LW matematica com amor

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c) \( 1 \) 
 d) \( 10 \) 
 **Resposta**: a) \( 5 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite, onde \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \). 
 
40. **Problema 40**: Determine a integral \( \int \frac{1}{x^4} \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{3x^3} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{4x^3} + C \) 
 c) \( \frac{1}{3x^3} + C \) 
 d) \( \frac{1}{4x^3} + C \) 
 **Resposta**: b) \( -\frac{1}{3x^3} + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( x^{-4} \) é \( -\frac{1}{3}x^{-3} + C \). 
 
41. **Problema 41**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) \( 4 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta**: a) \( 4 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite, onde \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). 
 
42. **Problema 42**: Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 1 \). 
 a) \( 3x^2 - 4 \) 
 b) \( 3x^2 - 8x + 6 \) 
 c) \( 3x^2 - 4x + 6 \) 
 d) \( 3x^2 + 6 \) 
 **Resposta**: a) \( 3x^2 - 4 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra da potência para derivar cada termo. 
 
43. **Problema 43**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{6} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta**: d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \). Avaliando de 
0 a 1, temos \( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). 
 
44. **Problema 44**: Encontre a integral \( \int \sec^3(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 c) \( \sec(x) + C \) 
 d) \( \tan(x) + C \) 
 **Resposta**: b) \( \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \sec^3(x) \) é uma integral padrão que resulta na 
expressão dada. 
 
45. **Problema 45**: Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( 2e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{x} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando em \( \frac{1}{2} e^{u} + C 
\). 
 
46. **Problema 46**: Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: A função pode ser reescrita como \( (x - 1)^2 \), cuja integral de 0 a 1 é 0. 
 
47. **Problema 47**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( e \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, onde a derivada de \( e^x - 1 \) é \( e^x \) e 
a de \( x \) é \( 1 \). 
 
48. **Problema 48**: Encontre a primitiva de \( f(x) = 5x^4 \). 
 a) \( x^5 + C \) 
 b) \( \frac{5}{5}x^5 + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^5 + C \) 
 d) \( 5x^5 + C \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{5}{5}x^5 + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( 5x^4 \) é \( x^5 + C \). 
 
49. **Problema 49**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é a função arco-tangente. 
 
50. **Problema 50**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 6 \)