Cálculo Diferencial e Integral II _ AVA1

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Universidade Veiga de Almeida 
Curso: ciências econômicas 
Nome: Matheus Linto Soares 
Matrícula: 1220201660 
 
 
 
Curso 
• Ciências Econômicas - 
Cálculo Diferencial e Integral II _ AVA1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de várias variáveis: algumas aplicações 
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das 
funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de 
como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados 
em algumas áreas do conhecimento. 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte 
depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos 
escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
(a) Qual o significado das derivadas parciais ,  e ? 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 : Variação da temperatura com a longitude (leste - oeste). 
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 : Variação da temperatura com a latitude (norte - sul). 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 : Variação da temperatura com o tempo. 
 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 
horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma 
que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você 
esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? 
Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do 
meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
• 𝑓𝑥(158,21,9): Espera-se que seja negativo, pois, ao ir para o oeste, a 
temperatura é quente e, ao se deslocar para o leste, tende a esfriar. 
• 𝑓𝑦(158,21,9): Espera-se que seja positivo, pois, ao ir para o sul (latitude 
diminuindo), o ar está quente, enquanto ao ir para o norte o ar esfriaria. 
• 𝑓𝑡(158,21,9): Espera-se que seja positivo, já que a temperatura tende a 
aumentar durante o dia conforme avançamos do início da manhã. 
 
 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico 
seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. 
(a) Qual o domínio da função V? 
O domínio da função é o conjunto de (x, y, z) que satisfazem a condição em que 𝑉 
é definido. Neste caso, V é uma expressão polinomial de 𝑥,  𝑦 e 𝑧 , portanto, o domínio é 
ℝ3 
 
 
 
 
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 
𝒊 ̂+ 𝒋 ̂+�̂�. 
Derivadas parciais: 
 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
=  10𝑥 × 3𝑦  −  𝑦𝑧 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
=   − 3𝑥 + 𝑥𝑧 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 𝑥𝑦 
 
Avaliação em 𝑃(3,4,5): 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= (3,4,5) = 10(3) − 3(4) + 4(5) = 38 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= (3,4,5) = −3(3) + 3(5) = 6 
• 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= (3,4,5) = −3(4) = 12 
 
Gradiente: 
• ∇𝑉(3,4,5) = (38,6,12) 
 
Direção 𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗�: 
• Vetor unitário 𝑢 =
1
√3
(1,1,1) 
 
Taxa de variação: 
 
∇𝑉 .  𝑢  = 38
1
√3
+ 6
1
√3
+ 12
1
√3
=
56
√3
 
 
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
 A direção e sentido de máxima variação de 𝑉 em 𝑃(3,4,5) é dada pelo vetor 
gradiente ∇𝑉(3,4,5) = (38,6,12). 
 
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 
32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a 
quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o 
mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular) 
Variáveis: Seja 𝑥,  𝑦 e ℎ as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura). 
Volume: A condição imposta é 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 = 32.000 
Área da superfície: A área (quantidade de papel) a ser minimizada é 𝐴 =
2(𝑥𝑦 + 𝑥ℎ + 𝑦ℎ) 
Resolução: Usar técnicas de otimização para encontrar as dimensões que 
minimizam 𝐴 sob a restrição 𝑉 = 32.000 .