac{\pi}{4}})^2 = 64e^{-i\frac{\pi}{2}} \). 
 
93. Se \( z = -5 + 5i \), qual é \( z - z^* \)? 
A) \( 0 \) 
B) \( -5 + 10i \) 
C) \( -10i \) 
D) \( -10 \)