fazendo e apanhando AZN

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**Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. 
 \] 
 
26. **Questão 26:** Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\)? 
 - a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - b) \(\frac{1}{2}\) 
 - c) \(\frac{\pi}{8}\) 
 - d) \(\frac{1}{4}\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\): 
 \[ 
 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{1}{2} \left[x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{2} + 
0\right] = \frac{\pi}{4}. 
 \] 
 
27. **Questão 27:** Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) \(\infty\) 
 - d) Não existe 
 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. 
 \] 
 
28. **Questão 28:** Qual é a integral definida \(\int_1^3 (2x + 1) \, dx\)? 
 - a) 4 
 - b) 6 
 - c) 8 
 - d) 10 
 
 **Resposta:** b) 6 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ 
 \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x. 
 \] 
 Avaliando de 1 a 3: 
 \[ 
 \left[9 + 3\right] - [1 + 1] = 12 - 2 = 10. 
 \] 
 
29. **Questão 29:** Qual é a derivada de \(f(x) = e^{3x}\)? 
 - a) \(3e^{3x}\) 
 - b) \(e^{3x}\) 
 - c) \(9e^{3x}\) 
 - d) \(e^{x}\) 
 
 **Resposta:** a) \(3e^{3x}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{kx}\) é \(ke^{kx}\): 
 \[ 
 f'(x) = 3e^{3x}. 
 \] 
 
30. **Questão 30:** Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx\)? 
 - a) 1 
 - b) 2 
 - c) 3 
 - d) 4 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ 
 \int (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 3x. 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 3\right] - [0] = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = 
\frac{1}{4} + \frac{28}{12} = 2. 
 \] 
 
31. **Questão 31:** Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 + 1}\)? 
 - a) 0 
 - b) \(\frac{5}{3}\) 
 - c) \(\frac{3}{5}\) 
 - d) \(\infty\) 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \(x^3\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 + \frac{1}{x^3}} = \frac{5 + 0}{3 + 0} = \frac{5}{3}. 
 \] 
 
32. **Questão 32:** Qual é a derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 - a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 - c) \(\frac{1}{2x}\)