ESTUDO DIRIGIDO Calculo 3

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CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
2º Estudo Dirigido – Gabarito 29/10/2024 
Profª Rosa Maria Nielsen 
 
 
01. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto dado: 
 
a. z = x2 + y2 - 1 no ponto (0, 0, -1). 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (0, 0, −1) = 0 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (0, 0, −1) = 0 
 
𝑧 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 
 
𝑧 = −1 + 0(𝑥 − 0) + 0(𝑦 − 0) ∴ 𝑧 = −1 
 
 
b. z = 2x + 6y2 nos pontos (1, 0, f (1, 0)). 
 
𝑓(1, 0) = 2 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (1, 0, 2) = 2 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 12𝑦 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (1, 0, 2) = 0 
 
𝑧 = 2 + 2(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 0) → 𝑧 = 2 + 2𝑥 − 2 ∴ 𝑧 = 2𝑥 
 
 
c. z = xy2 no ponto (1, 2, 4). 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑦2 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (1, 0, 2) = 0 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (1, 0, 2) = 0 
 
𝑧 = 4 + 0(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 0) ∴ 𝑧 = 4 
 
 
 
 
 
 
2 
 
02. Encontre o gradiente da função no ponto dado: 
 
a. z = ln (x2 + y2) no ponto (1, 1). 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2
 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (1, 1) = 1 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
2𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (1, 1) = 1 
 
∇𝑧(1, 1) = (1, 1) 
 
b. z = y - xy no ponto (2, 1). 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −𝑦 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (2, 1) = −1 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 1 − 𝑥 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (2, 1) = 1 − 2 = −1 
 
∇𝑧(2, 1) = (−1, −1) 
 
c. z = y - x2 no ponto (-1, 0). 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −2𝑥 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 (−1, 0) = −2 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 1 ∴ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 (−1, 0) = 1 
 
∇𝑧(−1, 0) = (−2, 1) 
 
 
d. f (x, y, z) = x2 + y2 + z ln x no ponto (1, 1, 1). 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 +
𝑧
𝑥
 ∴ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (1, 1, 1) = 2 +
1
1
= 3 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑦 ∴ 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 (1, 1, 1) = 2 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝑙𝑛𝑥 ∴ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (1, 1, 1) = 0 
 
∇𝑓(1, 1, 1) = (3, 2, 0)