fazendo e apanhando AYD

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19. **Questão 19:** Qual é o valor de \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 2 
 - d) 3 
 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Podemos fatorar o numerador: 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2. 
 \] 
 
20. **Questão 20:** Qual é a integral definida \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\)? 
 - a) 1 
 - b) 2 
 - c) \(\frac{5}{6}\) 
 - d) \(\frac{1}{2}\) 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x. 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[1 - 1 + 2\right] - [0] = 2. 
 \] 
 
21. **Questão 21:** Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\)? 
 - a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 - b) \(4x^3 \ln(x) + \frac{1}{x^3}\) 
 - c) \(x^3(4\ln(x) + 1)\) 
 - d) \(x^4 \cdot \frac{1}{x}\) 
 
 **Resposta:** c) \(x^3(4\ln(x) + 1)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: 
 \[ 
 f'(x) = \ln(x) \cdot 4x^3 + x^4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3 \ln(x) + x^3. 
 \] 
 
22. **Questão 22:** Qual é o valor de \(\int_1^2 (3x^2 - 2x) \, dx\)? 
 - a) 1 
 - b) \(\frac{5}{3}\) 
 - c) \(\frac{4}{3}\) 
 - d) 0 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ 
 \int (3x^2 - 2x) \, dx = x^3 - x^2. 
 \] 
 Avaliando de 1 a 2: 
 \[ 
 \left[8 - 4\right] - \left[1 - 1\right] = 4. 
 \] 
 
23. **Questão 23:** Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\)? 
 - a) 0 
 - b) \(-\frac{1}{2}\) 
 - c) 1 
 - d) \(-1\) 
 
 **Resposta:** b) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\): 
 \[ 
 \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). 
 \] 
 Portanto, \(\cos(x) - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)\): 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}. 
 \] 
 
24. **Questão 24:** Qual é o valor de \(\int_0^1 (3x^2 - 6x + 4) \, dx\)? 
 - a) 1 
 - b) 2 
 - c) 3 
 - d) 4 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ 
 \int (3x^2 - 6x + 4) \, dx = x^3 - 3x^2 + 4x. 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[1 - 3 + 4\right] - [0] = 2. 
 \] 
 
25. **Questão 25:** Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)? 
 - a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 - d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\)