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03/03/2016 
1 
Universidade de Brasília – UnB 
Departamento de Engenharia Elétrica – ENE 
ELETRICIDADE BÁSICA 
Prof.: Felipe V. Lopes, D. Sc. 
EB 1 Brasília, 2016 
Unidade 3 
CIRCUITOS DE 
CORRENTE 
ALTERNADA EM 
REGIME 
PERMANENTE 
Parte (3) 
EB 2 
03/03/2016 
2 
Na Última Aula 
EB 3 
Valor 
médio 
Valor 
eficaz 
Fasores 
Operações 
algébrica 
com fasores 
P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
Na Aula de Hoje 
EB 4 
• Diagramas fasoriais 
 Representação gráfica de operações e relação dos fasores 
 
• Relações V x I nos circuitos CA 
 Resistores, indutores e capacitores 
 
• Impedância e admitância 
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, D
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3 
Referências Bibliográficas 
EB 5 
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EB 6 
  efm VVtVtv ˆ)(sen)(
Representação de sinais senoidais no tempo quando possuem 
mesma frequência (representação no domínio da frequência) 
Fasores 
Revisão 
ATENÇÃO! 
Alguns livros consideram 
o valor de pico 
 
  mVV̂
Consideraremos 
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EB 7 
Fasores 
Revisão 
Existe uma defasagem de θ3 - θ2 entre as tensões v3 e v2 
P
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EB 8 
Fasores 
Revisão 
Chamaremos a defasagem de θ3 - θ2 de Δθ 
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, D
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5 
EB 9 
Fasores 
Revisão 
Quando os fasores giram com frequência angular ω, a 
defasagem Δθ permanece constante 
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, D
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c.
 
EB 10 
Fasores 
Revisão 
Quando os fasores giram com frequência angular ω, a 
defasagem Δθ permanece constante 
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, D
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EB 11 
Fasores 
Revisão 
Quando os fasores giram com frequência angular ω, a 
defasagem Δθ permanece constante 
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, D
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EB 12 
Diagramas Fasoriais 
Motivação 
• Se as relações de fase permanecem constantes para 
sinais com mesma frequência 
 Representar graficamente as operações de fasores 
 Representar graficamente as relações entre fasores 
 
Diagrama Fasorial 
“Desenho” no plano dos fasores que nos permite relacioná-los 
geometricamente 
 
- Bastante útil na análise de circuitos CA em regime permanente 
 
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EB 13 
Diagramas Fasoriais 
Exemplo da aula passada 
• Obtenha na forma polar a soma de três correntes 
senoidais que chegam a um nó de um circuito (LKC). 
)90tsen(28
)30tsen(26
t)sen(25
3
2
1








i
i
i
12,2636,11ˆˆˆ
321  III
A 05ˆ
1
I
A 306ˆ
2
I
A 908ˆ
3
I
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EB 14 
Diagramas Fasoriais 
05ˆ
1 I
306ˆ
2 I
908ˆ
3 I
12,2636,11ˆ I
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EB 15 
Fasores 
05ˆ
1 I
306ˆ
2 I
908ˆ
3 I
12,2636,11ˆ I
ATENÇÃO 
Diagramas fasoriais só podem conter fasores, 
pois são diferentes de diagramas polares 
(vetoriais), nos quais são representadas 
grandezas complexas não senoidais! 
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EB 16 
Impedância e Admitância 
Introdução 
• Os conceitos de impedância e admitância 
 Provenientes das relações entre fasores de tensão e 
corrente para elementos de circuitos 
 Resistores 
 Indutores 
 Capacitores 
 
• Se os fasores das tensões e correntes são conhecidos 
(representação para uma dada frequência) 
 Torna-se possível obter as relações V x I para esta dada 
frequência (circuito equivalente no domínio da frequência) 
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EB 17 
Impedância e Admitância 
Introdução 
• Primeiro conceito a ser entendido 
 Operador imaginário j 
1110|| 22 j
90
0
1 11   tgtgj
901j
1j
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EB 18 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Elementos de circuito estudados 
 Resistores ▪ Indutores ▪ Capacitores 
 
 
 
 
• Sinais de entrada considerado nas análises 
 
Riv 
dt
di
Lv 
dt
dv
Ci 
)(sen   tIi m
)(sen   tVv m
Para: 
Resistores, Indutores 
Para: 
Capacitores 
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EB 19 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Resistores Riv 
IRV ˆˆ 





efI
m tIRv )(sen

I
efIRV
ˆ
ˆ 
Tensão e corrente 
possuem mesma fase 
(estão em fase) 
)(sen   tIi m
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, D
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EB 20 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Resistores 
IRV ˆˆ 
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EB 21 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Indutores 
dt
di
Lv 

 )90(sen
)(cos




t
m tLI
dt
di
Lv
)(sen   tIi m
  


90
)90(sen




efI
m tILv
Î j 
ILjV ˆˆ 
V adiantada de 90o de I 
(I atrasada de 90o de V) 
  



901
)90(ˆ




efI
efILV
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EB 22 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Indutores 
ILjV ˆˆ 
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EB 23 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Capacitores 
dt
dv
Ci 

 )90(sen
)(cos




t
m tCV
dt
dv
Ci
)(sen   tVv m
  


90
)90(sen




efV
m tVCi
V j  VCjI ˆˆ 
V atrasada de 90o de I (I adiantada de 90o de V) 
^ I
C
jI
Cj
V ˆ1ˆ1ˆ


  



901
)90(ˆ




efV
efVCI
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, D
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EB 24 
Impedância e Admitância 
Obtenção das relações V x I na frequência 
• Capacitores 
I
C
jV ˆ1ˆ


P
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, D
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EB 25 
Impedância e Admitância 
Resumo das Relações V x I 
Elemento No tempo Na frequência 
𝑅 𝑣 = 𝑅𝑖 𝑉 = 𝑅𝐼 
𝐿 𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 
𝐶 𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑉 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝐼 
Relações 
não-lineares 
Relações 
lineares 
P
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EB 26 
Impedância Z 
Fórmulas 
Elemento Na frequência 
𝑅 𝑉 = 𝑅𝐼 
𝐿 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 
𝐶 𝑉 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝐼 
Impedância Z 
Razão entre a tensãofasorial𝑽 e a correntefasorial𝑰 , medidaem 
ohms (Ω) 
Impedância não é um fasor, 
pois é uma grandeza que não 
varia como uma senóide! 
Impedâncias 
𝑍𝑅 = 𝑅 
𝑍𝐼 = 𝑗𝜔𝐿 
𝑍𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
= −𝑗
1
𝜔𝐶
 
P
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EB 27 
Impedância Z 
Confirmação do que estudamos! 
• Para sistemas de correntecontínua 
 𝑓 = 0 𝐻𝑧 → 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
RZR 
0 LjZI 

Cj
ZC

1
Resistores 
Idealmente, possuem mesmo valor em CA e CC 
Indutores 
De fato, são um curto-circuito para 
circuitos CC 
Capacitores 
De fato, são um curto aberto para 
circuitos CC 
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, D
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EB 
Impedância Z 
Reatâncias indutiva e capacitiva 
LjRZ 
C
jRZ

1

ljXRZ 
cjXRZ 
Reatância 
Indutiva (Ω) 
Reatância 
Capacitiva (Ω) 
Imag(Z) 
Imag(Z) 
P
ro
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EB 29 
Impedância Z 
Representação polar e retangular 
)(
1
cl XXjR
C
jLjRZ 


 || ZjXRZ
Reatância (Ω) 
> 0  Indutiva 
fasorial𝑰 
e a tensãofasorial𝑽 , medidaemsiemens (S) 
jBG
jXRZ
Y 


11
Condutância 
Susceptância 
P
ro
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, D
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EB 32 
Solução de Circuitos CA 
Fasores e Impedâncias 
• Usando fasores e impedâncias em uma dada frequência 
 Pode-se utilizar técnicas clássicas 
 Ex.: 
 Teoria das polaridades (fontes e elementos de circuito) 
 Lei de Ohm 
 LKT e LKC 
 Associações série e paralelo 
 Transformação Y-Δ e Δ-Y 
 Método das tensões de nó 
 Método das correntes de malha 
 Divisores de tensão e de corrente 
 Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 
 Entre outras P
ro
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, D
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EB 33 
Impedância 
Exemplo 1 
• A tensão𝑣 𝑡 = 12 2𝑠𝑒𝑛(60𝑡 + 45𝑜) é aplicada a um 
indutor de 0,1 H. Qual a corrente no circuito (em fasor)? 


906
4512ˆ
ˆ



IZ
V
I
V 451245
2
212ˆ  V
LjZI   61,060 jj
A 452ˆ I
 906 
P
ro
f.
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Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 34 
Impedância 
Exemplo 2 
• Calcule a impedância equivalente no circuito a seguir, 
sabendo que o circuito opera em 60 Hz? Em seguida, 
determine a corrente no circuito quando este é 
alimentado por uma fonte com tensão eficaz de 50 V. 
 04 mH 001
F 001 
P
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, D
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EB 35 
Impedância 
Exemplo 2 
 40RZ
  37,7101003772 3 jjfLjLjZI 




 26,5
10100377
1
2
11
6
jj
fC
j
C
jZC

5,267,3740
:
jjZZZZ
Logo
CIR 
 6,155,412,1140 jZP
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
es
, D
.S
c.
 
EB 36 
Impedância 
Exemplo 2 
 6,155,41 Z


6,155,41
050ˆ
ˆ
:



Z
V
I
Logo
A 6,1520,1ˆ I
V 050ˆ V
Resultado 
Por cada elemento do circuito, flui uma corrente cuja intensidade 
é de 1,20 A, atrasada de 15,6o em relação à tensão da fonte P
ro
f.
 F
e
lip
e 
Lo
p
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, D
.S
c.
 
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EB 37 
Solução Circuitos CA Monofásicos 
Exemplo 3 
• Determine a tensão vo no circuito a seguir. 
)3010cos(250  tv f
 10
 H5,0
 F
20
1
)10510cos(2356,35  tvo
P
ro
f.
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, D
.S
c.
 
EB 38 
Solução Circuitos CA Monofásicos 
Exemplo 4 
• A fonte de correntesenoidal do circuito a 
seguirproduzumacorrente𝑖𝑠 = 8 cos 200000𝑡 A. 
 (a) Determine o circuitoequivalentenafrequência. 
 (b) Determine v, i1, i2 e i3. 
)200000cos(28 tis 
 10
 6
H 04 
F 1
P
ro
f.
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, D
.S
c.
 
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39 
Solução Circuitos CA Monofásicos 
Exemplo 4 
 (a) Determine o circuito equivalente na frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) Determine v, i1, i2 e i3. 
A 08ˆ sI
 10
 6
 8j
 5j
^ 
^ ^ ^ 
V )869,36200000cos(240  tv
A )869,36200000cos(241
 ti A )130,53200000cos(283
 ti
A )90200000cos(242
 ti
P
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, D
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Universidade de Brasília – UnB 
Departamento de Engenharia Elétrica – ENE 
DÚVIDAS? 
Prof.: Felipe V. Lopes, D. Sc. 
EB 40 Brasília, 2016