Lista Matematica OBMEP (23)

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Lista 3 Ńıvel 2
5
9
Lista 3
1. No jogo – Aldo, Bernardo e Carlos jogam baralho. No ińıcio, a quantia em dinheiro que
eles tinham estava na proporção 7 : 6 : 5. No final do jogo, a proporção era 6 : 5 : 4.
Um dos jogadores ganhou 1 200 reais. Qual a quantidade de dinheiro com que ficou
cada jogador, no final da partida?
2. Um número inteiro – Mostre que M = 3
√
5 + 2 − 3
√
5 − 2 é um número inteiro.
3. Área de triângulos – A área do quadrado ABCD é 300 cm2. Na
figura, M é o ponto médio de CD e o ponto F pertence à reta que
passa por B e C.
(a) Qual é a área do triângulo ABF?
(b) Qual é área do triângulo ADF?
4. Um quadriculado – O retângulo quadriculado na figura é feito de
31 segmentos de 0,5 cm, e compreende 12 quadrados. Rosa dese-
nhou numa folha retangular de 21 cm por 29,7 cm quadriculada com
quadrados de lado 0,5 cm, um grande retângulo quadriculado feito
com 1 997 segmentos. Quantos quadrados tem esse retângulo?
5. Inteiros de 4 algarismos – Sabendo que a é um número natural, e que 4a2 e
4
3
× a3
são números naturais de 4 algarismos, determine a.
OBMEP 2009 13
5
9
Ńıvel 2 Lista 4
Lista 4
1. Pares positivos – Quantos pares de inteiros positivos (x, y) são soluções da equação
3x + 5y = 501?
2. Diferença de quadrados – Se a diferença dos quadrados de dois números inteiros
consecutivos é 2 000, então os dois números são:
(A) menores que 100.
(B) menores que 1 000, porém maiores que 99.
(C) menores que 10 000, porém maiores que 999.
(D) menores que 100 000, porém maiores que 9 999.
(E) não existem estes dois números.
3. Cálculo de ângulos – Em cada uma das figuras a seguir, calcule o valor do ângulo x,
sabendo que os segmentos AB e DE são paralelos.
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A
DE
B
C x
25o
55o
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A
DE
B
Cx
160o
150o
4. Tabela – Na tabela ao lado, com 6 colunas e diversas
linhas, estão escritos os números 1, 2, 3, 4, . . . Qual é
a posição do número 1 000?
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 · · ·
...
...
...
...
...
...
5. Entre 1 e 2 – Complete os numeradores com inteiros positivos para satisfazer as
condições:
a
5
e
b
7
são menores do que 1, e 1