sistema da computação ARH

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c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{2(x^2 + 1)} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} 
 \] 
 
28. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( \frac{7}{3} \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{7}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ 1^3 + 2(1) \right] - 0 = 1 + 2 = 3 
 \] 
 
29. **Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 2 \). Portanto, o limite é 2. 
 
30. **Qual é a integral de \( \int (x^3 - 3x + 2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x + 2 + C \) 
 c) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^4 - 3x + 2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^3) \, dx = \frac{1}{4}x^4, \quad \int (-3x) \, dx = -\frac{3}{2}x^2, \quad \int (2) \, dx = 
2x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \). 
 
31. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 7 \)?** 
 a) \( 4x^3 + 6x^2 - 10x \) 
 b) \( 4x^3 + 6x - 10 \) 
 c) \( 4x^3 + 2x^2 - 5 \) 
 d) \( 3x^2 - 10 \) 
 **Resposta:** a) \( 4x^3 + 6x^2 - 10x \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: 
 \[ 
 f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 10x 
 \] 
 
32. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 5 \). Portanto, o limite é 5. 
 
33. **Qual é a integral de \( \int (8x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?** 
 a) \( 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \) 
 b) \( 2x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x + C \) 
 c) \( 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 d) \( 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \) 
 **Resposta:** a) \( 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (8x^3) \, dx = 2x^4, \quad \int (-2x^2) \, dx = -\frac{2}{3}x^3, \quad \int (1) \, dx = x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( 2x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \). 
 
34. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{4x^3 - x} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador por \( x^3 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{4 - 0} = \frac{3}{4} 
 \] 
 
35. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{5x + 3} \)?** 
 a) \( \frac{5}{2\sqrt{5x + 3}} \) 
 b) \( \frac{5}{\sqrt{5x + 3}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{5x + 3}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{5x + 3}} \)