A Conquista da Matemática 7 ano

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Dados lnternacionaís de Catalogação na publicacão íClpl
(Câmara Brasileir"a do Ltúro, SB BÀsift'-- '-" ,
A Conquista da Matemática: a + nova
Copynght@ José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni Jr. - 2OO2
Todos os direitos de edicão reservados à
Editora FTD S.A.
lndices para catálogo sistemático:
L Matemática : Ensino Íundame ntal 372.7
tsBN 85-322_4984_1
Ano de publicacão: 2OO2
Giovanni, José Ruy, 1937-
^ A conquista da matemática : a + nova / José RuvGjovanni, Benedito Castrucci, lose nuy Ciovanrn '"'
JUnror. - §ao Paulo : FTD, 2002. _ (Colecâo aconqursla da malemática)
Edicão náo-consumível
Obra em 4 v para alunos de 5q a ga séries.
Suplementado pelo manual ao proÍessãr. 
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_^_ 
l. Matem-ática (Enslno fundamental) I. Castrucci.
i3ã311,i: iíÍ3 ,í 
ciovanni_runioi _rã.0 n",y, 
. ""',,
a2-4719
cDD-372.7
Editora
Júnra La Scala
Lditores assislsntqs
Arnaldo Rodrígues
Dario Martins
Fabiano A. L. Wotff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
CoLaboradora
Esmeralda Silva Ribeiro
Preparaçõ,o
Lucila Barrerros Facchini
Ravisâo
Eliete Soares da Silva
Luciana Pêreira Azevedo
lcono5rafia
Loorder.açô,o: Sônia Oddi
Pysquisa: Caio Mazzili, Elizete M. Santos,
lzilda Canosa
ArEistância: Cristina Mota, Maria Rosa
Alexandre, Patrícia BIack
Ldiçào de arÍe e ytro\alo }râlico
Maria Paula Santo Siqueira-
llu,straçÕos
Vinhelas: Lúcia Hiratsuka
Aharturas: Hilton Mercadante
l4ioto: Adelmo Naccari, Alberto De SteÍano,
Alexandre Argozino Neto, Sergio Naccari
Capa
Claudson Rocha sobre imagens de
PhotoDisc
Digitaçâo
José Aparecido A. da Silva
D.ialr d ua ç ô,0 a adil o r açô,0 etqt rô nica
LÀA lA Lditoracão
Unn convita
A Matq^^ãtica qçtô' presantasA^ no55ci5vid'an' dosdz nu"l'tadttnytLas contaSam' atd
naürcradade]]ink ssuv^acov^pradqvqsqr yta3aàviEtaou.a{1rc^zot no tl5o ztttncottnytLaxos
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,obu-q-dqscq da looLsa d,zvaLorzt, nos (ndicqs de- y'ohraza e' riquaa do
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Man, apzsar dqqiar rstar ytrzsante-qA^tanÍos nro,tnqntoti,ttnytortc,ntu daEuavidaa-
da lnwnnanidada, ytodz fa(acsrt a ytrincfttict, qnz aL1wrc tqnnan da Male&^õ'tica nào tànn
aytLicaçõ,o iv^qdiala no nnwndo aül^ gtrsvivqf,nos. lsso podalsrar au^vocàwvt'q cqrto
d,zscrytontcrtmanto.
Navardadz, a apLicaçô,r: da Matqnn1,tica vro cotidiano ocrJrra cou^o rqsu\tado do
dqsqnvoLviy^qnto q do ay,ro/lrmda nnqntts de- cqrtot concqitot nzLa prztqntas
Canno sA^todas aE 6rqas de-astwdo, ytara zntzndsr a Matsu^íntica qtwas aytLicaçÓas
qõ,o nqcqttãrios dzdicaçÍ,o q qttado. Por qssqlttotivo, ao a5crsvar zsta colaçõ,rt, .
Proülrcttv\osaytrasantaravocàatLinhasn'tqEtrasd'asr;zytroczsSoqú^L\nlunSattndr^y.'Las'
vn" {qk ao rilor qwa a l\atu,tnô,lica exi1z.
lica1r dq {ora da*z procq55o, ficar à ytart< do utn!:rzci,^nqnks nnatq,tó,tico d, hrsie-,
sstarà A^arlsu^ dran,,ttudançan do nnundo.
Nô,o ío quzvrscàqwzr.
Nô,o d a qua- qtlsrsu^o5.
Lnt ô.o nos aco/tnyt anhz nsst a- L\v r ol
Os autorqE
I
Z
o
)
PçstànciaE a- ra(zqt
Potência de um número racional 10
Propriedades da potenciacão 12
Potências de base dez 14 (l O que é um CD-ROIV? 16 e Explorando a calcutadora 17
Números quadrados perfeitos 17
Como reconhecer se um número é quadrado perÍeito lg e Troque idéias com o colega i9 (l
Raiz quadrada exata de um número racional 20 (§ Tratando a informacão t 22 e Retomaido o que aprendeu 25
0 corrjrnto dos ní.Maros intalror
7 0 conjunto dos números interros 32
A reta numérica inteira 33
b Módulo de um número inteiro 36
Números inteiros opostos ou simétricos 37
Fl
/ Comparacão de números inteiros 38
Escrevendo subconjuntos de Z 40
6 Adicão de números inteiros 43
Oriente-se 46 iÀ Troque idéias com o colega 47 :qi Adicão de três ou mais números nteiros 4g *l
Propriedades da adicão 48 +Ê Notacão simplificada de uma adicão de números inteiros 50 xi; Troque ideias com o colega 51
1 Subtracão de números inteiros 52
Ampliacão do conjunto N 53
l0 Adicão algébrica 55
n Multiplicacão de números inteiros 5l
A multiplicação chegou mais larde 57 Q lr/ultiplicando com números inteiros 57 Q Troque idéias com o cclega 60 e
Propriedades da multiplicacão 6l Q Expressões numérrcas 62 (l Explorando a calculadora 64
lZ Divisão de números inteiros 65
Expressões numéricas simples 66
I S Potenciacão de números inteiros 67
Propriedades da potenciacão emz 69 e Expressões numéricas simples 69
l4 Raiz quadrada exata de números inteiros 7l
' A não-existéncia da raiz quadrada em Z 7l
l5 Expressões numéricas 72
Retomandooqueaprendeu 73 Q Tratando ainÍormacáo2 74
0 conjrrnto dog nínnsrog racionais
t)t
lb 0 conjunto dos números racionais
Módulo ou valor absoluto de um nÚmero raci t ZA â Troque idéias com o colega 79
A reta numérica racional 80
Troque idéias com o colega 82
1S Adição algebrica de números racionais 82
Troque idéias com o colega 85
11
11 MultiplicaÇão de números racionais 85
/Q oiuirao de números racionais 8
Troque idéias com o colega 90
Zl Potenciação de números racionais 1
propriedades 92 .rr.B. Expoente inteiro ne tivo 93 ",:* Explorando a calculadora 95
// Auirquadrada exata de números racionais 96
23 Estudo das médias 98
Média aritmética e média aritmética ponderada 98 '& Qual a sua média de horas em frente à tevê? 100 '&
Tratando a inÍormaÇão 3 102 & Retomando o que aprendeu 103
/i touacoes loe
O que é uma equaÇão? 109 'r"t ' Troque idéias com o colega 1 1 1
/f, Coniunto universo e conjunto soluÇão de uma equaÇão II2
Como verificar se um número dado é raiz de uma equaÇão 114
21 Equações equivalentes 1 15
Como reconhecer se duas ou mais equacões são equivalentes 115 "il'r
Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada: os princÍpios de equivalência 116
/$ Auuções do 1e grau com uma incógnita 121
21 Resolvendo uma equação do 1e grau com uma incógnita I22
As equaÇões e o papiro de Rhind 122 tllr' Os gregos resolviam equações através da Geometria 123 "ntr
0s avancos com os trabalhos de Al-Khowarizmi 123 iêb- As equações nos dias de hoje 124 'tÉ'
Troque idéias com o colega 132 .#ti A arte defazer e desfazer 133
JQ UsanAo equacões na resolucão de problemas 133
Troque idéias com o colega 139
3l Aplicacão das equações: as fórmulas matemáticas l40
32 Equação do 1e grau com duas incógnitas 143
Solução de uma equacão do 1q grau com duas incÓgnitas 144
33 sistema de duas equacóes do 1e grau com duas incógnitas 14g
Como determinar a solucão de um sistema de duas equacôes do 7e grau com duas incógnitas 149
Troque idéias com o colega 153 Santos Dumont, o gênio que seduziu Paris 155 Troque idéias com o colega i55
Tratandoainformacão4156 Retomandooqueaprendeu 156 Material escolar: qual amelhorhoraparacomprá-lo? 157
Lstu,dando a5 ineqwaçóet
Representando números desconhecidos 160 Alguns srnais matemáticos 160
3+ Desigualdade 161
Propriedades 162 Princípios de equivalência 162
,7 lnequacão 165
3L lnequacão do 1e grau com uma incógnita 16l
Troque idéias com o colega 169 Explorando Álgebra 1 71 Tratando a informacáo 5 172
Retomando o que aprendeu 1 73
Lgtu,dando 05 ànyilot
31 O ângulo e seus elementos I7o
36 Medida de um ânguto It7
0 ângulo na histÓria 1 77 Medindo ângulos 1 77 Na hora de estudar ou trabalhar 1 79
Ângulos congruentes 180 Ângulo raso, ângulo nulo e ângulo de uma volta 181 Troque ideias com o colega 1g2
31 Operacões com medidas de ângutos 183
Transformacão de unidades 183 Simplificando os resultados 184 Adiqão 185 Subtracão 1g6
Multiplicacão por um nÚmero natural 186 Divisão por um número natural 186 Troque idéias com o crtlega 1gB
lQ irngutos consecutivos e ângulos adjacentes 1gg
+l Bissetriz de um ânguto 190
Explorando Desenho geométrico 191 Explorando Desenho geométrico 193
S/ aneuto reto, ângulo agudo e ângulo obtuso Ig4
Retas perpendiculares 195 Troque idéias com o colega 196 Explorando Desenho geométrico197
A.
+2 Angulos complementares e ângulos suplementares 198l-
Ângulos complementares 198 Ângulos suplementares 198 Resolvendo problemas 199
44 U^rtos opostos pelo vértice 202
Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. 203 Explorando Geometria 205 Retomando o que apn:ndeu 206
Tratando a informacão 6 206
LEtwdand,o t riànjtÁ,ot e- qtmdriluí*t er os
+5 0 triângulo e seus elementos zto
4e Reconhecendo triângulos 2tO
classificacão quanto aos lados 210 classificacão quanto aos ângulos 2l 1
0 fascínio das figuras geométricas planas 212
+1 Uma relacão entre as medidas dos ângulos internos do triânguto 212
Troque idéias com o colega 215 Exprorando Desenho geométrico 216
48 O, quad(iláterosê seus elementos 217
fQ u*" re\ação entre as medidas dos àngulos internos de um 
quadriláierO 219
Troque idéias com o colega 220 (l Explorando Desenho geométrico 220 Q
Tratando a informaÇao 7 222
Razóqs a- froporçóat
51 Razão 226
i/ xeu^as razões esPeciais 229
4q
7'
5+
Conhecendo alguns quadriláter os especiais 21 7
Pa.a(elosramos 217 Traoézios 218
Velocidade média 229 Escala 230 Troque idéias com o colega
Densidade de um corpo 232 A densidade dos metais e aÍraude 232
As razoes escritas na forma percentual 235 0 bronze e as esculturas
ProporÇão 239
Propriedade fundamental das proporcões 242
231
Densidade demográfica 233
236 Calculando a Porcentagem 238
5i Outras propriedades das proporções 246
1e propriedade 246 2e propriedade 248 Tratando a informaÇão 8 253 Retomando o que aPrendeu 254
Grandeza5 (troporcionais: rqSra de lràs
7b Números direta e inversamente proporcionais 258
Números diretamente proporcionais 258 Números inversamente proporcionais 260
Tratando a inÍormação 9 263 Grandezas proporcionais 263 Grandezas diretamente proporcionais 264
Grandezas inversamente proporcionais 266 Troque idéias com o colega 267
,-l Regra de três simples 269
Regra de três à moda anliga... 273
56 Regra de três composta 274
Troque idéias com o colega 276 Retomando o que aprendeu 276
PorcanlaSafv a turro dttnçtl,as
51 Porcentagem 280
1 ano: muito ou pouco lempo? 282 Tratando a informacão 10 283 Explorando a calculadora 285
Resolvendo problemas com porcentagem 286 Troque idéias com o colega 288 Tratando a inÍormação 17 289
Explorando Medidas 291 Troque idéias com o colega 292 Tratando a informacão 12 293
f,Q n osimples 2g3
Retomando o que aprendeu
)ndicaçê^o da ra
bilo(,iogra{ia
Reryostrc 3oi
Gl'olrl6,rio 312
Proja.to 31e
298
Potànc,i c$
Obal
Quantoe cubinhosl
Vou fazer um aubo
granàe uaanào
eâaeo cubinhoa.
?rimeiro vou ueiar 3 àeles
para fazer uma fila.
?rontolVou aolocar a última
aamaàa no meu aubo.
a
A-fC^Vq5
;"*,-ÍHr:::oq..ec'let'la
Em cada camaàa hâ (3 x 3) aubos menores, Como oào trêe as camaàao, nafrgura original
hâ 3 x (5 x 5) aubos menoree.
Assim, a quantiàaàe de aubos menores que exiote no aubo que Cêlia montou poàe eer
cal aul a d a p ela multi pli a a çà o z
3x3x5
ou, na forma abreviaàa,33 (lê-sez três elevado à terceira ou cubo àe frês).
A palavra ucubo", ueada na leitura da forma abreviaàa, vem àa forma àa figura geomêtriaa,
'l Volaarci a de- wn^ ní,Anqro racional,
0s alunos da 6e A estão organizando um "amigo secreto,,
Para isso escreveram o nome de cada aluno em um pedacinho
de papel, cortado de uma folha de sulfite que foi dobrada
ao meio, sucessivamente, por 5 vezes.
Foram usados todos os pedacinhos de papel, cada
um com um único nome. Quantos alunos há
nessa classe?
Você pode acompanhar o esquema dobrando uma folha.
1e dobra 2c dobra 5c dotrra
2ou2t
Desdobrando a folha:
2x2ou22 2x2x2x2)x2ou25
Calculando, temos:
25:2x2x2x2
5 fatores
A 6e A tem 32 alunos.
x2:32
l0
l t_
Dado um número racional a e um número natural n, com n > 1, a expressão an chama-
se potência e representa uma multiplicaÇão de n fatores iguais ao nÚmero a.
ân:âXaXaXaXaX...Xa
n fatores
Exemplos:
26:2x2x2x2x2x2:64
103:
6 fatores
10x10x10:1000
3 fatores
Em uma potência, temos:
25 --------- lê-se: dois elevado à quinta.
) Dado um número racional a, define-se à1 : à. Exemplos:
(t )' 1.. 1 1
tS,l 3 3 9
,rrr*;
(0,5)4 :.0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 : 0,0625
4 fatores
(!,7)1 : 7,7
1. Exemplos:
(2,4)0 : I
^Ôr\ J ., C f?\-<tt , t;j
e) 0,9 x 0,9 x 0,9 (o,e)'
o (+) ,.(+) x x(+) | )"
lU frt"r*
61 :6
) Dado um número racional a, com a * O, define-se a0 :
ír)' 1l-..............._l:-tgl 9
50:1
L Escreva sob a forma de Potência:
a)7x7x7 1'
b)8x8x8x...x8 siil
10 fatores
c) y'u
25 fatores
IL--- resultado da potência
expoente
32
I
2 Escreva a potência que cada figura sugere:
3 Escreva a expressão (0,4)2 na forma de Íra-
çào irredutível. a^
4 Calcule a diferença entre o dobro de 0,9 e o
quadrado de 0,9. o,ee
A expressão (9 + 2)2 é ígual à expressão
+ 2'? rào, po,s t2t - oc
6 Sendo a : 23 x 22 eb : 2s, compare os nú-
meros a e b. a: b
7 Se20% : O,2,determine o qua<1rado de2O%.
0,04
€B Determine o número que se deve colocar no
lugar de x para que se tenha:
a) 10':100 x=2
b)8':1 x-o
€) Calcule:
a) 103 1 ooo
b) 73 343
c) 112 121
c) x2:0 x:o
d)x5:1 x:r
d)
e)
Í)
(+
(0,3)3
(1,8)o
/V r o p rizdtadeg da pot znciaçao
Conheça agora as quatro propriedades da potenciaçã0.
l? propriedade
Consideremos o produto 23 x 27.
23 x 27 : (2 x 2 x 2l x (2 x 2 x 2 x 2 x. 2 x 2 x 2l : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 >< 2 x 2 : 2to+
2z 2t 10 fatores
potências de mesma base
23 x 27 : zto : ou 23*7.
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única
potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.
am x an : a'*n, sendo a + 0
Exemplos:
)35x32:35+2-37
, (+)' " (+) " (+)' :(+)'+1+3 - e)
12
Consideremos o quociente 75 : 72.
75 : 72 : (7 x7 x7 x7 xll : 0 x 7) :
Logo, 75 : 72: 73 otl 75-2.
,/x,íx7 x7 \l_ : 7 x I x 7 : 73
-7v7-
potências de mesma base
Um quociente de potências de mesma base, onde o expoente do dividendo é maior ou
igual ao expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência:
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
a* : an : â'-n, com a+ 0em > n
Exemplos:
) 10e : 10a : lge-4 : 105
) l1s : 115: 115-5: 110
Consideremos as potências (52)3.
(52)3: iz X52 X 52: 52+z+z:56
q!- \-,
I 3 fatores
II potência de uma potência
(52)3 : 56 ou 52 " 3.
,(+)- (+) :(+)--':(+)'
) (2,3)6 : (2,3)5 : (2,3)6-5 : (2,311
Uma potência de uma
conservamos a base inicial
ser escrita na forma de uma Única potência:
Exemplos:
)(62)5:62*5-610 +)-]':(+)-"
w&,
(a')n : â" n, com a + 0
Consideremos a potência (2 x l)3.
(2x7)3:(2x7)x(2 x 7) x (2x7):2xl x2x7 x2x7:2x2x2x7 x7 <7:23 x73
Exemplos:
,[(+) '(+)]': (+)'. (+)'
) (52 x 73)2 : (52)2 x U12 : 5a x 76
) [(0,7)3 x (0,5)]5 : [(0,7)3]5 x (0,5)5 : (0,7)15 x (0,5)5
Essa propriedade também pode ser aplicada quando temos um quociente. Exemplos:
)(7:§;s:73:63
I (3 : 52)4 : 34 : $2)4 :3a : 58
PotWWd'qLgsq@
você se lembra que o inteiro positivo 10n, para n natural, se escreve:
10n : 1 000...0
\-------!-
n zeros
Assim, a potência de base 10, com expoente natural n * O, é uma maneira de escrever o
número qLle, no sistema decimal de numeracã0, é representado por 1 seguido de n zeros.
0bserve:
) 105 : 100 000 ) 102 : 100 )101:10
UM de dois ou mais números racionais a um expoente, elevamos
-!^
(axb)n:anxbn
14
As potências de base 10 são úteis para escrever números muito grandes.
Veja os exemplos:
L Aplicando as propriedades da potenciação,
transforme em uma única potência:
a) 75 x7a f)
b) (132)6 g)
c) 85: Ba h)
d) (x'o)3 i)
e) (0,6)10 : (0,6)7
2 Sabendo que a : 2'3,b : 27, c : 2s,determi-
ne na forma de potência:
3 Sabendo que x : 10a e y : 103, e usando os
sinais : ou {, compare as potências r,'e yn.
x3 : 1012, yo : lOr2, x3 = ya
4 kansÍorme as expressões num produto ou
num quociente de potências:
a) (5 x 11x 23)3 d) t(0,6) x (t,1)14 (0'6)o x (t't)o
53x1,]3x23r
b) Q3 X 3)4 z'' x ao
c) (35 : 52)2 3'a 5o
5 Sabendo que a X b : 6, calcule o valor de:
f) [(23)4 : (2,7)5)3 \2,3)" \2,1) "
e) a2 z'u
0b3 2"
g)axbXc 225
h)a:c zo
.r 4
1,l C 2''
a) aXb 2'''
b)b:c z'
c) aXcd)a:b
15
a) a2 xb2 sa b) a3 x b3 216
(6 Você já ouviu falar de um gigâmetro ou de
miriâmetro? Essas são unidades de medida pou-
co usuais. As unidades de medida mais utiliza-
das são o metro, o grama e o litro. Seus múlti-
plos são precedidos de prefixos como os apre-
sentados a seguir e que equivalem a:
giga: 1 000 000 000
mega: 1 000 000
miria: 10 000
quilo: 1 000
hecto: 100
deca: 10
Escreva no caderno esses prefixos e indique as
Ootê".t::,Oe base 10 correspondentes.
7 IJtilize potências de dez para indicar;
a) 35 000 35 .c
b) 60 000 000 6 ro
c) 920 000 s2 ro'
d) 92 000 000 000 s2> 1ao
€i A distância da Têrra ao Sol é de, aproxima-
damente, 150 000 000 km. Escreva essa distân-
cia utilizando potência de base 10. . 1-l
9 O valor aproximado do raio terrestre é de
6 400 km. Qual é o número que representa essa
medida em metros? Escreva a resposta usando
potência de base 10. :)'. il
LO Escreva os números da expressão na for-
ma de potência e aplique as propriedades para
calcular o valor numérico de (B x 27) : 729. :l
L L Aplique as propriedades da potenciação
para calcular o valor numérico das expressões:
a) [(1,1)e x (1,1)11] : [(1,1)3]6 ).
b) [(0,4)2]10 : [(0,4)e x (0,4)7 x (0,4)] I 0,06r
., [(+)'
L2 >enoo a:2 n 3- .
c:25x3x7,calcule:
a)a:b 25,: b)a:c
x72,b:2sx32x7e
756 c)b:c
(104)7L3 Catcute o valor da expressão
(108 x 1o)3
,(+)'],.[r+)' ,(+i]
8
,]
O que é um CD-ROM?
O formato é pequeno,
mas armazena muíta inforntação.
CD-ROM vem das letras iniciais de
"Compact Disc - Read Only Memory".
Com formato igual aos CDs de música,
funciona como um disquete, mas com uma
capacidade para affnazenar dados, em
média, 450 vezes maior.
Quando o CD-ROM surgiu, muitas
pessoas não acreditaram em seu poliencial,
apesar da enorme capacidade de
armazenamento de dados.
Enquanto um
disquete de 3,5
polegadas tem
capacidade para
armazenar 1,44
megabytes de dados...
... o CD-ROM,
um fusco compacto,
apresenta capacidade
para firtnazenar
cerca de 650
megalrytes de dados.
O que é byte?
A palavra byte lem origem na expressão
inglesa by eight.
O byte é uma unidade de medirla usada
para indicar tamanhos de arquivos, de
memórias e a capacidade de discos.
Veja alguns múltiplos dobyte:
1 kilobyte (kB) é-aproximadamente igual a
7 000 bytes ou 703 bytes
1 megabyte (MB) é aproximadamente igual
a 1 000 000 bytes ow706 bytes
1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual
a 1 000 000 000 bytes ou 10'brltes
L4 Determine o quociente de 7 0242 por 643. t
16
Explorando a calculadora
Para calcular o valor de uma potência, por exemplo, 35, usando uma
calculadora simples, fazemos assim;
3X====
/t"'o \fi"a
Utilizando a calculadora e as propriedades da potenciação, calcule:
a) 27 tze
b) 36 tzg
c) 35 .36 flt tqt e) 26 '26 qoga g) (0,7)7 0,0s23b43
d) 310 ' 32 o sor 0 (0,3)6 o,ooal2s h) (2,2il5 57,065038
i) (32)a o sor
,,(+)'16384
J NfinnqroE pnadtrados
Na sala de aula...
pzr[zitog
Á resposto é 16, pois...
Quol á o número obtido guondo
elevomos 4 oo guodrodo?
0 número 16, que representa o quadrado de 4, e chamado quadrado perfeito.
E possível mostrar geometricamente que 16 é um número quadrado perÍeito.
Consideremos um quadrado com 1 cm de lado. Se usarmos 16 desses quadrados, formamos
um novo quadrado.
-1 
-ao
i-
1t
'1cm'
0s números naturais que são quadrados de outros números naturais são denominados
números quadrados perfeitos.
Exemplos:
) 49 é um número quadrado perfeito, pois 49 :72.
) l2l é um número quadrado perfeito, pois 121 : ll2.
Veja, a seguir, uma tabela de números naturais que são quadrados perfeitos:
n
n2 251694
8
64
9
B1
10
1004936
7010 100
100 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000
Cottno racoyú\qcar 5e u;A^ níAna-
Reconhecer se um número é quadrado perfeito pelo processo geométrico é muito demorado,
principalmente se o número for grande.
Vamos agora aprender um processo mais simples e prático.
Primeiro Íazemos afatoracão completa do número.
Se todos os fatores tiverem expoentes pares, o número será um quadrado perfeito. Caso um
dos fatores não apresente expoente par, o número não será quadrado perfeito.
n2
20
400
30
900
4A
1 600
18
1
1
Acompanhe os exemplos:
0 número 144 é quadrado perfeito? 2 Verificar se o número 450 é quadrado per-
feito.
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
a) 180 -oé'
b) 225 é
c) 729 é
d) 1 000 náo -á
e) 7024 é
144:2ax32
450
225
75
25
5
1
2
3
3
5
5
450:2x32x52
Como todos os fatores apresentam expoen-
tes pares, 144 é um número quadrado perfeito.
L Desenhe um quadrado de L cm de lado. A
seguir, responda:
a) Se você tsar 21desses quadrados, você pode
formar um novo quadrado? slm
b) O número 25 é um quadrado perfeito? 'i.
2 Fazendo a fatoração completa, verifique
quais números são quadrados perfeitos.
Como o fator 2 náo apresenta expoente
par, 450 não é um número quadrado perfeito.
f) 7 225
g) 1 600
h) 2 000
i) 2025
A fatora-ção completa de um número é
x 5' x 112. Entre os números 6,7,9,70 e73,
quais deles podem ser colocados no lugar do ex-
poente x para que o número dado seja quadra-
doperfeito? o"ro
Um número cuja fatoração completa é
x 114 é quadrado perfeito? Justifique a sua
reSpOSta. S m, todos os Íatores apresentam expoente par
5 Um número a é expresso por 2" x /, Dê um
algarismo que pode ser colocado no lugar do ex-
poente n pata que o número não seja quadrado
perfeito. oua quer algar smo que represente um número mpar
Com quantos
pa!Ítos se Íaz
Observe a figura formada pelos palitos
e indique com uma potência:
a) a quantidade de quadrados com Iados
medindo l palito. 42 ou2o
b) a quantidade de quadrados com lados
medindo 2 palitos. 3'
c) a quantidade de quadrados com lados
medindo 3 palitos. 22
d) a quantidade mínima de palitos a serem
removidos para que não reste nenhum
Superinteressante, f:1^. 7999 (baseado).
uma Ganoa?
quadrado. 3'
l.::::::-..:::=.,_=|_.
19 t:[:r:t_f
Raiz qwadrad,a uata da- tutn ní,nnero racional,
Agenor éumfazendeiro criador de gado. Para recolher seu gado, ele precisa de um curral com
225 m2 de área. Ele quer construir um curral quadrado, Qualdeve ser a medida do lado desse curral?
A medida do lado, em metros, deve ser o número
Como 225 está entre 100 e 400, e consultando a
número procurado está entre 10 e 20.
Após algumas tentativas, chegamos a 15, pois 15
que, multiplicado por ele mesrno, dá225.
tabela de quadrados perfeitos, vemos que o
x 15 ou 152 é225.
A medida do lado do curral deve ser 15 m.
20
f
Se um número representa um produto de doís fatores positivos e iguaís, então cada fator é
chamado raiz quadrada do nÚmero, Veja:
) O númer o 225 representa o produto 15 x 15 ou 152. Logo, 15 é raiz quadrada de 225.lndica-se:
x225 : 15.
' or...nta o oroduto ! r I o, íl)' Logo, I e araizquadrada o. *.)0númeronrepresentaoproduto 3 3 --\.S./ 5 9
1
lndica-se: 1f 
: 
à.
) O número 0,36 representa o produto 0,6 x 0,6 ou (0,6)2. Logo, 0,6 é a raiz quadrada de 0,36.
lndica-se: "v"036 : 0,6.
Vejamos, agora, como determinar a raiz quadrada exata de outros números. Observe os
exemplos:
1 Qual é a raizquadrada do número *fT2I
11
11
l2l :712
81 :34
g1 :30 _ j2)2:(g)2 :( g\'-g x 9
l2l tlz (11)2 (11)2 ( 11 / 11 11
Logo,,ffi:+
Qual é a raiz quadrada exata do número 4,4t?
4,41 : #
2
2
5
5
441:32x72 100:22x52
81
27
9
3
1
441
147
49
7
1
3
3
3
3
3
3
7
7
t2t
11
1
100
50
25
5
1
21
xarcl
A- Proclxe ca\crr\ar rnenta\rnente araiz quaüra-
da de cadaum dos números a segur.
a)648
b)49 7
")++
o)+
e) 0,81 o,e
f) 0,36 0,6
g) 0,0004 a,a2
h) 0,0016 a,o4
c) b/b
d) 256
a) 4,84 2,2
b) 7,29 2,7
c) 6,76 2,6
e) 116À
f) 2304
d) 2,56
e) 0,7764
Í) 0,2304
5 Qual é o número que representa a raiz qua-
drada de 210 x 52 x 72? -.
(6 Determine a raiz quadrada exatia de cada um
dos seguintes números:
2 Qualé o valor de x na igualdadex : t'j# jií
-^ z 1.2L3 Se n' : ffi, qual é o valor de n? rr
4 Determíne araizquadrada exata de cada um
dos seguintes números:
a) 484 22 b) 729 2i
7 Sendo x araíz quadrada de212, qual éo va-
lor de x? 26 = 64
€B Sendo n2 : L 521., qralé o valo:r de n? 3e
Você já ouvÍu falar em EstatístÍca. A EstatístÍca estuda os métodos
utílízados para obtenção de dados, sua organízação em tabelas e gráÍicos
e a análÍse desses dados.
Apresentando a Estatístíca dessa íorma, pârece que é uma área
recente, criada pela necessÍdade dos tempos modernos.
lsso não é verdade. Sabe-se que o imperador chÍnês Yao, em
2238 a.C., mandou realizar um censo da população e das lavouras. Es,se
é o prímeíro censo de que se tem notícía.
Há regÍstros de que os egípcíos realízavam um recenseamento anual
por volta do século X/l a.C.
22
,
Os egípcios não faziam npenas o censo populacional.
Apintura encontrada em uma tumba mostra escribas anotando a produçao de grãos,
enqunnto os trabalhadores os armazenaaam.
A Bíblía nos conta gueJose e a Vírgem María víajaram de Nazaré a Belém para
responder ao censo ordenado pelo imperador romano César Augusto. Nessa época, as
pessoas eram entrevístadas em seu local de orÍgem. Foi no período em que estavam em
Belém queJesus nasceu.
O censo era Ímportante para saber quantas pessoas formavam a população das
IocalÍdades, e esses dados servíam pârâ cobrànça de ímpostos e alístamento parà a guerra.
No Brasí|, a prímeíra tentatÍva para realizar o censo nacÍonal da população data de
1852. Não foípossível levá-lo adÍante porter havÍdo uma revolta da população contra o
decreto que o regulamentava, conhecído como Lei do Catíveíro.
Somente em 1872 foi realízado o prímeiro recenseamento nacíonal no Brasil.
O IBGE (lnstituto Brasíleiro de GeografÍa e EstatístÍca) é o órgão que coordena e díríge
assuntos relacíonados à EstatístÍca, sendo o responsável pelo recenseamento nacional.
Para conhecer um pouco mais sobre o BrasÍ|, seu povo e outros dados estatísticos, você
pode consultar a página do IBGE na ínternet (wwwibge.net).
Vamos recordar parte do que vimos no ano anteriol observando os gráficos a seguir.
A)
211
0 a 50 kWVmês
51 a 100 kWVmês
101 a 200 kWh/mês
201 a 500 kWh/mês
mais de 500 kWh/mês
,
Consumidores por Íaixa, em %
ü ,.íilí
23
Folhn de S.Paulo,18 maio 2001
i,-:lErF:'r lllDr*rtllL._l ol
J
«t
c
o
o
É
B)
Veja,20 de2.2000.
C)
-
-
Produção
Vendas internas
Exportação
2220o
18944
33412
28221
22189
24853 24696
13974 1 465
10064
I 359
1 993 1 994 1995 1996 Í997 't998 1999 2000 2001
4218
1991 1992
rde 
tsnsiro a ouü.ôro
a)
b)
Folho de S,Paulo,27 nov.2007
Sora V""u
c)
Os gráficos podem ser de vários tipos. Os mais comuns são os gráficos de barras, os gráficos de
Observe o gráfico Á e diga se é correto afirmar que a maioria dos consumidores gastam até
100 kWh/mês. sim
d) Analisando o gráfico B, podemos concluir que o número de matrículas nas escolas públicas, de
7997 a2000 decresceu? .:
e) E no grâhco C, as vendas internas são maiores ou menores que a exportação de tratores e colhe'itadeiras?
24
2,12
milhôes7,94
milhão
r_
EXPLOSÀO DE MATRICULAS
Entre 1997 e 2ü)0 as matrículas
em instituiçóes particulares de
ensino cresceÍam 417o enquanto
nas públicas aumentaram 187o.
ffi Escota particular
E Escota Pública
MERCADO DE TRATORES E GOLHEITADEIRAS
51 333
2,37
I
I
mârores
ft* 
and.o o qwa-aPrendeu
I- O campeonato brasileiro de futebol de 2001
chegou às quartas-de-final apresentando as se-
guintes chaves:
São Caetano 
- I 
Campeão
Atlético-PR t
São Caetano Bahia
São Caetano
Fluminense
Fluminense Ponte Preta
quartas-de-final
Atlético-MG Grêmio
Atlético-MG
Atlético-PR
Atlético-PR São Paulo
semifinal t'inal
a) Para qual time você torce? resposras em aberro
b) O seu time chegou às quartas-de-final?
c) Indique, na forma de potência de2, o núme-
ro de times que participam:
) das quartas-de-final 2'
) das semifinais 2'
) da final 2'
2 Considere as igualdades:
a) (3 + 5)2:32 + 52
b) (102)3:10s
\--2-3C) /'/ :/
Quantas são verdadeiras? uma a isuardade c
3 As expressões (25 : 22) : 22 e25 : (22 :22) sáo
iguais? náo
Sendo r um número expresso por
i 2\ - 22, qualé o valoi d.e n? +
5 O número2976é um número quadrado per-
feitO? sim, pois 2 916 = 22 x 36
6 QuaI é o valor das expressões?
a) (102 x 10)7 : (10a)s ro
b) A7 x 410 x 412 : (45)7 o
7 Sendo x : 27 x 38 x 7 ey : 25 x 36,determi-
ne o quociente do número r pelo número y. 252
€3 Determine o menor número natural, diferen-
te de zero, que deve ser colocado no lugar do
expoente x paraque o número 36 x 7" sejã qua-
drado perfeito. 2
€) Se x : 36 e y : 93, você pode dizer que os
números x ey sáo iguais? sim
al é o menor número inteiro pelo qual
multiplicar 24 x 32 x 53 pará que este
número se torne quadrado perfeito? E
11 O número 27,04é quadrado. Qual é araíz
quadrada exata desse número? s,2
L2 Qual é o valor da expressão
^lT+"[oÁ4 -"{t"xz 1,7
Qualé araiz quadrada
xb2xclo? a3xbxc5
L4 Sendox:10.81 ey:
mine o valor de x - y. o,7s
exata da expres-
0,0727
25
, deter-
0 conv,Lnto do5
?arabéne pelo oeu
primeiro em?rc1o.
é{)à[2l\
Você vai gosl,ar àe
trabalhar aqui.
-
ntüntqr05
Jonas vai controlar um painel que
inàiaa o número àoe anàaree.
0o)
0ro
00
00
00
e
00
00
ED
D-
0
0
0
0
0
Yamos conheaê-lo um Pouao 
maie'
Bolõea para abrir
efechar ae portae.
oe anàares
nàares
-Aac' oofr o 
u*'1::^' 
nàaree
oa
s
\t 0
0
0
â
0
I
t9
l+7 )V
@
@
o+
o
@
haV
I
@
@
,@
CI
A idew de nínnqr 05 int airo5
foi difícit a aceíto{aa ísiíéin da etfuthrcia de rumwos negaavo*
Os próprios gregos, na Antigüidade, reconhecidos como grandes pensadores e respon-
sáveis pelo desenvolvimento dado à Geometria, não conheciam o número negativo. Mas os
hindus do século Vll já usavam quantidades negativas.
Am deles, chamado Bramagupta, estabeleceu regras de sinais para operar com núme-
ros negativos, envolvendo esses números em um pequeno círculo ou usando um apóstrofo
sobre eles, para distingui-los dos demais. Outro notável matemático hindu, Bháskara, interpreta-
va os números negativos como "perda" ol.r "dÍvida". Entretanto, os hindus se recusavam a acei-
tar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela ideia de número.
Os árabes, divulgadores e continuadores da cultura matemática hindu, não trouxeram
nenhum acréscimo a essa questão.
foi somente por volta do século Xlll que o italiano Leonardo de Pisa, conhecido como
Fibonacci, em uma obra sobre Algebra, interpreta a resposta negativa de um problema como
número. 0 problema pedia o lucro de um comerciante. Fibonacci afirmou: "Este problema não
tem solução, a menos que interpretemos a dÍvida como sendo um número negativo".
Assim,pouco a pouco, os números negativos foram aceitos como números até que, em
1659 (século XVll), letras foram usadas pela primeiravez para representar tanto os números
positivos quanto .os negativos.
T
/
O período de maior
desenvolvimento
da antiga civilização
grwaocorÍêuentê
11ül a.C. e4{)0 a.C.
O período de maior
desenvolvimento
daarnigcMlüa@
hindu oconeu entre
ãX[a.C.e7ffid.C.
a
28
-:
rfr,,
\3A
Agoro só foltom 50
guilômetros.
0s números naturais têm servido perfeitamente para expressar o resultado de uma contagem
ou de uma medida.
Você nota que todas essas afirmações não deixam dúvidas quanto ao seu significado, pois os
números naturais envolvidos definem perfeitamente a quantidade.
Consideremos, agora, a seguinte situação:
Um termômetro marca uma temperatura de 10 graus centígrados (10'C) afastado do zero.
Podemos representar essa situaçã0, em um termômetro, de duas maneiras:
(B)
0 ponto A do termômetro está distante
10 graduaÇões do ponto de origem 0.
0 ponto B do termômetro está distante
10 graduaÇões do ponto de origem 0.
b)a)
Pelos gráficos, vemos que há dois pontos (A e B) do termômetro que podem ser tomados como
a posiÇão da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0 (zero). lsso mostra que o número
natural 10 não foi suficiente para expressar, de modo anão deixar dúvidas, o afastamento da coluna
de mercúrio em relação ao ponto de origem 0.
Para eliminarmos a possÍvel confusão, convencionamos a seguinte leitura:
) 0 ponto A está 10'C acima de zero.
) 0ponto B está 10 "C abaixo de zero.
20 litros de
gosolino, por fovor.
29
Ninnqros
10 10 
='- 
(A)
00
Simbolicamente, eliminamos a
sinal - às medidas abaixo de 0 "C.
Assim:
ponto A --=> +10 "C
ponto B --------- -10'C
confusão antepondo o sinal + às medidas acima de 0 "C e o
+ +10"C IiL
0"c
a ba ixo
de
zero
+
+
Atemperatura de 10 graus acima de zero e indicada pelo número +10.
Dizemos que +10 é um número inteiro positivo.
Atemperatura de 10 graus abaixo de zero e indicada pelo número -10.
Dizemos que -10 é um número inteiro negativo.
Há situacões, quando usamos números inteiros positivos, em que não escrevemc,s o sinal +.
Usamos os números positivos e os números negativos em muitas ocasiões:
Nos saldos bancários:
+ 10.c
crédito de R$ 1 000,00 (+R$
débito de R$ 1 000,00 (-R$
1 000,00)
1 000,00)
Aqui o temperoturo
está 70 grous positivos.
Agui o temperoturo
estó 10 grous nagotivos.
tr;.n:: 'ft':Ul EmLs5ão c6, aí | [a2]_---
Obol Tive um
cré.dito de mil reois.
t..t"a-;;;;
dábito de mil raois. í
30
Na localização de andares de um prédio em
relação ao térreo. @
o
o
o
o
o
(D
0
o
o
o
2 andares acima
2 andares abaixo
do térreo (+2)
do térreo (-2)
o
o
oc§õoo
O
lI
) Período antes e depois de uma data.
50 anos antes de Cristo (-50 anos)
50 anos depois de Cristo (+50 anos)
) Na indicacão de altitudes ou profundidades em relacão ao nÍvel do mar.
altitude de 30 m (+30 m)
profundidade de 30 m (-30 m)
--í
No saldo de gols de uma equipe.
saldo de 10 gols a favor (+10 gols)
saldo de 10 gols contra (-10 gols)
Note que, em todas as situações apresentadas, há um referencial, que tomamos como origem.
I- Usando números inteiros positivos ou nega-
tivos, indique:
a) 8 pontos perdidos por uma equipe em um
torneio -8 pontos
b) 6 andares abaixo do térreo -6
c) um depósito de R$ 550,00 em conta..ortl"utlg
d) uma altitude de 1 200 m -1 2oo m
e) uma temperatura de 42 oC acima de zero +qz"c
f) um saldo de 21 gols a favor +2r sors
g) uma profundidade de 4 000 m -4 000 m
2 Heródoto, historiador grego, nasceu no ano
484 antes de Cristo. Usando números inteiros po-
sitivos ou negativos, indique o ano em que ele
nasceu. -484
31
3 O monteAconcágua, naAmérica do Sul, tem
6 959 m de altura. Use números inteiros positi-
vos ou negativos para indicar essa ul,rr1.u 
nun,
4 Uma equipe de futebol marcou 17 gols e so-
freu 20 gols em um torneio. Use números intei-
ros positivos ou negativos para indicar o saldo
dessa equipe. -3
5 Fábio tem um saldo de R$ 300,00
na conta corrente. Qual será
saldo (em números inteiros po-
sitivos ou negativos), se ele:
a) retirar R$ 250,00?
Ci O mar Morto, situado na Palestina, está 395
metros abaixo do nível do mar. Co,mo você indi-
ca essa depressão usando números inteiros po-
sitivos ou negativos? -3ss m
7 No deserto do Saara, a temperatura pode a1-
cançar 51 "C acima de zero durante o dia e, à
noite, pode chegar a 4"C abaixo de zero. Nes-
sas condições:
a) Indique a temperatura durantr: o dia. :
b) Indique a temperatura durante a noite. i
c) Qual a variação da temperatula? 55 s,a:s
o
o
À
9a
õ
o
O
o
b)
c)
d)
+ RS 50,00
depositar R$ 200,00?
BS 5OO,OO
depositar R$ 100,00?
RS 400.00
retirar R$ 320,00?
- R$ 20,00
5 0 conj ttnto d,os ní,nnqro5 inlqiro5
0s números +1, +2, +3, +4,..., +10, ..., +25,... +100, ... são chamados números inteiros
positivos.
0s números inteiros positivos são identificados com os números naturais maiores que 0.
t1 : 1 -12:2 +10 : 10 +25 :25 +100 : 100
0s números -1, -2, -3, -4, -5,..., -10, ..., -25, ..., -100, ... são chamildos números
inteiros negativos.
0 conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é
chamado conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z.
Z:1..., -5, -4, -3, -2, -1,0, +1, +2, +3, +4, +5,...)
I
$*
A reta runníricainleira
Um dos recursos usados pelo homem para representar os números é a reta numérica,
0 termômetro e a régua graduada são alguns exemplos da utilização de uma reta numérica.
Vejamos como construir a reta numérica:
le passo: Desenhamos uma reta r e escolhemos um ponto 0 qualquer da reta, ao qual associamos o
número 0.
2e passo: A seguir, escolhemos um outro ponto da reta, à direita do ponto O, e a esse ponto associ-
amos o número 1. Determinamos, assim, uma unidade de comprimento e o sentido positivo da reta.
0 +1
3e passo: Partindo do 0, colocamos essa unidade de comprimento repetidas vezes, da esquerda
para a direita, ao longo da reta, determinando, assim, a localização dos pontos associados aos
números positivos +2, +3, +4, +5, ...
0+1+2+3+4+5
4e passo: Usando a mesma unidade de comprimento, medimos distâncias à esquerda do zero e
localizamos o número -1, o número -2 e assim por diante, determinando o sentido negativo da reta.
A reta numérica assim obtida é denominada reta numérica inteira.
A reta numérica não precisa, necessariamente, ser colocada na posição horizontal. Se pensar-
mos no termômetro e nos botões indicativos dos andares de um elevador, parece natural usar a reta
numérica na posicão vertical.
oz
ot
I
o
o
.eo
.o
a
o!
-ts
co
õz
33
Veja algumas aplicações da reta numérica inteira.
A reta numérica a seguir indica a posição de um avião em relaÇão à cidade de Brasília, voando
na rota oeste-leste. 0s números positivos são usados para indicar distâncras a leste de Brasília; os
números negativos, para designar distâncias a oeste de Brasília.
Brasília
t
-400 -300 -200 -100 0 +100 +200 +300
A reta numérica abaixo representa a altitude e a profundidade em relação ao nível do mar,
0s números positivos são usados para indicar as altitudes; os números negativos, para indicar
as profundidades.
+250
+200
+ 150
+ 100
+50
0 + nível do mar
-50
100
150
- 200
Observe, agora, a reta numérica a seguir, onde estão destacados os pontos A e P:
Numa reta numérica:
cada ponto destacado é do número inteiro. Assim:
0 ponto A e a imagem geométrica do número +2.
0 ponto P é a imagem geométrica do número -4.
cada número inteiro é chamado abscissa do ponto correspondente. Assim:
0 número +2 é a abscissa do ponto A.
0 número -4 é a abscissa do ponto P.
Os intervalos s;ao
de 100 km
0s intervalos
sáo de 50 m'
34
xarclct05
L Tomando como referência o nível do ma1, use
números inteiros positivos ounegativos para in-
dicar os valores expressos nas frases:
a) O mergulhador só
desce ao mar parafazer
reparos a até 300 metros
de profundidade. 3oo rn
Na fronteira do estado do
Amazonas com a
Venezuela estão os dois
pontos mais elevados do
território brasileiro: Pico
31 de Março, com2992
metros, e Pico da Neblina,
com 3 014 metros.
+2992me+3014m
c) APetrobrâséaúnica
empresa no mundo capaz
de explorar poços locali-
zados a até2 000 metros
abaixo da superfície da
ágta. 2 ooo m
Para explorar a7 700
metros, é lançada ao
fundo do mar uma
base guia, no formato
de funil, por onde as
sondas e as brocas
começam a
perfurar. -17oom
2 Afig;ura seguinte é uma reta numérica mos-
trando a posição de dois aviões, A e B, em rela-
ção à cidade de São Paulo. Sabendo que cada
intervalo corresponde a 50 km, dê a posição des-
ses aviões em relação a São Paulo. IJse números
inteifOS. aviáo Á: -50 km, avião 8: +150 km
Sáo Paulo
trrlorrl
é
35
3 Suponha que a figura seguinte represente
uma rodovia ligando várias cidades de um mes-
mo estado e que cada intervalo seja uma unida-
de para medir distâncias.
Capital
IEBI ncD
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2+3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
Usando números inteiros, dê a posição:
a) da cidade Á em relação à capital +4
b) da cidade B em relação à capital -2
c) da cidade C em relação à capital +6
d) da cidade D em relação à capital +e
e) da cidade E em relação à capital -5
4 De acordo com o exercício anterior, se cada
intervalo corresponde a 100 km, dê a posição das
cidades B e C em relação à capital.
cidade B: 200 km; cidade C: +600 km
5 Ainda de acordo com o exercício 3, e fazen-
do cada intervalo corresponder a 100 km, deter-
mine a distância entre as cidades:
a) AeC 2ookm
b) AeD sookm
c) BeÁ 6ookmd) EeB 3ookrr
e) BeD r roor
f) EeA gookn,
6 Observando a reta numérica inteira represen-
tada pela figura seguinte, responda:
PSORO
-5-4-3-210+1+2+3+4
a) Qual é a abscissa do ponto R? +2
b) Qual a imagem geométrica do número-l?,
c) Qual a imagem geométrica do número *4?
d) Qual a abscissa do ponto P? 5 
c ponto o
7 Usando intervalos de 1 cm, Íaçao desenho de
uma reta numérica inteira e localize os pontos:
a) A,de abscissa *3 d) S, de abscissa *7
b) R, de abscissa
c) B, de abscissa
e) C, de abscissa *4
f) P,de abscissa -1
-2
-6
b)
L Ploúil,o d,a-wn^ núnnqro intairo
O senhor preciso camÍnhor
dioriomente por várÍos guorteirões.
Nõo ímporto o direçõo ou o sentido,
o que importa é a distâncio.
0 esquema a seguir representa uma avenida, onde o ponto 0corresponde a uma praca e cada
intervalo corresponde a um quarteirã0.
,t.
ros ro# P** $r-r E; rf *if
Observamos que a posição do ponto A em relacão à praça é dada pelo número inteiro +6.
Dizemos, entã0, que a distância do ponto Aaté apraca é de 6 quarteirões.
A posição do ponto B em relação à praça e dada pelo número inteiro -4 e a distância do ponto
B até a praca é de 4 quarteirões.
Nos dois casos, você verifica que a distância ou afastamento de cada ponto em relacão àpraca
(ponto de origem) é sempre um número natural: o número 6 e o número 4.
Essa distância ou afastamento denomina-se módulo do número inteiro associado ao ponto.
Chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o
zero, na reta numérica inteira. Representa-se o modulo por I l.
Assim:
? ,?, d"
-6 -3 -2 -1
distância: 4
+2 +3 +4
distância: 6
0 módulo de 0 é O e indica-se l0l : 0.
0 módulo de +6 é 6 e indica-se l+6 : 6.
0 módulo de -4 é 4 e indica-se | -41 : 4.
0 modulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
64
Observe a reta numérica rnteira:
B
distância: 3 distância: 3
Note que os números +3 e -3 estão associados a pontos que estão à mesma distância do zero
(eles possuem módulos iguais), mas situados em lados opostos na reta.
Dois números inteiros que estão nessa condição são chamados números inteiros opostos ou
simétricos.
Exemplos:
+9 e -9 são números opostos ou simétricos;
+9 é o oposto ou simétrico de -9 e vice-versa.
+100 e -100 são números opostos ou simétricos;
+100 é o oposto ou simétrico de -100 e vice-versa.
Nínneros inlqiroE tos orr Einnítricos
L Observe a reta numérica inteira a seguir:
i---r---r-l.FFl_----F+-l-
-9 -8 -7 -ô -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
Dê a distância de:
a)+5a0 s e)-2a+5 l
b)-8a0 a f) -9a-1' 8
c)-3a0 3 g)+2a+7 5
d)+7a0 z h)-4a+4 8
2 Imagine uma reta numérica e responda:
a) Quantos quilômetros há de 90 quilômetros a
oeste até 50 quilômetros a leste de um ponto,
em linha reta? 140 quilômetros
b) Quantas graduações há de 3 graus centígra-
dos abaixo de zero até1.2 graus centígrados aci-
ma de zero? t5 sraduaÇoes
c) Quantos quilômetros há de 80 quilômetros
ao norte até 30 quilômetros ao sul de um ponto,
em linha reta? so quirômetros
d) Quantasgraduaçõesháde -51 
oCaté -27'C?
24 graduaçoes
3 Determine o módulo do número inteiro:
a) +31 31 d) +500 5oo
b) -300 3oo e) 0 o
.) -28 2s
4 Dois números inteiros diferentes têm o mes-
mo módulo:20. Quais são esses números?
:20 e 20
5 Escreva como você lê cada uma das sentenças:
a) | +11 I : 1t Módu o cle mais onze é lsual a onze
b) l-30 I :30 iVlÓduodemenostrinteérguê êtrnta
6 Há algum número inteiro que tem módulo
menor que zero? ào
7 Usando os símbolos :, ) ou (, comPare:
a) l-7lel+al ,'
b) l-35lel+ool
.) l-13lel+tol ,
d) l-5olel+sol -
37
0 +1 +2-3 -2 -1
I
€i Quais são os números inteiros que têm
dulo menor que -3? : r, :
€) Sao dados os números inteiros:
opostos em relação à origem. Como são chama-
dos esses números? numeros opostos o- s,-e.cos
LL Responda:
a) Qual é o número oposto ou simértrico de -26? -za
b) QuaI é o oposto do módulo de -65? -05
Um número inteiro é expresso por
a + 30. Qual é o oposto ou sirnétrico desse
número? i.
L3 Localize numa reta numérica o oposto do
número-4. +--+--+
2 i a 1-2 -3+4+5
I-4 Calcule o valor da expressão.
l-171+l+331-l-sol '
mo-
-40
de 10 graus acima de
+15
+10
+5
0
-5
-10
+15
+10
+5
0
-5
-10
+i5 > +10
13 -r20 +27 -25
-32
Dentre esses números, identifique os que têm
módulo:
a) menor que 30 .3, -21 -2s
b) entre 30 e 50 32. 4a
c) acima de 50 5l
I-O Dois números possuem o mesmo módulo
mas, na reta numérica, estão situados em lados
de zero é maior que uma temperatura
números inteiros +15 e +10:
1 Connytc^rcçôú) de niunero5 iertei ro5
Vamos considerar as seguintes afirmacões:
Uma temperalura de 15 graus acima
zero.
Essa afirmacão significa comparar os
Entre dois números inteiros positivos, o maior é aquele que está a uma maior distância
do zero, ou seja, o maior é aquele que tem maior módulo.
38
Uma temperatura de 10 graus acima de zero é maior que uma temperatura de 0 grau.
Essa afirmação significa comparar os números inteiros +10 e 0:
+15
+10
+5
0
-5
-10
-15
+15
+10
+5
0
-5
-10
-15
-20
+10
+5
0
-5
-10
-15
-20
-25
0>-10
ou
-10<0
+15
+10
+5
0
-5
-10
-15
+15
+10
+5
0
-5
-10
-15
-20
+10
+5
0
-5
-10
-15
-20
-25
Qualquer número inteiro positívo é maior
que zero.
+10>0
Uma temperatura de 5 graus acima de zero é maior que uma temperatura de 10 graus abaixo de zero.
Essa afirmaÇão significa comparar os números inteiros +5 e -10:
Qualquer número inteiro positivo é maior
que qualquer número inteiro negativo.
+5 > -10
Uma temperatura de 0 grau é maior que uma temperatura de 10 graus abaixo de zero.
Essa afirmaÇão significa comparar os números inteiros 0 e -10:
Qualquer número inteiro negativo é menor
que zero.
39
Uma temperatura de 5 graus abaixo de zero é maior que uma temperatura de 15 graus aloaixo de zero,
Essa afirmação significa comparar os números inteiros -5 e -15:
+10
+s
0
-5
_10
_15
-20
+10
+5
U
-5
-10
-15
-20
Entre dois números inteiros
negativos, o maior é aquele que
está a uma menor distância do
zero, ou seja, o maior é aquele que
tem menor módulo.
-5 > -15
Agora acompanhe na reta numérica as cinco afirmações apresentadas.
+5> +2
+4>0
0>-3
+2> -4
-l>-4
+5 está à direita de +2
+4 está à direita de 0
0 está à direita de -3
+2 está a direita de -4
-1 está à direita de -4
Generalizando o que vimos:
Entre dois números inteiros quaisquer, o maior é aquele que está mais à direita na reta
numérica inteira.
LEcrevendo surhcon\untoE de 7-
Vamos escrever alguns subconjuntos de Z. Vejamos os exemplos:
Escrever o conjunto A dos números inteiros maiores que -4.
Todos os elementos do conjunto A devem estar à direita do -4, na reta numéricar inteira.
Podemos escrever o conjunto A de duas maneiras:
Pela nomeação dos elementos: A: {-3, -2, -1,0, +1, +2, +3, ...}
simbolicamente: A : (x e zlx> _41
Então:
A: {x e Zlx> -41: {-3, -2, -1,0, +1, +2, +3,..,}
40
e
e
e
e
e
I
2 Escrever o conjunto B dos números inteiros não-nulos situados entre -6 e +2.
Pela nomeação dos elementos: B: {-5, -4, -3, -2, -1, +1}
Simbolicamente: B : {x € Z. | -6< x < +2}
B : {x e Z. | -6 < x< +21: {-5, -4, -3, -2,
3 Escrever o conjunto C dos números inteiros que são iguais ou menores que -2.
Nesse caso, escrevemos o -2 e todos os números que estão à esquerda do -2, na reta numérica.
Pela nomeação dos elementos: C: {..., -7, -6, -5, -4, -3, -Zlt
Simbolicamente: C : {x c zlx< -2lr
C : {x e Zlx < -2} : {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2}
r-J
L Compare os dois números inteiros que estão
envolvidos em cada um dos seguintes fatos:
2 Na reta numérica seguinte estão assinalados
os números inteiros a,b, c e d.
Nessas condições, compare os números:
3 Usando os símbolos ) e (, compaÍe os nú-
meros inteiros:
a) 0e+7 o<+7
b) +11 e0 +'rT >o
c) 0e-9 o>-e
d) -13e0 -13<o
.) +2 e -1,9 +2 > -1s
O ,.o.ni:,*o dos números
tnrcros nao-nulos é
representado por z*.
-1 
r1l
Lt I I'
f)
s)
h)
i)
j)
-30 e +6 -30 < +6
*7 e +20 +t < +2a
-11 e -30 -1r > -30
-1 e*5 -1 <+b
-20 e -3 -20 < -3
a) ae0 a>ob)be0 u.o
c) ce0 c>o
d) 0e d o,o
e) aeb a>a
f) aec a>c
g) dea d<a
h)bec ó--c
i) bed b>d
{ f,sslgya;
a) o antecessor de -9 -ro
b) o sucessor de -20 -1e
c) o antecessor de 0 -r
d) o sucessor de 0 +1
e) o antecessor de f 11 +10
f) o sucessor de *29 +30
5 Uma equipe Á tem saldo negativo de gols,
enquanto uma equipe B tem saldo nulo. Qual
delas tem maior saldo? a equipe B
(Ei Escreva:
a) na ordem crescente os seguintes números in-
teiros: -100, -70, 10,0, +20, +Bo
-70 +20 0 -10 +80 -100
b) na ordem decrescente os seguintes números in-
teiros: +iz, +7, +1, -'roo, -160, -300, -5oo
-2> -6
+1 -760 -500 +7 -100 +72 -300
\
7 Em um torneio, os times Alegre e Bonito ter-
minaram empatados na classificação. De acor-
do com o regulamento, prosseguirá na fase se-
guinte do torneio a equipe com melhor saldo
de gols.
a) Qual o saldo do time Alegre?
b) Qual o saldo do time Bonito?
c) Qual das duas equipes passou para a fase
seguinte do torneio?
d) Compare os números inteiros que expressam
os saldos das duas equipes.
I O GOLS MAR,CADOS
l7 GOLS SOFRTDOS
15 GOLS MARCADOS
20 GOrS SOFRTDOS
€B Duas equipes da 1a divisão tertrinaram um
torneio de futebol empatadas em íltimo Iugar.
Uma delas deverá ser rebaixada para a 2a divi-
são, enquanto a outra permanecet'á na divisão
onde está. O regulamento manda que a decisão
seja pelo saldo de cada equipe, permanecendo
então a equipe que tiver melhor sai,fo. Se a equi-
pe Á tem -13 de saldo e a equipe B tem -9 de
saldo, qual delas deverá ser rebaixeLda?
EQUIPE A
-13
€) Dentre os números inteiros
EGIUIPE B
-9
-20 +6" -1 _7 +2 _4 t)
quais podem ser colocados no lug;ar do x para
que se tenha:
a) x> -5? b)x<0?
I-(O Usando a forma simbólica e a nomeação
dos elementos, escreva:
a) o conjunto Á dos números inteiros maiores
que -20
b) o conjunto B dos números inteiros menores
que -7
c) o conjunto C dos números inteiros maiores
ou iguais a -5 e menores que *3
I- I- Nomeando os elementos, eÍ;creva os se-
guintes conjuntos dados na forma simbólica:
a)P:lxeZlx>-3) :
b)Q:{xeZl -q.x<-6} !
c) R: [xe Zl x< -100)
I- 2 Nomeando os elementos, escreva o conjun-
toA : {x eZl -0 . x < -l3). Aseguir, responda:
a) Quantos números inteiros não negativos há
nesse conjunto?
b) Quantos números inteiros positLrros há nesse
conjunto?
c) Quais elementos do conjunto Z1* pertencem
ao conjunto Á? s 3 :, .)
42
6 *aiúo d,a nínnero5intei ro5
Vamos analísar as seguintes sítuações:
I
le Disputando um torneio quadrangular de
handebol, uma equipe obteve 4 pontos no
primeiro turno e 5 pontos no segundo turno.
Quantos pontos a equipe obteve nesse qua-
drangular?
Nessa situaçã0, devemos calcular
(+4) + (+5), o que é fácil de ser feito men-
talmente.
Mas, vamos representar esse fato na reta numérica inteira.
+9
+1+2+3+
) A partlr do 0, fazemos um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo.
) A partir do ponto associado ao +4, fazemos um novo deslocamento de 5 unidades no sentido
positivo.
0 deslocamento total foi de 9 unidades no sentido positivo.
Então: (+4) + (+5) : +9
2? Em um torneio de futebol, uma equipe perdeu 2 pontos no primeiro turno e perdeu 4 pontos no
segundo turno. Quantos pontos a equipe perdeu nesse torneio?
Devemos calcular (-2) + (-4],.
) A partir do 0, fazemos um deslocamento de 2 unidades no sentido negativo.
) A partir do ponto associado ao -2, fazemos um novo deslocamento de 4 unidades no sentido
negativo.
O deslocamento total foi de 6 unidades no sentido negativo.
Então: F2) + (-4): -6
eo
L
a
õ
o()
+5+4
+5 +6 +7 +8 +9
43
subtu, inicialmente, 3 andares e, em segúda, 4 andares. Em
) A partir do 0, fazemos um deslocamento de 3 unidades no sentido positivo.
) A partir do ponto associado ao +3, fazemos um novo deslocamento de 4 unidades no sentido
positivo.
0 deslocamento total foi de 7 unidades no sentido positivo.
Então: (+3) + (+4): +7
42 Numa cidade, os termômetros marcaram atemperatura de -5 graus, durante o dia. De madru-
gada, a temperatura baixou 7 graus. Qual foi a temperatura da madrugada nessa cidade?
Devemos calcular (-5) + (-7).
) A partir do 0, fazemos um deslocamento de 5 unida-
des no sentido negativo.
) A partir do ponto associado ao -5, fazernos um novo
deslocamento de 7 unidades no sentido negativo.
0 deslocamento total foi de 12 unidades no sentido ne-
gativo.
Então: (-5) + (-7): -12
44
Pelas situacões apresentadas, podemos escrever:
) Quando os dois números são positivos, a soma é um número positivo.
) Quando os dois números são negativos, a soma é um número negativo.
) 0 módulo do resultado é igual à soma dos módulos das parcelas.
Acompanhe nos exemplos a seguir o que foi apresentado no destaque.
a) (+15) + (+21) : *36 b)(-42) + (-37) : -79lt
_.;,:ffiffI jíllJ __-__
Vamos analisar outras situacões:
13 Partindo do andar térreo, um elevador desceu 2 andares. Em seguida, subiu 6 andares. Em qual
andar o elevador parou?
Vamos calcular (-2) + (+6).
A partir do 0, fazemos um deslocamento de 2 unida-
des no sentido negativo.
A partir do ponto associado ao -2, fazemos um novo
deslocamento de 6 unidades no sentido positivo,
0 deslocamento real e de 4 unidades no sentido positivo.
Então: F2) + (+6) : +4
22 Em um
temperatura
a cidade, a temperatura durante o período da tarde foi de +4 graus. Durante a noite, a
baixou 7 graus. Qual foi a temperatura dessa cidade, durante a noite?
+6
-2
-2
Vamos
*ol
calcular (+4) + (-7).
-3
-3
-7
45
) Partindo do 0, fazemos um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo.
) A partir do ponto associado ao +4,fazemos um novo deslocamento de 7 unidades no sentido
negativo.
0 deslocamento real foi de 3 unidades no sentido negativo.
Então: (+4) + e7): -3
3E Durante um torneio de futebol, uma equipe marcou 9 gols e sofreu 3. Qual foi o :saldo de gols
dessa equipe no campeonato?
Devemos calcular (+9) + (-3).
+9
0+6+9
) A partir do 0, fazemos um deslocamento de 9 unidades no sentido positivo.
) A partir do ponto associado ao +9, fazemos um novo deslocamento de 3 unidades no sentido
negativo.
0 deslocamento real foi de 6 unidades no sentido positivo.
Então: (+9) + (-3) : +6
41 Um grupo andou em uma trilha, 6 km a oeste de um ponto. A seguir, o grupo voltou 1 km para
leste, e parou em uma cachoeira. Qual a posição do grupo em relacão ao ponto inicial dia caminhada?
Devemos calcular (-6) + (+1).
) A partir do 0, fazemos um deslocamento de 6 unida-
des no sentido negativo.
) A partir do ponto associado ao -6, fazemos um novo
deslocamento de 1 unidade no sentido positivo.
0 deslocamento realfoi de 5 unidades no senrtido negativo.
Então: (-6) + (+1) : -5
Oríente-se
A bússola é um equipamento de segurança em aventuras
O termo bússola vem do latimbuxula, que quer dizer "caixinha".
É composta por uma agulha magnética móvà em torno de um eixo, que passa pelo seu r:entro de
gravidade. A agulha magnetizada sempre aponta para o Norte, facütando a orientação dos viajantes.
+6
+1j+
46
Das quatro últimas situações apresentadas, podemos escrever:
Quando dois números têm sinais diferentes, o sinal do resultado corresponde ao sinal
do número que está mais distante da origem.
0 módulo do resultado é igual a diferenca entre os módulos das parcelas,
Acompanhe nos exemplos a seguir o que foi apresentado no destaque acima.
(-16) +(+20) :t4
I I r diferençaentre os módulos dos números
I t positivo, pois +2Oestá majs distante do O do que - 16
ltI + diferença entre os modulos dos números
I'- negativo, pois -100 está mais distante do 0 do que +42
(-100) + (+42): -58
Vamos analisar mais esta situação:
Durante a noite, os termometros de uma
cidade marcaram uma temperatura de -5
graus. Durante a manhã, a temperatura subiu 5
graus. Que temperatura os termômetros mar-
caram durante a manhã?
Devemos calcular (-5) + (+5).
Pelo esquema, você observa que o deslo-
camento real foi 0, pois partimos do 0 e volta-
mos para o mesmo 0.
Então: (-5) + (+5) : 0
A soma de doís números inteiros
opostos ou simétricos é igual a 0.
í4,
Pirâmíde
mágica
QuaIéosegredoda
pirâmide? Paradescobrir,
observe o número de um bloco e os
números dos blocos que o apóiam.
A scl.: rlos tlo s núnreros rnÍeriores é rgual ao núrleTo acrma
A pirâmide a seguir tem o mesmo
segredo. Reproduza-a no caderno e
descubra os números que faltam.
-92
-47 -51
-79 -22 -29
-9 -10 -72 -77
-3 -6 -4 -8 -9
t^
-16 +16
'16 0 + tb
12 -4 +4 +72
-8 -4 0 +4 +8
47
Adiçao de lràs ou nnaiE nivnerot inleiroE
Acompanhe a situação a seguir:
Uma loja de calÇados tem quatro departamentos: um de calçados masculinos, Lltrr de calçados
femininos, um terceiro de calçados infantis e um quarto de calçados esportivos. 0 quadro seguinte
mostra a venda de cada departamento no mês de marco, em relação ao mês anterior:
60 pares a mais ----+ (+60)
45 pares a menos ----+ (-45)
18 pares a menos -+ (-18)
30 pares a mais ----+ (+30)
Vamos verificar o resultado final da loja no mês de marco, em relacão a fevereiro:
(+60) + (-45) + (-18) +
+15 + (-18) +
(-3)
+27
Em relação a fevereiro, essa loja vendeu, em marco, 27 pares de calçados a mais.
Podemos chegar a esse mesmo resultado, procedendo assim:
) Adicionando as quantidades positivas: (+60) + (+30) : (+90)
) Adicionando as quantidades negativas: (-45) + (-18) : (-63)
) Adicionando os resultados obtidos: (+90) + (-63) : 't27
Agora, vamos usar dois modos diferentes para calcular:
(-9) +(+11) +(+13) +F20+?2)
le modo:
(-9) +(+11) +(+13) +(-20) +?2):
: (+2) + (+ 13) + (-20) + (-2) :
: (+15) + (-20) + (-2):
: (-5) + ?2) : -7
(+30) :
(+30) :
(+30) :
2e modo:
(-9) +(+11) +(+13) +(-20) +(-2):
: (+11) + (+13) + (-9) + (-21)) + (-2)
: (+24) + (-31) :
:-7
) A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
f (+3) +(+5) : +Bez
f Ft)+(-3) : -toez
B (+11) + (-8) : +3 ez
U (+7) + (-13) : -6 ez
Essa é a groPriedade
de Íechamento'
Calçados Masculinos
Calçados Femininos
Calçados lnfantis
Calçados Esportivos
) A ordem das parcelas em uma adicão não altera a soma.
(+11) +(-9) :*2
ou
(-9) +(+11) :-t2
(+11) +(-9) :(-9) +(+11) Essa é a propriedadecomuhüva.
) Associando-se as parcelas de maneiras diferentes, obtém-se a mesma soma.
(-8) + (-2)+(+7)= (-10) +(+7) - -3\_-
(-8) + (-2) + (+7): (-8) + (+5) : -3
-r- 
t
) 0 número 0 é elemento neutro da adicão em Z.
I (+8) *0:0+(+8) :*8
2 (-7)+0:0+(-7):-l
Essa é a propriedade
associativa.
!':i: a propriedade deensÉncia do etemento
neutro.
Além dessas propriedades, que também são válidas para o conjunto N, o conjunto z apresenta
uma nova propriedade: existência do elemento oposto.
1 (-8) + (+8) : 0
-8 é o elemento oposto ou simétrico de +8, e vice-versa.
2 (+13) + (-13) : 0
+13 é o elemento oposto ou simétrico de -13, e vice-versa.
L Calcule a soma:
a)(+11)+0+r1
b)0+(-13) 13
c) (+28) + (+2) *so
d) (-34) + (-3) 3t
e) (-8) + (-51) -se
f) (+21) * (*21) *qz
S) e2» + (+34) +n
h) (+49) + (-60) -rr
i) (-130) I (-1,25) -zss
j) (+49) + (+121) +r7o
1) (+820) * (-510) +sro
rn)(-162) * (-275) -qzt
2 Numa olimpíada de Matemática, uma tur-
ma ganhou 13 pontos na primeira fase e 18 na
segunda. Usando a adição de números inteiros,
calcule quantos pontos essa turma ganhou.
(+13) +(+18) :+31
3 Partindo do térreo, um elevador desce 2 an-
dares. Em seguida, desce mais L andar. Usando
a adição de números inteiros, dê o andar em que
o elevador parou. (-2) + ( 1): 3
4 Caio tem R$ 3 600,00 na sua conta bancária.
Se ele fizer uma retirada de R$ 4 000,00, como
Íicarâ o seu saldo? t*s 600) + ( 4 000) : -400
5 Uma florista teve, no sábado, um prejuízo
de 12 reais. No domingo, porém, teve um lucro
de 29 reais. Esse fim de semana deu lucro ou
prelÁzo à florista? De quanto? tucro de t 7 rears
(6 Sabe-se que Júlio César, famoso conquista-
dor e cônsul romano, nasceu no ano 100 a.C. e
morreu, assassinado/ com a idade de 56 anos.
Em que ano Júlio César morreu? -44 ou 44 a c
7 Na atmosfera, a temperatura diminui cerca
de 1 grau a cada 200 m de afastamento da su-
perfície terrestre. Se a temperatura na superfí-
cie é de *20 graus, qual será a temperatura na
atmosfera a uma altura de 10 km? -30 sraus
4i
€| Na primeira fase de um torneio de futebol,
duas equipes terminaram empatadas na classi-
ficação geral. Apenas uma delas continuará dis-
putando o torneio e, de acordo com o regula-
mento, o desempate é feito pelo maior saldo de
gols. A equipe Á marcou 18 gols e sofreu 21, en-
quanto a equipe B marcou 24 gols e sofreu 25.
Nessas condições: rB 21, 3
a) Qual é o saldo de gols da equipe Á?
c) Qual das duas equipes prosseguiu disputan-
do o torneio? a equ pe I
€) Em um programa de perguntas e respostas,
a cada resposta correta Carlos, recebia R$ 20,00
do apresentador do programa. Porém, a cada
resposta erracla, pagava R$ 22,00. De 100 per-
guntas, Carlos acertou 52. Ele ganhou ou per-
deu dinheiro? Quantos reais? Deroei r6 rea s
LO Determine o número inteiro que se deve
colocar no lugar de x para que sejam verdadei-
ras as igualdades:
a) x f (+9) : -t13 .q d) x + (-3) : +3 +6
b) x + (-6) : -10 -+ e) x -1_ (+n: -3 -ro
c) x f (-7):0 t 0 (-20)-r x: -18 +2
a da- u"tn^& adiçao da- ní.n^qro5 iertairog
11 O saldo bancário de Sérgio, no dia 1/6,
era de RS 7200,00. No período de2/6 a5/6, o
seu extrato mostrava o seguinte mrlvimento:
Data Movimento \/alor
2/6 depósito R$ 10 000,00
3/6 débito R$ 13 000,00
4 /6 débito R$ 8 00o,oo
R$ 5 000,005/6 depósito
Usando a adição de números inteiros, dê o sal-
do bancário de Sérgio no dia 5/6. -R$ r 200,00
L2 Vamos calcular:
a) G27) + (+13) + (-28) +12
b) (-50) + (-30) + (-12) s2
c) (+90) + (-75) + (-47) 32
d) (-11) + (+20) + (+35) + (-27) -11
e) (+32) + (-68) + (-22) + (+48) 10
f) (+99) + (-100) + (-100) + (+ç)8) + (-10) -rs
d e7g + (-22) + (-45) + (-92) I (+250) +r8
L3 Os números a eb sáo inteirosi. Se n e b são
opostos, quanto dá a adição a + b? o
a4 Os números a e b sáo inteiros; positivos. É
correto afirmar que a * b é um número positivo?
L5 Sabe-seque a= -73,b = f5i1 ec= -77.
Nessas condições, calcule o valor dle:
a) a-lb -22
b)a+c -eo
c)b+c +34
d)a+b-f c -3e
Em Matemálica, a adição (+9) + (+3), por exemplo, pode ser escrita de uma nraneira mais
simples; (+9) + (+3), tem o mesmo significado de 9 + 3.
Veja outros exemplos:
) A adicão (+10) + (-15)tem o mesmo signiÍicado que +10 - 15, ou srmplesmente, 1o _ 15.
) Aadição (-8) + (+10)tem o mesmo significado que -8 + 10.
) A adicão (-6) + (-15)tem o mesmo significado que -6 - 15.
50
Note que eliminamos o sinal + da adição e os parênteses das parcelas, escrevendo apenas
essas parcelas, uma seguida da outra, cada qual com o seu próprio sinal.
A forma simplificada aplicamos as mesmas regras já estudadas:
1 13-19=t13-19=-6
2 -21 +32:+11
3 -7 - 2g: -36 __l
4 23 - g- 18+ 15:23+ rsIíl ra: *38 - )t : *ttt
-
-18 + 35 + 62 - 47 -31 : +35 + 62 - 18 - 47 - 31 : +97 -96 : +1----r-- t
I- Escreva na forma simplificada as adições e
calcule:
a) (+20) + (-18) +2
b) (-30) + G21) e
c) (-81) + (-77) e8
d) (+37) + (+52) +8e
e) (-15) + (+22) + (-6) -1
2 Vamos calcular:
a)7+77 +24 g)31+14 -4s
b)-8-2 10 h)-1 +30 t2s
c) -9+t+ +5 i) 40-63 -23
d)-4-4 -8 i) 91 -57 +34
e) 1.9 - 23 + l) -90 + 10 -80
f) -40 - 11. -br m)-100 + 104 +4
3 Calcule:
a)7+20-4 +23
b) -17 *14-F3 o
,) 27 - 1,6 - 1.0 +1
d)-25-27-40 86
e) 35 + 78 + 62 -.11b
0 -75+70+50-61. 1o
d84-79-87+86 ,TO
h) -64-96-77+200 31
i) -92+77+34+20 -2i
j) 76 +92- 704- 101 +94 +87
1) 77-40-30-60+100 13
m)81 + 19 -95 - 105 +260- 110 +so
Você sabe o
que é um
móbÍle?
O móbile é uma escultura móvel, feita
de material leve, suspensa no espaço por fios,
que se equilibra harmoniosamente. Ao mais
leve movimento do ar, eles respondem,
mudando de posição.
O passatempo preferido do Sr. Augusto
de Oliveira é construir delicados móbiles.
Veja o último que ele fez.
Reproduza o móbile no caderno. A
seguir, coloque em cada bolinha um número
inteiro entre -6 e *7, de modo que a soma
dos números da parte esquerda seja igual à
soma dos números da parte direita do
móbiIe. resposta no final do livro
51
1 Swhtraçao da ní,Anqro5 intai r05
Considere as seguintes situaçoes:
No sábado, a rcmpeÍatura 
-de-Mirantão
puràã. *2graus Para *5 
graus'
Qual foi a uariacão da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela sub-
tracão: (*5) - (+2; : 13
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+5) - (+2) é o mesmo clue
(+5) + F2). Daí podemos escrever:
(+5) -(+2):(+5) +(-2) :+3
3
Esse fato pode ser representado pela sub-
tracão: Gà - (+5) : -3
No domingo' a
temPerratura de
Mirantáo, durante
o dia, era de +5
graus. À noite, a
temperatura
baixou 2 graus'
Qual a temperatura registrada na noite de
domingo?
Esse fato pode ser representado pela adi-
Ção: (+5) + (-2): +3
A temPeratura
de Caldeiras
ontem, durante o
dia, foi de'17
gÍaus. À noite, a
temPeratura
baixou 5 graus'
Qual a temperatura registrada à noite?
Esse fato pode ser representado pela adi-
cão: (+2) + (-5) : -3
+3
Hoie a temperatura de caldeiras 
passou
Oe +í graus Para +2 graus'
Qual foi a variacão da temperatura?
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que G2) - (+5) e o mesmo que (+2) + (-5).
(+2) - (+5) : G2) + (-5) : -3
52
A temPeratura em Pombinhas 
Passou
de -Z graus Pare - 
5 graus'
Ontem à noite'
Qual foi a mperatura?
-3
Esse fato sentado Pela sub-
tração: (-5) -
I to#*'u
ça'la -5
s' Durante o
' 
a temperatura
iu 2 graus'
)'-Ç'€+'--d
Qual foi a temperatura registrada durante
o dia?
Esse fato pode ser representado pela adi-
ção: (-5) + ft2): -3
Se compararmos as duas rgualdades, verificamos que (-5) - e2) é o mesmo que (-5) + (+2).
(-5) - ?2\: (-5) + (+2) : -3
Das situações vistas, temos:
(+5) - ftz): (+5) + (-2) : +3
(+2) - (+5) : (+2) + (-5) : -3
(_5) _ F2): (-5) + (+2) : -3
Daí, podemos afirmar:
Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro
com o oposto do segundo.
Veja mais estes exemplos:
(+13) - ft2]r: (+13) + (-2) : *11
(+7) - (+15) :1+7l,+ (-15) : -8
I
2
3 (_1) - ftI2): (-1) + FL2): -13
4 (-g) - (-15) : (-9) + (+15) : +6
Ann Liação do conj
Sabemos que, no conjunto N, não é possÍvel efetuar a subtração quando o primeiro número (minuen-
do)é menor que o segundonúmero (subtraendo). Assim, a subtração 3 - 10 não é possÍvel em N'
No conjunt o Z é possível efetuar a subtração, pois a diferença entre dois números inteiros é
sempre um número inteiro.
Assim, temos:
3 - 10: (+3) - (+10) : (+3) + (-10) : -7
xarclclos
I- Numa cidade, a temperatura mínima foi de
-1 grau, enquanto a temperatura máxima foi de
t10 graus. Para determinar a variação de tem-
peratura, efetuamos a subtração "temperatura
máxima - temperatura mínima". Qual a varia-
ção da temperatura nessa cidade? | . .,,
2 Leia a seguir:
AlrxeuonE, o GRANDE
nasceu em -356
(356 a.C.) e morreu
em -323 (323 a.C.)'
Alexandre assumiu
o trono do ImPério
Macedônico exPan-
dindo-o rumo ao
Oriente. Formou
um dos malores
imPérios territo-
riais conhecidos até
então.
Para saber quantos anos Alexandre viveu, efe-
tuamos uma subtração de números inteiros. Faça
essa subtração. 33 ?,ros
3 Leia e responda:
PrrÁcoRns,
grande filósoÍo
e matemático
Erego/ nasceu no
ano -570 (520 a.C.)
e morreu no ano
-496 (496 a.C.).
Quantos anos Pitágoras viveu? )4: ,;.
54
4 Leia a seguir:
A maior variação de temperatula 
registrada
;*.l,.il aia rãi em lefo' em Brownrns'
Montana,nosEstadosUnidos'ondeatempe-
i""il;;;;;o' a" 7 oc a - 4q "c'
(Fonte: Gr lness Book C) liut o dos recordes I 997)
Para determinar de quanto é a queda de tempe-
ratura, efetuamos uma subtração de números
inteiros. Faça essa subtração. c6 sra:s
5 Duas duplas, A eB,jogam cartas. Na primei-
ra rodada, a dupla AÍez -750 pontos, enquanto
a dupla B Íe2230 pontos. Quantos pontos a du-
pla B Íez a mais que a dupla á? 380 pcrros
6 Certo dia, em Campos do Jorclão, o termô-
metro marcava f 6 graus pela manhã, mas à tar-
de a temperatura baixou para -3 ryaus. eual a
variação da temperatura nesse per.íodo? e sraus
7 Atemperatura no interior detmt'reezer é de
-9 graus. Fora, a temperatura é de *25 graus.
Qual é a diferença entre as duas temperaturas?
3,4 gra !s
€3 Calcule:
a)0-(-77) ; f) (+20)-(+9) -,i
b) (-9)-(+16) -25 g) (-4) -(+77) -21
c) (+13) - (+20) ? h) (+40) - (+80) 40
d) 0 - (+18) 18 i) (+11) - (-62) j3
e) (-1) - (-19) 18 j) (-72) - (-81) e
9 Mostre que:
a) (-11) - (-7) + (-7) - (-11)
b) t(-15)-(+e)l -(-27) + (-15)-t(+e) -(-21))
l)Adiçâo alghrica
Vamos considerar:
) a adição emZi(-7) + (+4) : -3
) a subtracão em z:(-7) - (+4) : (-7) + (-4) : -11
Como toda subtracão em z pode ser transformada em adicã0, dizemos que a adicão e a
subtração de nÚmeros inteiros podem ser consideradas uma única operacão, denominada adição
algébrica, cujo resultado é denominado soma algébrica.
Expressões como essas, a segulr, são consideradas adiçoes algébricas.
B--10 -13+2+6
Toda expressão numérica que contém somente as operacões de adição e subtracão
representa uma adicão aigébrica.
Calcular a soma algébrica - 1
-17+40+21-16-33
+40+21-76-33.
+61 -66:-5
1
2
Observe estes outros exem
10 + (-6) : 10 - 6: -t4
-7+(-5+4):-7-5+ -B
Quando uma adição algébri contém parênteses precedidos do sinal +, podemos
m como o sinal que os precede, escrevendo cada númeroeliminar esses parênteses,
que está no interior dos par nteses com o seu proprio sinal.
Acompanhe, agora, estes exemplos:
10 - (-6) : 10 + (+6) :10 + 6: *16
-7 -(-5 + 4) : -7 + (+5 - 4) : -7 + 5 - 4 : t5 - 11 : -6
B-U + 3 - 10):8+ (-Z - 3 + 10) : B-7 - 3 + 10: *18 - 10: *8
Quando uma adição algébrica contém parênteses precedidos do sinal -, podemos
eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo cada número
que está no interior dos parênteses com o sinal trocado.
As mesmas regras valem para as adições algébricas onde aparecem colchetes e chaves, além
dos parênteses.
1
2
3
55
2+7-6
Acompanhe:
Calcular a soma algébrica 20 + F9 + 12) - (-15 + 20).
Vamos fazer esse cálculo de dois modos diferentes:
1e modo:
20+?9+12)-?15+20) :
:20- 9 + 12+15 -20: ------------- > eliminamososparênteses
:*47-29:
: *18
2e modo:
20+(-9+12)-?15+20) :
: 20 + (+ 3) - (+ 5) : -----------+ efetuamos as operações no interior dos parénteses:20+3-5:
: *23 - 5:: *18
2 Calcularasomaalgébrica2-{-11 + [17 -(-12 + 10) - 31].
2 - l-11 + [17 - (-12 + 10) - 3]] :
:2 - {-11 + ll7 + 12 - l0 - 3l} : ---------------- eliminamososparênteses
:2 - {-11 + 17 + 12 - l0 - 3} : eliminamos osco/chetes
:2+ 11 - 17 - 12+ l0 + 3: elíminamosaschaves: *26 - 29::-3
L Escreva sem parênteses cada uma das ex-
pressões:
u) -1+9) -e Í) -(-1 + 10) +r ro
b)-(-11) ir1 g)7+(6-3)7+6-3
c) +(-13) -r3 h)1-(-1 +5) r*r 5
d) +(+21) +21 i) 9 + (-4 - 2) g 4 2
e)3-(-2) 3+2 j) -(1 +7-4) 1 1+4
2 Calcule as somas algébricas:
a) 6+(-9+1) 2
b)8-(-6+10) +4
c) -L0+6-4) -8
d)2+(2+5-7) +2
e) -5+(2-4)-(7-l) -13
f) (-5+3) - (5-9) + (8- 1) - 11 -2
3 Dados os números
x : 1 - [4 + (4 - 2 - 5) - (-7 + 3)] e
y:2-Í7-(-t-3+6) -81,
use os símbolos ) ou ( para corrparar os nú-
merOs /ey. x= -4:y: +5; x<y
4 Eliminando parênteses, colch€rtes e chaves,
determine as somas algébrrcas:
a) 30 + l-16 - (-7 + 10)l -i1
b) -10 - [11 + (-10 - 61 + 1J (i
.) 18 - (14 + 15) - [13 - (76 - 2't)] -2s
ü -e2» - Í29 + Q7 - 23 - 20 - 281 +43
e) 9-(-10) -t-21-(-13-13-+-25)l -(-18) 'sz
f) 11 + l-tZ - (-22 + 76) + (-29)) - e+e * 54) -st
56
2!feiro: -Í7 + tl3 + ítl + 23- 4S +18
3!feira: 2+-7 - 8- l0-4 + 3l - Í9 +-t
4! feim: 19 - 2Í + 36 - í00 - 35 + Í00 -l
Sefeíro' -23 + 24 - 25 + 26- 27 + 28 +3
69feiro: 2ÍO+ 60- Í26 + 63- 208+ Í í7 +tta
sdóodo: -99 + 8S- í2Í - 3Í0 + 420+ ííS -go
5 João adora jogar Íigurinhas. Em cada rodada desta semana, ele registrou, com um número positi-
vo, quantas figurinhas ganhou e, com um número negativo, quantas perdeu. Domingo ]oão fôi pas-
sear e não jogou.
a) Em qual dia João ganhou mais gurinhas?
b) Em qual dia ]oão se saiu pior? a Íeia 
6ê reira
c) Nessa semana, João aumentou ou diminuiu
a quantidade de figurinhas que tinha? Quanto?
aumentou; 233
ll l'trrí,ti pLicacp-o d,e niunqro5 intei ro5
A 
^NLLti
l,icnrçao
14rí,ti ndo cotít^ nitveros inteuos
foi n.rr. período que o homem passou a ter necessidade de usar a adicão e a subtra-
Ção de números inteiros.Entetanlo, a multiplicação com números negativos foi mais difícil de ser aceita e com-
preendida na época. Demorou ainda um pouco para que os matemáticos, aplicando seus conhe-
cimentos sobre a multiplicaÇão de números naturais, pudessem dar um resultado paraa multipli-
cação de dois números inteiros. J
Para multiplicar números inteiros, devemos observar os seguintes casos:
) 0s dois fatores são números positivos.
Considerando a multiplicação dos números naturais, temos:
(+6). (+4) : 6. 4 : 24 ou +24
A irui" ío rumwro negaavo só foí plnwwnte arLita a parttr do seruto Ã)[.
L-+6:6
+4: 4
57
nnab tarde
0u ainda: 1+8) . ftl2l: *96
(+20) .(+13) : +260
A multiplicaÇão de dois números inteiros positivos dá um número inteiro posititi'0.
) Um fator é número inteiro positivo e o outro é número inteiro negativo.
(+6) .(-4) :6.(-4) : ?4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) : -24
1+6) .?4):-24
Consideremos, agora, a multiplicaÇão:
L9 (+4) : :eq. (+4) : -(+24\: -24
It
Então: (+6) . (-4) : -24 e (-6) . (+4) : -24
A multiplicaÇão de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em
qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo.
) 0s dois fatores são números inteiros negativos.
Consideremos a tabela de multiplicação:
Sabemos que:
(-6) .0:0 (-6) '(+1) :-6 (-6) . (+2): -12
Colocando esses resultados na tabela, temos:
-6 -t2
Observando a linha dos resultados, notamos que cada resultado tem seis unidades a mais que o
número à sua drreita.
58
-3 -2 -1 +20x-4
-6
+1
-1x-4-3-2
-6
Aplicando esse fato, preenchemos os quadrados restantes.
+24 + i8 +12 +6 -6 -12
+6 +6+6
Essa tabela nos leva a concluir que:
A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro
positivo.
: -(+6) .(-2): -(-L2l: +12
2 (-6) ' (-4) : -(+6) .(-4) : -(-24): *24
Dos casos apresentados, podemos estabelecer a seguinte regra:
Para determinar o produto de dois números inteiros (diferentes de zero), calculamos o produto
dos módulos dos fatores. Daí:
Se os dois fatores têm o mesmo sinal, o produto é um número positivo.
Exemplos:
(+7) .(+3) : +21
(-9) '(-12): +108
1
2
0bservação
Usando o oposto de um número inteiro, podemos chegar ao mesmo resultado. Veja os exemplos:
I
2
Se os dois fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo.
Exemplos:
(+9) ' FA: -18
(-13) .(+6) : -78
59
l I I _- l. I
-3-2-10+1+2
Quando se trata da multiplicaÇão de três ou mais
números inteiros, utilizamos as mesmas regras dos nÚ-
meros naturais.
Veja os exemplos:
(-7)."(+2]r. (-5) : (-14) '(-5) : -t70,t1
2
Você e um colega vão se
divertir com o 'Jogo dos produtos".(+2). (-15) ' (-3) '(-6) : (-30) '(+18) : -540
\.--------v-
Primeiro, reproduza duas vezes cada dado e monte-os.
+3
+l +2 +6 +5
+4
Depois, reproduza os tabuleiros em papel quadriculado, sem pintá-los.
-3
-l -2 -6 -5
-4
Tabuleiro (I)
X +1 +2 +3 +4 +5 +6
+1 +1 +2 +3 +4 +5 +6
+2 +2 +4 +6 +8 +10 +72
+3 +3 +6 +9 +12 +15 +18
+4 +4 +8 +72 +76 +20 +24
+5 +5 +10 +15 +20 +25 +30
+6 +6 +72 +18 +24 +30 +36
Tabuleiro (II)
X -1 -2 _J -4 -5 -6
+1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
+2 -2 -4 -6 -8 -10 -72
+3 -3 -6 -9 -'t2 -15 -18
+4 -4 -8 -72 -76 -20 -24
+5 -5 -10 -15 -20 -25 -30
+6 -6 -72 -18 -24 -30 -36
60
t_l
Agora é só seguir as regras:
Os jogadores escolhem uma cor diferente de lápis, um mesmo tipo de tabuleiro e dois dados:
para o tabuleiro I, use dados com números positivos.
Para o tabuleiro II, use um dado com números positivos e outro com números negativos.
para o tabuleiro III, use dados com números negativos.
Cada jogador, na sua vez, )oga os dados, calcula o produto dos números das faces superiores e
pinta o quadriculado que tem o número obtido.
Ganha o jogo aquele que conseguir pintar primeiro uma linha, uma coluna ou uma diagonal.
) 0 produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Exemplos:
1 (+7) . (+9) : *63 e +63 e Z
2 0 .(-41) : 0 e 0 ez
3 e2).(+16) :-32e-32e2
4 e7).(-11) :*77e+77e2
A ordem dos fatores não altera o produto.
Exemplo:
(-9) . Gl2): -108 l
| -- 
(-9) ' Gt2): (+12)'(-9)
(+12).(-9) : -108 J
Essa é a propriedade
comwativa.
6l
Tabuleiro (III)
X -7 -2 a-J -4 -5 -6
-1 +1 +2 +3 +4 +5 +6
-2 +2 +4 +6 +8 +10 +72
-3 +3 +6 +9 +72 +15 +18
-4 +4 +8 +72 +16 +20 +24
-5 +5 +10 +15 +20 +25 +30
-6 +6 +12 +18 +24 +30 +36
) Associando-se os fatores de maneiras diferentes, obtém-se o mesmo produto.
Exemplo:
%o) 
'(+5) : -4oo 
Essaéapropriedade
associafiva'
(-10) (*911l+5) : (-10) ' (+40) : -400r- t
Então:
t(-10) . (+8)l . (+5) : (-10) 't(+8) '(+5)l
) 0 número +1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros.
Exemplos:
t (+8) ' (+1) : (+1) ' (+8) : *8 Essaé apropriedade
de exístência do
2 (-10) .(+1) :1+1).(-10) : -10 elemento neutro'
) Para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar o número por
cada uma das parcelas e adicionar, a seguir, os resultados obtidos.
Essa é aProPriedade
distributiva'
: (+6) .(+3) + (+6) .(-5) : (+18) + (-30) : 18 - 30: -12
2 (-9) .(-3 + 7):(-9).(-3) + (-9) .1+7):(+27) + (-63) :-t27 - 63: -36v
Lxpra*óqg nwt^íricag
Maria, Maíra e Miara participam de uma gincana. Elas devem obter o valor numérico da expres-
são que está no cartão que cada uma sorteou. Veja como elas fizeram:
Exemplos:
1 (+6) . t(+3) + (-5)l
t2 - (-3). (-5) :
: 12 - (+15) :
:12-15:
2
--J
20 + 3.(-4) - 2.(-il:: 20 + e12l - (-10) ::20-12+10:
:30 - 12:: *18
5.(-3) - (-3) .(+6) :
: (-15) - (__18) :
: -15 + 18:
-r2
5. ?, 12 - (-3) .(-5)
62
xe.rclclos
L Calcule:
a) (+8) . (-9) 12
b) (-6)'(-5) -30
c) (+7). (+4) +28
d) (+9) . (+7) ,63
e) (-8) . (+6) 48
0 (+5).(-11) -ss
g) 0'(+13) o
h) (-6) .(-1s)
i) (+3) .(+21)
j) (-8) .o o
l) (-11) .(-21)
m)(-20) - (+17)
n) (+77)-(+77)
o) (-s) '(-32)
+'108
+63
+231
-340
+289
+ 160
2 Encontre o valor numérico das expressões:
a) (-7).(+11) .(-2) 184
b) (-9)'(-5)'(-3) ,sb
c) (-12) .(-6) . (+3) +216
d) (-9) '(-9) ' (-4) ' (-1) ]324
e) (-8) ' (+10) ' (+7) . (+» 112a
0 (-8) ' (+6) '0'(-11) o
Quais são essas multiplicações?
(+ 1) í+20); (- 1) ( 20); (+2) (+ 10); (-2) ( I0), (+4) . (+5)j (-4) ( 5)
4 Mostre que:
a) (-7). [(+6) . (-5)] : l(-7). (+6)l . (-5)
b) (-9). (+s) : (+5) '(-e)
5 Calcule o valor da expressáo -7 . (+6 - 8)
de duas maneiras diferentes.7 (+6-B) :-7 (2)-+14ou
-7.('6 8) - 7 (+6) +(7) (8) :-42+56:14
6 Use a propriedade distributiva da multipli-
cação para calcular -5 . (-B + 5).(-5) (-8) r (-5) (+5) - +40 - ?5:15
7 Sernrealizar a operação, determine o núme-
ro inteiro que devemos colocar no lugar do nú-
mero Í para que se tenha:
a) x' (-16) : -1.6 +1
b)x.(-5):(-5).(+9) +e
c) x'(-$):9 o
d)x.(+1):+11 -11
Encontrei seis
multiplicoções de dois
númaros inteiros em que
o resultodo dó +?O.
63
€B Calcule o valor de cada uma das seguintes
expressões numéricas:
a) 81 + (-20) .(+4) ,-l
b) (-4) '(-7) - 30 -2
c) -23 - (-6) . (+3) b
d) (-e) ' (+6) - (+2)-(-27) o
e) 19 - (-4) . (+5) +3e
Í) 7'(-3)-9'(-6) +11 .(-2) +11
d (+5) . (+11) - 37 - (-2) -(+14) +46
h) 18 - 3'(-7) + 9 .(-4) - 20 17
€) Qual é o número inteiro que se deve colocar
no lugar de x para que sejam verdadeiras as
igualdades?
a) x' (+2) : -6 -3
b) (-5) 'x : *50 -10
c) x' (-5) : -10 +2
LO Substitua cada letra pelo respectivo núme-
ro para determinar o valor de:
a) 2x l- 5y, quando x : *7 e y : -2 +4
b) xy t 2x, quandox: -6ey: -3 +6
c) 3a - 7b, quando a : *8 eb : -7 +73
d) 2a + 5b - 10, quando a : *10 eb : -2 o
e) 3a - 5b -l4c,quando à: -7,b: -1 ec: -1 z
0 fO-a*ab-2b,quandoa: -1 eb: i-3+z
L L Antônio e Daniela adoram se desafiar. Dê
você a resposta de cada um.
Digo guois os dois
números inteiros
negotivos cujo
somoé-5ecujo
produto é +ó.
E guais os dois
nÚmeros inteiros,
um positivo e outro
negotivo, cujo somo
á+3eoproduto
é, -1O? +B e -2
"Deuolue" os oalores
acumulados na
memória
(Memory recall)
Apaga o que estd
guardado na memória
(Memory clear)
Aprendendo a maníPular a mem ória
Veja o significado de algumas teclas:
Armazena um número do
aisor para ser :;ubtraído
Armazenn um número do
oisor paraser ndicionado
Exemplo:
Bete foi ao supermercado e levou R$ 20,00.
Veja a lista de compras:
Produto
1 pacote de arroz
1 pacote de feijão
2 kg de carne
1 pacote de café
1 pacote de açúcar
Preço unitário (R$)
7,00
2,00
6,00
4,00
1,00
Bete precisa saber se o dinheiro é suficiente para pagar a despesa.
Na calculadora de Bete os cálculos ficaram assim:
Tecla
2
0
M
7
Visor Tecla
X
2
+
4
+
1
M
MR
Visor
2
20
20
7
7
2
9
9
6
+
2
M
6
M
M
M
M
M
M
M
6
2
12
4
16
1
17
'7
6
M
M
M
M
M
M
M
M
M
No visor, significa -6.Logo, faltarão R$ 6,00 para Bete Pagar a sua cortPra.
64
t íü
E
z
!
-t
§
oo
.so
a
Beto levou R$ 50,00 para comprar o material escolar da sua lista.
ft".,. ácow, \/""a
Produto
1 régua de 30 cm
5 cadernos
1 caixa de lápis de cor
1 pacote de sulfite
4 canetas esferográficas
Preço unitário (R$)
2,00
6,00
5,00
7,00
1,00
Conseguirá Beto pagar a sua compra?
Para saber, use a calculadora e os
recursos que você acabou de aprender.
lzDivigâ o de niunqro5 intei ro5
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40:5:8, pois 5.8:40
36:9:4, pois 9.4:36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros.
Veja os cálculos em cada cartão:
(+20) : (+5)
(+20) : (+5) : q -------+ (+5) .q : (+20) ---------- q : (+4)
Logo: (+20) : (+5) : *4
(+20) : (-5)
(+20) :(-5) :Q -* (-5) .q:(+20)
Logo: (+20) . (-5) : -4
(-20) : (+5)
(-2q:(+5) :Q - 1+5) 'q:(-20) ' q:(-4)
Logo: (-2q: (+5) : -4
(-20\: (-5)
(-20l, :(-5) :q (-5) .q:(-20)
Logo: (-20): (-5) : i4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número
inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do
divisor. Daí:
- q:(-4)
- q:(+4)
65
Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o
positivo.
Quando o dividendo e o divisor têm sinats diferentes,
negativo.
quociente é um número inteiro
o quociente é um número inteiro
A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z.
Por exemplo, (+9) : (-2) ou (-20) : e7) são divisões que não podem ser realizadâs reÍIt Z, pois o
resultado não é um número inteiro.
No conjunto Z, a diuisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência
do elemento neutro.
efetuamos a divisão e a multiplicacão
eliminamos os parênteses
L A divisao exata de um número inteiro posi-
tivo por um número inteiro negativo dá um nú-
mero inteiro positivo ou negativo? nesativo
2 Numa divisão exata de números inteiros, os
dois números possuem o mesmo sinal. Essa di-
visão dá como resultado um número inteiro
positivo ou negativo? positivo
3 Quanto dá a divisão de zero por um número
:*"X 
negativo? E por um número positivo?
4 Entre as divisões:
(+e) : (-9) (-3) : (-2) 0 : (+5)
(+11) : (+s) G7) :0
quais podem ser efetuadas no conjunto Z?
(+9) :(_9); 0:(+5); (_2) :(+1)
5 Qual o valor de r na divisão x : (-B) -- +2?
- lt)
6 Sabendo-se que y + 0e quex :'f : -1,você
pode dizer qlrc x. e y são números inteiros opostos?
Observe os seguintes exemplos, onde trabalhamos com expressões numéricas sirnples:
Qual o valor da expressão numérica 10 - (-8) : G4)?
10 _ (_8) : (+4) :
: 10 - (-2): efetuamosadivisão
: l0 + 2 : eliminamos os parênteses
: *12
2 Calcularovalorda expressão numérica 5 + 12: (-21- 3.(-1).
5-6+3:
+2
xarclcl05
66
7 Calcuúe:
a) (-9) : (+3) -3 il (-65)
b) (-11) : (-11) +1 j) (-90)
c) (+21) : (+7) +3 t) (+64)
d) (+36) | (-4) -s m)(-39)
e)0:(+20) o n)(+96)
f) (-31) : (+31) -1 o) (-200)
d (+45) : (-3) -15 p) G63)
h) (+52) : (+2) +26 q) (+81)
LO Quanto dá a divisão a : b, quando:
a) a e b são números inteiros iguais, diferentes
de zero? +1
b) a e b são números inteiros opostos? -1
L L Calcule o valor de cada expressão numérica:
a) 31 + (-40) : (+2) +li
b) -10 - 29 : (+4) -15
c) (+30) : (-6) + (-18) : (+3) -r1
d) 7 : (-7) + 2- (-6) + 71 -2
e) (-36):(-4) +3'(-3) o
f) 35 - 6' (+6) + (+54) : (-6) -10
g) 2+ (-75) : (-5) -4' (-1) +21
L2 Escreva o número que dividido por -6 dâ
como quociente:
a) *2 -tz b) +1 6 c) -4 +z+ d) -10 *oo
(-5) +13
(+6) 1s
(+16) +4
(-13) +3
(-24) -4
: (+25) -8
(+21) +3
(-27) -3
€l Mostre que
(-20 + 45) : (-5) : (-20): (-5) + (+45) : (-5).
€) Mostre que
t(-16) : (-4)l : (-4) + (-16) : [(-4) : (-4)].
13 Potqnciaçao da- ninnqro5 intei ro5
Já definimos para os números naturais que:
àn : â' a' a' a' ...' a, COma C N e n > 1.
n fatores
A mesma definição será usada para os números inteiros, ou seja:
Dados dois números inteiros a e n, com n > 1, a expressão an representa um produto de n
fatores iguais a a.
Quando tratamos da potenciação de números inteiros, sendo a base um número inteiro positivo
ou negativo, temos dois casos a considerar.
le caso: 0 expoente é um número par.
0bserve:
I (+2)2 :1+2).(+2): t4
| ' a potência é um número posi[tvo
2 ?2)2 : (-2) .?2): +4
I ' a potência é um número positivo
.a
67
ft2)4 : ft2). (+2). ft2).ft2): *16
4 e2r : F2) .e2) . (-2).(-2):
I r apotênciaéumnúmeropositivo
+16
I , a potência é um número positivo
Exemplos:
(+12)2 : +144
2e caso: 0 expoente é um número ímpar.
0bserve:
1 (+2)3 :1+2).(+2) .(+2):
(-10)4 : +10 000
+8
t-> a potência tem o mesmo sinal da base
-8
a potência tem o mesmo sinal da base
Quando o expoente é um número par, a potência é sempre um número inteiro prositivo.
2 (-2)3 : (-2) .e2l .(_2) :
3 (+2)5 :1+2) .G2) .G2) .(+2) .(+2) : +32
4 (-2)5 : (-2).(-2) .(-2).(-2).(-2):
IL-> a potência tem o mesmo sinal da base
-32
IL- a potência tem o mesmo sinal da base
Quando o expoente é um número ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base.
Exemplos:
(+7)3 : +343
E importante observar que:
(-2)7 : -128
Para todo número inteiro a, definimos â1 : â.
Exemplos:
I (+9)1 : *9 2 (-g)1 : -g
Exe
I
Para todo número inteiro a, com a + O, definimos a0 : 1.
mplos:
(+9)o : 1 2 (-8;o :
ó8
Vejamos, a seguir, as propriedades da potenciação no conjunto Z:
) Produto de potências de mesma base.
Exemplos:
) Quociente de potências de mesma base,
Exemplos:
1 (+6)5 : (+6)2:1+6)5-z:1+6)3
(+5)3 . (+5)6 : 1+5)3*6 : (+5)e
F2)4 .{.2]16 .F2)5 : (-2\4* 6+5 - F2)15
) Potência de uma potência.
Exemplos:
1 t(+10)215 : (+10)2'5 : 1+10)10
2 t(-8)31'z : (-B)3 2 : (-8)6
) Potência de um produto (ou de um quociente).
Exemplos:
I t(+6) . (-5)12 : 1+6)2. (-5)2
1
2
2 (-10)8 : (-10)3 : (-10)8-3 : (-10)5 2 t(-10) : G2)13: (-10)3 : (+2)3
0bservação
As expressões (-2)2 e -22 são diferentes.
(-2)2 representa o quadrado do número -2 e FAz : (-2) ' (-2) : *4.
-22 representa o oposto do quadrado do número 2 e -22 : -(2 ' 2) : -4.
Observe os exemplos:
efetuamos as potenciaçôes
efetuamos as muÍtipíicaÇões e divisões
eliminamos os parênteses
,50q5 nwlvanca5 5l
1 Determinar o valor da expressão numérica (-3)2 - F2)3.
(-3)2 - F2)3 :
: (+9) - (-8) : -------------+> efetuamos aspotenciaÇões
:*9+8: eliminamososparênteses
: -lt7
2 Calcular o valor da expressão numérica3'F2)2 + (-36) : (-3)2.
3.F2)2 + (-36) : (-3)2 :
:3'(+4) +(-36) :(+9) : 
-----+= (+12) + (-4) :
:*12-4:
:*8
3 Qual éovalornuméricodaexpressãox3 - 2x2 + 5x + 4,quandox: -1?
x3-2x2+5x+4:
: (-1)3 - 2.(-1)'+ 5 .(-1) + 4: --------------> substituímos aletrapelovalordado
: (-1) - 2.(+1) + 5 .(-1) + 4: ----------------
:(-1) -(+2) +(-5) +4:
:-1 -2-5+4:-4
Se o número x é inteiro negativo, o número
será inteiro positivo ou negativo? Êos i vo
Sabe-se que o número a é inteiro negativo. O
mero expresso por a" será inteiro positivo ou
negativo? iresar vo
3 Calcule:
a) o quadrado de -17 -1tit : +2Be
o quadrado de +40 - iÍ) . r .oLl
o cubo de -30 3or 2r r,rco
efetuamos as potenciações
efetuamos as mulilplicações
eliminamos os parênteses
5 Sabendo que a : (-1)'oo e b =, (-1)101, cal-
cule o valor de:
a)a*b o b)a-b -z
(6 Reduza a uma só potência:
a) (-8)s . (-8) . (-8)4 (-g)',
b) lG»\2 \.zi'
c) (-f O)e : (-10)6 ( ro).
d) (+9)'(+9)" ' (+9)B (+e)'o
e) (-13)20 : (-13)1a (-r3)u
0 t(+A4la 67t 2
g) (+10)5.(+10).(+10)B r-ror .
h) (+zO)7 : 1+20)6 \-20)
7 Aplicando aspropriedades das potências de
mesma base, calcule o valor da exprsssfo;
ú ÍGa)?.(-4)10.(-4)l : [(-4)812 -16
b) tç2)\2 : K-2)6 .e»2 .e2)l 8
€! Calcule o valor das expressões ,numéricas:
a) e»2 - 1+5) . (+16) +1
D G»4 : 916).(-D7 1
c) (-6)2 - (-n2 + 1go 12
d) s2 - (-g)3 + (-+)2 +68
e) 4'(-S)3+(-20)' -,oo
Í) tt2 - 4. (-s)2 + 1oo +22
g) 17 - 3'(-2)2 - GO2 .eD7 -41
h)7'(-»2 -5.(-2)3 -702 -32
d)
s)
4 Calcule:
a) (+9)2 +81
D e»2 +8r
c) (+g)3 +t2s
ü G»3 -t2s
e) (+2)s +32
D e»5 32
g) (-r)10 +1
h) (-3)4 +81
(-5)4 : +625
+3)5 : +243
i) e7)3 343
) (-100)0 +T
I) (- 1)101 -1
Ín)(-2il2 +625
n) (+10)6 + j ooo ooo
o) (-1)e -1
p) (-t)2oo +l
q) (+t)ee +1
l+ Raiz Wo,4rci4o exata da-
rttü/,Aar95 tírtalro5
Considere as seguintes situacões:
l! Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 76?
0s números são +4 ou -4, pois
G4l2 : *16
Fq)2 : *16
22 Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 81?
I G9\2 : *81
0s números são +9 ou -9, poi, ]
I t-ot' : *81
Raiz quadrada exata de um número inteiro é também um número inteiro que, elevado ao
quadrado, dá o número inicial.
Entã0, podemos dizer que:
) Araiz quadrada de 16 é +4 ou -4.
) Araiz quadrada de 81 é +9 ou -9.
Como, em Matemática, uma operacão (como a raiz quadrada) não pode apresentar dois resulta-
dos diferentes, fica definido que:
)Araizquadrada de 16 é o número positivo +4. lndica-se: .,Ii6 : *4
) Araizquadrada de 81 é o número positivo +9. Indica-se: ",,81 : *9
Eclaroqueexisteoopostodonúmero ",,T6, queé -rT6. Então: -rlT6 : -(+4) : -4
Omesmoocorrecomonúmero rEl , cujoopostoé -J81 . Então: -rE1 : -(+9) : -9
A nao-uigtância da raiz uladrada qA^ L
Considere as seguintes situações:
_1Ê Qual é o número inteiro que representa a raiz quadrada de 20?
Observamos que o número inteiro 20 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 42 : 16
e52 :25.
Como nãohá nenhum número inteiro entre 4 e 5, podemos concluir gue não é possível obter a
"t20 no conlunto z.
71
22 Qual é o número rnteiro que elevado ao quadrado dá -25?
Sabemos que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Portanto, os núnneros negati-
vos não podem representar quadrados de nenhum número inteiro.
lsso significa que os números inteiros negativos não têm raiz quadrada em Z, ou s[a, k5
não existe no conjunto Z.
L Qual é o número inteiro, se existir, que re-
presenta araiz quadrada de:
a) 25? s b) 64? e c) -8L? d) 1? 1
Não existe
2 Entre os números a seguir, quais não são nú-
meros inteiros? r3i e r8o
4 Pela definição, calcule:
a) r,Eoo 2c c) - r,D sotl -50
b) --vDoo -30 ü "{1,44 12
5 O número p representa o valor r1a expressão
1 - (- J1OO I. Qual é o número p?' 11
(6 Sendox: J81 | (4 - 52),qualé!ovalordex?
1
e algum número inteiro qrLe representa
Justifique. -áo
calculamos o interior dos parêntes;es
efetuamos as potenciacões
efetuamos as diyisões e multiplicacões
eliminamos os parênteses
calculamos o interior dos colchetes
eliminamos os colchetes
&z xG4
3 Determine o valor de:
a) ^lzo 6 c)./T00 otD-n64 -B ü-"149 1
I 5 Lxp r zttóqt ruAníriu*E
Já aprendemos a calcular o valor de expressões numéricas simples. Veremos , agora, como
calcular o valor numérico de expressões numéricas mais complexas,
Convém lembrar que as operaÇões devem ser efetuadas na seguinte ordem: primeiro as
potenciações, depois as divisões e multiplicacões e, finalmente, a adição algébrica.
Além disso, devemos respeitar a eliminação dos sinais de pontuação (parênteses, colchetes e
chaves), comecando sempre pelo mais interno.
Vamos calcularovalorda expressão numérica (-5 + 2)2 : (-9) - 12.(-4 - 2) - (-1)3.(-5 + 8)1.
(-5 + 2)2 : (-9) - 12. (-4 - 2l - e1)3. (-5 + 8)l
: (-3)2 : (-9) - 12. (-6) - (-1)3 . 1+3)l : #
: (+9) : (-9) - 12. (-6) - (-1) .(+3)l : -------------->
: (-1) - t(-12) - (-3)J :: -1 - t-12 + 3l:
-1 - t-9I
-1 + 9:
+8
72
Calcule o valor de cada expressão numérica: /,
a) (-7 -4).(-9+2) -(-72+ 2):(-5 -5) + (-9-4+6) +63 ./
b) (-9-3): (-r +7)-t10-(-+-3).(-5+4)+ (-36): (-1 -3)l -14
c) (-1 -4). (-10+ 16) - [(-8) : (+2) -7 - (-1). (+5)] -24
d)(-50):(-5-5)-t20 +(-42):(+7)-(-35): (-1 -4)l -, 
u
e) (-6)2 : (-12) - (-3)3 + (-2)5 : (-4)2 - 50 +21
fl (-z- 3)2 : 1-25) + [30 - (-10 + o)2 : (-z)3 -s2l *u /
fr*ando 
o qwQ- açtrandeu
L Qual é o simétrico da diferença entre os nú-
meros inteiros (-3) e (-1)? ft2t
22 Por qual número inteiro você deve dividir
*8 para obter como resultado o número -1?
-8
3B Qual é o número que devo adicionar a t8
para obter -2? -10
4l- O número inteiro x representa a diferença
entre o quadrado do número -1 e o cubo do
número -1. Qual é o número r? +Z
5 Um termômetro marcava f 5 graus pela ma-
nhã. À tarde, a temperatura chegóu a :2 grars.
De quantos graus a temperatura baixou? 7 s,"u,
Fltre as potências (*2)s, (-6)2, -92, (-2)3 e
1)tu, quais representam números inteiros po-
sitivos? G215 : lsr, (-6)2 : +36; (-1)'o : +1
7 Qlual é o número / que, multiplicado pelo
quadrado do número -10, resulta -300? -3
€B Quantos elementos do conjunto
A:{x€Zl-4<x<*3}
pertencem ao conjunto Z-,isto é, são números
inteiros não positivos? 5 elementos
€) Quantas das sentenças a seguir são verda-
Em qual das duas cidades a temperatura estava
mais alta?
Na cidade de Dim tr, po s 'l 5 > 21
Se o número x representa o valor da ex-
ão numérica -50 l go - (-4)0, calcule o
valor de:
a)x2 !l
L 2 Sabendo-se que o número x representa o va-
lorde2 - (-g + 5) - [-1 + (-3 + 4) - (-2- 6)1,
quanto vale:
a) o dobro do número x? - T6
b) o quadrado do número r? t64
Calcule o valor da expressão numérica
'1,-g + (-3)31 : eil2: -36
b)xs 1
Vossili. Chego
omonhã à torde.
Como estó o
temperoturo?
Aguí estrí quinze
grous negotivos,
Dimitrí.
Tudo bem! Agui
estomos com vinte
e sete grous
negotivosl
u) -2n : (-2)4
(-
73
,) -20 : (-2)o
L4 Qual é a diferença entre o valor da expres-
são (-2)3 - (-8) : (-2)e o resultado da multipli-
cação e».eD ' (+1) . (-2).(-1). (+2)'(-2)?
+4
Se você simplificar a expressão
'o : (-5)"1 .i(-s)" ' 1-5)'ol, qual é o nú-
mero inteiro que você vai obter? +625
Sabe-se que o número x representa o va-
expressão -(-3)' - (2')" enquanto o nú-
mero u representa o valor da expressão
(-2)3"- (_gf - (-5)0 + (-»t. Nessas condi-
ções, calcule o produto xy. 74
L7 D:uas equipes, A eB, disputam 100 parti-
das de um certo jogo. Cada vez que a equipe Á
vence uma partida, recebe 20 Íichas de B, e cada
vez que B vence, recebe 30 fichas de Á. Se a equi-
pe Á vencer 51 partidas, quantas fichas ela terá,
em relação aB, a mais ou a menosr?
Terá 450 Íichas a menos
L€] Eliminando parênteses e colchetes, escre-
va da forma mais simples possíverl a expressão
3x - (-2x +7x) - [10x + (-+x - Zx) - (-7x+ l0x)].
-3x
QuaI é o valor numérico da expressão
a2x2, qttando a : 10 ex : 2't, -2oo
Determine o valor numérico,da expressão
b - c)3 quando a: -3,b : t1 e c : *5.
+37
AnalÍsando gráficos
1. O gráfico mostra os lucros ou prejuízos, em cada mês do ano de 2001,
dafábrica de brinquedos do Sr. Reinaldo.
32
30
26
15
10
0
-5
-10
-20
De acordo com esse gráfico, responda:
a) Em que meses a fábrica teve lucro? E prejuízo? [1!;lll jLii"l;§:i}:':;:l;bro' 
novembro e
b) Em que mês o lucro foi maior? novembro
c) Quais meses apresentaram lucro zero? abr l e junho
d) A soma dos valores absolutos correspondentes aos meses de lucro é maior que a dos
prejuízos? Quanto? stm; R$ 143 ooo,oo
lucro (em milhares de reais)
jan fev mar abr
jul ago set out nov dez
74
, Estocolmo é uma das capitais mais belas da Escandinávia. Se observarmos sua localização em um
maPa/ veremos que a capital sueca é formada por várias ilhas que ficam em águas árticas
geladas.
Observe o gráfico com as temperaturas médias anuais em Estocolmo:
t ('c)
abr mai set out
a) Quais grandezas estão representadas nos eixos horizontal e vertical? tempo e remperatura
b) Em que mês a temperatura média é:
maior? 1u no menof? janeiro e Íevereiro
c) A temperatura média de dezembro é maior ou menor que a de fevereiro? maior
d) De quanto variou a temperatura:
de abril para maio? 6 (aumenro de6'c) de dezembro para janeiro? 3 (queda de 3'c)
e) Qual é a média de temperatura:
no 1q semestre? :s,o.c
o
v
ol
,gJ
I
E
I
18
11
15
12
10
7
4
3
0
-1
-3
no 2e semestre? g,s.c
75
I
I
1----
I
I
I
I
I
-1 ____
I
I
I
I
-1 ____
I
I
I
T
F
wnto do5
Vttor e Helena esl,ào partinào àe Lages, no eelaào de àantat
Catarina, ?ara a?roveiiar um fim àe âemana àe inverno e ver a neve
que caiu na cidaàe àe 5ào Joaquim, a76 quilômetroe àe Laqee,
,r, 
n
ri
ll
Fr .
'l
Como está friol
O termômelro marca
uma lem?eratura enlre
le2grauspoeitivoo.
Lages - SC
-
ntü/i.Aqr05
aa
fClrClOnC^15
!
,s
o
.9
B
Uma hora àepoie,Vttor e Helena jâ
ealào em 5ào Joaquim, onàe o
term\m etro maraa uma temperalura
entre 1 e 2 graus negativoo,
Aqui estâ
mais frio que
em Lagee,
Aviagem foi
rápiàa.
São Joaquim - SC
No tarmôm elro da ciàaàe àe Lagee, a aoluna àe mercúrio marcava uma lemperatura
entre 1 grau e 2 graue, ou oeja, entre +1 grau e +2 graus. ?ara âermog maio exatoo, a
coluna àe mercúrio maraava í, . *) grau acima àe zero, ou eeja, +1,5 grau.\ 10 )-
No termôm etro da ciàaàe de 5ào Joaquim, a aoluna de meraúrio eelá marcanào uma
temperatura entre 1 gnu abaixo àe zero e 2 grauo abaixo de zero, ou seja, enlre -1 Orau e
-2 graue, ?am sermoe mais exaloo, a aoluna de mercúrio eetâ maraanao ( -l - 5 \\ 10 )0-u
abaixo àe zero, ou eeja,-1,5 grau,
Nos àoie caeoo, uoamoe um número racional para inàicar a temperaturaz
. o número raaional pooitivo *1+ ou +1,5'10
, o número racional neqalivo -1+ ou -1,5-10
Neeta Uniàade, vamoo ampliar nooeoâ aonhecimentoe eobre oo númeroe raaionais,
*
:
.n
,n
=o
:''
--Z
lLO conj wnlo dw ninnqro5 racionat5^
O conjunto formado pelos números que podem ser escritos como o quociente de Cois números
inteiros, com divisor diferente de zero, é denominado conjunto dos números racionais e é representa-
do pela letra Q (vem da palavra quociente).
Então:
Plodr;l,o ow valor ahEolttlo dre wA^ nín^qro rc.cional,
A exemplo do que vimos no conjunto dos números inteiros, temos:
) O modulo ou valor absoluto do número + 5 e 5 .v'3 " 3
51 5-T- I3l S
) 0 módulo ou valor absoluto do número
3-7lndica-se:
) 0 módulo ou valor absoluto do número -2,63 é 2,63.
lndica-se: | -2,631 : 2,63
Quando dois números racionais de sinais contrários têm o
lndica-se:
-3á37" 7
_3
7
opostos ou simétricos.
78
mesmo módulo, siáo chamados
OsaonjuntosNeZsào
eubaonjuntos àeQ.
N eetâ conlido em Z e
Z estâ contiào em Q,
* 2 o- 23" 3
-3,5 e +3,5
75e25
L O conjunto N é um subconjunto de e, isto é,
N está contido em Q. Isso é verdade? sim
2 Escreva a quais conjuntos (N, Z, Q) perten-
++a
-1,5 a
3 É correto afirmar que o zero é um número
racional? sim
4 Entre os elementos do conjunto
la. 1)l
t-t' -1' -;' o' t' 5j' indique quais Per-
tencem ao conjunto:
a) N o,s b)Z -1,0,b c) Q tooos
5 Entre os elementos do conjunto dado no exer-
cício anteriol, quais deles são números racionais
não negativos? o, í,u
(Ei Usando os símbolos C (pertence) ou É (não
pertence), dê a relação entre:
cem os números:
a) -5 z,e c)
b)+7 N,z,q d)
a) -4eN +
b) -4eZ c
c) -4eQ €
L
d) +f eN é
4_e) + g ez_ e
f) *#"q €
g) +oetN €
h) +6eZ €
i) +6eQ €
l) -1,6eN e
l) -1.,6e2 e
rn)-1,6 e Q =
'1 litrode água completaapenas -4 dajarra Éfácil perceberque em '1
3
Quantos
litros
cabem?
Numa jarra cabe 1 litro de água e
ainda sobra * au jarra para completar3'
com água. Quantos litros de água cabem
nessa jarra?
1 litro
de água
79 da jarra cabe 0,5 litro de água Logo, na jarra toda cabe 1,5 litro de água
1
2
3
*0"
laÍÍa
l7 A rqla runníricaractonal,
Já estudamos que os números inteiros podem ser representados numa reta numérrica.
O mesmo ocorre com os números racionais relativos, como veremos nos exemplos a seguir:
I Representar na reta numérica o número racional . +
Sabemos que o número * * está localizado entre os números inteiros 0 e + 1. Entã0, vamosJ
dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considerar uma dessas partes a partir do ponto A, para a
direita.
õ
oÍ
L
ao
ou
0 ponto C chama-se imagem geométrica do número racional
do abscissa do ponto C.
2 Representar na reta numérica o número racional -0,7.
Vamos considerar que -0,7 : - + (forma fracionária).
entre os números inteiros -1 e 0. Então, vamos dividir o segmento
partes iguais:
1
0 número - lõ- está localizado
AD, que vai de -l até 0, em dez
1
I T
1+-
3
. 0 número é chama-
0pontoEéaimagemgeométricadonúmero -0,7. Onúmero -0,7 é aabscissadopontoE.
80
-z -Íl o
+
- L (-o,z)ro'
+1
3 Representar na reta numérica o número racional * 4.
4
Vamos escrever o número + -!! na forma mista: * 11 : +24.vr v rrurrrvrv | 
4 
rrv rvttrtu ttttslqr , 
4
Esse número está localizado entre os números inteiros +2 e +3. Entã0, vamos dividir o seg-
mento MN em 4 partes iguais:
0 ponto
ponto P.
P é a imagem geométrica do número .+. O número *+u a abscissa do
L Observando a reta numérica racional, indique:
SBARM
-l-l#
-2 -1 0+1+2+3
a) o ponto que corresponde ao número
* á (."., +) ponto F
b) Qual é a abscissa do ponto B? tr ^ l*
c) Qual é a imagem geométrica do número
* * (."* a f)z ponto D
d) Quat é a imagem geométriça do número
-* (* -r+), pon,oE
e) Qual é a abscissa do ponto.C? .+
3 Represente na reta numérica racional os pon-
tos: (Sugestão: faça segmentos de 3 cm.)
a) A, de abscissa *0,9 d) D, de abscissa -L,4
b) B, de abscissa - { e) R, de abscissa *35
c) C, de abscissa + f 0 S,deabscissa - f
4 Represente na reta numérica racional dois
pontos opostos ou simétricos em relaçáo à ori-
gem, dando a abscissa de cada ponto.
1
3
b) o número racional que corresponde ao ponto B
c) ional que corresponde ao ponto S
d) corresponde ao númer " * +
e) o ponto que corresponde ao número *3
ponto M
2 Observando a reta numérica racional, res-
ponda:
-'l# #-|4
-3-2-10+1+2+3+4
a) Qual é a abscissa do ponto Á? +2
8l
-5 -2 -1 +1 +2
+2
5
3
-=4
Saresp
Saresp é a sigla do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado
de São Paulo. Com um colega, resolva as questões a seguir.
1. (Saresp) Das comparações abaixo, qual é a verdadeira?
2. (Saresp) Joana e seu irmão estão representando uma corrida em uma estrada assinalada em
quilômetros, como nahgwa abaixo:
0
Partida
2km
]oana marcou as posições de dois corredores com os pontos Á e B. Esses pontos A e B
representam que os corredores já percorreram, respectivamente, em km:
a) 0,40 < 0,31 b) 1< J-
b) 0,25 
" +
1km
c) 0,4> + , d) 2> 7,9
c) )- e2,75 d) )- e2,38xa)0,5 "r+
53__+_
810
532512
-:
8i04040E
-25 +72 13
16 AdiEâ o alld,rtric;oo, da- níAnero5 racioyraiE-:
Para calcularmos a soma algébrica de dois ou mais números racionais, devemos aplicar os
conhecimentos já adquiridos até aqui.
Vamos considerar os seguintes exemplos:
1 Calcular
tronsformomos em
frações eguivalentes
gue tanhom o mesmo
denominodor.
encontror rl resultodo,
comum e odicionomos
algebricomente
82
carcurar -+ .2 - +.
7.,114363
96181818 18
Calcular -+ + 1,4.
Varnos inicialmente colocar 1,4 naforma tracionária: tI,4 :. i-#
Ã5t42542
Daí: -f -1,4: -á - it: -:ü - ií:
-14+36-3
-25 + 42
30
t7
30
4 Determinar o valor da expressão
t2
+-( +.+) .(-r.+)
+-[-+.+) *[-,*
113í5
:-I--rI-: 3246
4691210:___:12 t2 t2 t2 72
: 4+6-9-12+10 :_ 1
eliminamos os parênteses
tr ansf ormamos em frações
equivalentes que tenham o
mesmo denominador
l2
5 Calcular o valor da expressão 1,6 - e2,8) + [1,9 - (-5,6 + 8,1)].
1,6 - e2,8) + [1,9 - (-5,6 + 8,1)] :
6 Qual e ovalor numérico da expressãoa - b - c, quando à: t!,0: -2ecJ
a-b-c-
: (.+) -ç2)- (.+) : *! + 2 - + :
: 1,6 + 2,8 + [1,9 + 5,6 - 8,1] :
: 1,6 + 2,8+ 1,9 + 5,6 - 8,1 :
: *11,9 - 8,1 : t3,8
eliminamos os parênteses
eliminamos os colchetes
substituímos cada letra
pelo valor dado
66666
83
2
De quantos graus aumenta a temperatura quando ela passa de -12,7 grauspara -2,5 graus?
Para sabermos de quantos graus a temperatura aumenta, devemos fazer:
t1 (temperatura final) - t, (temperatura inicial)
Sendo \: -2,5 graus e ti : -12,7 graus, então:(-2,5) - (-12,7) : -2,5 + 12,7 : 10,2 graus
j)
_f + O,O _à
75,
7264
-0,48 - 1,6 -z,aa
.)
*+1,2 *]
-7 -7 174612
2 Calcule o valor de:
,2 5 1
-U-0,7+2-4. --e-424
c) 1 - 0,47 - 1,9 + 0,63 0,74
u)-+*+-,*+ +
,4 5 2 3ôt 
- 
_r='963'2
3 Qual é o aumento da temperatura quando
ela passa de:
a) * 11,8 graus para -123,5 graus? r r 7 sraus
b) -8,5 graus para f 1,5 gra,a.? lcsraus
4 Sabendo que x : - ! "t : - +,deter-
mine o valor da expressão:
a)x*y ', c)1-x+y -b)x-y -:)
5 Numa reta numérica, um porLto á está si-
tuado a -1.0,75 m de um ponto P, e um ponto B,
tomado sobre a mesma reta, está a *13,65 m de
P. Qual é a distância do ponto Á ao ponto B?
2i r0 .,
6 Dados a: -1,75,b : 13,6 e c: -4,21,, de-
termineovalordaexpressãoa - b * c. J5ô
7 Dwante o dia, os termômetros de uma cida-
de registraram 12,5 graus. Durantre a madruga-
da, a temperatura desceu 4 graus. Q,ual foi a tem-
peratura registrada pelos termômetros durante
a madrugada? i :, s,:-,
€i Calcule o valor da expressão numérica
+ * (-, * +)- (-++ 1,5) - o,s :
s)
h)
i)
e)
Calcule:
4 _2 _2
93e
37n
-+- 
+-
488
+0.4-+ -+'55
-3 + 2,35 o,6b
7 _5 _4
53ls
84
I
Cruzadas com números racÍonaÍs
Desenhe a cruzadinha no caderno,
substituindo or 9 por números que tornem
as igualdades verdadeiras.
No final, escreva os números fracionários
na forma decimal e confira os cálculos usando a
calculadora. Discuta com os colegas como o uso
da tecla de memória pode ajudá-los.
+ 1
2
3
4
+ + +
+
14
\12
11
12
+ 9
1
23
12
11Mrí,ti plicaçao d,a- ninnqro5 racio 
^c^15
Consideremos os seguintes exemplos:
/ L).f- 3 )1 carcura, [_ã ) l.; ) 
r
Calculamos o produto dos modulo t, + . + :++ : +
t
1
t-+) (.+):-+
3
2 catcutar (-0,7) (-+)
Como os dois fatores têm
sinais diferentes, o produto é
um número negativo.
11
Calculamos o produto dos modulos: 0,7 -!- :4 é-: +14 l4 1,4 4
(-0,7) t-+) :(-#) l#):*f
85
Calcular (+2,8) . (-3,7).
Calculamos o produto dos modulos:
Como os dois fatores 
têm
,iiãi, oittt.ntes' o Produto 
é
um nÚmero negatNo'
10,36 
- 
1 + 1 : 2 casas decimais;
(+2,8) '(-3,7) :-10,36
4 Determinar o varor da expressão (-+) Í2,1) - (.+) ( +)
:(-+) -(-+
3,7 ----- 1 casa decimal
x 2,8 ------------) 1 casa decimal
(
)
296
74+
: ---------------- efetuamosasmulttplicações
-27 +25
3o
eliminamos os parênteses
_ 2 __ 130 15
5 Qual e o valor numérico da expressão 2x - 3y quando x
2x-3y:
:'(-+) -s
- 
substituindo as letras pelos valores dados
:-+êY: -lt
,3 18 6:----:6t212
-18+6:_12 1
n - - 12 == -r
L Vamos calcular:
, (.+) (-+) ,T
b)(-4) (-+) .+
.,(.+) (.+) +
-1
4
-9,60
3
2 Calcule:
a)(-2) (-+) (-+)
', (-+) (.+) (-+) -27
c)(-1,5) (_r+) (.+)
d) (+1,2). (+6).(+0,65) +4,68
e) (-0,8) (-+). (-0,5) -+
3 Quanto dá:
a) o dobro d" -+iao ") oqradmplode +f
b) o triplo de *0,8?+2,+ d) o dobro de -6,5? re
4 Um mergulhador atingiu uma profundidade
de 6,25 m. Um segundo mergulhador atingiu
5 A cada quilômetro rodado, um carro conso-
me 0,12 ú, de combustível. Quantos litros esse
carro vai consumir, se percorrer 82,5 km? e,e {
6 Qual é o valor da expressão
(-5) '(-1,8) - (+7) .(+1,2)? +0,6
7 Dados x :
de 5x + 3y?
++,qualé o valor1----;- ê V :b'
1
12
") +-(.+) (+0,6) .+
o dobro dessa profundidade.
l]se um número racional
relativo para indi-
caraprofundida- _é-,
de atingida pelo
segundo mer- ,..v
gulhador.
-T2,50m
€B Vamos calcular o valor de cada uma das ex-
pressões numéricas:
,) + (-+) _', (.+)
b)7-5'(+1,5) -0,5
",(-+) (.+)-(.+) (-+)
o,+ (-+) -+ (-+) o
*+.*+
_1
4
observe: (.+) (.+) : *1
observe: (-4) (-+) : *1
'(+3) : *1
Íin
Z0 Diviga(7 da- ninnqro5 rorcio nc^i
Consideremos os números racionais:
-4e
+{e+3 0bserve:
Verificamos que existem pares de números racionais cujo produto é +1.
Assim podemos afirmar que:
Quando o produto de dois números racionais é + 1, um número é o inverso do outro.
Observe os pares de números considerados:
*+ . *+ + um é o inverso do outro.
---------------> um é o inverso do outro.
+{ e +S -----.------- um é o inverso do outro.
Vamos, agora, tratar da divisão de números racionais.
Exemplos:
carcurar(.+) (-+)
Como os números estão na forma fracionária, essa divisão pode ser representada pela multipli-
cação do primeiro pelo inverso do segundo, Assim, temos:
-Or-*
11
(.+) (-+) :(.+) lil:-+
32
Calcular (-9,25) : (-3,7),
Como os números estão escritos na forma decimal, devemos fazer:
x10
,---------.-.---*
(-9,251 : (-3,7) : (-92,5): (-37) : *2,5
----=. ____.-----,
x10
DUd
9 2,5
185
00
88
catcutar (+1,5) , (.+)
(+1,5) , í*a):\ -rY, 
\. 5)
: (.i+) '(.+) :
51
: (.#) (.+):*|
2L
7
4 Determinar o valor da express ao -fi,2
Como toda fração representa uma divisã0, temos:
7tl
:#: (-+), (.+) : (- +) (.+): -+'243
Determinar o varor da expressão (-4) (.+) ( +), (.+)
(-4) (.+) ( +)' (.+) :
:(-4) (.+) ( +) (.+):
214
:í-e)-í-r):I z] l. 4)
31
24
61
-l- 
-:
44
-6+1 _
4
__5
4
3
5
L Calcule:
u (.+\(-í) +o,
o,(.+)'(*#) 
.",*lr
"(-+),(-#) ,
6
2 Vamos calcular:
u1 1+2) : (-0,5) -+
b) (-2,1) : (-2,8) *o,ts
c) (+7,37) : (-1,7) -qs
d) (-0,18) : (*0,36) o,s
(-+)'(.+) +
(.+): ,2) .+
(-o):(.+) -T
6 Dada a expressão 2 - (+0,8) : (0,5), dê o seu
valor:
a) na forma fracionária +
b) na forma decimal -0,4
7 Umnímeroxétalque x: (*0,2): (-0,04) '-
- 3 ' (-1,6). Qual é o número x? a,Z
3 Calcule:
a) (+2) : (-10)
b) (-22): (-33)
e) (+0,66) : (*1,1) +o,o
f) (-30,4) : (t-4) -t a
g) (-7,44) : (-0,24)+a
1r1 (+6) : (-2,5) -z+
c) (+10) : (+25) -J-
d) (-30) : (+20) +
4 Determine o valor das expressões:
_1
5
2
3
_11
b) -1, i6
5 Determine o valor de cada uma das seguin-
tes expressões numéricas:
,,(-+),(.+) -"2),(-+)
o,(-'+) :(-2)-, (-+)
c) (-5,6) : (-2,8) - (+0,25) : (-0,5) +2,5
d)
e)
: (-0,5) * 
,
3
(-+)-(.+) (-+)
(-0,9) : (+7,2) _2,25
1. Marcos easta 3 do"7
salário parapagar a
prestação da casa. Com
a metade do qrre sobra
ele paga a pres,tação do
carro e ainda fica com R$ 276,00. Qual o
salário de Marcos?
B$ 966,00
2. (Saresp) Veja os preços das cópias xerox
numa papelaria:
Eu tinha R$ 10,00 e pedi duas cópias
coloridas de uma foto. Com o dinheiro
restante, quantas cópias simples poderei
pagar?
a) 1,8
b)6
c)8
,d) 1g
90
Zl Potqnciaçao da- nfuu.ero5 rlotonait
Dado um número racional a e um número inteiro n, com n > 1, define-se:
an:a.a-a...,.a
n fatores
A expressão a'chama-se potência do número racional a.
Veja os exemplos:
(+7)2 :1+71 .ft7): +49
(-5)3 : (-5) .(-5) '(-5) : -!25
1
2
3
4
5
r
an
L*
(-+)':(-+) (-+) :*f
í r)' í r) r 1) í r) I
l-T): [-z) l-z) t-z]: - 8
t_0,214 : F0,2).(-0,21 .F0,2\.(-0,21: +0,0016
Lembre-se de que:
Se o expoente é par, a é sempre um número positivo. Se o expoente é ímpar,
a potência tem sempre o
) Dado um número racional a, define-se que a1
1 (+8)1 : *8
( a \1 32 [.à] :*ií
[.#)':,
t_
5-- 9
: *2,7
1. Exemplos:
(-1,5)0:
) Dado um número racional a, com a * O, define-se QUe a0:
(-5)o : 1
91
Agora observe estes exemplos:
f Determinarovarornuméricodaexpressão (- +)' ( +) .(-+)'
(-+)'(-+) .(-+)':
1l
:(.+) ( +)-(.+) :
111t241
8428888
efetuando as potenciações
ef etu an do a multipli c aÇ ão
eliminando os parênteses
2
11
34
431:--:--t2 12 t2
Determinar o valor numérico de x3 -
x3-x2-x-
:(-+)'-(-+)'-(-+) :
:(-+) -(.+) -(-+) :
x2-X,quando*:- I
2
--------------+ substituindo a letra pelo valor dado
São válidas para o conjunto Q as seguintes propriedades:
) MuttipticaÇão de potências de mesma base. (-+)' (-+)': (-+)'.u : (-+)'
) Divisão de potências de mesma base. (.+)' ' (.+)' : (.+)'-': (.*)'
) potência de uma potência. l(-Zl')' - ( - 2 \'u - f- 2 )'oJurtr,,u,é. 
L[-T] I 
:[-=l :[-=J
n
Propried,ades
ta inteiro nqqativo
Vamos considerar os seguintes quocientes:
102:103 e 103:105
Ambos representam quocientes de potências de mesma base, com o expoente do dividendo
menor que o expoente do divisor.
Observe, agora:
Se aplicarmos a propriedade das potências, teremos:
102 : 103: 102-s: 10-1
Se considerarmos o quociente na forma de uma fracão, teremos:
102 : 103:10: : .,fr,=fr,. : 1,103 v0.v0.10 10
Se compararmos os resultados, temos que 10-1 : +, ou seja:
Para todo número racional a, com a + 0, temos que a
Veja os exemplos:
-1 : 1
a
t 2-1: +
2 (-9)-t :
.5
t-
2
__ 1
9
10
-9
Se aplicarmos a propriedade das potências, teremos:
103:105:103-s:10-2
Se considerarmos o quociente na forma de uma fração, teremos:
rn3 rn5 - 103 Y0'L0'L0 Iru_: ru-: ld 
:6: 
lO,
se compararmos os resultados, temos que 10-2 : # : (+)', ou seja:
Para todo número racional a, com a * O,temos que a-n : +: (+)'
93
3
4
Veja os exemplos:
3 (.+) ':
2 (-4)-3 :
(-4)3
Pelos exemplos dados, notamos que uma maneira prática de escrever uma potência com expo-
ente inteiro negativo é escrever o inverso da base e mudar o sinal do expoente.
Veja:
(-4)-3:(-+)'
r-) 1
O - - ------;-:
6'
L Escreva na forma de potência os seguintes
produtos:
, (.+) (.+) (.+) (.+)'
b) (-2,4)' (-2,+). (-2,4) - (-2,4). (-2,4) \-2,q)u
.,(-+) (-+) (-+)'
d) (+0,05). (+0,05). (+0,05) (+o,os)3
3 Indique e calcule:
a) oquadradodonU*"ro -f [-+)': -+
b) o cubo do número *0,8 (+0,813 = ;e,512
d) o quadrado de -2,5 -25, 62s
4 Sendo * : ( -f-) : (+2),calcule:^ ( 21
a) o quadrado do número r *
b) o cubo do número r -+
5 Determine o valor de cada uma das seguin-
tes expressões numéricas:
,,(-+)''(-+)
(+)':+
:(-+)':
:(.+)':++
(.+) ': (.+)'
2 Calcule:
,,(-+)' .+
o, (.+)' *i.
.,(-+)u *#
d) (-0,D3 -0,343
, (-+)' .,
0 (+0,9)3 +0,72s
', 
(.+)' **
h) (-4,2)2 +17,64
i) (-+)'
i) (+6,2)0 +l
1) (.+)'
m) (-+)"
b)
(_
[36
o3r' -ã
(_ ,4 )
[ '9,
(- , 1+5)2
t
c)
d)
e)
49+-
25
lb+- 13
5
o
100
94
+1
Sabendo-se que a : -2e b : -+,deter-
ne o valor numérico de: '
a) a3 -b3 -+ d a2 - ab *b2 *+
b) a3 -b2 -+
7 Considere o seguinte número:
,. : (-+) ' «- ,Y - (-+)' , Çz) euar é o
valor do número r? -+
Qual é o valor da expressão numérica
0,8) : (-9,2)' + (-Z,Z) : i O3)2? -10
9 Usando as propriedades de potências de
mesma base, transforme numa só potência as se-
guintes expressões:
. (-+)' (-+)r ( +)'
b) (+7,5)11 : (+7,s)8 (+7,5)3
., (*?)' (.+)' (.+)' (. )"
d) l(-4,7)512 -4,t)'a
e) (-0,02)7 . (-0,02)3. (-0,02) (-0,02),,
f) [[-+)'1' (-])"
f-O Vamos calcular:
a) 3-2 +
b) B-2 :-'04
c) (-4)-3 -+
d) (-10) ' *r#
10-3 +,
(.+)-'
(-+) '
(-+) '
(-+) '
I-2 Calcule as potências e dê as respostas na
forma decimal:
', (.+)- +1'44
b) 10-4 o,ooo r
L3 Calcule o valor de cada uma das seguin-
tes expressões numéricas:
, (, -*)-' ." , (+-+)-'.,,
o,(+-,) 
-.+
") 
2 ' 0,125
d) (-4)-1 o,2b
ar (z-+)-' .+
L4 Determine o valor da
. 2-3Ítcà^.2
4-z
expressão numé-
f)
g)
h)
,5+-
2
. 16
9
_8
27
e) (-9)-1
a) 0,01 io'
b) 0,00001 10 u
c) 0,001 ro-'
d) 0,000001 ro-'
_1
9 -31
L L Escreva na forma de potência com expo-
ente inteiro negativo:
Veja como
podemos escrever o
número 135 como uma
adição de potências:
135 72
I
I
1
,-2-3-1-JfC
I++
+9+725
135 10
I
1
ou
,^2-1- J
I
It
+9
+s3
I
+ 125
Com a ajuda da calculadora, pesquise
como escrever os números a seguir como
uma adição de potências:
a) 56 z'+ 33 + 52
b) 754 2'+ 33 + 53
c) 385 23+32+52+J3
d) 757 22+3a+52+12+92
Existem outras possibilidades de respostas
a
95
ZZRaiz yadrada a4ata da-
-
nWtlAArO5 rC^ClOnftJ5
Se um número representa um produto de dois fatores iguais, então cada fator é chamado raiz
quadrada exata do número.
Vejamos alguns exemplos:
L 4 representa o produto 2'2 ou22.
Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. lndica-se ^[4 
: 2.
Geometricamente, araiz quadrada exata de um número é expressa pela
medida do lado de um quadrado cujaárea é igual ao referido número.
., (+)' Logo, { e a raizquadrada de
1
lt
tl
L
1
f, reOresenta o produto
1lndica-se1f,:3.
Geometricamente, temos:
1
9'
11
33
,1
-lal
_r__
0,6
0,36 representa o produto 0,6 . 0,6 ou (0,6)2. Logo, 0,6 é a raiz quadrada de 0,36.
lndica-se J036 : 0,6.
Geometricamente, temos :
Pelos exemplos dados, notamos que todo número quadrado perfeito tem uma raiz quadrada
exata, sendo bastante simples determinar araizquadrada exata de números como 4, + e 0,36.
I
I
I
I
----L----
I
I
I
I
I
----r----
I
I
I
I
3
96
1
9
ttltt
trrtt
--l--a--a--Í--r--
ltttt
ttltt
--r---r--"1--T--f--
ltllt
ltrrt
rtrtt
llrrt
__r__J__J__t__L__
tlltt
ltttt
--t--f--f--+--t--llttt
rlrlr
tt
tt
----a--t--
tt
tt- - - - -1- -'I - -
tt
_____r__J__lt
tt
----J--J--ll
lt
----f--f-- lt
tt
ttttt
ltttt_-t--a--t--T--r--
tttlt
ttltt
--r---l---1--T--r--
ttttt
__r___r__-1__-!__L__ttrrl
ttttt
tttt
tttt
t---t--a--f--
ttrt
tttt
T--r---l---l--
tttt
L__t___t__-1__lltL
ttll
Estudaremos, agora, como determinar araiz quadrada exata de outros números que também
são quadrados.
Vamos analisar algumas situações:
13 0 número 1024 é quadrado perfeito. Determine sua raiz quadrada exata.
Vamos Íazer a fatoracão completa do número I024.
1 024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
2 1024 : 21o
, Como 210 pode ser escrito na forma (25)2, temos:
2 1024 : zto : (25)2 : (32)2 : 32 . 32
2
2
2
2
2
2
.---J
Como 7 024 : 32 . 32, temos, pela definição:
Soz+ : sz
#, vamos fazer afatoração completa do numerador e do denominador.
# : í+ : ## : #: [+)' :(2,r)2 :2,1 2,!
81
27
9
3
1
22 Determine a raizquadrada exata do número #
Vamos fazer a fatoração completa do numerador e do denominador:
3 tzt l 11 81 3+ (32)2 p)2 _ ( 9 )'_3 11 111 nt:!t2:(11f 
:(11f :111 J:
Como #: + f,t.*os,peladefinição:
33 Qual é a raiz quadrada exata do número 4,41?
99
11 11
3
3
Lembrando que 4,41 :
44r
147
49
7
1
3
3
7
7
100
50
25
5
1
2
2
5
5 441Como 4,41 :
100
{4At : 2,t
97
: 2,1 . 2,1, temos, pela definição:
7-.
xarclclo5
1- Observe as
seguintes figuras:
2
3
r21crx:_
Ib
d) x2 : 0,0016
3 Determine a raiz quadrada exata de cada um
dos seguintes números:
a) 2 304 +a b) 676 za c) 7 764 qz d) 2 500 so
4 Qual é araizquadrada exata de cada um dos
seguintes números?
. ") ": ^lN; 
:5
'r\136or ú-: Í) *: \ng _,I
.J
07
6
-6
---!--
I
a) 72,25 3,s c) 30,25
b) 72,96 3,6 d) 29,1.6 54
e) 0,0784 c
Í) 0,7024 ots+
L
.
tr
Í
Por meio dessas figuras, descubra, geometrica-
mente, o valor de:
a) v56 ó b) ,[-Ua9 c) "/
V
2
3
2 Substitua a letra x pelo número racional que
verifica cada uma das seguintes igualdades:
a) x2 : 100 r: ro b) x2 :121 x = r,1
23Lstwdo dag ruridiat
Plídia arittvilica e- trnídia
arit ttnítica po ndqr ad,a
Considere que as notas de uma ginasta, em Ltma
competicã0, foram as que estão na tabela:
07
sabe-se qu9 a : W. eualé o valor d,cmero a?
6 Um número é expresso pot a'0 . ba. Qual é a
expressão que representa araiz quadrada desse
número?
7 Calcule o valor da expressão
'441 
+ 4256 -l9oo
€B Se x representa araiz quadrada do númerrt
64
*, qual é o valor do número x?
4
9
Salto sobre cavalo
Trave
Solo
5,0
8,0
5,0
98
tlttl
-+-i--t--f-+-
tttlt
_ I _ I _ _r_ _ L _ I _
ttttt
ttllt
ttrlt
lrltt
- r - - - -F - r - 1-
ttttl
-f-!-_l__t_f-tlttt
-!llltrttttl
rlrrtttlt
1-t-ra-t-ti-Êt
Nessas condições, qual seria a média da ginasta na competição?
Para responder, devemos considerar dois casos:
Ie caso 0s juízes não atribuem pesos diferentes para as notas,
Neste caso, pode-se calcular a média da ginasta adicionando-se as três notas e dividindo-se o
resultado por 3, ou seja:
5,0 + 8,0 + 5,0 18,0: "jt = 6,0
A média da ginasta na competicão foi 6,0.
Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0.
A media aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n.
2e caso 0s juízes atribuem pesos diferentes
para cada nota. Veja a tabela:
o
ocL
o
@
Io
(_)
Salto sobre cavalo
Trave
Solo
Neste caso, a média da ginasta é calculada
assim:
3.5,0 +2.8,0 +5.5,0 15,0 +16,0 +25,0
3+2+5 10
: +q:5,6
A média da ginasta na competiÇão foi 5,6.
Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aos quais atribuímos
os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.
Pelos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras estabelecidas para
seu cálculo.
n
Vejamos, agora, estes exemplos;
I Em um elevador havia cincopessoas. Essas pessoas pesavam, respectivamente, lu6 kg, 83 kg,
57 kg, 60 kg e 54 kg, Qual o peso médio das pessoas que estavam no elevador?
76+83+57+60+54 330 :66
0 peso médio das pessoas que estavam no elevador é 66 kg.
2 Solange comprou 7 cadernos por 4 reais cada um e 3 cadernos por 7 reais cada um. Qual o
preÇo médio dos cadernos que ela comprou?
Neste caso, devemos calcular a média aritmética ponderada, ou seja:
7.4+3.7 28+21 49 Ã ^7+3 10 10
0 preço médio dos cadernos foi de R$ 4,90.
Qual a sua médía de horas em frente à tevê?'
Se você é do tipo que fica horas em frente à tevê mastigando alguma guloseima, não arrda de
bicicleta, odeia as aulas de Educação Física e não vai a pé nem até a esquina, que tal começar
sintonizando um canal de esportes? Procure descobrir abeleza dos movimentos do tenista ()uga, a
graça, a coragem e o domínio do corpo da ginasta Daniele Hipólyto, a inteligência das jogaclas do
Ronaldinho, das meninas e dos meninos do vôlei... e tantos outros atletas brasileiros. Sem exagerar
na dose, você também pode iniciar um programa de atividades físicas. Por que não? Isso vai mudar
a qualidade de sua vida. Individual ou coletivo, escolha o esporte que mais lhe agrada. Levante do
sofá. Converse com o seu professor ou professora de Educação Física. Eles poderão orientá-.[o.
100
xarclct(75
L Determine a média aritmética de -25, -22,
-13, 15 e 30. 3
2 Q:ual é a média aritmética ponderada de 8,
75 e 20, com pesos 2,2 e 1, respectivamente?
13.2
3 Cristina comprou 3
21 reais cada uma e2 ca
12 reais cada uma. Qua
pagou, em média, por c
T 7,40 reals
4 Qual é a média aritmética de
19
36
5 Os jogadores de basquete de um clube têm,
respectivamente, L,90 rn;7,99 m;2,01. m; 2,08 m
e 2,1.2 m. Qual é a altura média dos jogadores
desse clube? 2.oz m
(6 Para preparar um refresco, usam-se 8 copos
de água mineral, que custa 50 centavos de real o
copo, e 2 copos de groselha, que custa 85 centa-
vos o copo. Qual é o custo de cada copo de re-
fresco? b7 centavos
7 Emum torneio hexagonal de futebol de sa-
lão um clube disputou 5 jogos. Os resultados
foram os seguintes:
4x2;3x3;2x3;4x0e1X1
a) Quantos Bols o clube maÍcou nesse 
hexa-
gonal? 14 sols
b) Quantos gols o clube sofreu nesse torneio?,
2 1. 3^ê 
-a
3'6" 4'
c) Qual a média de gols que o clube marcou?
d) Qual a média de gols que o clube sofreu?_
€| Uma equipe de voleibol tem 6 jogadores
titulares e 6 jogadores reservas. Três desses jo-
gadores têm 20 anos/ dois jogadores têm 26
anos, dois jogadores têm 23 anos e os demais
têm 21 anos, 24 anos,25 anos, 27 anos e 30
anos. Qual é a idade média dos jogadores des-
sa equipe?
€) O professor de Matemática estabeleceu o
seguinte critério paÍa a média do bimestre:
peso 4 para a prova, peso 3 para a pesquisa,
peso 2 para as lições feitas e Peso 1, para aPar-
ticipação em aula. Um aluno obteve 6,0 na pro-
va; 8,0 na pesquisa;7,5 nas lições e 9,0 de par-
ticipação. Qual foi a média desse aluno no
bimestre? 7:.
I- O Uma indústria produz um certo produto.
Vendeu 3 500 unidades desse produto Por 30 re-
ais cada uma e 8 500 unidades por 24reais cada
uma. QuaI foi o preço médio desse produto, por
unidade?
101
Totonao
Àíorl^"n^o
Observe os preços da gasolina em dezembro de 2001 e em 17'de
janeiro de2002:
.J
Preço médio do litro
da gasolina, em R$
Em dezembro
de 2ü11
Em
17n1tmo2
Variação
pÍegor em
1,634 -0,145
Brasília 1,760
Curitiba
Porto Alegre -0,134
ReciÍe
Rio de Janeiro -0,1 91
Salvador -0,214
São Paulo 1,702 1,532 -0,17
Fonte: ANIP (Agência Nacional do petróleo), Folha de S. paulo,79 1n.2OO2
1. Em qual das capitais acima o preço médio do litro de gasolina era o menor em:
a) dezembro de 2001?
b) em lTdejaneiro de2002?
2. Em qual das capitais acima o preço médio do litro de gasolina era o maior em:
a) dezembro de 2001?
b) em 17 dejaneiro de2002?
3. observando a variação de preço do período, qual dessas capitais teve:
a) a rnaior queda no preço médio do .litro de gasolina?
b) a menor queda no preço médio do litro de gasolina?
4' A capital com a maior queda no preço médio foi^ta-mbém a que proporcionou o menor preÇomédio do litro de gasolina em tZ aelaneiro de 2002?
' *.T,'"',::;:,::ul":1,H":;\75:;:,:;:,;,';;;;rbem a que proporcionou o mai*r pÍe\:'
102
I
A QUEDA NOS PREçOS DA GASOLINA
I
Belo Horizonte
fr*avrdo 
o qwa aytrand<u
7 Considere as igualdades:
" -fu :1o-1
Quantas »ãovefiadeiras? âsüês
2 Qralé o valor da exPressão
0,1- 0,0L
0,2 - 0,02
3 Se x: 2-7 ey : 2-2,quanto vale x -l Y?
4 Entre quais números inteiros se situa o resul-
tadodamultiplicação (-, * +) (-1- +)'
-1e-2
5 A distribuição dos alunos da 7a sêrie, por
idade, está na tabela abaixo. Nessas condições,
qual a média das idades dos alunos dessa
série? 13,12 anos
a) (-1o)" : 1
b) 10-1 : 0,1
6 Qual é o número racional relatiwo exPÍesso
por (1-0,5)3 - J0,25 + 0,25? o 125
7 Se um número x é expresso por
. t 5\ t(-t - 1) ' [-2 
* 4 )- ;, responda:
a) Qual é o cubo desse número? f :1
b) Araizquadrada exata do número x existe no
conjunto Q? sim
.) E* caso afirmativo, qual é o valor dessa
raíz? 1
€B Qual é a distância na vertical de um ponto
situado a -4,25 m do nível do mar até um pon-
to situado a -0,5 m do nível do mar? 3'75 m
O tanque de um automóvel está com 60
os de cómbustível. Se esse automóvel gasta
0,15 4 a cada quilômetro rodado, quantos quilô-
metros ele pode rodar sem ser abastecido?
400 km
LO Qual é o número racional exPresso Por
6't -
41
L I- Um número r é tal que
-(-2)' - nqx : -------- .;---- . Nessas condições, qual é(-3+5)" -2
o valor de x-1? ,
?
0,s
.3
4
+
+
Ne àe alunoe
103
................,. -.
A minha iàadetambéim é um
númeroímpar,Eutenho um número
ímpar àe anoa,
Íente àeocobrir nossao
idaàea por lenlalivas.
vv
-^/
'u fi
:e Ê oô enaonlrar 2 números
ímpares cuia diierença
eeja6easoma,40,
Você notou que reeolver um problema ?or tentativas, muitas vezeg' leva lemTo'
eo, i"ro, ê piefenvel adotar um métoào para traàuzir os problemao em equagõeo e
resolvê-lae.
NesLa Uniàaàe você vai aprenàer a resolver equaçõeo oimpleo' Maio taràe' poàerâ atê
uear calculadoras ou um'eoflware para reeolver equações maio complexao'
Eu sou 6 anos maio velho
que ela, A soma àas
noloao idaàes é
40 anoe,
C\5
',||lI,Ftrltr2
4 t3u«(d,«d,q-
comumenle usam-sesentencas' seia «o deccner de uma cortvetsa, se\a na [ngqaggm gscrr\a.
, a maioria das quais fazendo afirmacões so_
ram_se, no lugar de palavras, sírnbolos, como
e < (é menor que).
u'rd seÍrrenÇa matematrca na quar se use o símboro: representa uma iguardadr:.
A somo de dois e cinco
é iguol o sete.
2+5:7
A somo dos quodrodos de
trê.s e da guotro é igual ao
guodrodo dr,- cinco.
De um modo geral, podemos representar uma igualdade por â : b, em que a e b são
nomes diferentes para um mesmo número.
)
)
2+5:7
!___/J l_,-
ab
Em uma igualdade:
23-5: 3
b
A expressão matemática situada à esquerda do símbolo
A expressão matemática situada à direita do símbolo :
Assim:
32 + 42 :52
ab
: é denominada 1s membro cla igualdade.
é denominada 2e membro da igualdade.
106
-;at
L'
.9V
1"\
32 + 42 :52
32+42=52
| 2, membro
19 membro
g--; s\!
I l* 2s membro
L Íg membro
I
Uma igualdade apresenta as seguintes propriedades:
2:2
2:2
33
à : â, para qualquer número racional a
Propriedade simétrica
2+5:7e7:8-l =2+ 5:8-1
Propriedadetransitiva 23 -5:3e 3:2+20 = 23 -5:2+20
32 + 42 : 52e 52 : 25 + 32 + 42 : 25
2+5:7 =7:2+5
23-5:3 = 3:23-5
32+42:52 = 52:32+42
â:b=b:a,
paraquaisqueraeb
â:bob:c=
â : C, pâl'â
quaisquer a,bec
Vamos conhecer os princípios de equivalência de uma igualdade, que serão muito úteis na
resoluÇão de equaÇões.
Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma
nova igualdade, ou seja:
â:b = a+c:b*c
5 + 3:8 + (5 + 3) l2:(8)+2 --------------+ adicionamos+2aosdoismembros
10 10
5 + 3:8 = (5 +3) -2:lt9l-2 ----------------i adicionamos-2aosdoismembrosu '-J
107
Propriedade reflexiva
Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, diferentede
zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja:
a:b -a.c:b.c,comc+0
5+3:8 = (5+3) '2:9=
16 16
multiplicamos os dois membros por 2
5+3:8 = (5+3) .+ muttiplicamosos dois membros po, +
L Em cada uma das seguintes igualdades,
identifique o 1a membro e o 2a membro:
Escrevo o
iguoldode ?0 : 4x
de outro formo.
Qual a propriedade que o aluno usou para es-
crever a igualdade na lousa? propriedade simétrica
3 Numa lousa está escrito: a : b eb : -7.Par-
tindo dessas igualdades, você é capaz de dar o
valor de a? Qral a propriedade que você usou
para dar a resposta? a = -7; transitivâ
4 Na hora de copiar a expressão -1 : x * 1,
você aplicou uma propriedade da igualdade e
escreveu x + 1 : - 1. Você acertou? Em caso afir-
mativo, qual a propriedade que você usou?
sim; proprledade simétrica
5 Observe as igualdades x : 3y e3y : z - 2.
Partindo dessas duas igualdades, você é caPaz
de escrever uma nova igualdade? Em caso afir-
mativo, qual é essa nova igualdade e qual a Pro-
priedade que justifica a sua resposta?
sim; x : 2 - 2; propriedade transitiva
(6 Observe a igualdade:7x: 21. Se você mul-
tiplicar o primeiro membro po, -+, como de-
verá escrever o 2q membro para obter uma nova
igualdade? e,t. !
7 Sevocê partir da igualdade x -l 6 : 8 e adi-
cionar -6 ao primeiro membro, como deverá es-
crever o 2a membÍo, pata que corLtinue existin-
do uma igualdade? 8 - 6
€i Qual é o princípio de equivalência que, par-
tindo da igualdade 3x : 2, permíte escrever a
nova igualdade 3' (3x) : 3' 2? *utpricarivo
€) Se você adicionar o número -2 aos dois
membros de cada uma das segui.ntes igualda-
des, você será capaz de descobrir o valor que a
letra r pode assumir em cada unra delas. Faça
isso e descubra o valor de r.
a) **2:6 "-q b)x+2-, -1 x:-s
L(O Se você multiplicar os dois membros de
cada uma das seguintes igualdadr:s pelo núme-
1^ro t,você será capaz de descobr:ir o valor que
a letra r pode assumir em cada urna delas. Faça
isso, use os conhecimentos já adquiridos e des-
cubra o valor de x.
a) 3x: 21, x:t b)3x:-15 x= b
b Lqwaçozs
0 yrc íwttna eqtaçõ*o?,
Quando vamos resolver um problema para encontrar o valor de um ou mais números desconhe-
cidos, a transformação da sentença na forma discursiva, com palavras, numa sentenca em linguagem
matemática, com letras e símbolos, é a parte mais importante do trabalho.
Durante muito tempo, as situações-problema foram resolvidas com o uso de palavras e dese-
nhos. 0 uso de letras para representar os números desconhecidos trouxe enormes progressos para a
Matemática, facilitando a resolucão dos problemas. E o que veremos nas situações aleguir.
13 Em uma prova do campeonato mundial de Fórmula 1, um corredor desistiu da competição ao
completar â O, percurso total, por defeitos mecânicos em seu carro. Se tivesse corrido mais
40 km, teria cumprido a metade do percurso total. Qual é o percurso total dessa prova?
Devemos encontrar um certo número que represente, em quilômetros, o percurso total da
prova. Vamos indicar esse número pela letra x eÍazer um esboco gráfico do problema:
x (percurso total)
2
-x5
I I x (metade do percurso) I
2
Pelo esboço gráfico, podemos escrever a sentença matemática:
+40:
L----- metaa e do percurso total
40 km
! a"percursototal
Note que formamos uma sentença matemática representada por uma igualdade, em que usa-
rnos a letra x para nos referir a um número desconhecido dessa sentença.
22 Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou
100 cm)em dois pedaços. Um dos pedaços tem
um comprimento igual ao triplo do outro. Calcu-
lar os comprimentos dos dols pedaços.
Devemos encontrar dois números que representem, em centímetros, os comprimentos dos
pedaÇos em que a tábua Íoi serrada. como um dos pedaços tem o trip\o do outro, vamos 
\nd\car o
\ift\ni-\,"{õ 11,i*.i a-ü..s 
perà r.t" y e o co*piimento do maior pedaço por 3v (triplo signirica
ttr
ttl
I
\§9
Podemos fazer um esboço gráfico usando a letra y:
1 m ou 100 cm (comprimento total)
ivi sv
Pelo esboço gráfico, podemos escrever a sentenÇa matemática:
: 100
L-- .orp rimento total
comprimento do pedaço maior
comprimento do pedaço menor
Note que formamos uma sentenÇa matemática representada por uma igualdade, em que usa-
mos a letra y para representar o número desconhecido dessa sentenca.
As sentenças ma evemos nas duas situacões, a* * 40 : -Lx e52
Y + 3Y : 100, são ch
Assim:
Toda sentenca matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais
letras que representem números desconhecidos dessa sentenÇa, é denominada
equação.
Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita,
Exemplos:
I A sentenca matemática 2x + l: 19 é uma equacão com uma incógnita representada pela letra x.
2 A sentenca matemática x - y : 20 é uma equacão com duas incógnitas representadas pelas
letras x e y.
3 A sentença 5m + 2:2m - 19 é uma equaÇão com uma incógnita representadar pela letra m.
Como toda equação é uma igualdade, temos:
2x + 40:
5
2e nembro
7e membro
1e membro
Observação
3y
1x
2
-[* 
2s membro
Y+3Y:100\- ]
Não são equações as sentenças matemáticas:)32+l:2+23
) x + 3 < 20 ______, - 
embora seia un
embora apresente r,jluuu*de' 
não apresen
rento desconhecido, 
não ,ta 
elemenb aesconhecido
epresenta uma igualdade
110
xq(
as sentenças matemáticas 
x + 1 : 0'
x-1+'O''- 7- 0'x*1(0e
aissáoequações? ' '
3 Por que a sentença matem âlíca25 + f : t 'tO
não é uma equação? :. l:ll . ' ',:,,,,,.:." ,',', ,. "'
4 Quantas incógnitas há na equação
?1
+.-;:2x-t1?
sentença matemática 3x : 70 - 2Y é uma
. ,. .,io:,?uántas 
incógnitas há nessa equação?
Dada a equação 7Y - 2- 5Y + 72, qlual é o
meiro membro dessa equação? )
7 Escreva a equação correspondente a cada
uma das seguintes situações:
a) Um número x aumentado de 31 é igyala tQ.-0J
b) Subtraindo 8 de um número x obtemo"-*L'0,
c) O dobro do número x aumentado de 31 é
iguala73. 'r' = rl
d) O triplo do número x diminuído ae]p,1{!!,
e) A metade do número r somada com a terça
parte do mesmo número x éígtal a 35' .
f) O quádruplo do número x é igual adprót'rio
número r aumentado de72. '''' '' t2
Daqui a 10 anos Karina terâ28 anos' Escreva
a equaçao que nos permita calcular a idade
que Karina tem atualmente. ic ?i'
9 Em um terreno retangular, o comprimento
tem 10 metros a mais que a largura' Se represen-
tarmos pela letra x o número de metros da largu-
ral o comPrimento será representado por x * 10'
1.
,
x metros
Se o triplo da largu-
ra é igual ao dobro
do comprimento,
escreva uma equa-
ção que represente
esse fato. 3x : 2(x + 1o)
c)
Equacionando
problema§
Na sorveteria "Ge\adinho" qualquer
sorvete custa R$ 1,00. Quanto custam:
a) 5sorvetes? 5reais
b) 10 sorvetes? 1o reais
c) 15 sorvetes? 15 reais
d) rsorvetes? xreais
Quando Paulo subiu na
balança, o ponteiro indicou
90 kg. Quantos quilos ele
terá, se:
a) ganhar 10 kg? 1oo ks
b) ganhar:r kg? too + *t ts
c) perder 5 kg? as ns
d) perder y kg? ioo - vt t<s
3. No pátio da concessionária de Luiz há 30
carros que não foram vendidos. Quantos
carros serlam/ se:
a) houvesse 3 vezes mais carros no
estacionamento? ao e:so
b) houvesse t vezes mais carros no
estacionamento? so't
a quantidade de carros fosse dividida
por 3 representantes? 3o : 3: 1o
a quantidade de carros fosse dividida
por n rePresentantes? so ' n
(x + 10) metros
111
d)
I
nto unive$o q_conJtmto sotuçao
Cn qguaçàO _
Vamos considerar as seguintes situacões:
13 DentreoselementosdoconJuntoA: 0,1,2,3,4,5),quar delespodemoscolocarnolugard.rletra x para tornar verdadeira a lquacão x 2 : 6?
Fazendo a substrtuicã0, vemos que o eremento e o número 4, pors:
x+2:6 _ (4)+2:6
0s demais erementos não tornam verdadeira a equacã0.
Assim:
) 0 conjunto A: ,0,1,2,3,4, 5), formado portodos os elementos que a incognrta x pcrde assumir,é denominado conjunto universo da equacã0.
) 0 conjunto {4}, formado pelo elemento de A que torna verdadeira a equacã0, chama.se conjuntosolução da equacã0.
) 0 número 4 é a solução ou raiz da equacã0.
21 Qual e o nÚmero natural que podemos colocar nolugar da letra x para tornar vr:rdadeira
equacão 3x : 15?
Fazendo a substituiçã0, vemos que o número natural é 5, pois:
3x:15 + 3.(5) :15
0s demais números naturais não tornam verdadeira a equacã0.
Assim:
) 0 conjunto hl dos números naturais, que representa os valores que a incognita x pode assumir,
denominado conjunto universo da equacã0.
112
L
Fquaçàoàadazx*2=6
ConJu,nto unlyeroo: U = {O,1, 2, O, 4,5I
Çonl1nbeoluçâozg={al
Oolução ou niz da equagào: o número 4
0 conjunto {5}, formado pelo elemento de N que torna verdadeira a equacão, chama-se conjunto
solução da equaçã0.
0 número 5 chama-se solução ou raiz da equaÇã0.
33 Qual é o número inteiro que podemos colocar no lugar da letra y para tornar verdadeira a
equação 2Y + L: -5?
Fazendo a substituiçã0, vemos que 0 nÚmero inteiro 
pr6curado é -3, pois:
2y+l--5 
- 
2'(-3) +1:-5
pelas situaÇões dadas, você verifica que, dada uma equação, devemos estabelecer inicialmente
um conjunto numérico formado por todos os valores pelos quais a incognita pode ser substituída.
Esse conjunto é chamado conjunto universo da equaÇão'
Assim:
) Se U : N, â incognita pode assumir o valor de qualquer número natural'
) Se U : Z, à incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro'
) Se U : Q, â incognita pode assumir o valor de qualquer número racional.
Você verifica, também, que o conjunto solucão (S) de uma equaÇão é formado por todos os
valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a equaÇão e, por esse motivo, também
pode ser chamado conjunto verdade M da equaçã0.
O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um conjunto vazio.
.eoo
oE
I
6Io
113
eíniaee
Equaçào àadaz 5x = 15
Coniuntounivergot U = N
Coniunto eolução: S = {5}
Solugào ou raiz àa equaçãoz o número 5
Exemplos:
E Qual é o conjunto solução da equacão x - sendo U : 7?.
IEquacão:*-;:0
Co»1untoun)verso: U:z
1^
2:'
Conjunto solucão: o conjunto solucão évazio e indica-se S : Z
Solução ouraiz: a equacão não tem raizno conjunto z.
Qual o conjunto solucão da equacão * - * : O, sendo U : e?
rlLquacão:x-+:0
Z
Conjuntouniverso: U:e
Para verificar se um nÚmero dado é raiz ou não de uma equacão, devemos proceder da seguinte
manetra:
) Substituímos a incognita pelo número dado.
) calculamos o valor numérico de cada membro da equacã0, separadamente,
Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dado é raiz da equação; se for falsa, não o é.
Exemplos:
',-6) + 7
+7
Logo, o número 2nãoéraiz da equacão y2 - 5y:3y + 6.n
1 Verificar se o número -6 éraiz da equacão 3x - 5 : 5x + 7,
3x-5:5x+7
3.(-6) -5:5
-18-5:-30
-----+ substituímos a incognita x pelo número - 6
-23: -23 a sentenca e verdadeira
:5x+7.Logo, o número -6 é raiz da equacão 3x - 5
2 Verificar se o número 2 é raiz da equacão y2 - 5y: 3y + 6.
y2-5y:3y+6
Q)2 - 5.Q):3.(2) + 6 -* substituimos aincognitaypelonumero2
4-10+6+6
-6:12 a sentenca e falsa
Conno vanlacar 5a- wt^ tri,lt^ero dado í raiz da- wA^a
L Determine o conjunto solução de cada uma
das seguintes equações:
a)x-7:0,U:N s:(7I
b)x+9:0,U:Z s={-e}
a
c) x-É:0,U:Q .=]+]
d)x+1:0,U:N s=a
e) x-10:3,U:Q s:(131
f) x-6:-70,U:Q s-{-4}
g) 2x: -1.6,U : Z s: {-8}
h)4x:-40,U:Q s:{ 10}
i) Bx: -B,U:Z S={ 1}
j) 8x:-8,U:Q s={-1}
l) +-4,U:N s:r12)
3m)x*+:*,r:t .-t 
]
2 Verifique se:
a) o número1 éraízda equação 7x - 6: Sx-l- 4
b) onúmero 6 éraudaequação3x - 1 - L 20bo
c) o númer" -+ éraizda equação B * 5x : 05"srm
d) onúmero -2éraizdaequação f - gV:8 - y
)
e) o número f é raíz da equação
2x+L:3*"- 1 sim62
3 Dentre os números O, 1,,2 e3, quais são raízes
da equação x2 - 5x -f 6: O? ,.t
4 Dados os númer 1 1 1:os j-, g " 6,qualde-
les éraizda equação ," - *: 3x - í, +
5 O número -5 éraiz da equação
3' (x + 2) - 5' (x + 3) : 1. Esta afirmação é
correta? sim
Lymçozt qltival,qntqE
raconÜrqcar ru dtnaE
ott fi^0ú5 aqthGtçoq5 5Gro q u:iva|enteE
Sabemos que podemos representar um número de diferentes formas.
Por exemplo,32;23 + 7;52 - 42; t8 : 2;6 + 3; 10 - 1 são maneiras diferentes de representar
o número nove.
De todas as maneiras de expressar o número nove, a mais simples de todas é 9.
Fato semelhante vai ocorrer com as equaÇões. Veja a seguir.
) Consideremos as equacões, sendo U : e:
ssas equaçoes apresentam a
solução ou raiz, que é o número 7.
As equacões x + 3 : 10, x : 10 - 3 e x. : 7 apresentam a mesma raiz ousolucão. Por esse
motivo, são chamadas equacões equivalentes.
115
A forma mais simples de representar essas equacões e x : 7 ,
Veja, agora, as equacoes, sendo U : q,,
2x: 70 --------> S : {5}
i0 ô*:; _- S: {5}
x:5 __------+> s:{5}
1ô
As equaÇões 2x: 10, x: Lf e x: 5 apresentam a mesma raizou solucã0, Por esse motivc,
são chamadas equaÇões equivalentes,
A forma mais simples de representar essas equaÇões é x : 5.
Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o rnesmO
conjunto solução (não-vazio) são denominadas equaÇões equivalentes.
Todas essas equacões apresentam a
mesma solucão ou raiz, que é o numero 5.
cottno a5crqvar u"^^c^ aqLL
Podemos escrever uma equaÇão equivalente a uma equação dada por meio de alllumas trans-
formacoes baseadas nos princípios de equivalência.
Vamos ilustrar os princípios de equivalência, utilizando as seguintes figuras:
equivale a x
"pesos" @m quilogramas)
t equivate a 1
Princípio aditivo:se â : b, então a + c : b + c,
Princípio multiplicativo: se a : b, então â' c : b' c, com c + 0.
balança em equilíbrio
116
Observe os exemplos:
1 Obter uma equaÇão equivalente à equaÇão x + 3 : 8, escrita na sua forma mais simples.
Supondo que x, 3 e 8 sejam "pesos" que foram colocados em pratos de uma balanca em
equilíbrio, teremos:
Se colocarmos 1 unidade em cada prato da balanca, esta permanecerá em equilíbrio e teremos,
então, a seguinte situação:
x + 3: B ---------+ S: í5]
Veja o que fizemos:
x + 4: 9 --------> S: í5,
x * 3 : B equação dada, para a quat S: {5}
x + 3 * 1 : 8 + 1 + somamosl aos doismembrosdaequaÇão
x * 4 : 9 equação equivalente à equação dada, pois S: {51
Se, ao contrário, retirarmos 3 unidades de cada prato da balança, teremos:
117
x:5 --------+ s: í5,1
Veja o que fizemos:
+3--8
+ 3 + (-3) : 8 + (-3) -----------
x+/-7:8-3
x:5
Asequaçõesx+3:8ex:5sãoequivalentes,poisambasapresentamamesmasolucão: o
número 5.
Aforma mais simples de escrever a equaÇão x + 3 : 8 é x : 5.
Observe que, para obter a equaÇão X : 5, equivalente à equação dada, adicionamol; um mesmo
número aos dois membros da equacão x + 3 : 8.
Esse fato caracteriza o princípio aditivo das equaÇões.
2 Obter uma equaÇão equrvalente à equaçáo 2x: 12, escrita na sua forma mais sirnples.
Supondo que 2x e 12 sejam "pesos" colocados em pratos de uma balanca em equilíbrio, teremos:
2x: 12 S: t6)
Vamos dobrar (multiplicar por 2l a quantidade de figuras em cada prato; a balançar permanece
em equilíbrio e teremos a seguinte situacão:
Veja o que fizemos:
X
X
equação dada, para a qual S: (5)
somamos (-3) aos dois membros da equação
anulamos números opostos que estão no mesmo membro
equação elementar, equivalente à equaÇão dada, pois S: í5i
equação dada, para a qual S: 16)
multiplicamos os dois membros da equaÇão por 2
equação equivalente à equação dada, pois S : í6i
118
2x: 12
2. (2x) :
4x: 24
2. t2
Com relacão à situação inicial, vamos deixar a metade da quantidade de "pesos" em cada prato,
o que significa multiplicar por +; a balanca continua em equilíbrio e teremos:I
x = 6 ----+ S: {6]
Veja o que foi feito:
2x: 12
!-e*t: !'ozt.*
equaÇão dada, para a qual S: {6}
multiplicamosos dois membros da equação por +
equação elementar, equivalente à equação auau,íoirs : Í61X:6
As equações 2x : 12 ex: 6 são equivalentes, pois apresentam a mesma solução (o número 6).
A forma mais simples de escrever a equaÇão 2x: 12 éx: 6.
Observe que, para obter a equaÇão X : 6, equivalente à equação dada, multiplicamos os dois
membros da equação dada por um mesmo número, diferente de zero.
Esse fato caracteriza o das equaÇões.
f Obter uma equaÇão equivalente à equaÇão 3x + 10 : 4x,escrita na sua forma mais simples.
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar -10 aos dois membros da equação, obtendo
uma equacão equivalente à equação dada:
3x + 10:4x
3x +)õ -,Lõ: 4x - 10
3x:4x - 10
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar -4x aos dois membros da equaçã0, obtendo
uma equaÇão equivalente à anterior:
3x:4x-10
3x - 4x :)+d - l0 -,+í
-1x : -10
Como 1x : x (elemento neutro da multiplicação) e -lx - -x (elemento oposto da multiplica-
Ção), podemos escrever:
-1x: -10
-x : -10
Aplicando o princípio multiplrcativo, vamos multiplicar os dors membros por -1, obtendo assim
uma equacão mais simples e equivalente à equaÇão dada:
.v - -1ô^ - 
f u
x.(-1):-10.(-1)
x : 10
As equaÇões 3x + 10 :4x e X: 10 são equacões equivalentes, pois apresentam a mesma
solucão (o número 10), e x: 10 é a forma mais simples de escrever a equacão 3x - l0 : 4x.
4 Obter uma equacão equivalente à equac^o í: +, escrita na suaforma mais simples.
Vamos reduzir todos os termos da equacão ao mesmo denominador, usando equivalência de
fracões:
+-+'#:+
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros por 12, obtendo uma
equacão equivalente e sem denominadores.
+- Í,
+ t't'A: $ tzt
3x:2
Aplicando novamente o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros por. +,obtendo uma equacão equivalente:
As equaçõut + : + ê X : f sao equivalentes, pois apresentam a me:ima solucãrr( z\ 2 . , . x 1
I 
o número -i l, . x : f é a forma mais simples de escrever a equacão 7 : à\ J.i
5 Obter uma equacão equivalente a 5x + 1 : 21, escrita na sua forma mais simplers.
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar -1 aos dois membros da equac2io e teremos
uma equaÇão equivalente:
5x + 1 : 21
5x+i-i:21-l
5x:20
120
_1
Aplicando o prrncípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois 
membros da equaÇao Por 5 e
teremos uma equaÇão equivalente:
x= 4
As equaÇões 5x * 1 : 2L e x: 4 são equivalentes, pois apresentam a mesma solução (o
número 4) e x : 4 éa forma mais simples de escrever a equaÇão 5x + I : 21.
L Considerando os pares de equações em cada
item, verifique se são ou não equivalentes:
a)x*4:7 e x:7-4stn
b)x*-2:9 e x:7 sim
c) x-5:0 e x:-5 nao
d)2x:18 e x:9 sim
e)5x:-15 e x:3nao
f) x-1:-3 e x:-2sim
g)4x:16 e x:4 sim
h)x+2:-5 e x: -7 stm
2 Usando os princípios de equivalência, escre-
vatrtaforma mais simples possível, uma equação
equivalente a cada uma das seguintes equações:
a)x*2:5x=s g)3x:7,:+
b)x-11 :0x-l
c) 4x: -8 *: 2
d)x-2:-1. x:t
e) 6x: 6 x-t
h) 5x + L:1.6 x:s
.,x3^t) 4:10 " ;
j) 10x - 2:7x .- +
I) 6x+5:6.=-á
Í) 4x:3x * 9 x-s m)8x I 4:0 "--+
Z6Lqn ycilLcon^
WIIAC^
Toda equaÇão que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma âX : b, onde x repre-
sentaaincognitaeaebsãonúmerosracionais,coma+0,édenominadaequaÇãodolegraucom
uma incógnita.
0s números a e b são denominados coeficientes da equaÇão. Exemplos:
1 X : 6 --------------- equaÇão do 7e grau naincognitax
2 3x : 1 2 
- 
equaÇão 46 le g;rau na incógnitax
3 -2y : 10 -------- equação do le grau na incognita y
4 3t : - 5 --------------> equação do P grau na incognita t
7-.
xa.l.
-.-:
Entretanto, existem outras equacões do 1s grau com uma incógnita que não sãrt escritas n,a
forma âX : b. Exemplos:
& 2x+5:x-4 
-=*
equacão do 1l grau na incognita x
^2_Z Y + 5Y : 5 ---------------> equacão do lt grau na incognita y
3 3(x - 1) : 6 ---------------+ equação do lt grau na incognitax
++1
4 * +' = ^ - 1 --------- equação do 1e grau naíncognital23
Essas equacões podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equacão do 1e grau conr
uma incÓgnita, por meio de transformacões. Essas transformacões são baseadas na aplic;cão do:;
princípios de equivalência das igualdades. E o que veremos a segurr.
It[lACn, qIK^çCtO
cotn^ u"A^Aincíernila
Consideremos a equacão * + 3 : 2(x - t) cuja incognita é representada pela leltra x, sendcr2
x um número racional desconhecido (U : e).
Essa equacão estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo número racional x
-xas expressões f + 3 e 2(x - 1) representam o mesmo número.
Como descobrir esse número x?
A resposta para essa pergunta será dada neste capÍtulo.
Lembre-se:
Resolver uma equacão do legrau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo,
significa determinar a solução ou raiz dessa equacã0, caso exista.
At equaçÕzs e o
I
iro d,a Rínind
A pn ororefer&wia a
qunções de rye se te'rnratí.cio
c.onsta do papíro de P'ÍLíní, wn dos
doqsnerttos egtpcíos mois antígos
que tr stana de túatemíarl,.
-t
I Coro os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solucão de uma
equaÇão eram complexos e cansativos.
G Sreg 05 ra5l[viann
encontramos solucões geométricas de equacões
do 2e grau cujo estudo faremos no quarto volume
desta coleçã0.
0E avayqo5 co,lt^ 05
I r ahal,üroE de a{,- Küro w ar tznni
foru os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado
progresso na resolução de equações. No trabalho dos árabes, destaca-se o de al-Khowarizmi
(século lX), que resolveu e discutiu equaÇões de vários tipos.
AtrKno*urizmi e considerado o
matemático árabe de maior expressão do
século lX. Ele escreveu dois livros que
desempenharam importante papel na historia
da Matemática. Num deles, Sobre a arte
hindu de calcular, al-Khowarizmi faz uma
,exposiÇão completa dos numerais hindus.
O outro, considerado o seu livro mais
importante, Al-jabr Wa'l muqabalah, contém
uma exposição clara e sistemática sobre
resolucão de equaÇões. Por esse motivo,
al-Khowarizmi é chamado "pai da Algebra".
vc^ço q5 at r av ís da Gqçt nnqt ria
A{r^ oOraOs elementos, de Euclides,
123
I
Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lur:ro de uma
firma, para calcular ataxa de uma aplicaÇão financeira, parafazer a previsão do temro etc.
II
LS
Veremos como proceder para resonver equacões do 1s grau com uma incógnita, cbservancjo os
exemplos a seguir:
I Resolveraequacão5x+ 1:36, sendoU: Q.
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (-1) aos dois membros da equaciio, isolando o
termo que contém a incógnita x no 1e membro:
5x+1:36
5x+1+(-1) :36+(-1)
5x +r( -r(: 36 - 1
5x:35
Aplicando o princípro multiplicativo, vamos multiplicar os dois
descobrindo assim o valor do número x.
z
o
l
!
lo
o
õcI
o
a
õ
oo
membros da equercão po, +-,
5- í,+)
\5/
-.-1
_ í11
- | t í,
:26 (+)
Como 7 e Q, temos S
124
As nos dias de Üwja
ãg ÊÍgg i= Íís !-a
!* iÉÉÉ=,i=igE iã
Él i=i i=L zâiz= i=
íE
l-)
De forma prática:
5x+1:36
5x : 36 - 1 aplicamosoprincípioaditlo
5x: 35
35x : ---=- aplícamos o princípio multiplicatívo
5
X:7
ComoTeQ,temosS:{7}.
2 Resolver a equacão 7x : 4x + 5, sendo U : Q.
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (-4x) aos dois membros da equaÇã0, isolando no
1e membro apenas os termos que contêm x:
7x:4x+5
7x+(-4x) :4x+5+(-4x)
7x-4x:1X-{1 5-,M
3x:5
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da equação por +,
descobrindo assim o valor da incógnita x:
1,. í1) " ít)o*'lZ):r'[T]
5*: 
3
como+=e,temos.:{+}
De forma prática:
7x:4x+5
7x - 4x : 5 peto princípio aditlo
3x:5
5* : 3 
-_---> 
pelo princípio multiplicat:o
- 6 e,temoss:{g}.COMO 5 E L J J'
125
3 Resolver aequacão9x - 7: 5x + 13, sendo que U : l.
Devemos isolar no primeiro membro todos os termos da equação que apresentan a incÓgnita x
e, no 2e membro, os termos que não apresentam a incógnita.
lnicialmente, vamos adrcionar (+7) aos dois membros da equaÇã0, de modo que todos cs
termos que não apresentam a incógnita x fiquem situados no 2e membro da equacão:
9x-7+(+7) :5x+13+(+7)
gx-í+í:5x+ t3+7
9x: 5x + 20
Vamos, agora, adicionar -5x aos dois membros da equacã0, isolando assim, no 1e membro,
todos os termos que apresentam a incognita x:
9x+(-5x) :5x+20+(-5x)
9x - 5x :,K + 20 -.K
4x: 20
Finalmente, vamos multiplicar os dois membros da equacão por I para determinar o valor da
incognita x: +
4x: 20
^ (+):x (+)x:5
Como5eQ,temosS:{5}.
De forrna prática:
9x-7:5x+13
9x : 5x + 13 + 7 --- peto princípio aditivo9x: 5x + 20
9x - 5x : 20 
- 
pelo princípto adttívo
4x: 20
20x : 4 pelo prtncípio multiplicativo
X:5
Como5eQ,temosS:{5}.
4 Vamos resolver a equaÇão 2.(2x - 1) - 6.(1 - 2x):2-(4x - 5), sendo U =' a.
lnicialmente, vamos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação para eliminar os parênteses;:
2. (2x- 1) - 6 . (1 - 2x) : 2. (4x - 5)\r4aala<--/ \<--// '<-
4x-2-6+lZx:8x-10
yI_t? - 1-_9: 8x - 10
+16x -8:8x-10
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (+8) aos dois membros da equacão para isolar no
2e membro todos os termos que não apresentam a incógnita x:
16x - 8 + (+8) : Bx - 10 + (+8)
l6x -Á +Á:8x - 10 + 8
16x:8x-2
Aplicando, novamente, o princípio aditivo, vamos adicionar -8x aos dois membros da equacão
para isolar no 1e membro todos os termos que apresentam a incógnita x:
16x:8x-2
16x+(-8x) :8x-2+(-8x)
16x-8x:X-2-.K
8x: -2
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois termos da e - 1
determinar o varor da incognita x: 
)' vam,s mulilpllcar os 00Ís termos da equacao P,r 6 Para
^: -t-
,:-2 -- 1"84
,. (+):,'2 (+)
- 1 emosS:l-!I.Como-t=e,, L 4J
De forma prática:
2. (2x- 1) - 6 . (1 - 2x) : 2. (4x - 5)
4x- 2 - 6 + 72x:8x - 10 --------- petapropriedadedistributiva
4x+12x-2-6:8x-10
16x-8:8x-10
16x : Bx - 10 + 8 pelo princípio aditivo
16x:8x-2
16x - 8x: -2
8x: -2
pelo princípio adit:o
como -+ =e, temos t : {-+}
pelo princípio mul[tplicativo
127
Vamos resolver a equaÇão + - + : ^ - +, sendo U : l.
lnicialmente, vamos obter uma equaÇão equivalente à equaÇão dada e que não tenha denc-
minadores. Para isso, reduzimos todos os termos da equacão ao mesmo denominador e, a seguit,
aplicamos o princípio multiplicativo, multiplicando todos os termos da equaÇão pelo denominador
COMUM:
3x25
4 - T:^-Z
9x 8 l?x 30
12- n- n - n
,l#)-n (#):,2 (#-)-*z (-r)
9x-8:12x-30
Vamos aplicar o princípio aditivo, adicionando 8 aos dois membros da equacão:
9x-8:12x-30
9x - 8 + (+8) : lZx- 30 + (+8)
9x =6+ã: l2x - 30 + 8
9x:12x-22
Aplicando, novamente, o princípio aditivo, vamos adicionar -l2x aos dois membros:
9x:12x-22
9x + (-72x) : l2x - 22 + (-l2x)
9x - 12x :)íx - 22 -Ex
-3x: -22
3x: 22
Aplicando o princÍpio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros di Ir equacao Oor f:
" (*):22 (+)
X:+
J
Como ?=Q,temosS:{2?\3 --' - t 3l
128
De forma prática:
3x _ 2 _,,_ 5
43"2
9x _ 8 _ l2x _ 30
12 lZ t2 tT - 
reduzimos ao mesmo denominador
9x - 8:12x - 30 cancelamososdenominadores
9x: 12x - 30 + 8 apticamosoprincípioaditivo
9x:12x-22
9x - 12x: -22
-3x: -22
3x: 22
aplicamos o princípio aditivo
pelo princípio multiplicativo
como +=e, temos s: {+}
o Vamos resotver a equaÇão ê+q - T : 3+, sendo u : Q.
lnicialmente, vamos reduzir todos os termos ao mesmo denominador:
2x+5 4x-9 3-4x
362
2.(2x+5) 1.(4x-9) 3'(3-4x)
666
Multiplicando todos os termos por 6 (princípio multiplicativo), vamos obter uma equaÇão equiva-
lente e sem denominadores:
2.(2x+5) 1.(4x-9) 3'(3-4x)
666
f ).tc'rÃ\l t1.(4x-941_ n IS tS-+xl Ig/.1 ._ - \._^. t,), l_ K.l -' t -7- )-n l--Z- ):'p l---z- 1
2' Qx+ 5) - 1' (4x - 9) : 3' (3 - 4x)
Vamos eliminar os parênteses:
A{+ l0 -A{+ 9 :9 - l2x
79 :9 - l2x
129
Adicionando (-19) aos dois membros da equacão (princípio aditivo):
19+(-19) :9-i2x-(-19)
-W-- +í': 9 - 72x - 19
0: -10 - 12x
Adicionando (+12x) aos dois membros da equacão (prrncÍpio aditivo):
0 - (+l2x): -10 - l2x = (+l2x)
0 -r 12x: -10 -)á, +-Ifr,
i2x: -10
Multiplicando os dois membros po, + (princípio multiplicativo):
,Zx) f+) : _t?,) f +l\v2 ) \)2 )
*: -|
o
como -+ . e, temos t : {-+}
De Íorma prática:
2x+5 4x-9 3-4x
362
2.(2x+5) 1.(4x-9) 3.(3-4x): ' -"'* reduzimos ao mesmo denontinador66
2'(2x + 5) - i '(4x - 9) :3'(3 - 4x) cancetamososdenominadores
Aí+10-Aí+9:9-lZx
19: 9 - lZx
19 + 12x:9
lZx:9 - 19
12x: -10
princípio aditrvo
princípio adttivo
como -+ = e, temos, : {-+}
130
princípio multiplic attv o
7 Resolver a equacão 7x + 6 :7x + 10, sendo U : e.
7x+/-y':7x+10-6
7x:7x + 4
7x-lx:.]í+4-.]í
0x:4
Como não existe nenhum número racional que multiplícado por zero dá resultado 4, dizemos
que a equação é impossÍvel e S : Z.
8 Resolveraequação 5 - 2x:5 - 2x, sendoU: e.
5-2x+(-5) :5-2x+(-5)
í - z* -í:.í - 2x -í
-2x: -2x
-2x + 2x: -2x + Zx
0x:0
Como todo nÚmero racional verifica essa igualdade, dizemos que a equacão é uma identidade e
S:Q.
L Vamos resolver as seguintes equações do 1a
grau com uma incógnita, sendo U : Q:
a) 2x-8:8 s-{s}
b)3x+7:19 s {ôj
c) 7y - 4: 10 :: {2}
d)2t+1:-B'-l 
i
e) 11 -3y:2 ::={3}
f) 3x: -7*x s=.J I1i
g)9x+5:4x S-{ r,
h)20: -6x+32 s={2}
2 Sendo U : Q, vamos resolver as seguintes
equações do 1a grau com uma incógnita:
a)7x+1-5x:9 -A't
b)y+9y+5:-15 s:i2)
c)17x-1-15x*3 s.rzt
d)1,6-x:x125 s:] 
|
e) 20x- 13 : 20 -f 9x s=={3}
Í) 21xt1:11x*6
g)9x-23:73x-27
h) 0,8 -t 2x: x * 3,5
.3 Dadas as seguintes equações do 1a grau com
uma incógnita, determine o conjunto solução S
de cada equação, sendo U : Q:
a)x*4:tz
5
b)x-1:-3"/
.) + +|:zt
5^c[)5: , -3x
,1x2x1v/6234
r\3y5y5'8632
131
4 Sendo U : Q, determine o conjunto solução
S de cada uma das seguintes equações do 1a grau
com uma incógnita:
a)3-(3x-6):2x]-(4-x)
b)4'(x-2):4+2'(x-1)
c)7*-3'(x-2):3'(x+4)
d) 2' (y - 2) + 5' Q -Y) : -3' QY + 2)
e) 2' (1 - 0 + 1 : 3' (t- 3) - 2t
f) 5'(m + 1) - 3'(2m + 1) :4'(5 - m)
5 Dentro do conjunto universo Q, vamos re-
solver as seguintes equações do 1a grau com uma
incógnita:
x-14
J
-4:x
x-4
-0
d)
e)
3t+74
6 Resolvendo as equações 2x - 6:10,
3x - 5 : 4 e 5x - 7 - 8 no conjunto Q, verifica-
mos que duas delas são equivalentes. Quais são
essas duas equações?
ô
7 A eqtaçáo fx t 2 
: 3x - 2tem solução
ouraiz no conjunto Z?
8 Araizda equação 2+L :2 - x está
situada entre dois números inteiros. Quais são
esses números?
€) São dadas as equações 10y + 4: 16y - I e
9x - 4: 6x * 8. Nessas condições, calcule:
a) o valor do número Y
b) o valor do número r 
'
72
4x
J
3-x
8
t-5
oL
c) o produto de y Por x
d) o quociente de Y Por.r
LO Na resolução de um problema, um aluno
montou a seguinte equação, considerando a le
tramcomoaincógnita
7m-1 m-4
dessaequaçao é um número positivo ou negativo?
L I- QuaI deve ser o valor racional rle x para que
setenha ?"*5.(2x-3):
L2 Dad,aa expressão x - 2' (3 - 2x), qual
deve ser o valor de x para que essa expressão
se]a lgual a zero(
L3 Dada a equação *-un - ,
responda:
a) Quais são os divisores naturais, do número
que representa a solução dessa equação? r
b) Qual é o valor numérico da expressão 0,1 :
sendo x a raizda equação dada?
c) Qual é o número que representa o quadrado
da raiz dessa equação? ':')
I-4 Na equação (m - 3)' x * 3x + 4l' (m - 5) : 0,
temos que x : 2. Nessas condiçeres, qual é o
número que expressa o valor dalelttam? -,
e.(aI -1) * 112
2.
x-2
1
x
Equaç,õs5
e charadas
1. Resolva a charada da abertura desta
Unidade (páginas 104 e 105), usatrdo uma
equação.
2. Crie uma charada parecida com essa e dê
para o colega resolver.
132
0
A arte de Íazer e desÍazer
Construíndo uma expressão numéríca e uülízando as operações ínversas para desfazê-la
Construindo a expressão
Começo com o número 4.
Multiplico essenúmero por 3 - 3 x 4
Subtraio5doproduto > 3 x 4 - 5
Valor da expressão : 7
Vamos, agora, construir e resolver uma equaçào.
Construindo a equação
Penso em um número x.
Multipiico esse número por 3 --' 3x
Subtraio 5 do resultado + 3x - 5
obtenhoT-3y-5:7
Qualéonúmerox?
Desfazendo a expressão
Começo, agota, com o número 7.
Adiciono5 aessenúmero 
- 
7 + 5
Diviclo a soma por 3 --* (7 + 5) : 3
Valor obtido : 4
Resolvendo a equaçao
Começo, agora, com o número 7.
Adiciono5aessenúmero - 7 + 5
Divido a somapor3 --* (7 + 5) : 3
Valor obtido : 4
Logo, o número pensado é 4.
|lIC^
l,atnal
Quando vamos resolver um problema, devemos:
) Ler com atencão o problema e levantar dados'
) Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equaÇões, usando letras e símbolos.
) Resolver a equaÇão estabelecida.
) Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente'
Vejamos alguns exemplos de problemasem cujas solucões serão usadas equacões do 1e grau
com uma incognita:
1 Em uma turma, 2Oo/, dos alunos treinam handebol. Sabendo-se que a turma ainda tem 24 alunos
que treinam outros esportes, quantos alunos há, ao todo, nessa turma?
O problema nos pede para encontrar um certo número que representa o número total de alunos
de uma turma.
133
Vamos, entã0, indicar esse número pela lelray e escrever a equacao correspondente. usando a
incognita y onde for necessário indicar o número desconhecido.
Convém lembrar que
,2_Q
)oi
20%: ff : -s-
:20
1
L AA:V -t- 14: v
-----> número total de alunas c'a turna
r----> número de alunos que tretnam o-,tros esporie,ç
---+ número de alunos que treinam handeboi
Resolvendo a equacão, temos:
1-j-v+24:v5'
+- t?0 : a355
y + 120:5y
y: 5y - 120
Y-5Y:-120
-4y : -120
4y : l2o
t20v- 
4
Y:30
Nessa turma há, ao todo, 30 alunos"
2 Numa turma de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turma ou gostam de
samba ou gostam de mÚsica sertaneja ou gostam de ambos. A professora perguntou:
- Quem gosta de música sertaneja?
36 alunos levantaram a mão.
A seguir, a professora perguntou:
- Quem gosta de samba?
28 alunos levantaram a mão.
Nessa turma, quantos alunos gostarn, ao mes-
mo tempo, de música sertaneja e de samba?
Para resolver este problema, podemos montar
o seguinte diagrama:
134
A parte colorida de verde representa o número de alunos que gostam, ao mesmo tempo, dos
dois tipos de música: x.
A parte colorida de amarelo representa o número de alunos que gostam de música sertaneja,
mas não gostam de samba: 36 - x.
A parte colorida de laranja representa o número de alunos que gostam de samba, mas não
gostam de música sertaneja: 28 - x.
A soma desses números deverá dar o total de alunos da sala. Assim, teremos a equação:
(36-x) + x + (28-x) : 42
ll t -* total de alunos
l + gostam apenas de samba
gostam dos dois tipos de musica
--- > gostam apenas de música sertaneia
Resolvendo a equacão, temos:
(36-x) +x+(28-x):42
36 -,x+.x+ 28 - x: 42
-x + 64: 42
-x: 42 - 64
-x: -22
x: 22
Nessa turma, hâ 22 alunos que
gostam, ao mesmo tempo, dos
dois tipos de música.
3 Uma tábua de comprimento 100 cm deve ser repartida em duas partes. 0 comprimento da parte
maior é igual ao triplo do comprimento da menor. Determinar o comprimento de cada uma das partes.
0 problema nos pede para encontrar dois números que representem os comprimentos de cada
parte da tábua que foi repartida, sendo um o triplo do outro.
Vamos, então, representar esses comprimentos por x (da parte menor) e 3x (da parte maior).
Escrevendo a equaÇão correspondente, temos:
x+3x:rl 100l -- ,o^orimento da tábua
Resolvendo a equaçã0, temos:
x + 3x: 100
4x: 100
*:f:zs 25 cm --> comprimento da parte menor
3 ' 25 : 75 cm ------+ comprimento da parte maior
0s comprimentos das partes sao 25 cm e 75 cm.
135
4 Em um estacionamento há carros e motos num total de 38 veículos e 136 rorlas, Quantas
motos e quantos carros há nesse estacionamento?
0 problema nos pede para encontrar dois números. Vamos indicar por:
136
--> total de rodas
rl a' ,I
x:38 - 8: 30
Como cada moto tem2 rodas e cada carro tem 4 rodas, vamos escrever a equacão:
(38 - x)
Resolvendo a equacã0, temos:
2x+4.(38-x) :136
2x + 152 - 4x: 136
-2x+152:136
-2x: 136 - 152
-2x: -16
2x:16
*: 16 :8
2
número de motos : 8
número de carros : 38 -
No estacionamento há 8 motos e 30 carros.
5 Júnror e Luís jogam no mesmo time de fute-
bol de areia, No último campeonato, os dois juntos
marcaram 52 gols. Júnior marcou 1O gols a mais
que Luís. Quantos gols Júnior marcou nesse cam-
peonato?
0 problema nos pede para encontrar dois
números. Vamos indicar por:
) x, o número de gols que LuÍs marcou
) x + 10, o número de gols que Júnior
marc0u
136
Como os dois juntos marcaram 52 gols, vamos escrever a equação:
x+x+10:52
I
I t número de golsque os dois marcaram juntos
e Júnior marcou
Resolvendo a equacão, temos:
x+x+10:52
2x+10:52
2x: 52 - l0
2x: 42
42x::f :21
Luís marcou 21 gols
Júnior marcou 21 + 10 : 31
Júnior marcou 31 gols e Luís marcou 21 gols. f
Usando uma equação do 1a grau com uma in-
cógnita, vamos resolver os seguintes problemas:
1- A soma do quádruplo de um número com
63 é igual a271,. Qual é esse número? 37
2 Ao triplo de um número adicionamos 90. O
resultado é igual ao quíntuplo do mesmo nú-
mero. Qual é esse número? 45
3 A soma da quarta parte com a sexta parte de
um número é o mesmo que a diferença entre o
número e 56. Qual é esse número? e6
5 Descubra a idade de Mauro.
4 A diferenCa entre f
lesmo número é igual a
rfl€rO? .
e a metade de um
o' . Oual é esse nú-2-
Se você diminuir * au área de um terreno,ó^
rea passará a ser de 7 725 rn'. Qual é a ârea
desse terreno, em metros quadrados? s ooo ,-
7 lJrtreservatório estava totalmente cheio de
água. Inicialmente, esvaziou-se * O, capacida-
xa_
A metade do mínho idode
mais f, do minha ídode
éiguol o 52 onos.
Quol é o.minho idade?
137
de desse reservatório e, a seguir, foram retirados
400 { de ágta. O volume de água que restou no
reservatório, após essas operaçoes, corresponde
u 1 aucaoacidade total do reservatóricr.5',
a) Quantos litros de água cabem nesse reser-
vatório? o:,.: ,
b) Quantos litros de água restaram no reser-
vatório? , ôoo ,
€3 Em uma caixa cabem 24 garraÍas. Se você co-
locar 1 520 garraÍas em caixas como essa, r.ai obter
x caixas cornpletas e urna incompleta, com 8 gar-
rafas. Quantas caixas completas você r,ai obter?
63ca.,s
9 Quantas páginas tem o livro que Luna está
lendo? r 80 các r:s
Já li -= do totol de
3
póginos de um livro e
oíndo foltom 72 páginas.
L0 Foi feita uma pesquisa sobre a preferên-
cia na leitura de três jornais. Verificou-se, então,
que a metade dos entrevistados lia o jornal Á,
)
f lia o jornal B e 235 pessoas liam o jornal C.
O""1i:1.:.O"ssoas foram entrevistadas?
I- I- Se adicionarmos um número natural com
o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por
5, vamos obter 635. Qual é o número natural
considerado? e-.
L2 Uma empresa tem a matriz em São Paulo
e filiais em todo o Brasil, e possui um total de
7 264 funcionários. O número de pessoas que
trabalharn nas filiais é o triplo do número de pes-
soas que trabalham na matriz. Quantos funcio-
nários trabalham na m.atriz dessa empresa?
L3 Uma tábua tem 120 cm de comprimento
e deve ser dividida em duas partes, de tal forma
que o comprimento cla menor seja igual 
^ +do comprimento da maior. eual é o comprimeí-
to de cada parte? a5 ^ ii :, r. . -.
138
L4 Numa turma de 30 alunos, 6 (lscrevem com
a mão esquerda (canhotos) e dois €:screvem corn
as duas mâos (ambidestros). Quantos alunos es-
crevem apenas com a mão direita rldestros)?
t-a :;
L5 Em um terreiro há galinhas e coelhos, nurn
iotal de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e
quantos coelhos há nesse terreiro?
L6 A soma de dois números é 62'.7 e a difererL-
ça entre eles é 49. Quais são os doirs números?
ó54 - laa
L7 Sérgio e Toninho compraram 200 figur,"
nhas. Destas, 36 foram rasgadas e não puderarn
ser aproveitadas. Das figurinhas restantes, Ton:.-
nho ficou com 10 a mais que Sérgio. Com quan-
tas figurinhas ficou cada um? Sé.g,: 77, ron rro: 87
L€B Numa partida de basquete, a equipe ,(
venceu a equipe Y por 15 pontos de diferença. o
número de pontos que a equipe X marcou cor-
responde " + do número de pontos que a
equipe Y marcou. Qual foi o resultaclo desse jogo?
r00 85
L9 O esboço abaixo é de uma rodovia que pas-
sa pelas cidades A,B, C e D, entre as; quais as dis-
tâncias são medidas em quilômetros. Sabendo-
se que de Á até D são 402krn, qual é a distância:
a) de B até C?
b) de C até D?
86 lr"
c) de B até D?
.i44 k'l
2(O Em um torneio de basquete, cada vitória
vale 2 pontos e cada derrota vale 1 ponto. Ncr
torneio do último ano, uma equipe disputou 3i
jogos e atingiu um total de 65 pontos. euanta
vitórias conseguiu essa equipe? :_ .r ,.j
7.. (Enern/98) Um armazém recebe sacos de açúcar de24kgpara que sejam
empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível parapesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.
Na atividade ll, ao usar a balança
pela primeira vez, podemos
separar massas de '12 kg Ao
distribuir 12 kg entre os dois
pratos, de modo que a balança
atrnla novamente o equilíbrio,
podemos montar pacotes de
6 kg Com um pacote de '1 2 kg e
outro de 6 kg, podemos montâr
um pacote de 18 kg
I - Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de:
a) 3kg c) 6kg xe) 12kg
b) akg d) Skg
II - Realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podem ser feitos são os de:
a) 3kge6kg
b) 3 kg,6 kg e 12 kg
xc) 6kg,12kge18kg
d) akgeSkg
e) 4k9,6 kg e 8 kg
2. Numa balança de Roberval (de dois pratos), um tijolo (inteiro), colocado num dos pratos, é
equilibrado colocando-se no outro prato um peso de * O" quilo e I a.tijolo. Qual é o peso
do tijolo inteiro?
(Olimpíada de Matemática - São Paulo)
3
4
de kg
-3 detloo
3. Se um tijolo "pesa" um quilograma mais meio tijolo, quanto "pesa" 1
-L tiioto 
3 ko
44"
41?
-1rloo 4 
,s
'1 tiiolo:3kg
tijolo e meio? 3 quitogramas
1kg
139
^,
ç0a5:
zl tafrcfl5 .
Você já estudou as fórmulas matemáticas que usamos para calcular áreas de figuras geométrt-
cas planas e o volume de alguns sólidos geométricos'
Essas fórmulas representam um tipo especial de equaÇão e, por esse motivo, a resolucão de
equações também será útil na resolucão de problemas que envolvem fórmulas matemárticas.
Vamos recordar:
A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela medida
da altura ou largura.
Se indicarmos por A o número que representa a área, por b o número que representa a medida
da base ou comprimento e por h o número que representa a medida da altura ou largura, essa regía
poderá ser abreviada e escrita sob a forma de uma equacão: A : b ' h.
Vejamos alguns exemplos:
I A área de um terreno em forma de trapézio mede 50 m2. A medida da base menor é 8 m e a
medida da altura é 5 m. Calcular a medida da base maior.
A área do trapézio e dada
(B+b) .hOorff,emqueBéa
medida da base maior, b
8m
é a medida da base
menor, ehéa
medida da altura.
Usando a fórmula, vamos escrever a equacão do 1e grau com uma incognita:
(B+8) .5O_ (B+b) 
.h 
=50:,l 2
Vamos resolver a equaÇão e obter o valor de B.
(B+B) .5
2
58+40
2-
58+40
:50
50
100
58 + 40: 100
58: 100 - 40
58:60
^60B : =--
5
B: 12--z---z-
A base maior mede 12 m.
140
2 0 volume de uma piscina com a forma de um bloco retangular é de 120 m3. 0 comprimento da
piscina é 8 m e a sua larguraé 5 m. Calcular a proÍundidade da piscina.
0volumedeumblocoretangularédadopora.b.c,emqueaéocomprimento,béalargura
ecéaaltura.
8m
Usando a fórmula, vamos escrever a equacão do legrau com uma incógnita:
a.b.c:8.5.c:120
40c :120
"_ 
120 + n_?'40
A profundidade da piscina é de 3 m.
L O perímetro de um polígono representa a
soma das medidas dos lados desse polígono. O
perímetro de um retângulo é 60 cm. A medida
da base é igual ao dobro da medida da altura.
Calcule as dimensões do retângulo. ) ).
2 O perímetro de um triângulo é 27 cm. As
medidas dos lados são expressas por três nú-
meros inteiros e consecutivos. Quais são as me-
didas dos lados do triângulo?
3 Para indicar o comprimento de uma circun-
ferência, usamos a fórmula C:2'fr'r, na qual
C representa o comprimento e r representa a
medida do raio. Se consideramos n: 3,14, de-
termine a medida do raio de uma circunferên-
cia de comprimento igual a 314 cm. .c
IJm terreno tem a forma de um trapézio com
a área de 270 m'. A base maior desse terreno
mede 20 m, e a altura, 15 m. Quanto mede a base
menor do terreno?
(. (B+b)'h )
I area oo üaPezro 
: , I\Á)
5 Num terreno retangular, a medida do con-
torno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da
frente do terreno. Se for colocada grade de ferro
na frente do terreno, quantos metros de grade
serão necessários? rom
(6 Afórmula usada para calculan aârea de um
retângulo é: ârea: b ' h, em que b é a medida
da base eh é amedida da altura. Se a área de um
terreno retangular é de 360 ^2 
. uma das suas
dimensões é 72 m,calcule a outra dimensão. so .
7 A raizda equação 
-L 
- '";' : ,
é, também, raiz da equação:
a) 3x : -15
b) 3x:27
c) 3x:9
d) 3x: 15
€B Verifique se o número -5 é raiz da equação
6(x + 5) - 5x:25. s,,r
€) Sao dadas as equações 5x * 7 :77 e
7y - 5: 5y - 9. E correto dizer que os valores
de x e y são números simétricos ou opostos? sim
t4t
xs-rctclos
LO Sao dados três números naturais expres-
sos por 2x, x e x * 4. A soma desses três núme-
ros é 116. Determine o produto desses três rrú-
meros. 50 176
I- L Na figura abaixo, as medidas estão expres-
sas em centímetros e o seu perímetro é igual a
36 cm. Qual é o valor de x? z
3x
I- 2 Escreva a equação que corresponde à sen-
tença: "três quartos de um número aumentado
do dobro do mesmo número é igual à metade
I-3 Determine o quadrado daraíz da equação
2'(x-2) + 3'(x-2):6.(x - 1). 16
L4 O campeonato de Fórmula 1 terminou
com o campeão levando 7 pontos de vantagem
sobre o vice-campeão. Se os dois juntos, cam-
peão e vice, somaram 173 pontos no final da tem-
porada, quantos pontos cada um marcou nessa
tempOrada? 90 p."t.. e 83 po-rcs
L5 Sabendo que 0,5 ' (1,5x - 70,6) : 0,7, de-
termine o número x. 8
LG Para uma excursão foram alugados 4 ôni-
bus e em cada ônibus foram colocados 35 alu-
nos. Além dos alunos, alguns professores parti-
ciparam da excursão. Se, ao todo, 150 pessoas
foram nessa excursão, quantos professores fo-
ram a esse passeio? io p'ciessc'es
L7 Um tanque está completamente cheio de
â5uu.Deixando-se escoar 68 litros de água, o
tanque fica ainda com a terça parte da sua caPa-
cidade total. Qual é a capacidade desse tanque?
102 ,tros
L€i Considere a seguinte equação:
X,
à-2x2+px'1-q==Q.
Se a raiz dessa equação for 3, qual a relação cte
igualdade que você pode escrever entre os nú-
meros p e q?
L9 O IBGE contratou um certo número cle
entrevistadores para reahzar o recenseamento
em uma cidade. Se cada um d,eles visitas:;e
100 residências, não seriam visitactas 60 residên-
cias. Entretanto cada recenseador visitou 102
residências e, dessa forma, todas as residênciils
foram visitadas. Quantos recenseradores fora,m
contratados para realizar o censo nessa cidadr:?
30 râceisêaoores
20 Um professor de Educaçã,o Física corn-
prou 3 bolas de basquete e 5 bolaLs de voleibol,
gastando ao todo R$ 105,00. Cada bola de bas-
quete custa R$ 3,00 a mais que a bola de volei-
bol. Nessas condições, calcule o preço de cacla
bOla. BS 12,0C (bola de vo eibol) e RS 15,00 bc a oe oasrJe:e,
2L Em um concurso na televisão, um candi-
dato foi submetido a perguntas sobre música
popular. Ao acertar a 1a pergunta, ganhou certa
quantia. Acertou a 2a e ganhou o dobro da quan-
tia inicial; acertou a 3a e ganhou o triplo da quan-
tia inicial e, finalmente, acertando a 4a, ganhou
o quádruplo da quantia inicial. Se esse candida-
to recebeu nesse programa R$ 2 500,00, qual é o
valor do prêmio inicial? RS 2so.o
22 Em um torneio de futebol, uma equipe
venceu f aot jogos que disputou, empatou1-
f dos jogos e perdeu apenas 2.
142
a) Quantos jogos a equipe disputou nesse toSoneio?
b) Quantos jogos ganhou? r8 iosos
c) Quantos jogos empatou? 1o josos
23 As aulas de Matemática, Ciências e Dese-
nho Geométrico representam, juntas, f ao.rri-
mero total de aulas que um aluno tem durante a
semana. Sabendo que o aluno tem 18 aulas de
outras matérias durante a semana/ responda:
a) Qual o total de aulas que o aluno tem duran-
te a semana? 30 a"ra"
b) Quantas são as aulas de Matemática, Ciên-
cias e Desenho? 12 au as
c) Se das aulas dessas matérias f .o.."rpo.,-
de às aulas de Matemática, quantas aulas de Ma-
temática o aluno tem durante a semana? 6 autas
24IJma tábua com 2,85 m de comprimento
foi dividida em 3 partes. A primeira delas tem
0,90m de comprimento, enquanto a segunda
tem o dobro do comprimento da terceira. Deter-
mine, em metros, o comprimento da segunda e
da terceira tábuas. o,6b m e 1,30 m
0bserve esta situacão:
Uma dupla de tenistas disputa, em um torneio, 4 partidas.
No quadro seguinte,vamos colocar todas as possibilidades de vitórias e de derrotas dessa
dupla no torneio.
Derrotas Partidas disputadas
0 4+0:4
1 3*l:4
2+2:4
1+3:4
4 0+4:4
lndicando-se pela letra x o possÍvel número de vitorias e pela lelra y o possível número de
derrotas, a sentenÇa "Uma dupla de tenistas disputa, em um torneio, 4 partidas" pode ser representa-
da pela sentenca matemática:
x*Y:4
Essa sentenca matemática e chamada equaÇão do 1e grau com duas incógnitas.
Assim, podemos afirmar:
Toda equaÇão que pode ser reduzidaauma equivalente daforma ax + by: c, c0tT1
a + 0 e b + 0, denomina-se equação do legrau com duas incógnitas, xey.
Exemplos de equações do 1s grau com duas incógnitas:
x+y:23 x-y:19 3x+y:7 2x-3y:t1
f C,tlL COAA
Vitorias
4
2
3
3
2
1
0
143
aqu,açao do le Sraw con^ dms i
Considerando a equaçáo 2x + 5y : 16, quais devem ser os valores dos números x e y para que
a igualdade seja verdadeira?
0bserve:
a) Se atribuirmos a x o valor 3 e a yo valor 2, teremos:
2_J1 +5'.(2) :16
6 + 10 :16 a igualdade é verdadeira
b) Considerando x :
2.(-2) * L(+) :
-4 +20:
-2 eY : 4, teremos:
16
16 
- 
aigualdade éverdadeia
c) Considerando x : + o y : 3, teremos:
z
1
2 . + + 5 . (3) : 16I
l- * ;: 16 
------------+ 
aiguatdadeéverdadeira
d) Considerando x : 4 ey : 1, teremos:
,_y+9."(1) :16
8 + 5 : 16 aigualdadenãoéverdadeira,poisS+ 5+ 16
e) Considerando x : _.40 y : |, t.r.rnor,
3
2.-4t+5.(+) :ru\5/
!--\- L-___1-
-8 + 2 : 16 --------+ aigualdadenãoéverdadeira,pois -B + 2 + 16
Pelo que foi visto acima, você notou que existem vários pares de números que tornam verdadei-
ra a equacão:
x:3ay:2
x:-2ay:4
1x:)-eY--3
Todos esses pares de valores são soluções da equação 2x * 5y : 16. 0s outros pares não são
soluções da equaÇão dada.
144
íol,wçao da- uu^a
Então:
Uma equacão do 1e grau com duas incognitas tem infinitas soluções.
Cada solução da equacão é um par ordenado de números: o primeiro número
representa sempre o valor de x, enquanto o segundo representa sempre o valor de y.
Daío nome par ordenado,
lndica-se: (x, y).
Assim:
) OpardevaloresformadopoÍX:3ey: 2éumasoluÇãodaequaÇão 2x+5y:16. Essasolução
pode ser indicada por (3, 2).
) O par de valores formado por.X: | . y: 3 é outra solução da equaÇão 2x + 5y: 16, EssaZ
lt \
solução pode ser indicada oor [], SJ.
As soluÇões de uma equação do legrau com duas variáveis podem ser encontradas atribuindo-
se valores para aincógnita x (ou para a incógnita y) e, a seguir, calculando-se o valor da outra incógnita.
Exemplos:
1 Determinar pelo menos três pares ordenados que sejam solucões da equacão 2x + y : 3.
Vamos atribuir valores arbitrários parax, calculando em seguida o valor de y:
X:1
2x+y:3
2.U*y:3
2+y:3
Y:3-2
Y:1
(1, 1)
X:-4
2x+y:3
2.(-4],*y:3
-8+Y:3
Y:3+8
Y: 11
(-4, 11)
2*: 
3
2x+y:3
, (+)r v:3
+.Y:3
43y9
3 - 3 -T
4+3Y:9
3y:9-4
3y:5
Y:+
(2 5)
[='=.,l
Logo, os pares (1, 1), -4, lr, . [+ +) são algumas das solucões da equacão 2x 
+ y : 3.
145
2 Determinar uma solucão da equacão 3x - Jy : -12, na QUal y : 6.
3x-7y:-12
3x-7(6) :-72
3x - 42: -12
3x:-12+42
3x:30
.. 30x:f:10
Logo, o par (10, 6) é uma solução da equaçã0.
3 Sabe-seque2x * 3y:7. Sex :2m + 1ey: rTl - 3, determinarovalordem, dexede,y.
2x+3y:7
2'(2m + 1) + 3'(m - 3) :7 _ ---- substituimosxporseu valor2m+leypeloseuvarlorm_ 3
4m + 2 + 3m - 9: 7 reso/vemos aequaçãodo . graucujaincógnitaén,
7m-7:7
7m:7 + 7
7m: 14
m: 14 :27-
Vamos calcular o valor de x e o valor de y:
x:2m+1:2.(2)+1:4+i:5
Y:lTl-3:2-3:-1
Logo,ÍÍ1 :2,x:5ey:-1
Sabe-se que y : 10 - 3x. Nessas condicões, determinar o valor de x na equacão 7:< - 3y: 1g.
7x - 3Y: l3
7x - 3. (10 - 3x) : 18 --------> subsiltuímos y peto seuvator 10 _ 3x
7x-30+9x:18
16x - 30: 18
16x: 18 + 30
16x : 48
*:48 :3^ - 16
Logo, temos QUe x : 3.
L Escreva uma equação que represente
uma das seguintes situações:
cada
a) OnúmeroÍau-
mentado do núme-
royéiguala61.
b) O dobro do nú-
mero r diminuído
de 7 é igual ao nú-
meroy.
c) A soma do triplo
do número Í com o
quíntuplo do nú-
meroyéiguala100.
d) O número x
pera o número y
7 unidades.
e) A metade do nú-
mero Í corresPon-
de ao dobro do nú-
mero y.
f) Dois terços do
número .Í menos
três quintos do nú-
meroyéiguala1.
a su-
yeII.
3x + 5y: 1gg
2 Vamos representar pot x aidade de Mariana
epor y a idade de Gabriela. Escreva uma equa-
ção que represente o seguinte fato: a diÍerença
entre a idade de Mariana e a idade de Gabriela é
2 anos. x y:2
3 Veja o preço de cada item.
Escreva uma equação que represente cada uma
das seguintes situações:
a) O livro e o caderno custam juntos 32r,?lr, u
b) O livro custa 25 reais a mais que o caderno.,-y+25
c) O preço do livro é seis vezes o preÇo do ca-
derno. x : 6y
d) Se eu comprar 2livros e 5 cadernos, vou gas-
tar 60 reais. 2x + 5y: 60
4 Vamos representar por Í o número de carros
epoÍ y o número de motos que há em um esta-
cionamento. Escreva uma equação que exPres-
se cada uma das seguintes situações: 
x + y : 20
a) No estacionamento há, ao todo,20 veículos.
b) O número de carros é igual ao triplo do nú-
mero de motos. ^ 3v
c) O número de carros supera o número de
motosem12. t.y 12
d) A metade do número de carros é igual a cin-
co vezes o número de motos. ) , : u,
e) No estacionamento há, ao todo, 42 rodas.
ar-2y-42
5 Considerando a equação 9x * y : 1, verifi-
que se cada um dos pares ordenados a seguir é
solução dessa equação.
a) (0,1)
b) (1,0)
c) (1, -8)
d) (-1, 10)
6 Dada a equação 2x -f 3y : 1, verifique se
cada um dos pares ordenados a seguir é solu-
ção dessa equação.
a) (-1, -1) não b) (-1, 1) sinr
7 Sô existe um par ordenado de números in-
teiros que é solução, ao mesmo tempo, das equa-
çõesx + y :3 ex - y : 7.QualéessePar? \2 1)
€l As figuras a seguir são um quadrado e um
triângulo eqüilátero, onde x é um número que
representa a medida do lado do quadrado, e !t
um número que representa a medida do lado
do triângulo eqüilátero.
a) Qual é a equação que representa o fato de as
duas figuras terem perímetros iguais? +* : sv
b) Se o lado do quadrado mede 15 cm, quanto
mede o lado do triângulo? 20,,.-,
c) Se o lado do triângulo mede 12 cm, quanto
mede o lado do quadrado? g..
147
x+Y:61
x-y+/orx-Y:7
L^:2,
2
€D Verifique se o par ordenado (3, -2) é solu-
ção, ao mesmo tempo, das equações x f 2y : -7ex-2y:/. s
LO Apresente três pares ordenados que sejam
soluções da equação x * 2y : Ç.
Existem ,rárias coss b I dêfes dê rescosre
L L Determine uma solução da equação
4x * y: 20, quando:
n) 1:Q Dx:-+
L2 Determine urna solução da equação
10x - 3y :7, na qual:
a) y:l bl y: 4L,3
L3 Sabendo que x : 5y * 6, dertermine o va-
lor de y em cada uma das seguintes equações:
a)2x+y:34 --
b) 3x - 2y: -27
c) 5x:y : I
6/
Consideremos a seguinte situacão:
Em um jogo de voleibol não há empa-
te. Por esse motivo, o regulamento de qual-
quer torneio de voleibol manda assinalar 2
pontos para cada partida que a equipe ven-
ce e 1 ponto para cada partida que a equi-
pe perde. Se uma equipe disputou 4 partr
das e somou 7 pontos, quantas partidas
venceu e quantas perdeu?
A resposta pode ser encontrada no
quadro seguinte, no qual vamos colocar to-
das as possibilidades quanto ao número de
partidas que a equipe venceu e perdeu, de
acordo com os dados acima.
Número de
partidas que
a equipe venceu
0
1
2
3
4
Número de
partidas que
a equipe perdeu
4
3
2
1
0
Númeio de
partidas
disputadas
0+4:4
1+3:4
2+2:4
3*l:4
4+0:4
Soma dos pontos
0.(2) +4.(1) :4
l.(2)+3.(1) :5
2.Q)+2.(l):6
3.A-1.(1):7
4.(2)+1.(0) :8
148
Observando o quadro e de acordo com os dados da situaçã0, notamos que a equipe venceu 3
partrdas e perdeu 1 partida, pois esse é o único par de números que satisfaz as duas condições
apresentadas no problema:
) aequipedisputou4partidas --------- 3+ 1:4
) aequipesomouTpontos 
---------> 
3'Q) + 1'(1) :7
Porém, esse processo de resolucão torna-se, muitas vezes, longo e trabalhoso.
Para resolver essa situaÇão de uma forma mais simples e rápida, podemos utilizar equações do
1e grau com duas incognitas.Veja como:
Vamos representar por:
) x o número de partidas que a equipe venceu.
) y o número de partidas que a equipe perdeu.
Assim, podemos traduzir as duas condições do problema pelas seguintes equacões:
X+Y:4e 2x+1y:7
total de partidas
ns de partidas que perdeu
ns de parttdas que venceu
Lf total de pontospontos por derrotas
pontos por vítórías
Como as duas equaÇões se referem ao mesmo fato, elas são ligadas pelo conectivo e e, em
Matemática, dizemos que formam um sistema de duas equações do 1s grau com duas incógnitas,
x e y, e indicamos por:
Ix+y:4
Jz** y:7
O par ordenado (3, 1), que torna verdadeiras as duas equaÇões ao mesmo tempo, é chamado
soluÇão do sistema.
Convém notar que cada uma das equaÇões, quando considerada isoladamente, tem infinitas
solucões, mas o sistema de equaÇões por elas formado tem uma única solução'
Conno d,eteru^inar c,,5ohçao dre u;nn gitlau^ct
da- dtwaE a, ui0,çÓq5 do \e o,tl cotU^ dulag i nttas
Já sabemos como formar um sistema de equaÇões do 1s grau com duas incógnitas. Sabemos
também que o sistema apresenta uma única soluçã0, quando ela existe. Como faremos para desco-
brir que o par ordenado (3, 1) é a solução do sistema de equaÇões formado com os dados do
problema?
t_l
149
Acompanhe os exemplos.
I Vamos resolvero sistema x * Y : 4
2x+Y:7
Observe o processo de resolucã0.
le passo 2e passo
Como a equação mais simples do sistema é a Na outra equacã0, vamos substituir a incógni-
primeira, vamos determinar o valor de x nessa ta x pelo seu valor 4 - y:
equaÇão: 2x+y:7
2 . (4 - Y) + y : 7 --------- equação do 7e grau
B-2Y*Y:7 naincognitaY
8-y:7
-Y:7 -8
-Y: -1
Y:1
ge passo
Substituindo o valor de y em x: 4 - y, deter-
minamos o valor da incógnita x:
x:4-Y Essemétodode
x:4 - (1) resoluçãoéchamado
x:4 - 1 ,'i'oaoa^substituicão'
X:3
Logo, a solucão do sistema é dada pelo par
ordenado (3, 1).
2 usando o método da substituicã0, vamos resorver o sistema 2x - 5y : 6x: 4y
Da 2e equacã0, temos: x : 4y
Substituindo x pelo seu valor 4y na primeira equacã0, temos:
2x-5y:6
2.(ayl - 5y:6
8y-5y:6
3y:6
tr: 6,3
Y:2
x+Y:4
x:4-Y
150
Substituindo o valor de y em x : 4y, temos:
x: 4y
x: 4'(21
X:B
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2).
3 vamos resolver o sistema i x + Y : 4l2x+Y:7
Observe o processo de resoluçã0.
le passo 2e passo
Da primeira equação, vamos determinar o valor Da segunda equação, vamos determinar o va-
de x: lor da mesma incognita x:
2x+y:7
2x:7 -y
x- 7 -y ,a
x*Y:4
x:4-y 1
3e passo
Comparando as igualdades 1 e 2, temos:
4 - y : 
7 
;u equação do 7e grau- I na ncogníta y
2'(4-yl :1'(7-Y)
22
2(4 - y) : 1(7 - y)
8-2y:7-Y
-2y:7-y-B
-2v---v-1
-2Y + Y: -1
-y:-1 = Y:1
{e passo
Substituindo o valor de yem X : 4 - y, temos:
x:4-y
x:4-(1)
x:4-1=x:3
Logo, a solucão do sistema é o par ordenado
(3, 1).
Esse método de
resolução é chamado de
método da comparação.
Usando-se o método da comparacã0, resolver o sistema
Da primeira equaÇão, temos que x - -2y.
Da segunda equaçã0, vamos determinar o valor de x:
3x + 7Y: -5
3x: -5 - 7y
-5-7v
3
151
l*: -2y
[3x+7y:-5
X:
Comparando as duas igualdades, temos:
..,_ -5-7y_t_y _ 
3
-6y _ -5-7y33
-6Y:-5-7Y
-6Y+7y:-5=y:-5
Substituindo o valor de y em x : -2y, temos:
x: -2y
x: -2.(-5) = x: 10
Logo, a solucão do sistema é o par ordenado (10, -b).
Daí, podemos concluir:
Resolver um sístema de duas equacões do 1e grau com duas incógnitas, x e y, significa
determinar o único par ordenado (x, y) que é sorução do sistema.
Para determinar a solução (x, y) de um sistema de duas equações do 1e grau com duas
incógnitas, podemos usar o método da substituição ou o método da comparacão.
Veja este exemplo:
Em um terreiro, temos galinhas e coelhos. São 17 animais e 48 pés. Quantas galinhas e quantos
coelhos há nesse terreiro?
Vamos representar o número de galinhas pela letra x e o número de coelhos pela letra y.
Vamos formar o sistema:( -_
I x + it : 1/ são 17 animais
IZ*+ 4y:4 sãoulpés
Resolvendo o sistema, temos:
x+Y:17
x : 17 - y
2x+4y:48
2'(17 -Y) + 4y:48
34-2y+4y:49
34+2y:49
2y:48-34
2y :14
l4Y: 
2
y : 7 (número de coelhos)
X : 17 - y
X: 17 - (7)
x : 17 - 7
x : 10 (número cle galinhas)
No terreiro há 10 galinhas e 7 coelhos.
152
Desafío na balança
Quantos pesos de 1 quilograma devem ser colocados no prato vaziopara equilibrar a balança? s
153
?-.
xqrclçlo5
L Carlinhos e Celso têm, juntos, 201 figurinhas.
Carlinhos tem o dobro de figurinhas de Celso.
Monte um sistema de equações para represen-
tar as duas condições dadas. ' :2''
2 Montando um sistema de duas equações, re-
presente as seguintes condições: com 15 livros,
uns com 3 cm de espessura e outros com 5 cm
de espessura, poderemos formar uma pilha de
livros com 50 cm de altura. ,,. 
'., 
=tuo
3 Verifique se o par ordenado (8, 1) é a solução
dosistema {x - 8Y: o
lx-3y:5 i
4 Verifique se o par (7, 3) é solução do sistema
Í9"-2y:75 ,,oILx+y:4
5 O par (-3,5) é solução do sistema
Í-"*2Y:72
Ig*+8y:31
Essa aÍirmação é correta? -ão
(6 Usando o método da substituição, resolva ca-
da um dos seguintes sistemas:
.[*+y:20,23 ..Ix:2v o Ja)< ' b)i r
Ix-3Y:-12 [2x-5y 3
7 Usando o método da comparação, resolva ca-
da um dos seguintes sistemas:
,[*+v:10 ,8,- ..Iv:6x ( rra)1 ' b)<'
Ix-|3y:14 [3x-2y:54
€i Usando qualquer um dos métodos, determi-
ne a solução de cada um dos seguintes sistemas:
.[*'v:6 L2 -.lzx 3 .a){ ' d)< r'Ix:y+2 [3x+2y:8
b\{":2v e) {v : z" * z'f2x+5y:9 ,2x-y:-4
.l{**y:5 - O{2"+y:5
Ix-y:1 l8x-y:5
6 9t9sN
€) Em urna revendedora há x carros e y motos,
num total de 22 veículos. Esses veículos apre-
sentam um total de 74 rodas. Monte um sistema
de duas equações e determine quaintos carros e
quantas motos há nessa revendedora.
I-O Um sorvete custa x reais e um doce custa
y reais. A diferença entre o preço de um sorvete
e o preço de um doce é 4 reais. Raquel tomor:
um sorvete e comprou dois doces, gastando ao
todo 13 reais. Qual é o preço do so,rvete?
1 1 O preço de uma lapiseira é o triplo do pre*
ço de uma caneta. Se as duas juntas custam 24
reais, qual é o preço de cada uma?
1 8 rea s .rp se r:) e 6 ,aa s a-,,
L2 Uma tábua com 2,85 m de comprimento
foi dividida em duas partes. O comprimento x
da primeira parte tem 0,93 m a mais que o com-
primento y da segunda. Qual é o comprimento
de cada parte? :e -
13 Um livro tem 760 pâginas e eu já li uma
parte dele. O número x de páginas que já li
.5correspond" u ; do número y de páginas que
Íaltapara eu terminar de ler esse livro. Quantas
páginas eu já li?
I-4 Um colégio tem 30 professo:res. O núme-
ro x de professores que ensinam outras maté-
rias é igual a quatro vezes o número y de pro-
fessores que ensinam Matemática. (f,uantos pro-
fessores ensinam Matemática nesse colégio?
154
z, o
't ,3
Santos Dumont, o gênÍo que seduzÍu ParÍs
Alberto Santos Dumont é um daqueles estranhos
heróis nacionais que todo brasileiro conhece - maspouco ou nada se sabe sobre ele. O que a história oficial
diz e que de Íoi o Pil da Aviação. E que, abordo do
esquálido 74-Bis, movido a um pequeno motor
Antoniette de 50 cavalos, sobrevoou o Campo de
Bagate1le, ernParis, no dra 23 de outubro de 1906 -háexatos 90 anos.
Neto de francês, nasceu em Cabangu, sul de Minas
Cerais, cidade que hoje leva seu nome, a20 dejulho de
1873. Estudou no Rio de Janeiro e em Campinas, depois
foi para Paris, onde chegou errr7892, com apenas 19
anos.
Fonte: Globo Ciência, out.1996.
/k"to áconn W"u
Para homenagear Santos Dumont, vamos recordar seu mais importante feito, através de um
problema:
A multidão presente ao campo de Bagatelle aclamou Santos Dumont, quando o 14-Bis voou,
aproximadamente, x metros, durante y segundos.
Determine a distância percorrida pelo 14-Bis e o seu tempo de vôo, sabendo que:
x*y=67
X - 2y : 46 o T4 Bis percorreu 60 metros, durante 7 segundos
U
ô
ô
I
o
o
IJm cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos
pesadas cargas.
Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo quando o burro lhe
disse:
- 
"De que te queixas? Se eu tomasse um sacodos teus, minha carga
passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um de meus
sacos, tua carga igualaria a minha!"
Quantos sacos levava cada um dos dois animais? o burro evava z sâcos, e o cava o, s
t)
/t,
Fonte: Rattista de Ensíno de Ciências, nq 13, jun. 1985 - Funbec.
155
lí'^
i -êr, 'i:.
f.
*
Pesquisa realizada pela Fundação de Proteção e Defesa do CorLsumidor
em 14 lojas de são Paulo apurou o valor médio de 17 itens no mês de janeiro
de 2001 e no de 2002.
Observe os dados organizados na tabela a seguir referentes a 1.1 desses
itens:
A PESOUISA DO PROCON
Produto
Preço médio em RS
15e16.jan.01 14e15.jan.02
Lápis preto no 2 (unidade) 020 024
Lápis de cor (cx. com 1 2 cores) 3,00 3,25
Caneta hidrográÍica (cj. com 1 2 cores) 3,91 4,04
Caneta esÍerográÍica cristal (unidade) 0,40 045
Bonacha branca - látex (31 mmx21 mmxT mm) 0,18 0,22
Cola bastão (1 0 g) 183 1,83
Cola branca lavável (40 g) 0,56 0,64
Regua plástica cristal (30 cm) 036 038
Caderno universitário/capa dura/espiral/1 matéria (96 fls.) 3,99 3,71
Caderno universitário/capa dura/espiral/1 0 matérias (200 Íls.) 7,03 653
Caderno brochura 1 14 de capa dura (96 Íls ) 224 2,20
Folha de S.Paulo, )7 jan.2002
a) Qual o produto que manteve o preço médio nos dois períodos? coâ basiào 1ro sl
b) Quais os produtos que em janeiro de 2002 apresentaram queda no preço médio em relaçáo a
janeifO de 2001? :acle'r: , veTS t:ir o (96 Íc has), caderno un versitár o (200 Íolhas) e caclerno brochura (capa dura - !)ô Íorhas
c) Entre os produtos que tiveram queda no preço médio, qual deles apresentou a maior queda de preço?
cad.- ' /ô'c'rà',o (200 io iasrd) Entre os produtos que tiveram aumento no preço médio, qual deles apresentou o maior aumento
de pfeçO? canera lr crográi ca (cl conr I2 cores)
I- Caio ganhou Í reais de seu pai, enquanto
Celso ganhou y reais de sua mãe. A diferença
entre o dobro da quantia que Caio ganhou e a
quantia que Celso ganhou é de 10 reais. Escreva
uma equação do 1a grau com duas incógnitas
que expresse essa condição. r ,,::3
2 Serâque o par ordenado (-7,5) é uma solu-
ção da equação 8x + 5y : -37?
4 Sabendo-se que x : y f 6, qual é o valor d,:
y na equação 5x - 4y : 70?
5 Encontre três soluções da equaçã,f, 3x - 2y : 1'.
Verifique se o par ordenado <- l, ) I A sc-
ão do sistema [:x + 2v : -20
Ix + 4Y : -5
7 Determine o par ordenado (x, r') que rePr€r-
senta a solução do sistema !3x + 2y 74. ':
ls* -:y 17
156
-lÍotonao
lnbÍ^oç,^o
€! Dado o sistema {r" y 
: -3
[-x y:-2
em que (x, y) representa a solução do sistema,
determine o valôr de x2 + y2. 2
9 (Saresp) Na promoção de uma loja, uma cal-
ça e uma camiseta custam juntas R$ 55,00. Com-
prei 3 calças e 2 camisetas e paguei o total de
R$ 140,00. O preço de cada calça e de cada cami-
seta, respectivamente, é:
a) R$ 35,00 e R$ 20,00
b) R$ 20,00 e R$ 35,00
c) R$ 25,00 e RS 30,00
- d) R$ 30,00 e R$ 25,00
LO (Saresp) Num pátio existem motos e car-
ros, num total de 36 veículos. Sendo 126 o núme-
ro total de rodas, os carros existentes no pátio são:
.a) 27 b) 27 c) 18 d)e
L L As figuras a seguir têm o mesmo perÍmetro:
Nessas condições, responda:
a) Qual a equação do 1a grau com duas incóg-
nitas que expressa a condição dada? 2x + 10 = 4y
b) Se o comprimento do retângulo mede 2L crn,
qual a medida do lado do quadrado? T3 cm
c) Se o lado do quadrado mede 15 cm, quanto
mede o comprimento do retângulo? 25 cÍ)
L2 Saodados dois números x e y.A soma des-
L3 Tenho 36 fitas gravadas. O número de fi-
tas de música brasileira é igual ao triplo do nú-
mero de fitas de música estrangeira. Quantas
fitas de música brasileira eu tenho? 27 iltas
I-4 Com 22Livros de 3 cm e7 cmde espessura
formou-se uma pilha de 106 cm de altura. Quan-
tos livros de cada espessura foram colocados?
10 llvros de f cfi e 12 |ivros de 3 cnr
Material escolar:
qual a melhor hora
Para comPrá-lo?
Nem sempre o dinheíro está sobrando...
Lista na mão, é hora de comprar o
material escolar. Para evitar gastos
desnecessários, verifique primeiro no
material do ano anterior se há itens que
podem ser reutilizados. Jogo de esquadros,
régua, compasso, apontador, lapiseira são
alguns itens que não precisam ser comprados
todos os anos. Por isso, vale a pena cuidar
bem deles.
No início do ano, compre apenas o
material que for absolutamente necessário.
Procure deixar o restante da compra para
maio ou junho, meses em que os preços já
estão mais moderados. Alguns chegam a cair
pela metade!
Pesquise em mais de uma loja quanto
custa cada item de seu material escolar. Leve
em consideração o tipo e a marca. Por exemplo,
é melhor comprar um lápis de boa marca, cuja
grafite não se quebre facilmente, do que um
que o leve a apontá-lo mais vezes, devido à
grafite já vir quebrada no interior do lápis,
consumindo-se mais rapidamente e obrigando-o
afazer o mesmo gasto mais de uma vez, nurn
curto espaço de tempo. No caso de cadernos,
por exemplo, a preocupação é outra: às vezes, a
cor da capa, o desenho nela impresso ou os
selinhos que vêm como brinde acabam
dobrando ou até triplicando o preÇo. Na hora
de decidir, pense bem se vale a pena pagar mais
caro pelo caderno que, afinal de contas, servirá
apenas para você anotar as matérias na escola.
Pensando assim você estará dando a sua
contribuição paÍa a economia na sua casa... e no
seu país!
\r
157
Lsturdrando,c$
Ueanào a lelra x, como poàemoe repreeenlar a lem?eratura ambiente àe Grarnaào
naquele àia, excluinào a temperatura mínima? Como reo?oeta, poàemos àizer:
) x àeve eer um número maior que 3, ou seja, x ) 3
) x àeve 6er um número menor ou igual a 16, ou eeja,x -( 16
Logo, x àeve representar o número 16 ou um número compreenàiào eníre 3 e 1Q), ou seja,
5<x(16.
Verlfraamoe que ao eenlengas x ) 5 e x ..( 16 eào àesigualàadee que apresentam um
elemenlo àeaconhecido, ou eeja, a inoógnita x,
Esse lipo àe oentença malemâtica, que recebe o nome àe inequagào, é objeto do eeluào
que faremoe neela Uniàade.
p
,g
É
ô
Yeja mais eelae
Íot o grafia s à e G ram a à ol
Ac.ilqu /
Ap*d, do serulo X7II) as serLten+os fiuteffiítlcls passarutns scr esctatas c§fit
[etrss {e dtv"rsos atfabetos representanía Íítntüos desconÍwciías.
Assim,surgiram as equacões, que são sentenças matemáticas representadas por igual-
dades em que um ou mais elementos são desconhecidos.
O *.rro tratamento é dado às inequacões, assim chamadas por também terem um ou
mais elementos desconhecidos mas representarem desigualdades.
Alguns sínais matemátÍcos
Muítos dos sínak usados em Matemátíca você já conhece.
No entanto, vale a pena recordá-los e até explícar como alguns deles foram ínv'entados.
Este sinal indica que o que está escrito à sua esquerda tem o mesm() valor do
que o que está escrito à sua direita.
O uso do símbolo : para indicar a
igualdade entre duas quantidades nÍÍo é muito
antigo. O primeiro afazer uso dele foi o
matemático inglês Robert Recorde (1 51 0-1 558).
Cansado de escrever "igual a", Recorde
decide substituir essas duas palavras por um
par de segmentos de reta paralelos e de
mesmo comprimento. Mais tarde, jtLstificou a
adoção alegando que "não pode ha'rer duas
coisas mais iguais".
Este símbolo significa exatamente o oposto do precedente: duas
expressões, dois números ou mesmo dois conjuntos separados pelo sinal *
não são iguais entre si.
6+72
160
: (é igual a)
9-2:6+1
(é diferente de)
Existem ainda os sinais:
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I 10 11 12
I
7 <'
EIes estão estreitamente ligados ao símbolo de igual. Como estamos habituados a ler da
esquerda pata a direita, o símbolo ( representa duas semi-retas que partem do mesmo ponto e vão
se "distanciando" , enquanto o oposto ocorre com o símbolo >.
O criador desses sinais foi o matemático e astrônomo inglês Thomas Harriot (7560-7627).
E interessante notar que na notação
musical são usados dois sinais semelhantes
aos dois últimos para indicar o crescendo e
o decrescendo:
3+ DesiSu,aldade
Uma sentenÇa matemática em que se use o símbolo # (diferente de) representa uma desigual-
dade. Exemplos:) 2+ 5 + 10 
------+ 
asomadedoisecincoédiferentededez
I 32 + 23 
- 
' o quadrado de três é diferente do cubo de dois
) 2' 7 + 72 
- 
o dobrode sete é diferente do quadradodesete
Você pode verificar que:
Se a * b, poderá ocorrera > b ou a < b.
161
< (é menor que) > (é maior que)
Assim:
2+5<10
\+ L\!
ab
A semelhanca das igualdades, temos para as desigualdades:
t* 2e membro
7e membro
Í, ?L
ab
Nãovalemparaasdesigualdadesdotipoa>boua<baspropriedadesreflexivaesimétrica,
ou seja:
) a > a ou a < a são sentencas falsas.
) se a > b, então b > aou sea < b, então b < a sãosentencasfalsas.
Porém, vale para as desigualdades a propriedade transitiva:
) se a > be b > c, entãoa > c ou se a < b eb < c, entãoa < c.
Já vimos e aplicamos os princípios de equivalência de uma igualdade representada por uma
equaca0.
veremos agora o que ocorre quando aplicamos os princípios aditivo e multipliczrtivo em uma
desigualdade.
Para isso, escolhemos as sentencas 10 > 3 e -4 < -1 como exemplos. Ncl entanto, os
princípios continuam válidos para quaisquer outras desigualdades.
Princrpio aditivo
Consideremos a desigualdade 10 > 3.
vamos adicionar o número 2 aos dois membros da desigualdade e teremos:
162
+ 2e membro
+ Temembro
Princfttios de q'
2-'l 'l:-
ab
Considere, agora, a desigualdade I < 10. Vamos adicionar o número -2 aos dois membros:
Observando que as desigualdades têm o mesmo sentido daquelas apresentadas, e como esse
fato sempre ocorre ao adicionarmos um número qualquer, podemos dizer que:
Quando adicionamos um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade,
obtemos uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.
Prinerpio nnrrÍ,tip[icativo
Consideremos a desigualdade 10 > 3.
Vamos multiplicar os dois membros dessa desigualdade pelo número positivo 2 e teremos:
Considere agora a desigualdade -4 < -1 evamos multiplicar pelo número positivo 2 os dois
membros:
Observando que as desigualdades têm o mesmo sentido daquelas apresentadas, e como esse
fato sempre ocorre ao multiplicarmos por um número positivo qualquer, podemos dizer que:
Quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número
positivo, obtemos uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.
Consideremos novamente a desigualdade 10 > 3. Vamos, agora, multiplicar os dois membros
dessa desigualdade pelo número negativo - 1:
163
Considere novamente a desigualdade -4 <
desigualdade pelo número negativo - 1:
-1, Vamos multiplicar os dois membros dessa
r4
Observando que as desigualdades têm
fato sempre ocorre ao multiplicarmos por um
l
o sentido inverso daquelas apresentadas, e que
número negativo, podemos drzer que:
CSSE
Quando multiplicamos os dois membros de
negativo, obtemos uma nova desigualdade
uma desigualdade por um mesmo número
com sentido invertido.
L Isa é mais pesada do que Bel; por isso, quan-
do brincam na gangorra,Isa precisa dar um im-
pulso com as pernas para BeI poder descer. En-
tão Bel resolveu carregar a sua mochila escolar
paÍa a gangorra. O que muda na brincadeira
delas se Isa também levar a sua mochila, que
tem as mesmas coisas e é idêntica à de Bel?
Nao muda nada, segundc o prlncip o aditlvo
Qual é o primeiro membro da desigualdade
+ 22 < $'+ »2?
3 Sendo x > 18 e 18 > y, qual a propriedade
da desigualdade que nos permite concluir que
x > y? propr eclade tra -s : va
4 Você pode afirmar que, se a > x, então x ) a?
5 Sendox - 1 ( 10, é correto escrever
x - 1 * 1 < 10 + 1? Em caso afirrrLativo, qual rr
í:ti;.i,p#,.Le "eguivalência 
que você us ou ?
6 Dada a desigualdade x + 9 > 20, podemos
adicionar -9 aos dois membros daL desigualda-
de (princípio aditivo). Simplificando os dois
membros, qual a nova desigualdade que vamo:s
obter?
V Dada a desiguaidade 3x < 72, podemos di-
zer que x < 4? Em caso afirmativo, qual o prin-
cípio que aplicamos? s : ::: l
€l Dada a desigualdade -x <7,pelo princípio
multiplicativo podemos multiplicar os dois
membros por -1. Qual é a nova ilesigualdadt:
obtida?
€) Dada a desigualdade 4x > 20, podemo:;
multiplicar os dois membros da ctesigualdadt:
1poÍ i,pelo princípio multiplicativo. Qual a
nova desigualdade que vamos ob,ter, simplifi-
cando os dois membros? \ 5
164
fJ-
35)nzqwaçao
Um retângulo tem x metros de comprimento e y de largura, enquanto um triângulo eqüilátero
tem 5 m de lado. Qual a sentenca matemática que podemos escrever para expressar o fato de
o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do triângulo eqüilátero?
Vamos fazer um desenho de acordo com os dados da situacão:
Sendo p, o perímetro do retângulo, e pz o perímetro do triângulo eqÜilátero, temos:
h:2xl-2Y
p, : 15
Como, de acordo com a situaÇão, devemos ter p, ) gz, à sentença matemática pedida é:
2x+2y>15
22 Um reservatório, quando totalmente cheio, pode conter y lttros de água. Se retiramos 50 litros
de água, a quantidade que resta é menor que 3 da capacidade total desse reservatório. Qual
a sentenca matemática que expressa esse fato?
Vamos fazer um desenho de acordo com os dados da situação:
De acordo com os dados da situaÇão e do esboço feito, a sentença matemátíca pedida é:
1e
I d, 
"rpr" 
dade tota y
4
Em cada uma das situações apresentadas obtivemos uma sentenca matemáticit com um 0u
mais elementos desconhecidos (íncógnitas) expressa por uma desigualdade.
Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e que
representa uma desigualdade é denominada inequação.
Assim:
2x + 14 > 9 é uma inequação com uma incógnita: x
3y - x . í é uma inequacão com duas incógnitas: (x e y)
Não são inequacões:
52+5>33-2 + Embora seja desigualdade, não possui e/emento desconhecido.
. ---------> E uma equacão.5x+1:46-4x
Também para as inequações, vale a nomenclatura:
y-x
e) quadrado
0 par
1- A sentença matemática 3x - 2 <1 é uma ine-
quação? Justifique sua resposta.
2 Por que a sentença (2 + 10) : (2 + 4) < Z +
* 10 : 2 -f 4náo é uma inequação?
3 Identifique o 1a membro e o 20 membro em
cada uma das inequações:
)a)1-4x(x+á
4 Indicando por x o número de letras de uma
palavra, verifique se a inequação x < 5 pode ser
aplicada à palavra:
a) matemática d) área
2e membro
1e membro
5 Escreva uma inequação para ceLda uma das;
seguintes sifuações:
b)+-1>**A
L16
a) O dobro de um
númeroraumentado
de7 é maior que 20.
b) Dois terços
de um número
z é menor que
o dobro de um
númeroy.
c) A diferença
entre o quádru-
plo do número
xe1.émaior
que 20.
d) A sonra de um
número.l: com seus
4.: e ITI€ÍlOr que l.
5',
b) zero
c) lado
e) AdiÍerença entre o triplo de urn número
x e a metade desse número é mair:r que 1.
166
^1
2
6 A medida do lado de um quadrado é x
metros, enquanto os lados de um retângulo me-
demT m e 3 m. Escreva uma inequação que re-
presente o fato de o perímetro do quadrado ser
maior que o perímetro do retângulo. 4x>20
7 Urnacaneta custa x reais e uma lapiseira cus-
ta y reais. Nessas condições, escreva uma ine-
quação que corresponda a cada uma das seguin-
tes condições:
a) A caneta e a lapiseira juntas custam mais de
10reais. x+y>ro
b) O preço de três canetas é menor que o preço
de 5 lapiseiras. 3x < 5y
7x-4x>l
3x>1
€l Um terreno retangular tem x metros de com-
primento e 30 metros de largura. Escreva uma
inequação que represente cada uma das seguin-
tes condições:
a) O perímetro desse retângulo tem menos de
500 metros . 2x + 60 < 5oo
b) A área (produto do comprimento pela largu-
ra) tem mais de 300 metros quadrados. 30x > 300
9 Em um recipiente cabem r litros de um lí-
quido. Se retirarmos 3litros de água desse reci-
piente, sobra menos da metade da capacidade
do recipiente. Escreva uma inequação que repre-
senteessefato. , 3< 1*
pelo princípio adít:o
pelo princípio aditivo
7x+6>4x+7
7x>4x+7 -6
7x>4x+1
3x>1
incognita x
5t>10
ncognita t
Denomina-se inequação do ls grau com uma incógnita toda inequaÇão que, sofrendo transfor-
macões oportunas, assume uma das Seguintes formas: aX > b, aX < b, aX > b, ax < b, Com a + 0.
Assim, são inequações do 1e grau com uma incógnita:
Resolveruma inequaÇão do 1e grau com uma incógnita significa determinar os valores do con-
junto universo que verificam a desigualdade que representa essa inequaÇão.
Para isso, vamos aplicar os princípios de equivalência das desigualdades e proceder da mesma
maneira que fizemos para as equacões.
Veja alguns exemplos:
I VamosresolverarnequaÇão 7x + 6>4x + 7, sendoU: Q.
*'+
incogníta y incógnita p
pelo princípio mulftplicativo
167
Da inequaÇão x > {, ooO.ros dizer que todos os números racíonaís relativos; maíores que
1
f formam o conjunto soluÇão da inequacão dada, que representamos por:
S : {* e o lx r l}
3J
2 Resolvera inequacão += + - +, sendo u : e.
x - I 2-3x2- 4 - 5
10x 5 4'(2-3x)
20 20 20
10x< 5- 4 '(2 - 3x) petoprincípiomuttipticativo
10x<5-8+I2x
10x<-3+12x
10x-12x<-3 pelo princípio adit:o
multiplicamos por (- 1)
princípio multtplicativo
-2x < -3
2x> 3
*=+
Todo número racionalmaior ou igual u I Urparte do conjunto solução da inequação dada, ou seja:
s:{*eolx=a}l"-'<t^- 2J
3 Qual éoconjuntosolucãodainequacão4. (x- 1) -2.(3x+ 1) <7,sendoU:e?
4.(x - l) - 2 '(3x + t) <7
4x- 4 - 6x - 2<7 elimínamososparénteses
-2x-6<7
-2x<7 + 6
-2x < 13
pelo princípio aditivo
multtplicamos por (- 1)
pelo princípio multtplicativo
2x > -13
*r-13
2
Todos os números racionais relativos maiores qr. -+ formam o conjunto solucão da inequacão
dada, que podemos indicar:
s--{-cetx=-+}
Verificar se os números racionais -9 e +6 fazem parte do
5x-3.(x+6) >x -74.
conjunto solução da inequaÇão
Vamos, inicialmente, resolver a inequação dada.
5x-3.(x+6) >x-14
5x-3x-18>x-14
2x-18>x-14
2x>x-14+18
2x> x + 4
2x - x> 4
x> 4
Vamos, agora,fazer a verificação:
para o número -9, temos: -9 > 4 Gentençafatsa)
para o nÚmero 6, temos: 6 > 4 Gentençaverdadeira)
Então, o número 6Íazparte do conjunto solução S da equaÇão, enquanto o número -9 náofaz
parte desse conjunto.
Paulo trabalha como vendedor numa loja de eletrodomésticos. Seu salário
mensal é obtido pela soma de uma parte fixa de R$ 500,00 e uma parte variável
que corresponde a R$ 2,00 por aparelho vendido. Nessas condições, determine:
a) o salário de Paulo no mês em que ele vendeu 54 unidades. R$ 608,00
b) a expressão matemática do seu salário mensal s, sabendo que ele vende p ou
mais unidades todo mês. s > 5oo + 2p
=À
E
c
.Ea
.9
l
169
4
I- Determine, para cada uma das seguintes
inequações, quais números racionais represen-
tam uma solução:
a) x+15>21 6
b) x-18<-23 :
2Urnretângulo tem 5 cm de largtra,enquan-
to um quadrado tem 11 cm de lado. Quais os
valores (em centímetros) que o comprimento do
retângulo pode assumir para que o perímetro
desse retângulo seja maior que o perímetro do
quadrado? x > 17
,a l
2
x
3 Em um recipiente cabem Í litros de líquido.
Se tiramos 2 litros desse líquido, a quantidade
que resta no recipiente é menor qlr" ] da ca-^5
pacidade do recipiente. Monte a irLequação cor-
respondente e determine os possívr:is valores ra-
cionais de x.
4 Sendo U : Q, determine o conjunto solução
S de cada uma das seguintes ineq.uações:
.x5a) 2 - 3
.)+'+-
b) ":Lr,*+
1 x-2
6' 3
fx(-1 {'eo *
{x€Qlx>91
t
x€
xf1 x-2d4=s xeQix<-4
L >zo
x-1
4
e) -x)
5 O número 3 pertence ao conjunto solução da
inequação ft* - z) < )- - tz
les pertencem ao conjunto solução da inequação
3(2x-1)<5x-1? ô 3!
2-x
al
eí
sl
zl
170
d) 11, - 9x> 2x
e)
f)
s)
13x-1<9x*1
3'(x-l)-2x>73 x >16
8x+19<10x+11
r!
)'
Algebra
Analise a situação a seguir e tire suas conclusões.
Vagner colocou um anúncio no quadro de classificados do supermercado próximo à sua casa.
Entre as pessoas que leram o anúncio, estão:
Agora, responda:
a) Qual dos interessados tem a maior quantia Para comprar o carro? N lton
b) O que você pode afirmar sobre a quantia que cada um tem?
Anaie'r..-enosôeO000,Nitontemmasde24000,Bicardotem11000eKátatemmenosde18000reais
c) Você poderia afirmar exatamente a quantia de que Kátia dispõe? Por quê? E quantos reais
Ricafdotem? Nao,poselapoclererquaquerquantaabarxoclelS000reas Ricarciotem'l 1000reas
d) Compare as quantias de Ana e Kátia. o máxlmo que Ana pode ter é a terÇa parte do máxinro que Kétra pode ter
e) Observe as inequações:
Compare essas situações com as representações algébricas que você fez. Em seguida, identifique
cada possível comprador com uma das sentenças dadas.
f) Qual o único interessado que tem uma situação que pode ser traduzida por uma equação? qicarao
(Atividade baseada err.: Experiências Matemáticas,7" séie, Secretaria de Estado da Educação/CENR São Paulo, 1994.)
5e eu conseguisse o
dobro do guontio gue tenho,
oindo ossim não conseguirio
comPror o corro.
5e Vagner concordor
com um desconto de 1 000 reais,
poderei compror o cotro e
não me sobro nodo.
Com metode do
guontio gue tenho posso
comProrocorroeoindo
sobro dinheiro.
Um terço do guontío
de gue disponho nõo otinga
a metode do volor pedido
Por vogner.
Nllton Ricardo KátiA
171
Ya)
Iratando
Àh.1^"*ro
A expectatÍva de vida em gráfircos
J
7
Na edição de4dez.2007,
a Folhq de S.Paulo ilustrou uma
matéria sobre a expectativa de
vida do brasileiro com os
seguintes gráficos:
1991
Por sexo
Diferenga: 7 ,2 anos
I es,a
Média Homem Mulher
68,10 68,40 68,60
Fonte: IBGE
ldade
Anos 1 950 1 960 1 970 1 980 1991 1998 1999
De acordo com as ilustrações, responda:
a) Que tipo de grâÍico está representado em cada figura?
b) De que trata cada gráfico?
c) Qual o significado da sigla IBGE?
d) Qual sexo tem maior expectativa de vida em 1991? E no ano 2000?
e) Em relação a7950, quantos anos o brasileiro está vivendo a mais no ano 2000?
172
E
WoÉvôruçÃo DA ExP
Ir
Fonte: IBCE
ft^ 
awdo o qwa-aYtrendeu
A Uma indústria se instala em uma cidade Á.
De acordo com os seus estatutos, o número de
empregados que residem na cidade Á deve ser
sempre maior que onúmero de empregados vin-
dos de outras cidades. Sabendo-se que vieram
50 empregados de outras cidades e sendo x o
número de empregados que residem na cidade
A, q,ual é a inequação que representa as exigên-
cias do estatuto dessa indústria?
2 Qual é a inequação que você pode escrever
quando multiplica os dois membros da
3 Qual é a solução da inequação
x*3
x - 2(x + 1) < + no conjunto Q?r§
S. ir€' , c, i
4 Dentre os números -3, 0, 5, B e 9, quais
pertencem ao conjunto solução da inequação
x-7 Y
= +_+_<l.sendoU:e? 3,0,, I510
5 Se você multiplicar a fração # Oot um nú-
mero racional x e do resultado subtra' 7r 15,
você encontrará um valor meno, t.t" f-. ou-
termine os valores de r que satisfazem o proble-
ma. x- I
10
6 Considere a inequação
7x-'L 2x- 43(x-2)- 2 = S .Quaisosnume-
ros inteiros negativos que fazem parte do con-
junto solução dessa inequação? 3, -2, l
7 Qual deve ser o maior valor inteiro que Í
pode assumir para que o perímetro do triângu-
1o da figura 1 seja menor que
quadrado da figura 2? .l
o perímetro do
12
figura 1 figura 2
€l Sendo IJ : N, qual é o conjunto solução da
inequação 4x - 1. < 2 + 3x? s .. r', 2
9 Determine o conjunto solução da
3(2x+1) 2x-l1 - 10(x+2)zbó
sendoU:Q. .:{-." --+l
inequação
6x-7
10 Sendo 5 o conjunto solução da inequação
3x - 7 > 3(-1 + 2x) - 2x no conjunto Q, qual
das seguintes afirmações é correta?
a) 0eS b) -3€S c) -4€S, d) -5cS
L I- Se você multiplicar 0,5 por um número ra-
cional x e ao resultado adicionar 1,75,vai encon-
trar números maiores que 4. Quais os valores que
x pode assumir para satisfazer essa condição?
I-2 Todos os números racionais negativos são
soluções da inequação -x ) 0. Essa afirmação é
verdadeira ou falsa? , .- ,eÍ.
L3 Sendo dada a inequação x < f, grrui.
dentre os números -9, -6,0,3 e72 satisfazem
essa inequação? r, e - 6
L4 (Saresp) Um espião de guerra
enviou ao seu comando a
seguinte
mensagem:
O comando sabia que a letra n representava o
número de foguetes do inimigo. Fazendo os cál-
culos, o comando descobriu que o total de fo-
guetes era:
a) 1 094 b) 1 095 c) L 096 d) 7 097
5n+25>Ó5OO
-bn +35a1 > 210 -5n
173
LEtyrdc^ürdo
Oagmar prefere ela rneema
fazer ae sombrinhae;
coloriàas da eua farnília.
Corteium circulo
àe caàa aor e vou
àiviài-los em
8 partea iguais.
tttot
?ara eaber a meàiàa
do ângulo de caàa parte
àiviài 360' por O.
^05 an
Jâ emenàei 3 parteo;
45o + 45" + 45" =135'.
Vou continuar emenàanào
até aompletar 360'.
31 0 ân3 url,o a-5qur5 el,qu^qntw r
Veja como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes princ:ipais:
Nos modelos matemáticos de figuras que sugerem a idéia de ângulo, podemos clestacar duas
semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano em duas regiões: urna convexa e
outra não-convexa.
reg rao
nao-convexa
semi-reta semi-reta
Denominamos ângulo a região convexa formada por duas semi-retas não-opostas que
têm a mesma origem.
No ângulo da figura a seguir, destacamos os seguintes elementos:
V
vérlice do ângulo
0bservação
Quando não houver dúvida quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notacão
que indica apenas o seu vértice.
ângulo AOC
Nesse caso, há três àngulos com
^^^vérttces em O: A0B , B)C e A)C .
) 0 ponto 0, origem das semi+etas, denominado vértice do ângu o.
----) )
) As semi-retas 0A e 08, denominadas lados do ân61ulo.
Para identificar esse ângulo utilizamos a notação Aô8.
ângulo BCC
Ânguto ô ou nôs
^^^
Angulo P ou MPN
176
ângulo AOB
36Medid ad,ew^^ân3n(,o
a
A* dos proltmws nwk wrngos, rcgktraíos na h'stótin da cíw(izsçm, é o da
lívixião da círcwfubrcia eÍÍL &rcos de mesmaÍÍrcíila.
O "grau" teve origem por volta de 5000 a.C. Acredita-se que seu surgimento ocorreu
Sol girava em torno da
completa: desta forma,
circular, determinando o
pela necessidade de contagem do tempo. Segundo os babilônios, o
Terra numa orbita circular, na qual levava 360 dias para dar uma volta
a cadadia, o Sol percorria um arco equivalente . ,h- desta órbita
ângulo central que foi denominado "um grau".
lPor volta de 3000 a.C. os habitantes da Suméria, antiga região da baixa Mesopotâmia
(Asia), construíam carros cujas rodas tinham seis raios opostos diametralmente, determinando
ângulos centrais de mesma medida.
'Íut Ato nos leva a concluir que os meso-
potâmios, naquela época, já dominavam um processo
de divisão da circunferência em 6 partes iguais. A divi-
são da circunferência em 360 graus so é observada
entre os assírios e caldeus.
Drrr-r- a Hiparco de Nicéia (século ll a.C.),
considerado pelos gregos o pai da Astronomia, a pri-
meira divisão do círculo em 360 partes iguais com o
objetivo de medir ângulos.
Acadaum desses 360 arcos, em que a circun-
ferência foi dividida, associamos um ângulo cuja medi-
da chamaremos de 1 grau.
A medida de um ângulo é dada pela medida
de sua abertura, e a unidade padrão utilizada é o
grau, representado pelo símbolo'após o número.
1 grau corresponde a medida do ângulo (com
vértice no centro da circunferência)associado a um
arco de + da circunferência.
)o * es roo 1f6
lon $.
,lfà oez on osz o!,,
177
r
{
-o
I
I
o
F
o
o
=
P
grau
Para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo de 1" (um grau). Na
prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor, 0 transferidor já vem graduado
com divisões de 1o em 1o.
transferidor de 360"
Veja como utilizar o transferidor para medir
Colocamos o transferidor de modo que seu
centro coincida com o vértice do ângulo.
Colocamos a escala correspondente ao
zero no transferidor sobre um dos lados
do ângulo.
Vejamos mais alguns exemplos:
um ângulo.
) ldentificamos na escala do transferidor o nú-
mero interceptado pelo outro lado do ângulo.
^ 
No exemplo abaixo, a medid.r do ângulo
A0B é 55', e indicamos: med (A0B) : 55o.
transferidor de 780"
ned (MNP) : 130"
p-'(
dlo .§
178
Na hora de estudar ou trabalhar
Se você costuma passar a maior parte do dia sentado, pode contrair dores nas costas, pescoÇo e
ombros.
Veja algumas sugestões para evitar esses problemas:
a) Prefira cadeiras firmes em que possa ajustar a altura do assento e a inclinação do encosto. O
encosto deve ser acolchoado e consistente.
b) As cadeiras giratórias facilitam a acomodação ao sentar-se, e os movimentos, enquanto estiver
sentado.
c) Evite curvar-se na realização das atividades, ajustando a distância entre a cadeira e a mesa de
trabalho.
d) Ao ajustar a altura do assento da cadeira, deixe as pernas e coxas em um ângulo de 90o, de forma
que seus pés fiquem apoiados completamente no piso.
179
med (DEF) : 90"
À rlos co
Consideremos os ânguÍos nôg , MÊg ubuíro'
Ao transportarmos um ângulo sobre o outro,
ângulos coincidem.
notamos que os vértices e os lados dos dois
Assim, nôa e MÊQ possuem a mesma abertura e,
portanto, a mesma medida.
o -D
II
coi ncidente
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e
utilizamos o símbolo : para relacioná-los.
meo (RôB) meo (MÊQ)
usamos o símbolo :
quando comparamos
medidas
usamos o símbolo =
quando comparamos
Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não congruentes.
med (ABC) :82"
u;l,o wilo q àn' u;|o dre wn^c^voí,ta
Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta.
A
BAC é um ângulo raso ou de meia-volta
Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
ângulo nulo ângulo de uma volta
Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos:
) de meia-volta ) de uma volta
: 180"
) nulo
o
med (BAO : 360"
med (BAC) :0'
l8t
L Idenfifique o vértice e os )ados dos ângdos
indicados abaixo:
a)
2 Identifique todos os ângulos e nomeie-os:
3 Dê as medidas dos ângulos indicados:
o
b)
5 IdenüÍique os pares de ângulos congruentes,
no exercício anterior.
6 Construa, com a ajuda do transferidor, urn
ângulo de:
a) 42" b) 90" c) 125' d) 180"
7 Quantomede, em graus, um ângulo de meia-
volta?
€l Quanto mede, em graus, um àrgulo de urr.a
9 Doisângr-rlos, aôg e vtÊQ,sãocongruentes.
Sabendo-se que med (AOB) : 50. e
^med (MPQ) :2x, qual o valor de.r e qual a mo-
dida de rraÊQz
LO Dois ângulos congruentes t.êm suas me-
didas expressas por (2x - 10)' e (x * 20)o, rer;-
pectivamente, Qual o valor de x e quais as me-
^a) med (AOB)
^b) med (AOC)
^c) med (AOD)
^d) med (AOE)
^e) med (AOF)
^f) med (AOG)
^g) med (BOE)
^h) med (EOF)
4 Usando um transferidor, encontre a medida
c)
X
de cada ângulo:
At
Do tempo em
que o relógio
tÍnha corda
Um relógio parou marcando 5 horas. Os
ponteiros formaram, então, o ângulo
destacado a seguir. Após
"dar corda", o relógio
voltou a funcionar.
Ao chegar às
6 horas, o ângulo
formado por essa
nova posição dos
ponteiros aumentou
ou diminuiu?
Quantos graus mede o
182
r
novo ângulo?
31 )paraçctzt con^ Anedid.ag d,e ànyil,os
Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas há ângulos que
não possuem como medida um número rnteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em
medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau.
Para escrever a nedida de um àngulo uttlizando o minuto e o segundo, usamos a base 60 de
numeração:
) minuto ----------> símbolo: '
1 minuto : +- do grau, ou seja, 1o : 60,
) segundo -- símbolo: "
1 segundo : +- do minuto, ou seja l' :60,
1" : §g'
1 grau é igual
a 60 minutos.
1' = 69,
1 minuto é iguat
a 60 segundos.
Por exemplo, o ângulo de medida 18,5' pode ser escrito assim:
18 graus e
30 minutos
nuExpressar 75" 12' em m
15":(15.60)':900'
Acompanhe os exemplos a seguir:
Expressar 1o em segundos.
Como 1" : 60'
60':(60'60y':3600"
Então,1o:3600"
d,a- u;nidadqs
transformamos graus em minutos
transformamos minutos em segundos
tos.
TranElrtttuna,
900'+ 12' :972'
75" 12' :912'
1
183
3 Expressar 90' em graus e minutos.
eol60
9 140
314
140
20
4 Expressar 9 740'em graus, minutos e segundos.
Em algumas situacões, principalmente nas operações com medidas de ângulos, precisamos
simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos:
Simplificar 54" 60'.
54'60' : 54" + 60' :54" + 1o : 55"
2 Simpliflcar 18'126'.
18" 126' : 1Bo + 126' : 1Bo + 2o + 6' :20" +6' :20'6'
152 | 60
90':1'60'+30'
90' : 7'+ 30'
90' : 1' 30' fi grau e 30 minutos)
-----> 
9140' : .152 .' 60' + 20" : I52' 20", 'lt
9140' :2" 32'20'
(2 graus, 32 minulos
e 20 segundos)
184
30 1
3 Simplificar 27' 75' 80'.
27' 75' 80" : 27" + 75, + 80,, : 27" + 16, + 20,, : 2g. + 16, + 20,, : 2g" 16, 20,
I,+16,
De modo prático:
20, 16'
29" 16, 20,
Para adicionar duas ou mais medidas de ângulos, devemos adicionar segundos com segundos,
minutos com minutos e graus com graus, fazendo a simplificacão, quando necessário.
Vejamos alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:
) 12" 17' 30' + 20" 5' 15' ) 43" 50'30" + 18" 20'51'
72" L7, 30, 43" 50, 30"
+ 20" 5' 15' + 18' 20' 5y
L Expresse em segundos:
a) 18' 1 o8o" b) 2'1,5' 13s" c) 3' 10 8oo"
2 Expresse em minutos:
a) 40o 2 4oo' b) 1.2" 37' tst, c) 2 040" sq,
3 Expresse em graus, minutos e segundos:
a) 571.0" 1'3s' 10' b) 53 400" ra. so, c) 43 471"
32" 22, 45,
L2" 17' 30, + 20"5'15":
:32o22'45'
4 Qual a maior medida:
a) 20" ou 1 080'? 20" b) 12 ott720'? ,qua,s
5 Escreva na forma mais simples possível as
medidas:
a) 80" t'20' d) 1o 90' 90' 2" 31, 30,
b) 12' 145' 14,2s, e) 5o 100" 5" 1, 40,
c) 200' 3'20' Í) 8" 720' 70' 10. r, ro"
61" 7 -----> simptificando
+ 21,
67" 77' 27,l/
+ 11,
62'71,27,
43" 50'30" + 78'20'57,, : 6211, 21"
185
Stthlraçao
Para subtrair duas medidas de ângulos, devemos subtrair segundos de segundos, minutos de minu
tos e graus de graus. Em alguns casos, devemos Íazer transformacões para realizar as sulltracÓes.
Vamos calcular:
) 52" 17',50', - 41" S', 18',
52" 17',50',
-41" 5' 18"
) 75" - 47'25',30',
11' 12', 32',
52" 17',50" - 4l's',18":
: 11o 72'32'
2!.7" 34' 30"
75" - 47" 25'30" : 27" 34'30'
Para multiplicar uma medida de ângulo por um número natural, devemos multipliciar esse nÚme-
ro pelos segundos, minutos e graus, fazendo a simplificacão, quando necessário.
Vamos calcular:
74" 60',
75" 00',
-47" 25',
60'
30'
00"
30"
59',60"
74" 60', 00', J'4" 59',
- 47" 25', 30', - 417" 25',
) (18'13',).2
18" 13'
x2
) (4" 15' 28").5
4'15' 28',r_.-\ |x-:5
(28" L7', 21") : 3
28" 17' 21"
120"
77i/ 141',
@o
(28" 17'2r',)
20" 75' '
21" 17' 20'
(4' 15' 2B,,)'5 : 2'.1" 17' 20'
36" 26'
(18" 13',) 2:36" 26,
nínnqro natwraL
Vamos calcular:
) (56' 48'16") : 2
56'48', 16"
0000 0
[_g
9" 25' 47"28" 24' 8',
(56" 48' 16') : 2: 28" 24' 8'
186
: J : lro 25' 47'
trt/t^ trí^^qro 
^atwr 
cll,
x@.rclcl05
I- Efetue as operações indicadas:
a) 13' 72' + 41o 70' 20, 84. 22,2a,
b) 35" 20' - 10o 15' 30' 25" 4, 30,
c) 90" - 37" 40' 20' 52" 1s, 40,,
d) 34" 51' 72' + 12o 10'50' 47" 2, 2.
e) (50" 79') '2 roo'38'
f) 4' (10'24' 45') 4r" 3e,
g) (27" 36' 33") : 3 s" 12' 11'
h) (41" 50' 14") : 2 2a" 85, i,
i) 180" - 54" 12' 49' 125" 4t, 11"
j) 5 ' (2 55' 30') 14' 3i' 30'
2 Determine, na forma mais simplificada pos-
sível, o valor das expressões:
a) 15" 12' 35' + 27o 18' + 13'51.'30' 56" 22,5"
b) (SO' - 15o 20') i 5 6.56,
c) (18" 15' + 30o 27' 40') .2 - 81" 17' 3A' 16. t, 50.
3 Quanto mede a metade de 15o 19' 1.0"? t" zg, ss,
4 Qual a medida de um ângulo, sabendo-se
que sua terça parte mede 9" 29' 5'? 28" 21, 15,
5
I
(6 Quanto mede I a"27" 4o'? 2s" 6, 4a.
Se eu dividír um ângulo
de 745o em guotro portes
iguois, guonto írá
medir cado parte?
do outno ângulo?
52'41', 46'
soma das medidas de dois ângulos é 90".
eles mede 27" 1.8' 14,.
€i Na figura abaixo, as medidas a, b, c e d sáo
iguais e podemos representá-las por x. Saben-
do-se que a * b * c * d : 442,quanto valema,
b,ced? 110'30'
€) Na figura abaixo, AôC e um ângulo
meia-volta. QuaI o valor de r? 141" 35,
I-O No triângulo abaixo, a soma das medidas
^^^dos três ângulos, A, B e C, éíguala 180". Qual
a medida do ângulo Â? 84' 4s' 40'
de
ângulo de
meia-ztolta : 7g0"
59" 20' 95" SO,2O,
187
Com o auxflio do transferidor, responda:
1. De quantos graus deve ser o giro da lancha Para atracar no cais da ilha?
30"
2. Ângelo construiu um ângulo de 30o em uma
folha.
Se ele observar a figura com uma lente que
aumenta duas vezes, quantos graus passará a
ter o ângulo? Continuará med ndo 3O', pols permânece com
a mesrna aberlJra
v05
teg
Na figura abaixo, podemos destacar três ângulos:
AOB
BOC
A,z
C
) AôB e BôC têm o vértice comum (ponto 0).
^^) A0B e BOC têm o lado OÉ comum.
Comparando os ângulos dois a dois, temos:
Dizemos que:
) A0B e AOC têm o vértice comum (ponto O).
4 ^ ----+) AOB e AOC têm o lado 0A comum.
) BOC e AOC têm o vértice comum (ponto O).
^ ^ _______)) BOC e AOC têm o lado 0C comum.
Dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são denominados
ângulos consecutivos.
No exemplo visto:
^^) A0B e BOC são ângulos consecutivos.
^^) A0B e AOC são ângulos consecutivos.
Nos três casos de ângulos consecutivos vistos anteriormente, podemos notar que:
) BOC e AOC são ângulos consecutivos.
AOB e BOC não possuem
ponto interno comum
^^A0B e AOC possuem
pontos internos comuns
^^BOC e AOC possuem
pontos internos comuns
189
Dizemos que:
Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são denominados
ângulos adjacentes.
Então, nôA e gôC sao ângulos adjacentes. Veja outros exemplos:
^^PON e NOM
são adjacentes
o
^^
AOB e C)D
não são adjacentes, Poís
não são consecutivos
+1 biggalriz d,a-wn^ ànyl,o
Seja o ângulo nôg oa figura, sendo meO (AôB) : 50o
o
A partir do vértice O, traçamos uma semi-reta C qr. divide
adjacentes de mesma medida.
o ângulo nôg em dois ângulc,s
A essa semi-reta 0P damos o nome de
bissetriz do ângulo AÔB.
Podemos, entã0, definir:
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice que determina, corn seus
lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
190
^^APB E BPC
são adjacentes
ZlffiÀ
Usando dobraduras para
Siga os passos:
1a) Desenhe um ângulo qualquer num pedaço de
cartolina e nomeie-o Aô8.
2o) Recorte o ângulo, como indicado na foto.
3q) Dobre o ângulo, Íazendo coincidir os
hdos of 
" 
õÉ.
4e) Desdobre o ângulo. A dobra obtida é a
bissetriz do ângulo AÔB.
1a) Desenhe um ângulo qualquer e nomeie-o AôB.
2a) Com a ponta do compasso no vértice O, trace
um arco com abertura qualquer e determine os
pontos C e D.
Desenho geométrico
obter a bksetríz de um ângulo
!
z
o-
,t
oô
.9o
.o
@
ao
I
Construindo a bksetriz com régua e compasso
Com a régua e o comPasso, podemos facilmente traçar a bissetiz deum ângulo dado. Siga os passos:
191
/
/
7
rr
B
3q) Com centro nos Pontos C eD, trace dois
arcos de mesma abertura, que se encontram
no ponto E.
+^
A semi-reta OÉ é a bissetriz do ângulo AOB
dado.
/k"to dcovu W"u
Usando régua e transferidol, construa ângulos de:
a) 45" b) 30" c) 75"
Depois, com o compasso, encontre a bissetriz de cada ângulo construído.
L Na figura abaixo, destaque dois pares de ân-
gulos consecutivos:
ExLStem várias poss b lidades de iesposia
d) 120"
2 Emcada figura, destaque os f,ares de ângu-
los adjacentes:
3 Tiaçando a bissetriz de um iinguio de 75",
qual a medida de cada ângulo obtido? 37'31)'
a) AJ AoB e Boc b)
192
4 Na figura abaixo, OTI O a bissetriz de aôn
Àn
emed (MOB) :23o.Quais asmedidas de AÔM
e AOB? meo (aôM) = 23. e med leôer : +0"
6 Na fig:ura abaixo, quanto mede o ângulo
^ -----+ ------)AOC, sabendo-se que ON e OM são bissetri-
zes de eôf e BôC respectivamente? uo"
7 Como você faria para dividir um ângulo em
quatro partes congruentes (de mesma medidaX
resposta pêssoal
Desenho geométrico
5 Quanto mede cada ângulo em que fica divi-
dido um ângulo raso (ou de meia-volta) quan-
do traçamos sua bissetriz? eo"
Construíndo ângulos com régua e compasso
Constmindo um ângulo de 60o
ls passo
Trace uma semi-reta OÊ, que será um dos
lados do ângulo.
o
3a passo
Com centro no ponto 1 e o mesmo raio,
traçamos um arco que corta o anterior no
ponto B.
2a passo
Com centro no ponto O e raio qualquel, trace
um arco que corta OA no ponto 1.
4a passo
+
A semi-reta OB será o outro lado do ângulo.
aôn C um ângulo de 60o.
Construindo um ângulo de 30'
1q passo
Construa um ângulo de 60o.
lft"'odcovu W"u
Construa figuras em que apareçam ângulos de 60' e de 30o.
20 passo
Tiace a bissetriz do ângulo de 60', ob'tendo
um ângu1o cuja medida é:60" : 2:30o-
Tracando a bissetriz BM desse
portanto, medindo 90" cada um.
Observe o ângulo raso (ou de meia-volta) ABC abaixo.
url,o c,$Ldo
^:";zi,:!;.x'.'i#'
med (ABC) : 180'
ângulo, vamos obter dois ângulos adjacentes congruentes e,
) Cada um desses ângulos de medida 90'érdenominadr:
ângulo reto.
I Utilizamos o símbolo E para destacar um ângulo reto.
^^I med (ABM : ÍTlod (CBM) : 90o
) 0s ângulos Râu e Côu são retos.
194
aÔf e um ângulo de 30'.
Podemos ainda destacar dois tipos de ângulos que são nomeados a partir da comparacão de
suas medidas com a medida de um ângulo reto: são os ângulos agudos e obtusos.
Denominamos ângulo agudo todo ângulo cuja medida é menor que a medida de um ângulo reto.
meo (AôB) < 90"
A0B é um ângulo agudo.
Denominamos ângulo obtuso todo ângulo cuja medida é maior que a medida de um ângulo reto
e menor que a medida de um ângulo de meia-volta.
) 90" < med tnôat < 1Bo"
) A0B é um ângulo obtuso.
Se tracarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em co-
mum), elas formam entre si quatro ângulos, como podemos ver na figura.
)
)
Com a ajuda de um
^med (APB) : 64"
meo (aÊo) : 116'
transferidor, medímos os quatro ângulos formados:
^med (DPC) : 64"
meo (CÊA : 116'
Relag nqr
195
iaÁ,arqs
Mas, tracando duas retas concorrentes, é
possÍvel obter 4 ângulos congruentes, ou seja,
de mesma medida.
E fácil verificar que cada um desses ângu-
los mede 90".
a:b:C:d:90"
Quando duas retas concorrentes
formam entre si quatro ângulos
retos, dizemos que as retas são
perpendiculares e utilizamos o
símbolo L para representar esse
perpendicularismo.
Na figura, r e s formam entre si quatro
ângulos retos; então r r s.
| ,.r0., dicutar a
Observe os ângulos das construções:
c
o
@
o
oo
o
o
I
+
-
ca
cÍ
!
Qual o tipo de âogrlo predomina:rte na
construção da primeira foto? :-r- r ':': :
Que tipo de ângulo você observa rna
construção da segunda foto? ::. : ::: :::
Que tipo de ângulo você observa:na
construção da úItima foto?
196
Desenho geométrÍco
Construíndo ângulos com régua e compasso
Construindo um ângulo de 90" (ângulo reto)
1s passo
Trace uma semi-reta, de origem no ponto Á,
que será um dos lados do ângulo.
2s passo
Pelo ponto Á, trace trma outra semi-reta que seja
perpendicular à semi-reta jâ tr açada.
O ângulo assim obtido é reto: BAE é reto.
Construindo um ângulo de 45o
lq passo
Construa um ângulo de 90".
2e passo
Tiace a bissetriz desse ângulo, obtendo
um ângulo cuja medida é: 90" : 2: 45'.
/t"to d cotu W"u
aôn A um ângulo de 45o.
Construa figuras em que apareçam ângulos de 45' e de 90'.
A
197
ntarqt a-
rq5 ,
Observe os ângulos adjacentes A0B e BOC na figura. Você pode notar que, juntos, eles for-
mam um ângulo reto, ou seja, a soma de suas medidas é igual a 90".
o
Dizemos que os ângulos nôe e AôC
I
complemento de AÔB, e vice-versa.
B
são ângulos complementares ou, ainda, que BôC é o
u;l,os co/,^ enlarqt
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual 90'.
Assim:
Dois ângulos que medem 38' e 52" são complementares, pois 38' + 52" : 90o.
Dizemos que o ângulo de 38'é o complemento do ângulo de 52', e vice-versa.
Considerando novamente o ângulo Aô8, podemos tracar o ângulo DÔA, tal que med tOr)n I : I2Oo ,
e teremos:
meo (nôB) + med toôru : 60o + l2O": 180'
DOB
Dizemos que Rôg e OÔn são ângulos adjacentes suplementares ou, ainda, que OôR é o
^suplemento de A0B, e vice-versa.
ulos E
198
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas meàidas é igual a 1800.
Assim:
Dois ângulos que medem 45'e 135" são suplementares, pois 45" + 135" : 180'.
Dizemos que o ângulo de 45" é o suplemento do ângulo de 13b', e vice-versa.
Reso[ve ndo rohl,eu^ag
Acompanhe os exemplos:
Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46".
complemento: 90' - 46" : 44"
suplemento: 180' - 46" : 134o
0 complemento do ângulo de 46'mede 44" e o suplemento 134'.
2 Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Como os ângulos são adjacentes complementares:
x+30'+x-10o:90'
2x+ 20":90o
2x:90" - 20"
2x:70"
*: 7-0:35o
2
x: 35o
1
199
Determínar as medidas ae nâC e CÊO.
Como os ângulos são adjacentes suplementares:
3x+x+12:180o
4x+12:180'
4x: 180" - 12"
4x: 168"
x: 16,8" :42o
4
meo (Aôc) : 3x : 3 .(42): 126"
med (CBD) : x + 12" : 42' + 12" : 54o
nâC e CâO mede m 126 e 54o, respectivamente.
dobro da
medida do
ângulo
2x + (90' - x) : 120"
2x + 90" - x: 120'
x: 120o - 90"
x: 30o
0 ângulo mede 30".
4 O dobro da medida de um ângulo, aumentado da medida do complemento do mesmo ângulo, é
igual a 120". Calcular a medida do ângulo.
Se chamarmos a medida do ângulo de x, a medida do seu complemento será 90" - x.
Pelo problema'.2x + (90' - x) : 120'
t.----.-- complemento da medida do ângulo
--> equação de 7t grau na variável x
200
A quinta parte da medida do suplemento de um ângulo é igual a 31". Qual é a medida do ângulo?
medida do ângulo: x
medida do suplemento do ângulo: 1g0. _ x
Pelo problema:
180'- x
a quinta parte da medida do suplemento
180 - x: 155
-x: 155 - 180
-x: -25
x: 25o
A medida do ângulo é 25"
Determine a medida de x em cada caso:
31'
5
I
31
155-z-
Calcule a medida do complemento do ân-
1o que mede:
c)
6
a)
a) 8o 82" b) 35'18' s+" +2, c) 89" 1.
2 Calcule a medida do suplemento do ângulo
que mede:
a) 90' eo. b) 150' 30. .) 
LTÍ:,
3 Se um ângulo mede Í graus, qual a expr€s-
são que você utilizaria para representar:
a) o complemento desse ânguto? eo - x
b) o suplemento desse ângulo? .r8o - x
c) a metade do suplemento desse ângulo? 180-- x
2
d) o quíntuplo do suplemento desse ângulo?
5(180 - x)
o mede o ângulo cuja medida é igual
do seu complemento? 4s"
7 Na figwa, ol ébissetrizde eôn. Determi-
ne as medidas de x ey. x: y = 45"
201
x=80'
€i Na ftgura abaixo,
Calcule a medida de
õÉ é birr. triz d.e
eôc.
BOC. L L Quanto mede um ângulo que é igual ao
triplo da medida do seu suPlemento?
L2 Na figura, õÉ e u bissetriz de Afu e
med (DÔE) : 40o. Determine a me:dida de r'
E
o/
O triplo da medida do complemento de um ân-
o é igual a 111". Qual a medida desse ângulo?
53'
LO Dois ângulos são suplementares. Um de-
les mede 93" 50'. QuaI a medida do outro? :e -
++ Âergrl,os opo5to5 pzl,o vdrlice
Na figura, estão destacados os ângulos nô4, gôC, CôO e Oôn.
Nessa figura, temos:
e 0C são semt-retas opostas.
ê +
portanto, as semi-retar õÃ e OÉ, que formam os lados do ângulo AÔ8, são opostas, respectr-
vamente, às semi-retu, od . õd, que formam os lados do ângulo CôD.
Neste caso, podemos afirmar também que os lados do ângulo RÔg sao formado:s 
pelos prolon-
gamentos dos lados do ângulo COD, e vice-versa'
D
+
OA
D
G , Od são semr:retas opostas.
202
A esses doís ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice.
iqdadq ante dot àn wLos o,
Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados
de um forem prolongamentos dos lados do outro, e vice-versa.
Na figura, os ângulos nôo e aôC sao opostos peto vértice.
lndicando por:
^X : mod (BOC)
y : med tnôol
^ÍTl : ÍIlêd (A0B)
A
) Como A0B e AOD são adjacentes suplementares:
m + Y: 180o
) Como AOB e BOC são adjacentes suplementares:
m + x: 180"
D
A
) Comparando@ e @:
m+Y:180"1
m+x:180'J
Podemos enunciar a seguinte propriedade:
m+y:ÍTl*X
Y:X
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
203
Unna
m
Vejamos algumas aplicações dessa propriedade na resoluÇão de problemas:
Determinar os valores de x e y na figura:
x: 30o
y + 30': 180" .-.
Y: 180" - 30'
Y: 150"
ângulos o.p.v.
ângulos adjacentes
suplementares
Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 50" e 2x - 30'.
Qual e o valor de x?
x + 50" : 2N - 30' 
- 
ângulos o.P.v.
x - 2x: -300 - 50"
-x : -80"
x:80o
L Na figura abaixo, x, A, Z e z{, rePresentam as
medidasdos ângulos assinalados. Identifique os
Pares:
a) c,ongruentes
b) suplementares
2 As retas r e s se cruzam formando um ângu-
lo de 45'. Determine as medidas dos outros três
3 Determine o valor de Í, nas figuras:
4 As medidas de dois ângulos opostos pelo
vértice são expressas, em graus, por 3x * 40o e
6x - 21.". Qual a medida de r? '.)a'2a
5 Calcule as medidas de x e !, a eb nas figuras:
a)
b)
a)
2-.
xarc!e!e2
b)
204
x:a=71)
y:110"
GeometrÍa
Dividindo um círculo
Usando um comPasso, construa círculos em cartolina e trace os seus diâmetros. Em seguida,
recorte os círculos, que serão empregados nas atividades a seguir:
Com o auxílio de dobraduras é possível dividir um círcuro em:
2 partes iguais, com apenas uma dobra
4 partes iguais, com duas dobras
8 partes iguais,
com quatro dobras
ft".,. dcoru V""u
1.
Número de partes em que o
círculo foi dividido
2
a]\
/ ll,o.\i trn I!U
Nh
ZN
Medida do ângulo que cada
uma das partes representa
190.
Quantas dobras, no mínimo, serão necess árias para diüdir o círculo em 16 partes iguais? 8 dobras
Ao dividir o círculo em duas partes, cada uma das partes representa um ângulo de 180..
Construa uma tabela, como a que sugerimos abaixo, para aáivisão do círculo em 4, 8 e 16 partes.
205
I
,,,,<;/'. r\|t. l
------.la ut\
A^c^ndo o qwa 
a?randqv
L Quanto mede o ângulo que é o dobro de
22" 30'? 45'
2 As medidas de dois ângulos são expressas
por 3x + 20" e 5x - 34o. Sabe-se que eles são
iongruentes. Qual o valor de x? ' = 21'
3 Qual a forma mais simples de escrever as
medidas:
u) 75" 42' 81'? i5 43' z':'
b) 57" 737' 128'? 5e're'8'
") 
27"58'120"? za"
.4 Doisângulos, aÔn e gôC,sãoadjacentese
suas medidas sáo: med (AÔB) : 25" 47',28" e
med (BôC) : 13o 26' 52'. Qual a medida de
eôcz med (Aoc) -- 3s'14',20"
5 Efetue as operações:
u) 27" 45'51u +85" 49'53" + 44" 56'57"rce" sz'+t"
b) 58'29' 48' - 70o 40'56' 47'48'82'
(6 SendoA: 35" 18' 20'- (80" 30' - 52" 4' 2U'),
determine o valor de Á. 6' 52' 40"
7 lJm ângulo cuja medida é 58' 79' 45" foi
dividido em cinco ângulos congruentes. Qual
a medida de cada ângulo resultante dessa di-
visão? 11" 3s' 51"
€B Na figtra,med (AÔB) :24" 12' g6'.
r?^
Sabe-se que med (AOC) : t med (AOB)'
Quais as medidas de AOC
neo (AôCr - 18' g' 2l'. -eo rBôC = 6
e BOC?
9 Qual o t'alor da exPressao
r-..ã
52" 51, 2V - Z. (Z]I" N, 3T - 5" fl' 7n?
I-I- Quanto mede o suplemento do comple-
mento de 65'30'? :. 3c
L2 A soma da medida de um ângulo corl a
terça parte do seu supiemento é iggal a 94". Qual
a medida desse ângulo? 5r'
L3 Dois ângulos adjacentes complementares
têm medidas exPressas por 2x e x I 42". Quais
as medidas desses ângulos? 32" e 58"
L.4 Calcule as medidas de x, y eb nas figuras:
a)
x=30'
y:b=130'
b)
= 120
I-5 Dois ângulos adjacentes suplementares
estão na razáo 3 para 5. Determ-ine as medidas
desses dois ângulos. 67' 30'e 112' 30'
206
LG Na figura abaixo, OÊ ébisset riz deOôn.
Determine as medidas de:
Jlotona,
lnbt^oçoo
L7 Sabendoquea:3x -20" eb:2x+ 10o
e que a e b são as medidas de dois ângulos opos-
tos pelo vértice, determine o valor de a * b. 140.
L€B Duas retas concorrentes r e s formam en-
tre si um ângulo de 112'. Determine as medi-
das dos outros 3 ângulos que essas retas for-
mam entre si. r rz., og-, oa"
A) DOE
b) AOC
c) AOD
um clube esportivo tem 120 alunos freqüentando o treinamento em
3 tipos de atividades.
:!)
L
E
:l
I * )
Observando a representação gráfica, responda:
a) Há mais alunos treinando natação ou futebol? r,,t-.n,,
b) Há menos alunos treinando natação ou ginástica olímpica? o número de atunos nos dois treinamenros é o mesmô
c) Quantos alunos treinam futebol? ôo a rnos
d) Qual o número de alunos que treinam natação? E ginástica olímpica? 30 arunos rreinam nataÇáo e, rambém,
30 alunos treinam ginást ca o impica
)[
(
207
L
LEtttdand,o
ffirura 1râfrao criou uma linha àe pa-péis de paredevr" -' 
e ieveslúimcni,os àe piso.,inepiado' 
Jn íriâng"tos e qúaàrilâtàros'
lntcresEantel
Nào há triànguloe àesenhados
neete papel àe pareàe, mae
meomo agsim eu oo ve1o.
ncdriLiltqr05
Aa linhae
lembram
quaàriláteros
que ?arccem
5e
movimenlar
e alé meamo
aallar àa
figura.
Os laàoe ào quaàraào amarelo
?arecern que sào curvoe,
1em àúviàa nenhuma, àeioàoo oo polígonoo, aqueleo que a?arecem com maiorfreqüência
sào ostriànguloe e oe quadrilâteros,
gaola você observar a âua sala de aulaz a louea, a carteira, a ca?a do livro e a ào caderno
têm aforma àe quaàrilátero,E provavelmente a porta, a janela, a pareàe e o pisotambém,
Sevoaê preâtar alengào,vai peroeber ainda que muitae placae, eetruturae àetelhaàoe,
eolrulurao de arquibanaadas metâliaae, esquaàros, asfaces àae pirâmiàee etc,têm a
formatriangulan
Nào é ?or acaeo que eâoaâformas,triânguloo e quaàrilâteroe, eào vaetamente utilizadas.
leeo ee àeve às ouae eelruturaa, simplee àe obter, e principalmente àe importantes
propriedades àessae formaa.
Nesla Unidade você lomará conheaimenLo de algumae àeeeaa imporaantee proprieàaàee.
w
$j o triànlwLo a5qtE qlqn^qntos
Como você sabe, triângulo é um polígono de três lados.
No triângulo ABC da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:
0s pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC.
0s segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo ABC.
^^^0s ângulos A, B e C assinalados na figura são os ângulos internos do triângulo ABC.
Utilizamos o símbolo A para indicar um triângulo.
Assim, o triângulo ABC pode ser representado por AABC.
+L Reconüvacendo triân3 url,os
0s triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados; ou com as
medidas de seus ângulos internos.
Ll,asti[icaçao lo aoE l,adot
Considerando as medidas dos lados de um triângulo, temos:
I 0 triângulo tem os três lados congruentes, ou seja, os três lados têm a mesma medicla.
A
Neste caso, é chamado triângulo eqüilátero.
Na figura, AB = AC = BC.
210
0 triângulo tem apenas dois lados congruentes, ou seja, dois lados têm a mesma medida.
A
Neste caso, é chamado triângulo isósceles.
Na figura, AB = AC.
) 0 triângulo tem os três lados com medidas diferentes.
Neste caso, é chamado triângulo escaleno.
Nafigura, nA + rc + gC + nA.
Cl,ari[icaçao lo aos àn1til,os
Quando consideramos as medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos:
I 0 triângulo tem os três ângulos agudos (menores que 90').
) 0 triângulo tem um ângulo reto (medida igual a 90').
A
BC
(-
meo (Â) < 90' meo (ô) < 90" meo (ô) < 90"
Neste caso, é chamado triângulo acutângulo.
meo (Â) = 9oo
Neste caso, é chamado triângulo retângulo.
0s outros dois ângulos internos são agudos.
90'< meo (Â) < 180'
Neste caso, é chamado triângulo obtusângulo.
0s outros dois ângulos internos são agudos.
211
) 0 triângulo tem um ângulo obtuso (a medida é maior que 90'e menor que 180').
O fascinio das fÍguras geométrícas planas
Píntores famosos fazem uso
de fíguras geométrícas planas
As maís escolhídas são os
quadríkiteros e os tríângulos
Brn7920, Piet Mondrian (1.872'7944), pintor holandês,
produziu a tela representada ao lado, utilizando linhas
retas entrecruzadas. O resultado são figuras que
lembram quadriláteros. Esta tela foi intitulada
Composição com uermelho, azul e aerde-amarelsdo e estâ
no Museu Wilhelm-Hack, Alemanha.
a
o
cg
oo
l
C
!
Co
c
C
m
o
-qY
o
!
C
l
L
o
o
!
§o
I
v
=L
No ano de sua morte, Paul Klee
(7879-7940) deu ao mundo a obra
representada ao lado, intitulada Fachada
enoidraçada, em que ele utilizou uma
técnica de pintura caracterizada pelo seu
efeito translúcido. O quadro revrela um
vitral composto por figuras que lembram
quadriláteros e triângulos e está no
Museu de Kunst em Berna, Suíçir.
c^5 ft^qdidas doE
triâergu;l,o
Consideremos o triângulo ABC, abaixo, e sejam a, b e c as medidas de seus ângulos internos,
z
E
E-
oô
o
g,
a
212
I
c
vamos determinar experímentalmente uma relação entre essas medidas a, b e c"
1 Recorte em cartolina um triânguÍo de
qualquer tamanho.
2 Separe o triângulo em três partes, cada
uma contendo um dos ângulos do triângulo'z
o
!
o
oo
o'ó
,o
a
a
o
3 Junte os três ângulos do triângulo, fazendo coincidir seus vértices, como na figura,
Você pode notar que se formou um ângulo de meia-volta, cuja medrda é 180'.
Assim,a+b*c:180'
Se você repetir a experiência com outros triângulos, verá que a soma das medidas dos
ângulos internos será sempre 180'.
Podemos então estabelecer a seguinte relação:
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180".
Se a, b e c expressam as medidas dos três ângulos internos de um triângulo
qualquer, temos: a + b + c : 180'.
Vamos ver alguns exemplos em que podemos aplicar essa relacão:
1 Calcular a medida x na figura abaixo:
Como 75", x e 2x são as medidas
ângulos internos do AABC, temos:
75"+x+2x:180"
3x:180'-75"
3x: 105'
.. 105'x:-
3
x:35o
dos
213
-\
2 No triângulo retângulo da figura, a medida de â supera a medida de ô em [0". Quais asmedidas dos três àngdos do triângdo?
^medidadeC:x
^medidadeB:x+10'
^medidadeA:90"
eqüilátero
L Com o auxílio de uma régua, efetue as me-
dições necessárias e classifique os triângulos
quanto aos lados:
a)c
Pe\a re\acão:
x+x+10'+90':1[10"
2x + 100': 180'
2x : 180'- 100'
2x : 80'
x: 80o:4oo
2
Â:90',ê:50'eô==40'
2 Com o auxílio de um transferi«lor, efetue as
medições necessárias e classifique os triângulos
quanto aos ângulos:
a)
acutângu lo
retángulo
b)
b)
c)
c)
isósceles
214
3 Dois ângulos de um triângulo medem, res-
pectivamente,35o e 55". Qual a medida do ter-
ceiro ângulo? go"
4 Nas figuras, determine o valor de x:
a)c
c)
d)
b) 5 É possível construir um triângulo com dois
ângulos retos? Justifique sua resposta.
Náo, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo e igual a 180"
(6 Um triângulo tem dois ângulos com a mes-
ma medida. Sabe-se que o terceiro ângulo mede
50". Qual é a medida dos ângulos congruent
Experimente esta
Você pode verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo é igual a 180o, fazendo simples dobraduras!
oz
@Í
oô
.aI
a
ao
o
I
/k"'o ú cc"tut fi"a,
Repita a experiência usando um triângulo:
a) isósceles b) eqüilátero
215
x=45"
x=60"
x: 59'
c) retângulo
Desenho geométric:o
Conhecendo apenas as medidas dos lados, é possír,el, utilizando régua e compasso, constnrir
um triângulo. Observe o procedirnento:
Estu são as medí-das 
dos
lndos do tríânguto'
Sobre uma reta r qualquer e usando o
compasso, marque um dos lados dados
(normalmente o maior deles); no caso, o
lado de medida a.
Com centro na extremidade B, do
segmento BC, e raio igual à medida c,
trace um arco.
Com centro na outra extremidade do
segmento BC e raio igual à medida b, trace
um arco que corta o anterior num ponto.
I IJna o ponto de intersecção dos arcos
(ponto Á) com as extremidades do
segmento BC para obter o triângulo ABC
procurado.
ft".,. áco^^, lfi*
Construa outros triângulos, utilizando o mesmo procedimento.
216
7
Bac
Bc A
A
n
)
)
+6 0s ql,r.idnl,atqro5 a5aur5 eiat^qntoE
Como você já viu anteriormente, quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ABCD a seguir, podemos destacar:
0s pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero ABCD.
0s segmentos AB, BC, CD e DA são os lados do
quadrilátero ABCD.
0s ângulos Â, â, ô . ô assinalados na figura são D
os ângulos internos do quadrilátero ABCD.
0 segmento AC, cujas extremidades são dois vérti-
ces não-consecutivos, é _UOa diagonal do quadrilá-
tero ABCD. 0 segmento BD é a outra diagonal des-
se quadrilátero.
+1 Co nlrvcqyrd,.o aLluryr5 quadnlÁtero5 a5paciaig
0 paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.
Paralelogramo ABCD:
AB//CDeAD//ac
Dentre os paralelogramos, podemos destacar:
E o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes (os 4 ângulos são retos).
Para],el,oyamos
Retânguí,0
217
Lotany
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.
Quadrado
É o paralelogramo que tem os quatro
lados congruentes e também os quatro
ângulos congruentes (retos).
0 trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos.
frapézio ABCD:
AB // CD
As figuras nos mostram
trapézios escalenos.
As figuras nos mostram
trapézios que têm dois ângulos
internos retos. São os chamados
trapézios retângulos.
l
As frguras nos mostr,am trapézios
cujos lados não-paralelos são
congruentes. São os chamados
trapezios isósceles.
218
a5 A^edidaE dog
a- nn^ qttadrtl,íntqro
1 Num pedaço de cartolina, desenhe e re-
corte um quadrilátero ABCD qualquer e pinte
cada ângulo interno de uma cor.
2 Separe o quadrilátero em 4 partes de modo
que cada parte fique com apenas um dos ângu-
los internos.
O quadrilátero da figura abaixo é um para-
Ielogramo? Justifique sua resposta.
3 Junte as 4 partes da figura, de modo que
os vértices dos 4 ângulos coincidam, como na
figura abaixo.
4 0 que você pode concluir em relacão à
soma das medidas dos ângulos internos Â, â,
C e D? -sôr:adas'.rc'ltdi:sicsr;'.!1.,r. À, B C e De360
5 Compare o resultado que você obteve com
o de seus colegas. 0 que você conclui?
-, Sarr: ras i.ai arâs ocs à.gJ oS ,t'.erf;Cs Oe I i q:,aC. áIe.o e gua a 360'
2 Sabemos que o retângulo possui os quatro
ângulos congruentes e retos. No retângulo a
seguir, determine o valor de a * b * c -| d,
em que a,b, c e d
são ãs medidas A
dos quatro â.gr-
los internos do
retângulo. 360"
D
b
c
a
d
219
No trapézio abaixo, determine, usando um
nsferidór, as medidas a, b, c e d dos ângulos
internos. Aseguil, calcule a * b * c * d.
a=60",b=60',c= 12a",d:120",a b -: o=360'
4 Considere um paralelogramo que é losango
e também retângulo. Traçando uma de suas
diagonais, esse paralelogramo fica dividido em
dois triângulos de que tiPo? triânsulos isÓsceles e retânsulo
Desenho geométrico
1. Conhecendo apenas a medida do lado, é possível construir o quadrado, utilizando régua e
compasso. Observe o procedimento:
{E Sobre uma reta r qualquer, marque o
segmento AB, cuja medida é a.
Por Á e por B, trace perpendiculares ao
segmento AB.
I
Polígonos
e Ínals
políg;onos
(Saresp) Observe o he.xágono
regular CAMELO. Unindo os vértices
C,M,LeCcomsegmentos
de reta, formamos um
triângulo. Unindo da
mesma forma os c
vértices A, M, L, O e A,
nessa ordem, formamos
um quadrilátero.
Os polígonos formados são:
a) um triângulo retângulo e um quadrado.
b) um triângulo isósceles não eqiiilátero e
um quadrado.
c) um triângulo escaleno e um quiadrilátero
qualquer.
* d) um triângulo eqtiLilátero e um qrradrilátero
que é retângulo.
Esta e a medida 
do Lado
do quadrado'
220
Sobre cada uma das perpendiculares
obtidas, marque os segmentos AD e BC,
cuja medida é a.
Sobre uma reta r qualque{, marque o
segmento AB, cuja medida é a.
Una o ponto D ao ponto C para obter o
quadrado ABCD procurado.
Construa outros quadrados, utilizando o mesmo procedimento.
2. Conhecendo as medidas da base e da altura de um retângulo, é possível construí-Io, utilizando
régua e compasso. Observe o procedimento:
I Por Á e por B, trace perpendiculares ao
segmento AB.
221
Sobre cada uma dessas perpendiculares,
marque os segmentos AD e BC, cuja
medida é b.
Una o ponto D ao ponto C para obter o
retângulo ABCD procurado.
Construa outros retângulos, utilizando o mesmo procedimento.
Vamos analisar, neste gráfico pictórico, os dados sobre a venda de
CDs de uma loja durante um ano.
(z
(7 \/\/
222
FotG: PhotoDis
Observe que os dados numéricos estão representados por figuras. Veja quanto cada figura
representa.
v\/
--------+ 1 000 unidades
- 
--> 250 unidades
500 unidades
- 
.> 125 unidades
Observe o gráfico e procure responder
calculando mentalmente:
Em quais trimestres a venda foi:
inferior a 3 500 unidades?
l't'-es;:c
superior a 3 500 unidades?
):l
Quantas unidades foram vendidas
no 2a trimestre:
a mais que no 1t,ri*u"8.,1:1..,..
a menos que no 3n,rig;rLl"j=.
Quantas unidades foram vendidas em
cada bimestre? Organize os dados em
uma tabela.
Com o auxílio das figuras do gráfico,
calcule mentalmente o total de CDs
vendidos durante o ano. lades
Construa um gráficocomo o que acabamos de ver,
outra loja, indicadas na tabela abaixo.
para representar as vendas de CDs de uma
Trimestre
1a
Número de CDs vendidos
2 625
2725
3 375
3 750
q
ô
o
õ
L
aô
oI
7_.
a)
b)
,
3.
4.
2a
J-
4e
223
Tôbela do exetcício 2
mestre Número de Clls
vendidos
'ts 3 125
2e 3 625
3 3 875
4 4 750
RccÕqE a-
Duraníe uma Olimpíada na eeaola, as claoseo dispuf'aram váriae modaliàades
e o p o rtiv a o, Ob e erv e al gu m a s oitu a 9õ eo d e s s a a o m p et'içà o t
O Arturzinho é
um artilheirol
Ê. mesmo, ge 5
chul,e:; ao gol, ele
mzzrcou 4,
CEsret Nâo fui muil,o bem.
De 20 arceft1eoâoo à
ceota, acertei 112,
E mesmo. A caàa
10 eaques, ela
Nas trêe eituações a?reeeniadao, og alunoo Íazem uma com?araçào enlre o número àe
lenlativae e o número de acerloa (ou erros) em delerminada jogaàa,
Você sabia que a melhor maneira defazer a aofi?araçào entre àois númeroe é àiviàinào um
pelo outro? Veja aomo poàemos ulilizar esse fato.
F eituaçào:
2a ofuuaçàoz
3e oiiuagàot
n9 de gols marcaàoe
n9 àe ahutee ao gol 5
no- de eaques ercaàoa I
n9 total àe eaquee 10
Caàa um àeseee quocienteo represenla uma razào.
Neeta Uniàaàe,faremoe o eetuào àa razào entre àoio númeroe racionaio, bem como àa
razào entre duae granàezae àe meoma eapéoie. Depois de apresentar algumao razões
eepeciaie, abordaremoe ao proporgõee e euae propriedaàes.
4
n2 àe ceslas converliàae _12
n9 àe arremeoooe à ceeta 20
5l Rcaao
m
a)o
É
Êl-
àô
80 1 oizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o
240 - T 
- 
número devagas e o número de candidatos é de 1 para 3.
Sendo a e b dois números racionais, com b * 0, denomina-se razáo entre a e b ou
razãode a para b o quociente * ou a : b.,b
80 : 240:
Quando comparamos dois números através da divisã0, como fizemos nessa situaç:ã0, o resulta-
do obtido chama-se razáo entre esses dois números.
Assim:
Considere a situação a seguir.
Num concurso, 240 candidatos disputam 80 vagas.
Se compararmos esses dois números através de uma divisã0, obteremos:
240 3 Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre olÇU: Or: g0 : 1 - 
númerodecandidatoseonumerodevagaséde3para1.
b
A razao 9 o, a : b pode ser lida de
b
razáo de apara b ou
uma das seguintes maneiras:
a está para b ou a para b
divisã0, o prirneiro númeroQuando escrevemos uma razáo na forma fracionária ou na forma de
denomina-se antecedente, e o segundo número, conseqüente,
7 
antecedente
L-- .orr.qü.rt.
Vejamos alguns exemplos em que utilizamos razões:
t-
a:0ua
b
antecedente
b
IL* conseqúente
226
I Numa partida de basquetebol Rafael fez 15 arremessos à cesta, acertando 9 deles. Nessascondicões:
nrtr.t?) 
Qual a razão do nÚmero de acertos para o número total de arremessos à cesta feitos por
9 : 15 :
acertos
3
^ - 
3 para 5, ou seja, para cada 5 a'emessos à cesta, Rafaer acertou 3.c
total
b) Qual a razáo entre o número de arremessos que Rafael acertou e o número de arremessosque ele errou?
1Ã _ O - Ár J - :z : u número de arremessos errados
9 : 6: +: + -----+ J para2,ouseia,paracada3arremessos acertados,Rafaeterrou2.62
2 Calcular a razão da área do primeiro retângulo para aárea do segundo retângulo.
60 cm
Vamos calcular a área de cada retângulo:
A6: 60 cm ' 40 crÍt : 2 400 cm2
A@:1,2m.1m:1,2m2
Para calcular arazão entre as áreas, devemos antes passáJas para a mesma unidade. Assim:
AO:2400cm2
A@ : I ,2 m2 : (1,2 . 10 000) cÍI12 : 12 000 cm2
..--: -. Ara 2 400 1razao" 
Aã- 
: 
12T00 
: 
à -,rli[i^t;liis53a, 
a área do retânguto @ é cinco vezes a área
Podemos dizer que:
1,2 m
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que
exprimem as suas medidas sempre tomadas na mesma unidade.
227
1me
3 Numa prova de ciências , a razáo do número de questões que Lídia acertou para o número total
de questões foi de 5 para 6. Sabendo que essa prova era composta de 18 
questões, quantas Lídia
acertou?
çhamando de x o número de questões certas, e sendo a razão dos acertos 
para o total de
questcles 5 Para 6, temos:
x : 15
Lídia acertou 15 questões.
L Escreva, na forma de fração irredutível, a
razáo entre os números:
a) 1e5
b) 6e3
c) 10e
2 Determine a razáo entre as medidas abaixo
(não se esqueça de reduzir PaÍa a mesma uni-
dade, quando necessário):
a) 5 cm e 20 cm f d) 800 ge2kg !
b) 10cme0,5m f ") 1*'e5000 "' 7
c)124e151., ! f) 4cme200km ,
3 Num teste de 20 questões, Carolina acertou
16. Nessas condições:
a) Qual arazáo do número de acertos de Caro-
lina para o número total de questões do teste?f
b) Qual arazáo do número de erros para o nú-
mero total de questões do teste? f
c) Qual a razáo entre o número de acertos e o
número de erros de Carolin"? +
4 As dimensões de um retângulo A são 5 cm e
10 cm, enquanto as dimensões de um retângulo
B são 9 cme 16 cm. Qual é arazáo entre os perí-
metros dos retângulos Á e B? +
+ igualamos os denominadores
5 Observe os quadrados das Íiguras seguintes
e responda:
3 cnn
a) Qual arazáoentre o lado do quadrado@e o
lado do quadrado @? +
b) Quat arazáo entre o perímetro do quadrado
O" o perÍmetro do quadrado @11 +:+
c) Qual arazáo entre a área do quadrado O " 
u
área do quadrado @? +
(6 Calcule arazáo entre os volumLes dos cubos
abaixo. (Lembre-se de que: V.,bo : iaresta X ares-
ta X aresta.) I
8
x:5
186
x _15
18 18
d)
e)
f)
I
5
2
'1
15L
3
7 D:urante um campeonato de futebol, uma
Ltes e 6 derro-
ritórias para o
las? !
7-.
xarctclos
2cm
4cm
228
2cm
2cm
€l Uma mercadoria acondicionada numa em_
balagem de papelão possui 400 g de peso tíqui_
do e 450 g de peso bruto. eual é áruràodo pàso
Iíquido para o peso bruto? f
9 Sabe-se que a razáo entre o número de mé_
dicos e o número de habitantes de uma cidade é
1
,50=d-. Se há 30 médicos nessa cidade, qual é a
Schumacher vence GP da Bélgica
O piloto alemão Michael Schumacher
triunfa no Grande Prêmio da Bélgica, em
2001, e se torna o maior vencedor da
história da Fórmula 1. Ele conquistou a
vitória com a velocidade média de
22lkrnlh.
No recorte de jornal está destacado o
termo velocidade media.
LO A razáo entre as idades de um filho e seu
1
pai é de É. S" o Íilho tem 24 anos, qual é a
idade do pai? 60 anos
LL Arazão entre a quantia que gasto e a quan_
tia que recebo como salário por mês O ae f . O
que resta coloco em caderneta de poupança. Se
neste mês meu salário foi de R$ 940,00, qual a
quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
R$ 1 08,00
a2 (Sur"sp) Em 50 minutos de exercícios físi-
cos perco 1 600 calorias. Mantendo o ritmo, em
2 horas perderei:
a) 32]}calorias c) 3600calorias
b) 3240 calorias * d) 3 840 calorias
5Z Allurnas r c^zó a5 a5 p aci aiE
No mapa está destacado o termo escala.
VeLocid'ade nnídia
Denomina-se velocidade média de um veículo
veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la.
: distância percorrida
sua populaçáo? nooo habitantes
velocidade média
tempo gasto
229
a razão entre a distância total percorrida pelo
-
Veja o exemPlo abaixo:
Um trem percorreu a distância de 453 km em 6
nesse percurso?
horas. Qual foi a velocidads rnsdiâ do trem
velocidade média - distância : oul,n' :75,5km/htempo 6 h
Avelocidade média do trem foi de 75,5km/h, que se lê: 75,5 
quilômetros por horia'
Lgcal,a
uma das aplicações darazáo entre duas grandezas se encontra na escala 
de reduÇão ou na
escala de ampliaçã0, conhecidas simplesmente como escala'
Quando queremos representar com um desenho certos 
objetos (moveis, automóveis etc'), fazer
a planta de uma casa, a maquete de um prédio ou um mapa, usamos uma 
determinada escala'
Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho 
e cr
correspondente compirmento real, medidos com a mesma unidade. Em 
geral, utilizamos; as medidas
em centímetro para determinar uma escala'
escala : comprimento no desenho
comprimento real
No mapa utilizado na introdução deste capÍtulo, a escala é de 1 : 50 000 000.
lsto significa que 1 cm no desenho corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seia, a 500 kntno real. Assim, se a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância real é de
2,5.500:1250km.
Veja mais dois exemPlos:
I Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre
as cidades é de 30 km, qual a escala utilizada no mapa?
comprimento no desenho: 3 cm
comprimento real: 30 km : (30 ' 100 000)cm : 3 000 000 cm
escala : comprimento no desenho
comprimento real 3 000 000 1 000 000
ou1:1000000.A escala utilizada foi de
1 000 000
A escala de 1 : 1 000 000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1 000 000 cm no real,
ou seja, a 10 km no real.
230
2 Ao desenhar a sua sala de aula, Paula tracou um segmento de 6 cm, que corresponde ao
comprimento da sala. Sabendo-se que a escala utilizadafoi 1 : 125 qual o comprimento real da sala?
escala : comprimento no desenho x6
comprimento real
0
comprimento no desenho = 6 cm
0 comprimento de 6 cm no desenho corresponde a um comprimento de 750 cm : 7,50 m no real.
0 comprimento real da sala é 7,5 m.
A planta da casa
observe as plantas dos pavimentos superior e térreo de uma residência.
Elas foram veiculadas num jornal para que os possíveis compradores
pudessem avaliar as dimensões e a disposição dos cômodos.
1 2 3 4m
Escala
lft"'o dcow, fi"a,
Fonte: Follza de S.Paulo, 4 jul.7999.
Note que a escala do desenho foi apresentada graficamentel
Nestas condições, responda em seu caderno:
a) Qual é a escala dessas plantas? 200
b) Quais as dimensões dos dormitórios? . +:,2, /. 4,0 r. 2 J 3,2 f' x 5,2 m
c) Qual a ârea da sala de estar/TV? r: 68 ,,
Planta pavimento superior
Planta pavimento térreo
231
Mais uma aplicaÇão de razão entre
corpo. Assim, densidade de um corpo é a
duas grandezas é no cálculo do valor
razão entre a massa desse corpo e o
da densidade de um
seu volume, ou seja:
densidade : massa do corpo
volume do corpo
Vejamos um exemplo:
Uma escultura em bronze tem 3,5 kg de massa e seu volume é de 400 cm3. Qual é a densidadel
do bronze?
De acordo com os dados do exemplo, temos:
densidade - 3'5 kg- - 3 500 
g- : 8,75 g/cmt
400 cm3 400 cm"
Logo, a densidade do bronze é 8,75 g/cm'.
-
o-o
l
I
ô
o
I
E
oE
o_c
o
o
O
fo
l
ao
Arquimedes (287 -212 a.C.)
Inztentor e matemtítico grego
t"
,
Mergulhou em um recipiente cheio d'água uma massa de ouro puro, igual à massa da cc,roa, e
recolheu a âgra que transbordou.
Retomando o recipiente cheio d'água, mergulhou nele uma massa de prata pura, tambérn igual à
massa da coroa, recolhendo a água que transbordou. Como a densidade da prata é menor do que
a do ouro, o volume de água recolhido Íoi maior que o anterior.
Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d'água a coroa do rei e constatou que o volurne de
água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na 1a e 2a operações.
Ficou, assim, constatado que a coroa não era realmente de ouro puro!
A densidade dos metaÍs e a fraude
Considerado o maior matemático da Antigüidade,
Arquimedes nasceu em Siracusa, na ilha da Sicília.
Era filho de um astrônomo e desfrutava de prestígio junto
ao rei Hierão II, o que lhe permitiu estudar em Alexandria.
Entre as histórias pitorescas sobre Arquimedes,
u:rna das mais notáveis diz respeito à coroa de ouro que
urn ourives moldara para o rei. Suspeitando de que
pudesse haver prata oculta em meio ao ouro e não
querendo desmanchar a coroa/ Hierão encaminhou a
questão para Arquimedes.
Conta-se que, quando estava num banho público,
observou a elevação da água à medida que mergulhava
seu corpo e percebeu que este fato poderia resolver o
problema da coroa. Na sua excitação, Arquimedes
esqueceu que estava nu e correu para casa gritando:
"Eureka, eureka!" ("Achei, achei!").
Veja corno ele fez:
5.
232
DenEidade da- wtt^
Além de matemático, Arquimedes foi um grande inventor. Devido às engenhosas máquinas de
deÍesa por ele construídas, Siracusa resistiu ao assédio do exército romano por quase três anos.
Quando finalmente a cidade foi tomada, Arquimedes foi encontrado estudando alguns diagramas
que tinha desenhado na areia. Numa versão da história, ele teria pedido a um soldado romano que
se afastasse dali. O soldado, enraivecido, matou-o com a espada.
fr".,. ,ícoyrn lfi*
Procure encontrar os valores correspondentes às densidades do ouro e da prata, respectivamente.
d"",o = 1 9,32 g/cms dp,61u : 10,49 g/cm3
0 cálculo da densidade demográfica de uma região é também uma aplicação de razão entre
duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado dessa região. Assim,
densidade demográfica de uma região éarazão entre o número de seus habitantes eaárea ocupada
pela regiã0, ou seja:
densidade demográfica : número de habitantes
área
Situado na região Norte, o estado do Tocantins é a mais nova unidade da Federaçã0, ocupando
uma área aproximada de 280 000 km2. De acordo com o censo realizado em 2000, o estado do
Tocantins tinha uma populacão, aproximada, de 1 160 000 habitantes. Qual era, então, a densidade
demográfica desse estado?
De acordo com os dados do exemplo,
temos:
densidade demográfica
1 160 000 hab
280 000 km2
:4,2hab/km2
Logo, a densidade demográfica do
estado do Tocantins era de 4,2hab/km2,
aproximadamente.
Vista aérea da cidade de Palmas, Tocantins. Ao centro, o Palácio
do Governo.
233
I
I
à
.çt
E
=ô
xqrclclo5
o
oZ
ooa
I- Um automóvel percorreu 510 km em 6 ho-
ras. Qual foi a velocidade média desse automó-
vel no percurso? as, -
2 A distância entre São Paulo e Brasília é
1 150 km. Qual a velocidade média de um ôni-
bus que faz esse percurso em:
a) 15 horas? zo o r. -
b) 12 horas e 30 minutos? (Lembre-se de que 12
horas e 30 minutos : 72,5 h.) g:.' '.
3 Adistância entre a Terra e o Sol é de, aproxi-
madamente, 150 000 000 km; a luz do Sol, para
atingir a Terra, leva em torno de 500 segundos.
Qual é a velocidade dal:uz, no vácuo? 30c 000 i ,is
4 Se um veículo se deslocar com uma veloci-
dade média de 95 km/h, quantos quilômetros
ele irá percorrer em:
a) t hora? eb km
b) 2 horas? reo km
c) 2 horas e meia? 237 s km
5 Um velocista correu os 100 metros rasos de
uma competição em 12 segundos. Qualfoi, apro-
ximadamente, a velocidade média desse velo-
cista nessa prova? 8,33 m/s
(6 Qual é a escala de um desenho em que um
comprimento de 3 m está representado por um
comprimento de5 cm? r, oo
o
!õo
O
@
o
§!
.o
o
7 A distância entre São Paulo e trüo de Janeiro
é de, aproximadamente,40S km. Ç)ual é a escala
de um mapa onde essa distância é representada
por 20,4 crn?
EB A targura de um determinado automóvel é
2 m. Uma miniatura desse automrivel foi conti-
truída utilizando-se uma escala de 1 : 40. Qual a
medida, em centímetros, da largura da miniatura ?
5r
Sabe-se que umbloco maciço de madeira tern
kg de *uiru e ocupa um volume de 25 dmr.
Qual a densidade desse bloco?
!r;f r,:'
I- O A água-marinha é uma das perdras semipre
ciosas mais admiradas em todo o mundo. A da
foto tem 8,1 g de massa e ocupa o volume de 3 cm3.
Qual a densidade dessa pedra?
Um fio de platina ocupa urn volume de
0,2 cm'. Sabendo que a massa do Íio é 4,3 g, d*
termine a der-rsidade desse metal.
O quadro seguinte apresenta o número
aproximado de habitantes, de acorclo corrL o Cerr
so Demográfico 2000, e a área de cada uma da s
grandes regiões brasileiras. Deterrnine, então, a
densidade demográfica de cada região.
Área
Região População Aproximada
(em km2)
Norte 12 901 000 3 870 000
Nordeste 47 742000 I 560 000
Sudeste 72472000 930 000.
Sul 25 108 000 580 000 -
Centro-Oeste 11637 000 1 610 000;
§)oc
à
6
T
.§
a
I
234
AE razóa5 q5cntaE na [ornna qrcqntna[
Além da forma fracionária e da forma decimal, umarazão também pode ser representada na
forma percentual, com o símbolo %.
Podemos dizer que:
Toda razáo a
b
, na qual b : 100, pode ser escrita na forma de porcentagem.
Assim, temos:
0,30 : 30%30
i00
I
forma fracionária
Para executar uma obra de arte em bronze, um escultorfundiu 23kg de cobre com2 kg de
estanho. Vamos calcular o teor de cada metal na referida liga:
A massa total do material é igual àsoma das massas dos metais componentes. Logo:
massa do bronze : 23 kg + 2 kg : 25 kg
Dos 25 kg de bronze temos 23 kg de cobre, o que nos dá a razão de 23 para 25. Esta razão
pode ser escrita na forma de porcentagem:
23 :0.92:920/o
25
Dos 25 kg de bronzetemos 2kgde estanho, o que nos dá arazãode2para25.
Representando na forma percentual, temos:
Essas informacões caracterizam,
metálica bronze:
I
I+ forma percentual ou forma de porcentagem
forma decimal
2 - o.o8:8%
25
respectivamente, os teores de cobre e de estanho na liga
92%
235
Teor de estanho
B%
O bron ze e as esculturas
O bronze comum é uma liga metálica, geralmente de cobre e estanho.
juntamente com o ouÍo e apraÍa, o bronze representou uma riqueza que muito contribúu para
a criação e o desenvolvimento dôs primeiros grandes estados: Mesopotâmia, Egito e China,
Mais duro que o cobre, o bronze era emPregado na conÍecção
de utensflios domésticos, armas, estátuas e ferramentas. Sua
irnportância é de tal ordem que um dos períodos de nossa História
é denominado ldade do bronze.
A fundição do bronze desenvolveu-se nas primeiras cidades,
onde crescia a divisão social de trabalho. Esse fato propiciou o
aparecimento das classes sociais e da produção destinada à troca.
Um dos usos que mais difundiram o bronze foi a cunhagem
de moedas, feita pelos Sregos e romanos. Também na arte
decorativa, trabalhos feitos em bronze foram executados pelas
antigas civilizações.
Até hoje, o bronze é utilizado nesse setor por artistas de
renome internacional. Essa preferência se deve, principalmente, à
sua dureza e resistência. Além disso, corrói-se com menos
facilidade que o latão e pode ser protegido Por uma camada de
verniz ou cera.
/t"to é-cçstu W"u Estdtua 
em bronze da deusa
amamentando Hórus.
1-. Que esculturas gregas ou romanas feitas em bronze você conhece?
2. Procure nomes de escultores que se notabilizaram por obras executadas em bronze.
o
oc
À
a
a
à!
oo
Eo
o
o.-
-
,§(,
Isls
Para representar uma razão na forma percentual, temos dois casos a considerar:
le caso: 0 conseqüente b é um fator natural de 100.
razão equiualente de
conseqüente igual a 100
2e caso: 0 conseqüente b não é um fator natural de 100.
0,375 ' 100 _ 37,5 : 37,5'/,100 100
forma decimat de $
+: ul!:
7 - 0.583 :
100
I
forma decimal aproximada o" í
: 
+01 
: 58,3% (aproximadamente)0,583.100
236
I.-
L
Uma razáo escrita na forma percentual pode ser representada também na forma fracionária e
na forma decimal.
Vejamos alguns exemplos:
35% ----------> forma fracionária
2
3
350/o : : 0,35 --------->
_ 35 _7
100 20
8: 
- 
_________>
5
35
t6o%: -i#
forma decimal
forma fracionária
100
1604 160o/o: : 1,60 --------- forma decimal
100
L Escreva na forma de porcentagem cada uma
das seguintes razões:
.51
') too
39o) 
roo
2 Escreva na forma percentual cada uma das
seguintes razões:
. 11a) 
20
b)L
5
,5t/ to
3 Escreva na forma percentual cada um dos se-
guintes números decimais:
a) 0,03 d) 0,62
b) 0,35 e) 0,045
c)
d)
d)
e)
4 As razóes a seguir estão escritas na forma
percentual. Escreva-as na forma de números
fracionários.
a)B% +
b) Tovo +
5 As seguintes razóes estão escritas na forma
percentual. Vamos escrevê-las na forma de nú-
mero decimal:
a) 81.% 0,81
b) 165Vo i,os
a) R$ 171,00
b) R$ 185,00
c) 120%
d) 7,5%
c) 4,57o c 045
d) 77,7% o,T rr
, c) R$ 189,00
d) R$ 270,00
1
: 207o
5
2
-;- 66 60zo
J
a
J
- 
7 qa/^
4
6 (Saresp) Lttíz comprou uma bicicleta por
R$ 180,00 e deseja vendê-la com lucro de 57o para
compensar alguns gastos que teve com a manu-
tenção da bicicleta. O preço de venda será:
c) 1,42 0 0,225
237
Nos exemplos a seguir vamos usar a razão escrita na forma percentual, ou seja, vamos calcular
porcentagens:
I Um desconto de 7 mil reais sobre um preÇo de 20 mil reais, representa quantos por cento?
lnicialmente, temos a razão 7 para 20, ou seia, fr' .
Usando razoes equivalentes, temos:
wE
J- : + :35%20 100.' ,/\/x
Usando a forma de número decimal, temos:
7 :0.35 : -L :35%n - v"r'r - 1oo -
Como podemos ver,7 mil reais representam 35% de desconto.
2
qua
Na figura ao lado, a área da região colorida representa
ntos por cento da área total da Íigura?
Aérea total da figura é de 25 unidades e a área da região
colorida é de 9 unidades. Temos, então, a razão 9 para 25, ou
.q
seta, -fu-.
x4
oa^
É: iE- :36o/o
r. ,l,
x4
Como podemos ver, a área da região colorida representa 36% da área da figura.
3 Um lucro de R$ 3,00 sobre um preco de venda de R$ 120,00 representa quantos por centoi'
3
Temos a razáo 3 para 120, ou seja, -Lr20 '
$: # :0,025: 9%àA: +r :2,5%
Como podemos verificar, R$ 3,00, nesse caso, representam 2,5o/o de lucro.
CaLutlando a
238
XarolCl(75
L Numa prova de vestibular foram dadas 40
questões. Cristina acertou 34 d
número de acertos de Cristina
tos por cento do número total
Três minutos representam quantos por cen-
de t hora? ..
Num campeonato de futebol, 12 dos 52 jo-
disputados terminaram empatados. O nú-
mero de jogos empatados representa quantos
por cento, aproximadamente, do número total
de jogos?
2 Usando o símbolo To,
indique quanto represen-
ta a área da parte colori-
da da figura em relação à
área total da figura. :z,s_,"
?3 Proporçl,,o
Litros
10
20
30
40
50
5 (PUC-MG) Dos 7Z 2OO candidatos inscritos
no último vestibular da pUC-MG, verificou_se
que 1400 deles tinham menos de 1g anos.
Quantos por cento dos candidatos desse vesti_
bular tinham 18 anos ou mais? sg,sz
6 Um fichário tem 25 fichas numeradas. Sabe-
se que 13 dessas fichas têm números ímpares e
as fichas restantes têm números pares. Nessas
condições, as fichas que têm númãros pares re_
presentam quantos por cento das fichas nume_
radas do fichário? +a*
7 Aâreada região colorida representa quantos
por cento da área do retângulo? +sgt
Vamos analisar a seguinte situacão:
Um posto de gasolina oferece um
desconto de R$ 1,00 para cada 10 litros
completos de gasolina. Se uma pessoa colocar
50 litros de gasolina no carro, que desconto
irá obter?
o
I
o
o
!o(,
o
O
Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:
Desconto (em R$)
1
2
3
4
239
-----> o desconto será de R$ 5,00
ll:l riI.IÜI - IJ
Nesta tabela, Podemos destacar:
10
20
30
40
50
Verificamos que as razões
razão entre desconto e titros: *L1
2
3
4
5
5
50-
1^5
10"50
-----'J> razão entre desconto e íitros:
são iguais.
15Lntao: , 50
igualdade de
duas razões
Uma sentenÇa matemática que expressa uma rgualdade entre duas razões é chamada proporÇão.
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Vejamos alguns exemplos:
I Admite-se, como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5 000 habitantes.
Nessas condiçóes, quantos médicos deverá ter uma cidade com 50 000 habitantes?
De acordo com o problema, temos a tabela:
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
----> razão 
entre o número de médicos e o
número de habitantes: 
",*L
razão entre o número de médtcos e o
número de habitantes: ãk 
: 
=#
240
A cidade deverá ter 10 medicos.
Verificamos que as razões -J.^ . - 105 000 - 50 000 sao rguars.
Então. 1 : 10' 5 000 50 000
Sejam os números 6, 9,
Arazão do 1s para o 2e:
é uma proporcã0.
12 e 18. Nessa ordem, vamos calcular:
62
e -T
2
Arazão do 3e para o 4e: #
Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à razáo do terceiro para o quarto,
podemos escrever:
6 : 9: 72: !go, + : # (Lê-se: 6 está paragassim como 12 está para 1g.)
Neste caso, dizemos que os números 6,9,12,18, nessa ordem, formam uma proporcão.
De um modo geral:
_2
3
)
)
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero,
nessa ordem, formam uma proporcão quando:
a:b:c:dou -9-:-9-bd
(Lê-se: a está para b assim como c está para d.)
Na proporçro f : +, temos:
0s números a, b, c e d são denominados termos da proporcã0.
0 primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo
denominados meios.
r
C
d
L*
e o terceiro são
ex meioextremosconsiderando as proporÇões vistas no capÍtulo anterior, temos:
_ 800 4 000
' to 
:-50
produto dos extremos: 800 ' 50 : 40 000
produto dos meios: 10 ' 4 000 : 40 000
800.50:10.4000
Nos exemplos, observamos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meir:s.
) i-:
9
produto dos extremos: 6 ' 18 : 1081
i 6 t8:9.t2
produto dos meios: 9 '12: 108 )
Esse fato se repete sempre que tomamos uma proporÇã0.
Daí, podemos definir a propriedade fundamental das proporÇões'
De modo geral, em toda proporçã0, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios e vice-versa.
3-:-9- <+ a d:b Cbd
Podemos utilizar a propriedade fundamental para resolver diversos problemas. Vejamos alguns
exemplos:
f Usando a propriedade fundamental, verificar se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa or-
dem, uma proporção.
3-28:7.!2= a:-L'7 28
Como o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, os números 3,7 , 72 e 28 formam,
nessa ordem, uma proporÇã0.
242
2
valor
Sabendo que os números 6, 24,5 e x formam, nessa ordem, uma proporcã0, determinar o
de x.
6 _5
24 X 
----------> os núrneros 6, 24, S ex formam uma proporcão
6x : 5 . 24 -,-=- apticando a propriedade fundamental
6x : 1 20 resolvendo a equaÇao em x
720v-_^- -=: x:20b
0 valor de x é 20.
0 número 20 assim determinado chama-se quarta proporcional dos números 6,24 e S.
Assim, dados três números racionais a, b e c, denomin a-se quarta proporcionaldesses números
um número x, tal que -L : -9-"b x
Determine a quarta proporcional dos número, 4, S e -L.3', 4
De acordo com o exposto, temos:
21
T:4L^-,;
5 x 
-------------) aplicando a propriedade fundamental
2-1
3.X:3. 4
2*:5
3 4 
- 
resolvendoaequação
8x 15
t2 t2
8x: 15
x : 15
8
Calcular o valor de x na proporcão ++ : + (com x + 2).x- I z
x+1 _ 1
X_2 2 
---+ aplicandoapropriedadefundamental
2.(x+ 1) :1-(x-2)
2x + 2 : x - 2 -------------+ resolvendo a equação
2x-x:-2-2
X: -4
5 Sabe-se que, numa escola, para cada 4 meninas estudam 5 meninos'
meninos, quantos alunos estudam nessa escola?
4x
-:5 580
Se na escola há 580
x:4 '580
:2320
2 320X:
5
x: 464
464 + 580 : 1044 -------+ totalde alunos
Estudam nessa escola 7 044 alunos.
apticando a propriedade fundamental das proporções
resolvendo a equação
5,
5x
6 Numa maquete a altura de um
edifício é de 80 cm. Qual a altura real
do prédio, sabendo-se que a maquete
foi construída na escala 7 : 40t.
1
40
:80
X
1 .x:40.80
x: 3 200 cm :32m
A altura do prédio e de 32 m.
L Aplicando a propriedade fundamental, ve-
rifique se os seguintes pares de razões formam
2 Verifique se os números ababco formam, na
ordem em que aparecem, uma proporção:
a) 4,6,20e30.'' c) 7,2;2;'3e5,
b) 1.,6,3e1,2 , o) +,atl, )-,+o
3 Determine o valor de x, sabendo que 5,8,72
e x Íormam, nessa ordem, uma proporção.
aplicando a propriedade
fundamental
resolvendo a equação
uma Proporçao:
.2 6il +ef ', c)
110b) -- e -* .,' d)'55U
4 ^610" 4
34_õ-
12- 76
244
4 Determine a quarta proporcional dos nú-
meros:
a) 6,10e15 c)
b) 20,72e5 3 d) 0,4;0,6 e7,2 i,E
5 Calcule o valor de x nas proporções:
a) x-8372
r\ 2x 15LI,l 
-
32
r:3 e)
. 1 x-1+) - :-
3 x-11
6 Para ser aprovado em um concurso,
Adriano tem de acertar no mínimo 70To dapro-
va, ou seja, a razáo entre o número de acertos e
o número total de questões tem de ser igual a
7
-ft-. Sabendo-se que a prova tem 20 questões,
quantas questões Adriano terá de acertar para
ser aprovado?
7 Numa escala de7 : 25, qual o comprimento
real, em metros, correspondente ao comprimen-
to de 12 cm?
El Um automóvel, com uma velocidade média
de 85 km/h, percorreu certa distância em 4 ho-
ras. Qual foi a distância percorrida? .,-l
I Numa receita de bolo, está escrito que são
necessáÍios 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha
utilizada. Quantos ovos serão necessários, se fo-
rem utilizados 2 kg de farinha?
2 1-1
3' 2 - 3
b\ 2-- 74x27
.15
C' ox
31
4:2
1x
aJ
c
-qÍ
àl
o
!o(,
o
O
245
LO A razáo entre a altura de um bastão fi-
xado verticalmente no chão e a sua sombra,
em determinada hora do dia, é de 5 para 3.
Se a sombra mede 72 cm, qual é a altura do
bastão? i,2 m
L L Sabe-se que 2 estâ pata x assim como
, * + está para 1
qual o valor de x? , -
1
- -i. Nestas condições,4
6
5
Dados os números 3,5, 18 e 30, verifique
ordem em que aparecem eles formam uma
proporção.
a) 3,5,18 e 30 si.
b) 3,5,30 e 18 nao
c) 5,3,30 e 18 srm
d) 3,'18,5 e 30 sim
I-3 Para Íazer umrefresco, misturamos suco
concentrado com ág:ua na razáo de 3 para 5.
Nessas condições, 9 copos de suco concentra-
do devem ser misturados com quantos copos
de água? r 5 copos de ásua
L4 Uma cozinha retangular de 6,5 rnpor 4,2 m
deve ser representada num desenho, utilizan-
do-se para isso uma escala de 1 : 50. Quais se-
rão as dimensões da cozinha no desenho?
13 cm e 8,4 cm
L5 A razã,o entre as velocidades de dois mó-
,)
veis Á e B é de -l-. Calcule a velocidade do
5
móvel Á quando a velocidade do móvel B Íor
igual a 16 mf s. a,q d,
.aôo
oEI
-a
problemas:
55 }wtrm propried,adat daE proporçÕz:,
Vamos estudar duas propriedades das proporções que são bastante utilizadas na resoluÇão de
Consideremos a seguinte proporção:
Geometricamente, temos:
4
Observe, agora, as novas proporções que podemos obter partindo da proporção dada.
i 3+2 5___1 + :-233
6+4
Geometricamente, temos :
3+2
6+4
Note que os dois primeiros retângulos são semelhantes entre si e a razão de semelhanca é
: 2. O mesmo acontece com os outros dois retângulos!
3:6
24
3 6 3+2 :
243
U _ 6+4 : 10 : 54663
+
6
246
3 6 3+2 6+4
-:2424
) 3 ________ 3+2 _ 5222
6 6+4 10 54 4 - 4 -T
Geometricamente, temos :
3+2
6+4
? ?-,
)'.......*-t-23
3 6 3-2 6-4_::_2436
3 _ 6 _ 3-2 _ 6-42 4- 2 - 4
6 6-4 2 1
4663
Geometricamente, temos :
6-4
3 3-2 1:-
_1
2
6
4
247
4
6
4
Geometricamente, temos:
4
-----------) 3 - 2
Podemos enunciar a ProPriedade:
Em toda proporçã0, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o
primeiro io, para o segundo), assim como a soma ou a diferença dos dois últimos
termos está para o terceiro (ou para o quarto).
1-g-: 9 = a+b - c+d ou +I: 
tf o
t- d - a c b d
a-b c-d a-b c-d) a _ C _ a-0 : u-u o,l o _u :b-d-= c b d
0
4
6 3 6+3
-:--:4 2 4+2
Seja a proporcão + : f . Vurot obter, a partir dela, novas proporções:
:
6 3 6+3 9 6 3
-::-:-4 2 4+2 6 4 2---r-- t \ G 3 6+3 3
4 2 4+2 2
248
Podemos enunciar a propriedade:
Em toda proporcã0, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para asoma(ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente .rú pu6
o seu conseqüente.
) +: ! = u*: : â o, a+c - cb d b+d - b vu b+d -n
) +: 9 - 3-: : 3 o, a-c - cb d - b_d b vu b_d -d
Vamos aplicar essas propriedades na resolucão de problemas, observando os seguintes exemplos:
I Determinarx eynaproporção 
i: f,saOendo-sequex+y :2g.
x: 3 _r+y 3+4 x+y 7y 4 :--3- - : 3
Comox+y:28
28 _7x 3 x+y:28
7 . x : 3. 28 --------> propriedadefundamentat t2 + y : 29
7x:84 y:28 - 12
x: 8=4 : 12, u:ru
Logo,X:12ey:16.
2 A diferença entre dois números e 20. Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e
3, determinar esses números.
Vamos indicar por x e y os dois números.
Diferenca entre os números = x - y - 20
xeysãoproporcionaisa4e3 + X - 1y3
x _ 4 x-y : 4-3 _ x-y _ 1y3x4x4
249
Comox-Y:20
20 1
x- 4
1 .x : 4.20
x:80
x-Y:20
80-Y:20
-Y:20-80
-Y: -60 ã Y:60
Os números são 80 e 60'
Íx:Y
Resolverosistema I a 2
x+Y:80
x : Y ^*Y :4 = *f Y - X3-T 3+2 3 5 3
Comox+y:80
80 : T x*y:gg53
5.x:3.80 48 + y:39
5x:240 y:80-48
y: 2!-o : 4g y :32
5
s : {(48, 32)}
4 Para pintar uma parede, um pintor deve misturartinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3.
Se ele precisar de 24 í dessa mistura, quantos litros de cada cor rá utllizar?
I quantidade de tinta branca: x
Vamos indicar 
]
i quantídade de tinta cinza: y
Quantidadetotal detinta: x +y:24
Razão5parar,i:+
x 5 x+y 5+3 x+y _ 8
t: 3 propriedade -, 
: 5 -- --t-:5
250
Comox+y:14
24 _8x5
8.x:5.24
8x: 120
v_ 120
B
X : 15 (tinta branca)
x+Y:24
75+y:24
y:24-15
Y:9(tintacinza)Ele irá utllizar 15 ú de tinta branca e9 t detinta cínza.
Determinarosnúmeros a,bec, sabendoqr. +: + : +, equea + b + c: r2o.
à _ b : a a+b+c _ a a+b+c a3 5 -Z 
=+5+2 
: 
3 - 10 :ã
Comoa+b+c:120
720 a
10-3
10.a:3. 120
10a : 360
^ 360 1.d:------:5b
10
Tomando as igualdades duas a duas:
a:b j 36_b
3535
3.b:5.36
3b: 190
. 180 -^D: 
" 
:ou
J
a_c 36_c
3232
3.c:2.36
3c:72
c: 7? :24
3
Logo,a:36,b:60êc:24.
251
I- Determine x eyna proPorção À : *,'u-
bendoquex*Y:32. -rr: =
2 Determine os números a e b na proporção
à : 7 orando'b8'
b) -I-: +y+
a) a * b:45
a=21 eb=2
b)a-b:-5
a=35eb-40
3 Dois números estão entre si como 3 está para
1. Sabendo que a diferença entre eles é 50, calcu-
le os dois números. ;l :'.
4 A soma de dois números é96 e eles são pro-
porcionais aos números 5 e 3' Quais são esses
números? :: . :;
5 Aplicando as propriedades, resolva as Pro-
porções:
.x7a) - 
:T,saoendoquex * Y : 80.
Y J ' 5cer-24
,sabendoquex -y:72.
4A
6 ,A. soma de dois números é77. O maior deles
está para 7 assim como o menor estâ para 4.
Quais são esses dois números? +e " za
7 Aplicando as propriedades, resolva as Pro-
porções:
ú a: J-,send.or-y:15.65
b) a - b .sendoa*b:108. .,. ô-ril'1c5 4',
.2 5c) +:i-,sendox+y:140. 'r,e' ooxy
,.xYzd) +:t:-?,sabendoquex t y't z:90.
. .= 48. ,, 3C : ',2
€B A diÍerença entre as medidas de dois ângu-
Ios é 50'. Sabendo que essas medidas são pro-
porcionais aos números 3 e 2, calcule as medi-
das desses ângulos. :o-e r50'
€) Tenho uma coleção
com 45 CDs. A razáo
entre o número de CDs
clássicos e o de
música popular
é de 1 para4.
Quantos CDs
clássicos e
quantos de
música popular
tenho? ':s r: : :a :,: -:
LO Aplicando as ProPriedades das
ções, resolva os sistemas:
proPoIL
a)
c)
L L Para fazer limonada, misturamos suco de
limão com água na
proporção de2para
9. Quantos litros de
suco de limão e de
água serão
necessários para
fazer 5,5litros de
limonada?
7-2 Arazão entre as massas de alumínio e de
oxigênio na substância óxido de alumínio éigtal
u 7 . Calcule as massas de alurrLínio e de or:i-
8
gênio necessárias para formar 51 g de óxido cle
alUmíniO. :-. | à -,ir . .: )i 1e.).:. . . .
252
s : {(90, 75)}
Ya-
lratando
Jnbl^oçao
O trecho a seguir Íaz parte de uma matéria publicada pelo jornal
Folhn de S.Paulo sobre exportação de frutas.
Mais de '.l0/o dasfrutas exportadas pelo Brasil são 
consumidas
p.l"t ;;;"ú.' Hoi;;du, Inglaàrra' Espanha' França e Alemanha
são os maiores imPortadores'
Í
T
aI
--'xaf
Observe os gráficos que ilustram a referida matéria:
Campanha, em parte Íinanciada pelo governo, inclui participação dos produtores em Íeiras
intemacionais e degustação de Írutas brasileiras nas redes de supermercados
Principal região produtora
\J
i
l.J
*
J
a
Veja quais ae prlncipals Írutas
exportadas pelo Brasil
ExpoÍação em 2001 (US$ milhoes)
716
I
Limáo
Principais mercados externos de cada lruta
Manga Limão
f-,lolg.nda. il%
Arggn!!lal!ry,o-
lnglaterrg l9%
Alemanhal5%
llaçã
Alemanha{ 7olo
Mdão
Argentina | 69o
Espanha [3%
Papala
,Eyl l_?g4_
HeElqg'11s1,
Fgltt",te
P_9nu991- L\?z
Ç_9nad{ Lq4_
Alemanhal9%
Manga Vale do rio Sáo
Francisco
Rio Grande do
Norte (região de
Mossoró)
Vale do rio São
Francisco
Espírito Santo
(região de Linhares)
Papaia
Maçã
São Paulo (região
de Catanduva)
18,1
Maçã
Santa Catarina
(regiáo de Friburgo
e São Joaquim) e
Rio Grande do Sul
(região de Vacaria)
260/o Íoi guento as
exportafo€s de frutas
brasileiras cresceram
em 2001
As vendas
extemas de melão
cresceram 577", e
as de manga, 427o
1997 1998 1999
Font€: lbÍaí (lnstituto Bíffiileko de
N
O
N
.!
N
1(
'§
o
ÊJ"
õ
o
Ei
253
2000 2001
I uanouerErRos FAZEM ExpoRTAÇÃo oE FRUTAS DUeLTcAR EM euATRo ANost
\t
108,9
1ft"'o dcott^ lfi*
Com base na reportagem e nos gráficos, responda:
a) Quat a principal região produtora de manga no Brasil? vaie oo r o sáo Frânc sco
b) Quanto renderam as exportações de melão em 2001? 3e,3 n nóes de dó êres
c) Qual o valor total correspondente às seis principais frutas exportadas? T 5s,e m hóes de clo ares
d) Qual o principal importador de frutas do Brasil? Horanda
e) Por que se pode dizer que as exportações de frutas brasileiras quase duplicaram de 1998 a2007?
Porque em 1998 as exportaçÕesÍoram de US$ 119 mlhóes e em 2001 somaranr USS214 mlhóes, oq,Je cor-espofde a qrase o dob'o
cio valoT ar'tter oT
fr* 
ando o qwa a'Pra-^danl
L Uma escola tem 800 m'de área construída e
1 000 m2 de área livre. Qual a razã.o d.a ârea
construída para a área livre? +
2Urn pai tem o dobro da idade de seu filho.
Qual a razáo:
a) da idade do pai para a idade do filho? +
b) da idade do filho paÍa a idade do pai? +
3 Qual arazáo entre as idades de dois irmãos
gêmeos? r
4 Arazáo do número de acertos para o núme-
ro total de questões da prova de Flávia foi de
JL .4pr.tir desses dados, podemos dizer que18r
Flávia acertou mais ou menos da metade da
prova? mais, pois : +, +
5 Se um corredor
qual a velocidade
percurso? a./'
Ía2200 m em 125 segundos,
média desse corredor no
6 Ao montar uma maquete, Gláucia decidiu
rtilizar a escala 1 : 75. Quais serão, na maquete,
as dimensões de um muro que na realidade pos-
sui 12 m de comprimento por 3 m de altura?
T6 cm e 4 cm
7 A miniatura de
um avião foi feita na
escalal :300.Qual
o comprimento real
desse avião, se na
miniatura essa
dimensão é
representada por
um segmento de
74crn? +z-
254
€i (Saresp) A planta de uma casa foi feita na
escala 1 : 50 (o que significa que cada 1 cm na
planta corresponde a S0.* .o real). Sendo a
cozinha de forma retangular, medindo na plan_
ta 9 cm e 10 cm, então as dimensões reais àe"ra
cozinha são:
L7 Divida o número 65 em duas partes, de
modo que a razáo entre elas seia 4 . 2a e 4o,9
Na figura, o ponto p divide o segmento
arazáo2 : 5. Quais são as medidas x : Ap
e y : PB? Ap : 32mmepB : somma) 4me5m
,b) 4,5me5m
c) 9me 10m
d) 18me20m
€) Resolva a proporção:
x=5
LO Qual o valor de x na proporção
i5 -1
2x x*1 '- g-
Observe as proporÇões 2x= 4
6 -, x-3 
: 3 "
f . Nessas condições, determine *, + yr.
61
12 Asoma de dois números é 140 e o maior
está para 3 assim como o menor estâ para 2.
Quais são esses números? s+ 
" 
so
L3 A diferença entre dois números é 15. O
maior deles está paraT assim como o menor está
para2. Qual é o menor número? o
I-4 Dois números x e y estão entre si como 7
está para 4. Sabendo que a diferença entre eles é
63, qual é o valor de x * y? zs
L5 A razão entre as velocidades médias de
dois maratonistas A e B é de 6 para5. Se a soma
dessas velocidades médias é 33 km/h, qual é a
velocidade média de cada atleta? 18 km/h e i b km/h
16 Na Íigrra,amedidardoângulo AôB está
parall assim como a mediday de BôC está pa-
ra 5. Se AôC mede 1.44", qraissão os valores de
xey? x:ee.ty:4s.
^L9 O perímetro de um triângulo é 54 cm.
Quais as medidas dos três lados sé elas são pro_
porcionais a 2,3 e 4? tz 
"^, r8 cm e 24 cm
20 Na Íigura, a e b representam as medidas
dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Se
a estâ para b assim como 2 estâ para 3, calcule
essas medidas.
(Lembre-se: a soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 1g0..)
â:36";b:54'
1_3
x-2 x-14
112 mm
2L Sabe-seque i: ex*y:68.Nes-
10
7
sas condições, qual é o valor dex - y? n
A declividade de uma ladeira é expressa
azão entre a sua altura e o seu afastamen-
to. Se uma ladeira tem10% de declividade e um
afastamento de 50 m, qual é a altura da ladeira?
5m
-- 
+-
I
I
a ltu ra
I
l
255
t'
t'
I
Ir+ afastamento-.
OfCl0 IACltl5i
9e uma mâquina àexerox, Por exemPlo,
oerínaneae em lunaionamenlo àuranle um certot.
L^po, ela produzirâ um àeterminaào número àe
a6piae.
Étâoit peraeber que' àupliaanào o temTo àe
funcionamento àeeea máquina' a 7roàuçào
àe aôpiaa também àu7lioat reduzinào o tem7o
àe funaionamento àela à melaàe, eua 7roàuçào
também se reàuz à metaàe.
Notamos, eníào, que aa granàezae tern?o e
proàuçào estào envolviàao ?or uma proTorçào'
Ouf,ras granàezae 7oàem eslar envolviàas
?or uma proporçào, Yeiamooz
Voaê jâ imaqinou?aoear um àia em aaàa uma àae
praiae que Íicam ao longo àa roàovia Rio'Siantos? Vale
a ?ena sonhar aom fériae tranqÜilae à beira'mar,
Como na regiào litorànea àesea roàoviia exislem
maie àe 57O praiao, o períoào àe verào nct hemisfério
sul eeria insufiaiente Tara voaê realizar esoe sonho'
No entanlo, vamoo iàealizar uma viagiem íurisliaa
àe au'Lomôvel nunr treaho àessa roàovia, sainào àe
Sanloo e cheganào a 5ào Sebasliào, Nesse trajeto
àe 14O quilômetros, você poderâ aàmirar algumae
àas maia linàae Traiae ào nosoo 7aio,
Jrrréia' 
km 80
Boracêia' 
km 
-'3
km 45
Â, kr't 
12
s. kÍn 0
Grand ro
flio PafileÚs
,:j",'JS'?"1
rcrt da-
Com a velocidaàe méàia de 35 kmlh, eooe treaho serâ peraorriào em 4 horae, 5e a velooiàaàe
méàia lor 70 kmlh, o íem?o para complelar o percurso aerá àe apenas 2 horas, Em oulraa palavraot
àupliaanào a velociàaàe méàia, o tempo para chegar a 5ào Sebastiào se reàuz à metaàe.
Praia do B'99!n 
sffi' São Paulo
?ercebemos que t al siíuaçào
envolve as granàezas velociàaàe
e íempo por meio àe uma
proporgào,
il
a
i
Nesta Uniàaàe, esíuàaremos a relaçào
entre duas grandezae quaiequer e a aplicagào
àe proporçõea na reooluçào àe problemae.
rq
5L N í/rne ro5 dir qt a a- in\ler5c^n^qnta-
proporuoncú5
Consideremos a seguinte situação:
Uma torneira é aberta para encher um reservatório. De tempos em tempos, é medida a altura da
água no reservatório, e o resultado dessa medição encontra-se na tabela seguinte:
Tempo (em min)
10
15
20
25
30
Altura da âgua (em cm)
l2
18
24
30
36
Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1e coluna e o seu correspon-
dente na 2e coluna:
105i55205255305
n- 6 18 - 6 A: 6 30:6 36:6
Podemos então escrever:
101s2025305
n- 1g - 24:30:36:?
Quando isso acontece, dizemos que os números da 1e coluna são diretamente proporcionais
aos números correspondentes da 2? coluna.
Dizemos que:
0s números racionais x, y e z são drretamente proporcionais aos
númerosracionais a,becquandosetem X : Y : 'abc
Vejamos a seguir alguns exemplos:
I Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números [], 20 e 60.
30_1
602
10_1
202
4:l
82
258
/10301
Como --- - 
-: - 
: 
-, 
podemos dizer que a sucessão de números 4, 10 e 30 e820602
diretamente proporcional à sucessão de números 8, 20 e 60.
2 Verificar se os números 7, 10 e 13 são diretamente proporcionais aos números 21,30 e 52.
7:I 10_1 13_1
2t3303524
7 10 13Como â : j6 + ô, podemos dizer que os números 7, 10 e 13 não são diretamente
proporcionais aos números 21, 30 e 52.
3 0s números 6, x e y são diretamente proporcionais aos números 4, 8 e 20. Nessas condições,
determinar os valores de x e y.
Para que 6, x e y sejam diretamente proporcionais a 4,8 e 20, devemos ter:
6 x_ y
4820
Daí, temos:
6x.48
;:6 + 4x:48 = *:ã = x: 12
+:* = 4y: !20 = y: l?.0 = v:304 20 --' ' 4
Temos QUo X : 12 ey : 30.
4 Um barbante de comprimento 200 cm é dividido em partes diretamente proporcionais aos nú-
meros 3, 5 e 2. Qual o comprimento de cada pedaÇo?
Vamos representar os comprimentos dos pedaÇos por a, be c, tais que + : + : |- : ^.
Daí concluímos que:
a ,, 1.. b -- - h-Ã- 
C ..
--,r - 
à:3X *: X = b:5XJ 5-:x = b:5x ;: x = c:2x
Como a soma das três partes deve dar 200, temos:
a + b + c:200rlL
s'* * s'* + ix: 2OO
10x:2OO= 200,*:ã=x:20
As partes procuradas são:
a:3x:3.(20) :60
b:5x:5.Q0:100
c:2x:2.QU:40
60+100+40 :200
0s comprimentos dos pedaços são 60, 100 e 40.
259
Níttnar os tnv er 5 au^ant e- yt r o yt o r cto naig
Consideremos a seguinte situação:
Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. A velocidade da bolinha e o tempo
correspondente que ela gasta nesse deslocamento estão na tabela seguinte:
Velocidade (em m/s) Tempo (em s)
260
30
20A
15
Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1c coluna e o s€ru correspon-
dente na 2ê coluna:
2'60:720 4.30:I20 6.20:I20 8.15:'.120
Podemos, entã0, escrever:
2.60: 4.30 :6.20: g . 15:120
Quando isso acontece, dizemos que os números da lccoluna são inversamente prroporcionaic
aos números correspondentes da 2e coluna.
Dizemos, então, que:
0s números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b
e cquando setem X. â : y . b : z. c.
Vejamos alguns exemplos nos quais aplicamos essa definição:
1 Verificar se os números 120,30 e 16 são inversamente proporcionais aos númercls 2,8 e 15
120.2:240 30.9 :240 16. 15:240
Como 120'2: 30 ' 8 : 16 . 15 : 240, os números 120, 30 e 16 são inversamente
proporcionais aos números 2, 8 e 15.
2 0s números X, y, 2 e z sáo inversamente proporcionais aos números 6, 10, 15 e 60. Quais sãr.l
os números x, y e z?
x. 6 : y. 10 :2.L5:2.60
6x: 10y: 30 : 602
4
6
8
260
Daíobtemos:
6x: 30 10y: 30 602 : 30
x: 30 'r: 30 ,: 30^- 6 Y- Io ': 60
X:5 y:3 ,:l
Temosx:5,y:3ar:*.
I
3 Vamos repartir o nÚmero 620 em três parcelas que são inversamente proporcionais aos núme-
ros 5, 2 e 3. Quais são os valores dessas parcelas?
Vamos representar as parcelas por 4 be c,tais que a . 5 : b . 2 :c . 3 : x
Daípodemos tirar:
5a:x 2b:x 3c:x
^XLXXa:f b:; c:â
Como a soma das três parcelas deve dar 620, temos:
a+b+c:620 ou
I -'4+ L:620523
6x 15x 10x 18 600
:;- -r- ---==- -i- ---==- : ---------:-30'30'30-30
6x + 15x + 10x : 18 600
31x : 18 600
1g 600 :600*: 
31
Substituindo x, obtemos:
- x 600 1ô^):-a- - ----=--Lzv35
,_ x _ 600:?nno: 2: 2 :JUU
.:f:+:2OO
As parcelas procuradas são 120,300 e 200.
261
L Verificar se:
a) os números 4,9 e 7 sáo diretamente propor-
cionais aos números 16,36 e 28. " .n
b) os números 7,2 e 35 são inversamente pro-
porcionais aos números 50, 175 e 10. .i.
c) os números 6,12 e 18 são inversamente pro-
porcionais aos números 1,4,7 e 4. nao
d) os números 1,5; 2 e 2,4 são inversamente
proporcionais aos números 4;3 e2,5. ,'
2 Os números x, y e 32 sáo diretamente Pro-
porcionais aos números 40, 72 e1'28. Determine
os números x ey. r - 1o ev - 18
3 Quais devem ser os valores dos números Í e
y parc que os números 3,12 e y sejatn inversa-
mente proporcionais aos números x,30 e 10?
x:120ey:36
os número, *, + " + são^inversamente
porcionais aos números 3, f e y. Calcule
osnúmerosxey. ": lev-z
5 Vamos repartir 420 em três parcelas que são
diretamente proporcionais aos números 3,7 e 4.
Quais são as três parcelas? go, zto " tzo
(6 Vamos repartir o número 380 em parcelas
que são inversamente proporcionais aos núme-
ros 2, 5 e 4. Quais são essas parcelas? 200, 80 e 100
7 As massas de cobre e zinco que se fundem
para formar o latão são diretamente proporcio-
nais aos números 7 e 3. Quantos quilogramas
de cobre e quantos quilogramas de zinco são ne-
cessários para obter 40 kg de latão?
cobre: 28 kg, zinco: 1 2 kg
€i Um treinamento de voleibol teve 180 minu-
tos de duração e foi dividido em três partes: a
primeira foi dedicada à preparação física; a se-
gunda, ao treinamento de jogadas ensaiadas e
bloqueios, e a terceira/ a um "tacha" entre os jo-
gadores. Sabendo-se que os tempos de duração
de cada parte são diretamente proporcionais aos
números 3,7 e2, quanto tempo durou cada par-
te do treinamento? 45 min, 105 min e 30 min
€) Ao iniciar uma viagem, separei rneu dinhei-
ro em partes diretamente proporcionais aos
números 5, 3 e 2. A primeira partre destinei a
transportes, a segunda a comPras e a terceira a
hospedagem. Tendo levado 3 00Ct reais Para
essá viagem, quanto reservei para cada item?- trarreportes.'l 500 reais; .onrpras: 900 rears;
hospedagem: 600 reais
10 Patrícia comprou 45 sorvetes para a festa
de aniversário de sua filha, de sabores chocola-
te, morango e flocos, em quantidades diretamen-
te proporcionais a 8,2 e5. Quantos, sorvetes de'
cada sabor ela comprou?
24 0e c'rcco a:a 6 le rrio a.ac e I 5 :j: í ccos
L L Um prêmio de 460 reais foi repartido en-
tre três funcionários de uma firma em partes in-
versamente proporcionais aos seus salários. C)
funcionário Á recebe 5 salários mírLimos, o fun'
cionário B, 8 salários mínimos, e o funcionário
C, 4 salários mínimos. Qual a partedo prêmio
que coube a cada funcionário?
L2 Eduardo tem um sítio e resolveu distri-
buir 45 maçãs a três famílias, em partes direta-
mente proporcionais ao número <le filhos. Sa-
bendo que as famílias têm respectivamente 2, 3
e 4 filhos, quantas maçãs recebeu cada família?
10 a:::
262
Ya)
lratando
lnbt^oçao
Apesar de ter ampliado suas exportações para os EUA nos últimos
meses de2007, o Brasil continua em desvantagem. O saldo foi deUS§ 1,466
bilhão a favor dos norte-americanos. Veja no gráfico os montantes das
importações e exportações norte-americanas para o nosso país em 2000 e
2001,.
Fonte: Departamento de Comércio dosEUA, Folha àe S.Paulo,22 Íev.2002.
1. Com base no gráÍico, determine:
a) os respectivos valores das exportações norte-americanas para o Brasil em 2000 e 2001.
b) os valores das importaçôes em 2000 e 2001 r 3,9 e 14,5 bithóes de dólares 
15'3 e T 5'9 bi hóes de dólares
c) os saldos correspondentes nesses anos 1,468 e 1,466 bi hóes de dólares
2. Agora, calcule saldos relativos a 2000 e 2007, de acordo com as respostas dos itens a e b.
- i tr -23 ce dó â'es ros dois casos
3. Esses valores são iguais aos destacados no gráfico? Por quê?
' :^ .crque, no crái co cs valores das exportaÇôes e tmportaÇÕes são apenas aproximados, enquanto aqueles dos saldos sáo mals precisos
4. Verifique se os números 15,3; 13,9;75,9 e 14,5 formam, nessa ordem, uma proporção.
''lãc, oors 15,3 '/. 14,5 = 13,9 x 15,9
Gr anduc^5 [t r o (to rci o nai s
Constantemente, você observa situaÇões como:
) O tempo que se gasta numa viagem depende da velocidade do veículo.
) A nota que um aluno tira numa prova depende do número de questões que ele acerta.
) A quantidade de tinta que se gasta parafazer uma pintura depende daárea a ser pintada.
Em todas essas situacões, você observa que existem grandezas que variam, uma dependen-
do da outra. Essas grandezas, que se relacionam entre si, são chamadas grandezas variáveis
dependentes.
Em US$ bilhões
263
SUPERÁVIT COM O BRASIL FICA ESTÁVEL
Gr and,uat dir el an^enla yt ro orcionas
Consideremos a seguinte situação:
Numa mola presa a um teto por uma de suas extremidades, são pendurados corpos de massas
diferentes. A seguir, medindo o comprimento da mola, que se modrfica com a massa do corpo nela
colocado, pode-se organizar a seguinte tabela.
Massa do corpo
(em kg)
10
20
30
Comprimento da mola
(em cm)
50
100
150
Pela tabela, você pode notar que:
I Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica,
) Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.
Nessas condicões, as duas grandezas envolvidas (a massa do corpo e o comprimrento da mola)
são chamadas grandezas diretamente proporcionars.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra
também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... e assim por diante.
Vejamos o que ocorre com os números que expressam duas grandezas diretamente proporcionais:
I Quando a massa do corpo passa de 10 kgpara20kg, dizemos que a massa viaria na razão
10
,O ; en0ulnro';;o, o comprimento da mola passa de 50 cm para 100 cm, ou seja, o ,lomprimento
vafla na razao 
100
Você vai notar que as duas razões são iguais, ou se1a:
10_
20
50
100
11TT
2 Quando a massa do corpo passa de l0kgpara 30kg, dizemos que a massa varia na razáo
10
ff ; enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50 cm para 150 cm, ou seja, o rcomprimento
varia na razáo #
264
Você vai notar que as duas razões são iguais, ou seja:
10_
30
1
3
Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que
essas grandezas são diretamente proporcionais.
veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
3 Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos é diretamente proporcional
àárea a ser pintada: duplicando-se a área, gasta-se o dobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o
triplo de tinta.
4 Quando compramos laranjas na feira, o preÇo que pagamos é diretamente proporcional à quan-
tidade de laranjas que compramos: duplicando-se a quantidade de laranjas, o preÇo também duplica;
triplicando-se a quantidade de laranjas, o preco também triplica.
50
Tc
I
1T
265
o
E
oJ
op
o(,
o
6
O
Consideremos a seguinte situaÇão:
Uma professora tem 48 livros para distribuir igualmente entre seus alunos.
Se ela distribuir igualmente entre apenas dois alunos, cada um deles receberá24livros'
Se ela distribuir igualmente entre quatro alunos, cada um receberá 12livros.
se ela distribuir igualmente entre seis alunos, cada um receberá 8 livros.
Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:
Pela tabela você Pode notar que:
) Se o número de alunos duplica, o número de livros cai para a metade'
) Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terÇa parte.
Nessas condições, as duas grandezas envolvidas (quantidade de alunos escolhirlos e a quan-
tidade de livros que serão distribuídos a cada aluno) são chamadas grandezas inversannente propor-
cionais.
Daí, temos:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas,
a outra se reduz paraa metade; triplicando uma delas, a outra se reduz parai)
terÇa parte.., e assim Por diante.
Vejamos o que ocorre com os números que expressam duas grandezas inversamente proporcionals.
1 Quando o número de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o número de alunos uaria na razáo
')-24í; enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12,variando na razão 
-+ 
\J llulllE;l\J ug llvluJ vqJgq uv LT yqrq rLt vqrrvr 
12'
Você vai notar que essas razóes não são iguais; são inversas. Veia:
)4
fr sao razoes tnversas
24n-
2o
4v
2
T
266
Gr and,aZCL5 l[rY ar 5aü^qnt q
Número de alunos
escolhidos
2
4
6
2l
42
Número de livros
distribuídos a
cada aluno
24
t2
8
2
2.
6',
Quando o número de alunos passa de 2 para 6, dizemos que o número de alunos varia na razão
enquanto isso, o número de livros passa de24 para g, variando narazão
E novamente você vai notar que as razões são inversas:
24
8
2:l
63
_3
1
+" 248 são razões inversas
24
8
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que
expressam essas grandezas variam um na razáo inversa do outro.
Veja outro exemplo de grandezas inversamente
3 0 tempo que se leva para fazer uma uia-
gem é inversamente proporcional à velocidade
do veículo usado: dobrando-se a velocidade do
veículo, o tempo gasto na viagem cai para a me-
tade.
ãqu Fabício comprou
A5 ;â:il:::,"'^:*ff11
n' é o baixo consumo de
proporcionais:
Il
L
.ç
Eo
a
^ 
CUUdD(
COLLU^ gasolina por quilômetro
rodado. Observe o
grâfico que relaciona esse consumo com a
distância percorrida pelo carro de Fabrício.
distância percorrida (km)
/k"'o d conn fo.a,
Com base nesse gráfico, respondam:
1. Quais as grandezas envolvidas? consumo de gasotina (em ttros) e distência percorrda ru. qriro."t"o,l"tYmo 
(litros)
2. Essas grandezas são diretamente proporcionais? ro, qrezit,I;,.!il,Ti;,T35i1". ff:::';r:":",':Ê:I"::.T?1"r",
3. Quantos quilômetros o carro de Fabrício percorre.r*u rril[à'-, consumindo T litros de gasolina?
4. Depois de percorrer 90 quilômetros, qual foi o consumo de combustível? o it,,rs
Organizem no caderno uma tabela com seis valores diferentes relacionando as grandezas
envolvidas.
267
7-.
xarclcl(75
L A tabela abaixo relaciona a produção (em
unidades) de uma máquina com o tempo de fun-
cionamento dessa máquina. Observando a ta-
bela, responda:
a) Quando o tempo passa de 4 horas para 10 ho-
ras, ele varia em qtrerazáo? + - + i:oo : ,
b) Quando a produção passa de 600 "ti?&ua"utpara1,500 unidades, ela varia em qtterazáo?
c) As razóes são iguais ou inversas? isuais
d) A produção e o tempo de funcionamento de
uma máquina são grandezas diretamente ou in-
versamente proporcionais? ai t"t"rente proporcionais
2 A tabela abaixo relaciona o número de ga-
nhadores de um prêmio da loteria e a quantia
que cada ganhador recebe. Nessas condições,
responda:
Tempo
4 horas
10 horas
Produção
600
1 500
Quantia que
cada umrecebe
15 milhões
5 milhões
Número de
ganhadores
2
6
a) Quando o número de ganhadores passa de 2
para6, ele varia em que razáo? + : +
b) Quando a quantia que cada ganhador recebe
varia de 15 milhões para 5 milhões, ela varia em
qrerazã,o? f :s
c) As razóes são iguais ou inversas? inu"'...
d) O número de ganhadores do prêmio e a quan-
tia que cada umrecebe são grandezas diretamen-
te ou inversamente ProPorcionais?
inversamente proPorclonals
3 A área de um retângulo é obtida multipli-
cando-se a medida do comprimento pela medi-
da da largura.
Um retângulo tem 40 cm de comp:rimento. Nes-
sas condições, responda: 8'40:320crn
Área do
terreno
2m/
_3
4
de
a) Quat a área do retângulo se a larguraÍyl!.Sp,,?
b) Qual a área do retângulo se a largura for 6 cm?
c) Quando a largura passa de 8 cm para 6 cm,
ela varia em que razáo? | 2
d) As áreas obtidas nos itens a e b variam em
querazáo? # 2
e) As razóes são iguais ou inversas? isru,,
f) Se os retângulos têm o mesmo comprimento,
a medida da largura e a área do retângulo são
grandezas diretamente ou inversarnente ProPor-
cionais? dretamentep'oporcionars
4 Atabelaabaixo relaciona a âreitde um terre-
no e a quantidade de grama usada para gramar
esse terreno. Nessas condições, responda:
Quantidade
de grarma
150 m2 3001<9
2oo m2 400lcg
a) Quando a âreapassa de 150 m:2 para 200
ela varia em que razáo? j#: 300
400
b) Quando a quantidade de grarma passa
300 kg para 400 kg, ela varia em cpte razáo?
c) As razões são iguais ou inversias? ,gu",'
d) A quantidade de grama e a ár'ea do terreno
são grandezas diretamente ou inverrsamente pro-
porcionais? d 'eleme'tÊ :'3rrc'c c'e s
5 Um ônibus Íaz o percrtrso da praça Central
até a praça de um bairro. IJm Íisczrl anotou a ve-
locidade do ônibus e o tempo que ele gastou no
268
percurso de ida e volta. A tabela seguinte mos-
tra esses dados:
Nessas condições, responda: 60 6
a) Quando a velocidade passou de 60 il*Zff
para 50 km/h, ela variou em que razáo? ,o b
b) Quando o tempo gasto no percurso so.f
de80 min para96 min, elevariouemque razão?
c) As razóes são iguais ou inversas? inu"..".
d) A velocidade do ônibus e o tempo que ele gas-
tou para Íazer o percurso são grandezas direta-
mente ou inversamente proporcionais?
Inversamente proporcronars
(5 Verifique se as grandezas envolvidas nos se-
guintes itens são diretamente ou inversamente
proporcionais:
a) a medida do lado e o perímetro de um qua-
drado o'erarenteproporcronais
b) a distância percorrida e o tempo gasto para
percorrer essa distância, com a mesma veloci-
dade diretamenreproporcionais
c) a vazáo de uma torneira e o tempo necessá-
rio para encher um tanque de água 
l}?j".,.fl::l:
d) o número de tijolos e a área de um muro que
Sg quer levantar diretamenre proporcionais
7 (Saresp) A altura de Pedrinho aos 4 anos era
1 m; aos 8 anos, 7,4m, e aos 12 anos, 1,6 m. Es-
ses dados estão representados na tabela abaixo.
12 anos
E correto afirmar que a altura e a idade
Pedrinho:
a) são diretamente proporcionais
b) são inversamente proporcionais
c) são proporcionais
, d) não são proporcionais
de
,1 Regra d,a-tràs úrrnpl,zs
Consideremos as seguintes situações:
1! Na extremidade de uma mola é colocado um corpo
que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos
mola, qual passará a ser o comprimento dela?
com massa de 10 kg, verificando-se, então,
uma massa de 15 kg na extremidade dessa
60 km/h
50 km/h
Tempo
80 min
96 min
1,0 m
7,4m
1.,6m
Vamos representar pela letra x o comprimento pedido.
Estamos relacionando dois valores da grandeza massa (10 kg e 15 kg) com dois valores da
grandeza comprimenlo (42 cm e x cm).
Queremos determinar um desses quatro va-
lores, conhecidos os outros três. Para isso, vamos
organizar os dados numa tabela.
Massa
10 kg
15 kg
Comprimento
42 cm
X
Se duplicarmos a massa inicial do corpo, o comprimento da mola também duplicará. Logo, as
grandezas são diretamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15 são diretamente proporcionais
aos números 42 e x.
Daítemos:
t0_ 42
15 x ---------> 10x : 42. 75 -------- 10x : 630
x:63
0 comprimento da mola será de 63 cm.
f,: 630
2? Ao participar de um treino
de Fórmula 1, um competidor,
imprimindo velocidade média
de 200 km/h, faz o percurso
em 1B segundos. Se sua
velocrdade fosse de 240 km/h,
qual o tempo que ele teria
gasto no percurso?
10
5À
,ç
l
' il\
:
-,.
'f,
D
270
ti:
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois
valores da grandeza tempo (18 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto paraÍazer o percurso cairápara a
metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são
inversamente proporcionais aos números 1B e x.
Daítemos:
segundos no percurso.
Velocidade
200 kn/h
240 km/h
200 . 18 :240.x
3 600 :240x
240x: 3 600
0 corredor teria gasto 15
L Em um banco, constatou-se que um caixa le-
va, em média, 5 minutos para atender 3 clien-
tes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para
atender 36 clientes? ôo - n ou ' hora
2IJma tábua de2m, quando colocada verti-
calmente, prodruuma sombra de 80 cm. Qual é
a altura de um edifício que, no mesmo instante,
projeta uma sombra de 1,2 m? (Sugestão: trans-
forme centímetros em metros.) 3o m
3 Para paginar um livro que tem 45linhas em
cada página são necessárias 280 páginas. Quan-
tas páginas com 30 linhas cada uma seriam ne-
cessárias pata paginar o mesmo livro? 420 pásinas
4 Urna rua tem 600 m de comprimento e está
sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados
180 m da rua. Supondo que o ritmo de trabalho
Tempo gasto para
tazer o percurso
18s
X
continue o mesmo, em quantos dias o trabalho
estará terminado? 14 c as
5 Com o auxílio de uma corda,que julgava ter
2 m de comprimento, medi o comprimento de
um fio eIétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais
tarde, que a corda media, na realidade,2,05 rn.
Qual é o comprimento verdadeiro do fio? +r -
p
=À
E
==ô
7-.
xzrclcl05
271
6 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de lar-
gura e 4 cm de comprimento), de forma que a
nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o
comprimento da foto ampliada? ra.,'
7 Corr. a velocidade de 75 km/h, um ônibus
Íaz um percurso em 40 minutos. Devido a um
pequeno congestionamento, esse ônibus Íez o
percurso de volta em 50 minutos. QuaI a veloci-
dade média desse ônibus no percurso de volta?
60 knr/'r
€! Num mapa, a distância Rio-Salvador, que é
de 1 600 km, está representada por 24 cm. A
quantos centímetros corresponde, nesse m.apa,
a distância Brasília-Salvadoq, que é de 1 200 km?
18 cm
€) Duas piscinas têm mesma largura e mesma
profundidade, mas comprimentos diÍerentes. Na
piscina que tem 8 m de comprimento, a quanti-
dade de água que cabe nela é de 45 000 litros.
Quantos litros de água cabem na piscina que tem
10 m de comprimento? s6 250 iros
LO Para transportar material bruto para uma
construção, foram usados 16 caminhões com
capacidade de 5 m3 cada um. Se a capacidade
de cada caminhão fosse de 4 m', quantos cami-
nhões seriam necessários para Íazer o mesmo
serviço? 2o caminhóes
L L Um piloto manteve, em um treino, a ve-
locidade média de 153 km/h. Sabendo-se que
t h : 3 600 s, qual foi a velocidade desse piloto,
em m/s? 42,5mts
-L
o
lô
f
.Ec
o
L2 Para construir a cobertura de uma qua-
dra de basquete,25 operários levaram 48 dias.
Se fosse construída uma cobertura idêntica em
outra quadra e fossem contratados 30 operários
de mesma capacidade que os p,rimeiros, em
quantos dias a cobertura estaria Frrofltâ? :r o a'
L 3 Avelocidade de um automóvel é de25 m / s.
Qual será sua velocidade em quilômetros por
hora? go r"' "
L4 Um pequeno aviláo, voando a 450 km/h,
leva 4 horas para ir da cidade A até a cidade B.
Quanto tempo gastaria outro aviã,o para percor-
rer o mesmo trajeto, sabendo qu€: a sua veloci-
dade média é de 800 km/h? 2h 15n. -
I- 5 Um muro deverá ter 49 m de comprimen-to. Em quatro dias, foram construLídos 14 m do
muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser
feito no mesmo ritmo, em quantos dias será
construído o restante do muro? :) d ês
LG Para azriejar uma parede re,tangular, que
tem 6,5 m de comprimento por 3 m de alfura,
foram usados 390 aru.lejos. Qua:ntos azulejos
iguais a esses seriam usados para azulejar uma
parede que tem 15 m' de área? ,j( o 
=
L7 TJrnatábua com 1,5 m de connprimento foi
colocada verticalmente em relação ao chão e
projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a
sombra projetada no mesmo instante por um
poste que tem 10,5 m de altura?
311-,õ.: )3,1-1 -
L€i Com uma certa quantidarle de arame
pode-se fazer uma tela de 50 m de comprimen-
to por 7,20 m de largura. Aumentiando-se a lar-
gura em L,80 m, qual será o conrprimento de
uma outra tela feita com a mesma quantidade
de arame da tela anterior? zon.
272
L9 (Saresp) Um pintor fez uma tabela rela-
cionando a ârea da superfície a ser pintada, o
tempo gasto para pintar essa superfície e a quan-
tidade de tinta.
10
40
80
a) 10he20(
b)20he304
Tempo (h) Tinta (í)
21
c) 20he204
* d) 40 ]l.e20 (
8
16
4
8
Para pintar uma superfície de 2OO fif ,o tempo e a
quantidade de tinta gastos são, respectivamente:
Regra de três à
moda antiga...
Chíneses, árabes e híndus na
regra de três
Muitos dos problemas no papiro de
Rhind mostram o conhecimento de
manipulações aritméticas equivalentes à
conhecida "regta de três". Um desses
problemas propõe a seguinte questão:
qual o número de pães de força 45 e que
são equivalentes a 100 pães de força 10?
Aqui, a palavra força ou pesu sígnifica o
inverso da densidade do grão. A solução é
apresentada "o*o ff X 45, ou seja,450 pães.
Porém, o primeiro uso sistemático da regra de três ocorreu, provavelmente, na China antiga.
Daí, alcançou a Arábia através da Índia, onde os matemáticos a tàtavam pela mesma designaçáo.
Veja como dois grandes matemáticos hindus abordavam a regra de três:
Aryabhata (476-550), no seu pequeno livro intitulado Aryabhatiya, escreve a respeito de como
encontrar o quarto termo de uma proporção simples.
Noregro detrês,
fu* púo íesqo e litdn-sepeInrwíifu.
o ruultnÁo sero o fruu ío des$o.
Isto, é claro, é a regra familiar que diz que, se + 
: -§-, então " 
: 
*, em quea é a
"medida", b o " Íruto", c o " desejo", e x o " frltto do desejo".
I Brahmagupta (c. 598-670)
Noregra íetrês, os nama ías
tennas sao Argumenu,Eruto eRquiríu.
O pimeiro eulumo tenflas [flem ser
sünpÍh$Ltts. Re4uísíw multtpttnía p or
Eruu e ííliíifu por,kgntnorto é o
holuu.
Durante séculos, a ÍegÍa de três mereceu grande consideração por parte dos mercadores.
Enunciada mecanicamente, seus vínculos com as proporções só foram reconhecidos no fim do
século XIV.
273
56 Ru3 ra da-trb con^ftoEla
Consideremos algumas situações:
le Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas pecas desse mesmo
tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?
Vamos organizar os dados no quadro seguinte, indicando com a letra x o número de pecas pedido:
Número de
operários
5
7
A
Número de
dias
6
9
B
Número de
peÇas
400
x
C
) Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C.
Se dobrarmos o número de dias, o número de pecas também dobrará. Logo, as grandezas B e C
são diretamente proporcionais.
) Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C.
Se dobrarmos o número de operários, o número de peÇas também dobrará. Logo, as grandezas A
e C são diretamente proporcionais.
Entã0, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B. Logo, seus valores serão
diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja:
25 200X_
400 x:840
30x: 25200
Se as máquinas funcionarem durante 9 dias, serão produzidas 840 pecas.
22 Um ciclista percorre em média 200 km em 2 dias,
se pedalar durante 4 horas por dia. Em quantos dias
esse ciclista percorrerá 500 km, se pedalar 5 horas
por dia?
6_
9
5
7
30
63
30
274
)
lndicando o número de dias pela letra
quadro:
x, vamos colocar os dados do problema no seguinte
Número de km
200
500
Número de h/dia
4
Número de dias
2
) Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C.
Dobrando-se o número de horas que ele roda por dia, o número de dias caiáparaa metade. Logo,
as grandezas B e C são inversamente proporcionats.
) Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C.
Dobrando-se o número de quilômetros percorridos, o número de dias também dobrará. Logo, as
grandezas Ae C são diretamente proporcionais.
Então, a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional a
grandeza B. lsso nos leva a escrever arazão inversa dosvalores que representam agrandezaB.
Daítemos:
200 1000x:4000
4 000
500
L-> razão inversa X_
1 000
1 000 X:4
500 km, se pedalar 5 horas por dia.
2 000
0 ciclista levará 4 dias para percorrer
5:2
4x
_2
X
L Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome
100 000 { de combustível. Em quantos dias uma
frota de 36 táxis consumiria 240 000 ú de com-
bustível? bo dias
2 Urnfolheto enviado pela Sabesp informa que
uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em
30 dias, ocasiona um desperdício de 100 ( de
ágta. Na casa de Helena, uma torneira esteve
pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias.
Calcule quantos litros de âgrua Íoram desperdi-
çados. :so,
3 Numa fábrica de calçados, trabalham 16
operários que produzem, em 8 horas de servi-
ço diário, 240 pares de calçados. Quantos ope-
rários são necessários para prodrzír 600 pares
de calçados por dia, com 10 horas de trabalho
diário? 32 operários
4 Para erguer um muro com2,5 m de altura e
30 m de comprimento, certo número de operá-
rios levou 24dias. Em quantos dias esse mesmo
número de operários ergueria um muro de 2 rn
de altura e 25 m de comprimento? ro oras
xarclcl(75
275
5
B
X
C
5 Meia dúzia de digitadores PreParamT2}pâgS-
nas em 18 dias. Emquantos dias 8 digitadores, com
a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800
6 Um automóvel, com velocidade média de
60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para Ía-
zer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de
80 km/h e se rodasse t horas por dia, em quan-
to tempo ele faria o mesmo percurso? ,,,tiu.
7 Dois carregadores levam caixas do depósito
para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por
vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro
leva 6 caixas porvez e demora 5 minutos para ir
e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 cai-
xas, quantas caixas leva o outro? 2 6 ca xês
ttáav Regra's naKegras na
constru çáo
Após construir uma laje de 6 cm de
espessura, o responsável pela obra'rerificou
que foram gastos 30 sacos de cimento com
I 40 kg cada um.
/k W*,
Quanto de cimento teria sido
economizado se a laje tivesse siclo feita
com 5 cm de espessura?
Nesse caso, quantos sacos de cirnento
seriam gastos para fazer essa laj,e, se cada
saco contivesse 50 kg de cimento?
1.
|Q"* 
ando o qwa- a(trq danl
I- Verifique se os números 5, 1 e 30 são inver-
]1*""* 
proporcionais aos números 3,$ e )-.
2 Sabendo que os números a,72 e 15 são dire-
tamente proporcionais aos números 28, b e 20,
3 Quando você dividiu um certo número em
parcelas inversamente proporcionais aos núme-
ros 2,5 e 4, a primeira parcela que você obteve
Íoi 200. Quais são as outras parcelas e qual é o
núrnero que foi dividido?
-.ro: reass;c i( . ..l
4 Três pessoas realizaram um certo trabalho e
devem receber 600 reais pelo trabalho. Ficou
combinado que essa quantia deve ser repartida
em partes diretamente proporcionais ao núme-
ro de horas que cada um trabaihou. Sabendo-se
que a pessoaÁ trabalhou 2 horas, a pessoa B tra-
balhou 5 horas e a pessoa C trabalhou 3 horas,
quanto deverá receber cada pessoa?
5 Quais devem ser os valores de x e y Para que
3, x e 10 sejam inversamente prol>orcionais a 5,
25 ey? ' '^
5e o loje f osise de
cm de espessuro, teri
aconomizodo cim
276
pâgínas?
ÉI
l=-- 
-.-=-
L' -I
Á receberá I 20 reais,
I receberá 300 reais e
C receberá 180 reais
6 Um comerciante precisa pagaruma dívida de
30 mil reais, outra de 40 mifreáis e uma terceira
de 50 mil reais. Como só tem 90 mil reais, resolve
pagil quantias diretamente proporcionais a cada
débito. Quanto receberá o maior credor?
37 500 reais
7 Repartir o número 222emtrês parcelas dire-
tamente proporcion ai, u a, + " +1. rÊ-?o 3' 4 - 8 '
€B Um reservatório de 2 520 ( decapacidade foi
completamente enchido por 3 torneiras que des-
pejaram 72 (.,8 ( e 16 { de águapor minuto nes-
se reservatório. Dê a quantidade de água que o
reservatório recebeu de cada torneira.
840( 560( 112A1
€) Uma foto mede 2,5 cm por
3,5 cm e se quer ampliá-la de
tal maneira que o lado maior
meça 14 cm. Quanto deve
medir o lado menor da foto
ampliada? 
l
10 O ponteiro menor de um relógio pãr"
um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas
condições, responda:
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um
ângulo de 42 graus? -
b) Se o relógio foi acertado às 12 horas (meio-
dia), que horas ele estará marcando? 'r. -
I- I- Com certa quantidade de fio, um tear pro-
duz35 m de tecido com 50 cm de largura. Quan-
tos mekos de tecido com 70 crn de largura esse tear
pode produzir com a mesma quantidade de fio?
L2 Aárea de um terreno é dada pelo produ-
to do comprimento pela largura. Um terreno re-
tangular tem 50 m de comprimento por 32 m de
largura. Se você diminuir 7 m da largura, de
quantos metros deverá aumentar o comprimen-
to para que a área do terreno seja mantida? .:..
L3 Uma circunferência, com 15 cm de diâme-
tro, tem 47,7 cmde comprimento. Qual é o com-
primento de outra circunferência que tem 25 cm
de diâmetro?
L4 Uma certa quantidade de azeite foi colo-
cada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se
assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 li-
tros, quantas latas seriam necessárias para colo-
car a mesma quantidade de azeite? 40 atas
IJm certo número foi repartido em três par-
inversamente proporcionais aos números
2, 5 e 3. A parcela correspondente ao último nú-
mero é 270. Q:ual é o número que foi repartido?
837
I-(5 Se í O^capacidade de um reservatório
corresponde a 8 400 (, a qu.antos litros corres-
ponde ? O"capacidade do mesmo tanque?r o.l0,
L7 Comvelocidade média de 60 km/h, fui de
carro de uma cidade A para uma cidade B em
16 min. Se a volta foi feita ernT2minutos, qual a
velocidade média da volta? eo r,, r.
L€l Num recensea-
mento, chegou-se à
seguinte conclusão:
para visitar 102 resi-
dências, é necessário
contratar 9 recensea-
dores. Numa região
em que existem 3 060
residências, quantos
recenseadores preci-
sam ser contratados?
o
-a
I
à
I
o
m
co
m
o
E;
oa
277
utntaPorcan
Jurol Juro que
àevolvct.
Íuào bem, mas
eu quero o jurol
?recieo àe 1OO reais.
Você me empreeía?
Eu oobro jurol
wro 5tnt
O que eu eslou querenào àizer é
que eu quero o jurol
Juro àe um ?or centol
Quanào lerminar de
eeluàar eata Uniàaàe, você
vai enlenàer,.,
51 Porcentalenn
praticamente todos os dias você vê na televisão ou Iê nos jornais alguma coisa relacionada com
a expressão por cento.
Você já sabe o que essa expressão representa, pois esse assunto vem sendo estudado 
desde a
4e série.
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer "por um cento". Assim, 
quando
você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidaÇão de verão na loja X: 40 pror cento de
desconto em todosôs ártigos", significa que você tem um desconto de 40 reais 
para cada 100 reais
do preço de um artigo.
lsto nos leva, então, a estabele cer a razão #-
Podemos, entã0, dizer que:
Toda razáo
a
b' na qual b 
: 100, chama-se taxa de porcentagem.
Assim: 40 por cento é o mesmo que _40 .
Em lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %'
Assim: 40 por cento o, # é igual a 4Oo/o.
0bservação
lJma razão *, .0, b + 100, também pode ser escrita na forma de %.
b
Vejamos alguns exemPlos:
11 Escrevrt ; na forma de Porcentagem.
Vamos escrever uma razáo equivalente à razáo dada e que tenha denominador itlO.
|. : sou,
Escrever a razáo * n, forma de porcentagem.b
Observando que 8 não é fator de 100, vamos escrever a forma decimalde
+:0,375: j+F 
:31,5% ------ 
+:37,5o/o
280
f, toiri,tindo 3 por 8):
3 Um desconto de 7 mil reais sobre um preco de 25 mil reais representa quantos por cento de
desconto?
lnicialmente temos a razão +t3
Usando razões equivalentes
x4
L 28 - oeo/^n 100 - é1570
x4
Escrevendo a forma decimal
100
-_ ZE%
Um lucro de 12 mil reais sobre um preÇo de 150 mil reais representa quantos por cento de lucro?
lnicialmente, escrevem os a razão 
#1%%%
:6000
--.-------------
/t\
12 000 2
150 000 
: 
N - 
forma irredutível da razao
\,\--- 
___-----l
:6000
Usando razões equivalentes
x4
/\
_2_ : -!_ :g%25 100\í
x4
Representa um lucro de 8o/0.
Escrevendo a forma decimal
+: o,za -- 28
+:0,08:t?
Representa 28% de desconto. Tirondo vidro elétrico,
or-condicionado, trovo elétrtca,
desemboçodor, som etc., dá poro
fazer um descontõo.
281
100
: 8o/o
Uma quantidade expressa em porcentagem pode também ser escrita na forma decimal.
0bsenve:
r. 5t% -- b: o,bt 3 ).2n), : # :).). uo1 - DDl,
-- ,f
dividi por 100 é o
mesmo que multiplicar
por 0,01
2 t65yo: j# : 1,65 4 16,28%: -frp : t6,28. 0,01 : 0,1628
I ano: muito ou pouco tem po?
Para uns, I ano demora a passar; para outros, passa rapidamente...
Usando a porcentagem, talvez possamos compreender melhor esse "mistério"...
Inicialmente vamos considerar que o nosso referencial de tempo é o quanto já vivemor;.
Para quemtem 10 anos,1 ano corresponde a # o" alOVo (dezpor cento) do tempo que
viveu. lâ paraquem tem 100 anos, 1 ano corresponde , ,h ow a 7Vo (um por cento) do te'mpo de
sua vida.
Embora o período de 1 ano seja o mesmo para as duas pessoas, como 10% é maior do q'ue 7%,
para a menina esse ano parece ser longo, grande, demorado. lâ para a bisavó, como 7Vo é menor do
qtrc7OVo, esse ano Parece ser curto, Pequeno, rápido.
U! ! C Puxq, outro dio mesmo,
o minho bisneto f ez9 onosl
Como demorou poro chegar
o meu oniversário!
282
b
Iratando
lnlol^oço,
l0
a
lrà Oo/o
FonIe: Veja,31 maio 2000.
/t"to d crsm \/""aParrcpacãocre
r he'es 'o gove.r.o Íedera de a gu:s paÍses; Governo coÊde rosa
a) Qual o assunto do gráfico? E o título?
b) Qual o tipo desse gráÍico? sráÍicc de barras
c) Qual o país que tem o percentual mais alto
de mulheres no governo? N\or,-\esa
\\ \tnu\s\u\xÚ. -rqii' "?
e) Qual o país que não possui mulheres no
governo federal? à
L Gustavo é um joga-
dor de tênis. Ele costu-
ma acertar, em média,
75%dossaques q,ueÍaz.
Nessas condições res-
ponda:
a) Se fizer 100 saques,
quantos Custavo acer-
tará? zs..qr".
b) Se forem 200 saques,
quantos acertará emmé-
dia? I so .uqr".
2 (Saresp) Uma pesquisa publicada pelo jor-
nalFolha de S. Paulo levantou a parcela da popu-
lação chamada de "excluída". (São pessoas que,
em geral, não completaram o 1a Grau e vivem
em famílias com renda inferior a Rg 1200,00).
Constatou-se que essa parcela corresponde a
60% da população. Qual é o gráfico que melhor
representa essa situação?
a) c)
exclu ídos
E outros
exclu ídos
Eoutros
Observe o quadro e escreva a porcentagem cor-
respondente a cada uma das opiniões.
xs-rclcl05O gráÍico a
seguir, publicado pela
revista Veja, revela a
participação das
mulheres em cargos
nos governos federais
de vários países, entre
eles o Brasil. Observe
que os dados estão em
forma de porcentagem.
o
-L
o
a
o
o
O
Um estudo da ONG americana Save lhe
Children mostÍa o tamanho da participacão
de mulheres no governo Íederal de alguns
países, O Brasil está no meio da lista.
País participaÉo
Íeminina em eargog
no goyerno íederal
Noruega 44o/o
Japão 87"
Arçntina 3o/o
Eoutros n outros
3 Foram entrevistadas 100 pessoas, para opi-
nar sobre tmshow. O resultado da pesquisa está
no quadro seguinte:
Opinião
ótimo
bom
regular
rum
não assistiram
Ne de pessoas
42:
37
10
6
5
283
unioosl |§y"
Colômbia! izsy"
Austrálial lz+y"
Equadorl
françal
1*/o
Itl"t"
)tvl"
) got"
C
(Saresp) Duas mil Pessoas Íoram entrevista-
sobreô controle externo na Programaçáo da
televisão.O resultado obtido foi:
) 75Vo foramfavoráveis
) 70% não responderam
) 1.5% discordaram
Indique o gráfico que rePresenta essa pesquisa.
a) c)
5 Escreva a porcentagem correspondente a
cada uma das seguintes razões:
.Ja)-:
3
a
b) -#
or# e)
o)+ r)
9
4
5
2
(5 Escreva, na forma irredutível , a razáo cor-
respondente a:
a) 607o
b) 750v"
c) 55%
d) 1.5Vo
e) 75%
Í) 457"
7 Um aumento de 90 reais sobre um preço de
200 reais representa quantos por cento de au-
mento? as".,
Urn aTuno acertou 38 das 50 questões que tI-
para resolver. Esse acerto representa qrrantos
cento? 76o/o
9 A falta de 7 alunos em um grupo de 20 alu-
nos representa quantos por cento de Íalta? ss"r"
de 77 mil reais sobre um
representa quantos por cen_
r' r' Eu sou o Roberto' veja no gruadro todo o
pessoal da minha turma:
a) Quantas crianças fa-
zem parte da minha
turma?
U) Qualaporcentagemde
meninos? i'
c) Qual a porcentagern
de menin,as?
d) Qual a porcerLtagern
de crianças de cabelo
preto? :.
e) Qual a po,rcentagem de
crianças liouras?
0 Qual a pc,rcentagem de
crianças :não-ruivas?
g) Qualaporcentagemde
crianças náo-louras?
L2 Escreva as seguintes porcentagens na Íor-
ma decimal:
Cor de
Nome r icaoero
Roberto
Luciana
Ester
Rafael
Toninho
Mariana
Sérgio
Décio
Ana
Tito
Iouro
preto
louro
ruivo
preto
preto
louro
preto
ruivo
preto
u) 7% d) 27%
b) 9% e) 59%
c) 76% il 64%
a) o,o6
b) 0,27
c) 0,5
g) 26070
h) 2,4%
1) 20,4%
L3 Escreva os seguintes números decimais
inicialmente na forma de razáo cle denomina-
dor 100 e, a seguir, na forma de porcentagem:
L4 (Saresp) A faxineira da minha escola tem
um salário de R$ 140,00 mas ela niio recebe essa
quantia. Do valor do salário são de'scontadosSTo
para previdência social. Assim, ela acaba rece-
bendo:
a) Rfi 132,00 0 R$ t2g,g0
b) R$ 130,00 d) R$ 128,80
a) R$ 723,00
b) R$ 15O,OO
d) 2,74
e) 0,013
f) 0,21.5
c) R$ 820,00
d) R$ 7 230,00
(Saresp) Luciana trabalha rruma loja de
is. Ela ganha 1,,STo sobre o valor de cada
soÍá que vende. Luciana yendeu um sofá pot
R$ 8 200,00. Quanto ganhou com essa venda?
284
3
4
I
20
11
n
3
20
Na página 156 deste livro, você analisou a variação de preços de vários
cL itens de material escolar, observando a tabela de preços publicada pelorrocon.
vamos retomar a tabela do Procon e comparar os preços por meio da
porcentagem.
Lápis de cor (caixa com 12 cores)
Giz de cera (caixa com 12 cores, fino)
Caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores)
Caneta esferográfica cristal (unidade)
Apontador de lápis (com depósito plástico)
Borracha branca - látex (31 mm x 21 mm x 7 mm)
Borracha bicolor (44 mm x 16,5 mm X 6 mm)
CoIa bastão (10 g)
Cola branca lavável (40 g)
Régua plástica cristal (30 cm)
Tesoura escolar sem ponta (cabo plástico)
Papel sulfite 0,75 g(275 mm X 315 mm) - cento
Caderno universitário/ capa dura/espiral/7 matéria (96 fls.)
Caderno universitári o / capa dura,/ espiral / 1 0 matérias (200 fl s.)
Caderno brochura 7 / 4 de capa dura (96 fls.)
Caderno brochura 1/ 4 de capa flexível (96 fls.)
0,20
3,00
0,99
3,91
0,40
0,73
0,18
0,22
1,83
0,56
0,36
7,90
2,1.8
3,99
7,03
2,24
1,03
0,24
3,25
7,79
4,04
0,45
0,83
fi'))
0,26
1,83
0,64
0,38
2,70
2,27
3,77
6,53
2,20
7,06
20,0%
8,3%
20,2%
3,34k
12,50/o
13,7 a/o
22,20/o
0lo
14 20/a
55%
10 50k
13%
Fonte: Folha de S, Paulo, 37 jan. 2002.
Calculamos a variação percentual do preço de um produto dividindo a diferença dos preços
pelo preço anterior à mudança nele ocorrida. Quando o preço diminui, consideramos a variação
percentual como sendo negativa. Quando aumenta, a variação percentual é considerada positiva.
No caso, por exemplo, do caderno brochura 7 / 4 de capa flexível (96 fls.), temos:
_,^-j^-:^ _ preço posterior - preço anterior _ ']-.,06 - 7,03vàriaçao: _**:^_ 1^2preço anterior 1,03
/*"'o d coru l/"*
UtlTizando a calculadora, encontre a variação em porcentagem dos preços dos outros produtos que
aparecem na tabela.
: #f - o,o2e :2,s%
Preço médio em Rg
15 e 16 jan. 2001 14 e 15 jan.2002
285
Refil,vqndo hl,e,i.nag co;/t^
Consideremos as seguintes situações:
le Em um campeonato de futsal, Tobias cobrou
20 faltas, das quais 65%foram convertidas em gol.
Quantos gols de falta ele marcou nesse campeonato?
Este problema se resume em calcular 65% de20.
65
Sabemos que 65% : : 0,65.
100
Representando por x o número de gols, temos a
equaca0:
to
I
lo
O
-ec
a
x: 65% de 20
x:0,65'20
x: 13
Cálculo: 0,65
x20
13,00
Tobias marcou 13 gols de falta.
22 Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual
foi a porcentagem de figurinhas repetidas?
Vamos calcular quantas figurinhas eram repetidas:
60 - 45: 15
Representando por x o número que indica a porcentagem procurada, montamos a equação:
x'60 : 15
60x: 15
*:#
)Rx: 0,25 ou ]ffi ou 25o/o
Então, 25o/o das figurinhas que comprei eram repetidas.
Cálculo: íàO
- 720
loo
9,?2
Udc0300
300
000
3-a Na gincana da reciclagem, valeu o esforco da minha turma, que recolheu 1 4Cl0 latinhas de
refrigerante. lsso representou 56% do total de latrnhas de alumínio recolhidas na gincana. Quantas
latinhas de alumínio foram recolhrdas nessa gincana?
+/ ftr
vamos representar por x o número total de ratinhas recolhidas na gincana.
Sabendo que 56% : # : 0,56, podemos
56% de x e igual a 1 400, ou seja:
0,56.x:1400
0,56x : I 400
,_ 1400" 0,56
x:2500
escrever a equacão:
Cálculo:
1 400 : 0,56 : 140 000 : 56
ÍÀ ooo
280
0 000
Foram recolhídas 2soo ratinhas de arumínio nessa gincana.
42 Na compra de uma bicicleta, obtive um desconto de 15%. paguei Tl,soreais por ela. Qual erao preco original dessa bicicleta?
como obtive um desconto de 15%, paguei o correspondente a loo% - 15% : B5%do precoda bicicleta.
Indicando o preco original por x, podemos escrever:
85% de x é igual a 76,50, ou seja:
0,85 ' x:76,50
0,85x :76,50
76,50v- '
0,95
x:90
Cálculo:
76,50:0,85:7650:85
iGbo
000
2 500
0 preço original da bicicleta era 90 reais.
287
Um em cad a dez chefes de famíliia
não tem renda
Pesquka avalía década de 90
COLrv''
domicílios sém rendimento passou de
7 375 para 4 099 - 9,15Vo 
do totai de
residências do País. No início da
década, corresPondi am a 3,69 Vo' As
regiões Sudeste e Nordeste
concentravam os domicíIios sem
rendimentos, com
respectivam ente 17,84Vo e 8,60%
do total.
O imPacto das mudanças
econômicas sobre os ganhos do
trabalhador ao longo da década de
90 é analisado na Pesquisa
"Rendimento dos Chefes de
Domicflio no Brasil", elaborada Pela
Secretaria do Desenvolvimento,
Trabalho e Solidariedade de São Paulo'
Serviram de base dados do IBGE (Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística)'
A abertura econômica nos anos 90 não trouxe benefícios 
ao bolso do trabalhador' PeIo
contrário.ochoquedecompetitividadesobreasemPresascortouorendimentodemuitos.
Em 2000, um em cadadezchefes de famflia
(2,6 milhões de pessoas) não ganhava um único
ãnturro. Estavam Íora do mercado formal e nem
sequer praticavam algum tipo de "bico",'^ Aà longo de dezanos, o número de
Fonte: Folha de S Paulo,37 ian.2002'
7..
c
3.
4.
5.
6.
/p"t" ácotu \Á*,
Qual percentual representa a expressão "um err.cadadez"? 
1o?'
Quantos chefes de família havia no Brasil em 2000? 
zo ooo ooo
supondo que a cada chefe de família corresponda um-domicflio 
(residência), quantos dlomicflios
haila no B^rasil em 2000? Quantos domicílios sen rendimento? 26 000 000; 
2 600 000
O terceiro parâgraÍoinforma que9,15Vo do total de residências do país corresponde 
a 4'099'Pot
esse dado,'quaÀtos domicílios tinha o Brasil em2000? +ttst
Considerando que a população brasileira no ano de 2000 era de aprofmadamente 
170 milhões e
usando o número totd àe residências obtido no item 3, quantas Pessoas/ em média' havia 
em
cada domicílio? E se usarmos o total de residências obtido no item 4? a,s pessoas' 3 7e4 
pe';soas
Os números dos totais de residências obtidos nos itens 3 e 4 são muito diÍerentes. Qual deles 
é
mais conJiável? o doitem s
As informações numéricas desse artigo são coerentes ou contraditórias? coniradrtór 
as
Como você classifica a qualidade de vida da população de um país no qual um em 
cacla dez
chefes de famflia não tem renda nenhuma? resposta em aberro
7.
8.
288
,/)
Ya-
lratando
Jnbl^oç,^o
1t
Com base no gráfico, responda:
Quantos quilômetros de ferrovias pertencem à América do Norte?
Quantos quilômetros de ferrovias pertencem à América do Sul?
Qual a razão entre o número de quilômetros de ferrovias da América do Norte em relação à
América do Sul?
No início do século XX o transporte ferroviário atingia seu auge. Depois
da Segunda Guerra Mundial a Rússia foi um dos poucos países a continuar
investindo na expansão do transporte ferroviário. O advento dos trens de alta
velocidade, no |apão e na Europa, no final dos anos 70, deuum novo impulso
aos transportes ferroviários.
Observe no gráfico abaixo a distribuição dos 1,28 milhão de quilômetros
de ferrovias do mundo, em 1990:
3r7o/o
Auetrália/
Nova Zelfuidia
30o/o
América
do Norte
7,5o/o
5 Os 44Vo deuma quantia correspondem a 330
reais. Qual é a quantia? 750 reals
(6 Sabe-se qre 37,5Vo de uma distância / cor-
responde a 600 m. Qual é a distância r? r 600 m
7 IJma escola tem 25 professores, dos quais
24Vo ensinam Matemática. Quantos professores
ensinam Matemática l.ressa esco\a? ô proÍessores
17c/o
Ásia
7..
o
3.
L Calcule 41,Vo de 54 000 votos. 22 i1a \.':,'as
2 Qual a quantia que representa 22,7Vo de
110000reais? -: - .à.
3 A quantia de 1 143 reais representa quantos
por cento de 2 540 reais? 45'',.-
4 O número7 Tl?representa quantos por cen-
to Ào número 4 600? i-
_<-L
Fonte: Nosso Tempo - A Cobertura Jornalística do Século - lornal da Tarde.
--.
xs.]rclclos
289
DE FERFOVIAS DO MUNDO EM 1990
35"/o
Europa
1-r
\-*-
a1
€B Uma equipe de basquete venceu 26 do total
das partidas que disputou em um torneio de
classificação. Esse número corresponde a 657o
do número de partidas que o clube disputou
nessa fase. Nessas condições, responda:
a) Quantas partidas essa equipe disputou na
fase de classificação? i:.
b) Quantas partidas essa equipe perdeu nessa
fase? ,.r.1
9 Um professor de Educação Física organiza um
acampamento de férias. Dos candidatos que fi-
zeram a pré-inscriçáo,27 não a confirmaram. Os
alunos que confirmaram a sua ida representam
55% do número de alunos que se inscreveram
inicialmente. Nessas condições, pede-se:
a) o número inicial de alunos que se inscreveram.
b) o número de alunos que confir*u.u.r.â';.rã
inscrição. 33 a .,.c:
I-O Sobre o preço de um armário embutido
há um imposto chamado IPI (Imposto sobre Pro-
dutos Industrializados), que corresp onde a 17 7o
do preço do armário. Quanto se pagará de im-
posto se o preÇo do armário for de 1 650 reais?
28: 50 f ,.. s
L L A classe Á tem 40 alunos. Destes, somente
26 jâ têrn 12 anos completos. Nessas condições,
pede-se:
a) a porcentagem dos alunos que já completa-
ram 12 anos. i::
b) a porcentagem dos alunos que ainda não
completaram 12 anos. i
!2 Sabe-se que em 40 g de uma substância
chamada óxido de magnésiohá24 g de magné-
sio. Qual é a porcentagem de magnésio que exis-
290
A área do terreno A é930 m2, enquanto a
o terreno B é 1 500 m'. Nessas condições,
a área do terreno Á representa quantos Por cen-
to da área do terreno B?
L4 Numa cidade, a população é de 55 000
habitantes. Desses, 78% têm mais de 50 anos.
Nessas condições, quantos habita.ntes dessa ci-
dade têm:
a) mais de 50 anos?
b) menos de 50 anos? i: : :i:
Com uma lata de tinta é possível pintar
de parede. Para pintar uÍra parede de
, gasta-se uma lata e mais uma parte de
uma segunda lata. Qual a porcentagem que cor-
responde à parte que se gasta da segunda lata?
c
o
E
z
o
o
o
m
oz
f-6 Numa classe de um colégio há 15 meni-
nas e 10 meninos. Dê a porcentagem de meni-
nas e de meninos dessa classe.
L7 Doismeninos discutem sobre a campanha
de seus clubes de futebol em um campeonato.
O clube do menino Á ganhou 241ogos dos 30
jogos que disputou, enquanto o clube do meni-
no B ganhou 21 dos 28 jogos que disputou.
Qual dos dois clubes
apresenta melhor
campanha, em
porcentagem?
Clube A:80a/o;
Clube 8: 75%
Logo, o clube,4
apresenta melhor
campanha
|a Na compra de um aparelho de som
obtive um desconto
de 75% por ter feito o
pagamento à vista.
Se paguei 102 reais
pelo aparelho, qual
era o seu preço original?
L€) Uma mesma mercadoria é vendida em
duas lojas nas seguintes condições:
loja 1 - preço de 120 reais, com 20% dedesconto;
Ioja2- preço de 140 reais, com 30% dedesconto.
Em qual das lojas a mercadoria pode ser com_
prada pelo preço mais baixo? Na icla 1, pcí e6 rears
MedÍdas
C
G
E
z
à
=
op
,9
E
As ferrovias foram muito
rmportantes no desenvolvimento
de vários países.
Em sua cidade há transporte
ferroviário?
. Observ^e-a comparação entre o número de quilômetros de ferrovras em operação, em algunspaíses, em 1900 e em 1990:
Em quilômetros
Brasil
15016
30 194
1900 11990c
'eslimatíva
Estados
Unidos
309 360
230400
Grã_Bretanha./ 2T2OO
lrlanda *J16rt0O
Rússia 67200'
146640
Fonte: Nosso Tempo - A Cobertura Jornalísüca do sécuro - lornat da Tarde.
1' De 1900 a 7990, qual foi o aumento percentual na rede ferroviária brasileira? gz,r za
2' Qual foi, no mesmo período, o decréscimo percentual na ferrovia Grã-Bretanh a/Irlanda? ssty"
3' Das redes acima, qual teve o maior aumento percentual nesse período? Rússia (118,2%)
4. Qual teve o maior decréscimo percentual? Grã-Breranha/rrrancra (39,7%)
5' Que aumento percentual a rede brasileira deveria ter em 7990 parase iguala4, em número de
quilômetros, à rede dos Estados Unidos? gz+,02"
291
__ ---_ I
oPERAçAO
Os Estados do Nordeste enÍrentam dificuldade para ec-onomizar
;*gãÉátq* sua média de consumo iáébaixa' ConÍira
Módla de consumo PoÍ coírtâ (em kWMmôs)
Àt ,"res é diiicll economizat
Entrejulhode200lemarçod,e2002,oBrasilinteirotevededimirruiro
consumo dâ energia elétrica, pára afastar o risco do apagão'.Mesmo 
dispostos a
colaborar, foi difíãil para alguns diminuir um consumo que 
já era baix«r'
Leiaanotíciaaseguir.
Quantos por cento o Sudeste gasta a mais de kWh/mês em relação ao Nordeste?
De acordo com a tabela que aPalece na notícia, Por que o consumo de energia elétrica 
(i menor no
Nordeste?
No último mês, o consumo de energia elétrica em sua casa foi maior ou menor do que a média de
sua região dada na tabela? Quantos por cento?
Região Sudeste Norte
F onte'. Veja, 31 out. 2001.
fr".o dcoyu /o"a,
t.
,
292
135
I
Íotona,
lnbl^orp,o
IZ
Observe o gráfico de setores abaixo.
Econôrnica
Européia e
emitem 35%
COz total
ft"t,. d co^a V""u
1. De acordo com as informações do gráfico, cite:
a) os países ou grupos de países que mais emitem gás carbônico na atmosfera.
b) a porcentagem de CO2 emitida pelo resto do mundo. .'i.
c) a porcentagem de CO2 emitida pelo Brasil.
2. Organize os dados desse gráfico numa tabela.
L)Jnro tinnpl,zt
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela paga
uma compensaÇão em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado.
Quando uma pessoa compra uma mercadoria a prestaÇão, ela paga um acréscimo pelo tempo
correspondente ao número de prestações.
Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensacão pelo tempo
em que está emprestando o dinheiro ao banco.
Essa compensacão ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e correspon-
de sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Fonte: Revista Galileu, Íev. 2002.
lndla, Brasil, Chrna, Comunida-
de Econômica Européia, Antiga
'tlnião Sovrética e EtlA
293
OS POLUIDOBES
4o/"
Braei!
7o/o
- 
china
Assim, podemos dizer que:
Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia ern
dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamada juro.
Quando falamos em juro, devemos considerar:
) 0 dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital.
) A taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel dodinheiro chama-se taxa de juro.
) 0 total que se paga no final do empréstimo (capital + juro) chama-se montante.
Vejamos alguns exemplos envolvendo juro:
1 Carlos vai a um banco e faz um empréstimo de t2 000 reais por três meses. E estabelecida
uma taxa de juro de 2,7o/o ao mês. Qual a quantia que ele deve pagar de juro e qual o total que Carlos
terá de pagar no fim do empréstimo?
Vamos indicar por x a quantia que ele deve pagar de juro e teremos:
x: (2,7% de 12 000) . 3
x:0,027.12000.3:972
Ao todo, ele deverá pagar ao banco a quantia de:
12 000 + 972:12972
Carlos deve pagar 972 reais de juro e pagará, no total, 72 972 reais.
2 Um aparelho eletrônico custa 620 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o pt'êcro passa a ser
de 868 reais. Sabendo-se que a diferença entre os precos e devida ao juro, qual é a taxa de juro
cobrada ao mês por essa loja?
Vamos calcular a diferenca entre o preco aprazo e o preco à vista:
868 - 620 : 248 (juro em 5 meses)
Vamos, então, determinar o valor do juro em cada mês:
248 :5 : 49,60
Finalmente, representando por x a taxa de juro, vamos escrever:
x' 620 : 49,60
620x : 49,60
49.60v - ----- :0,08^- 620
o,o8 : fr- :8%
A taxa é de 8% ao mês.
294
3 Uma aplicacão feita durante 2 anos, a uma taxa de 78% ao ano, rendeu 1 800 reais de juro. Qual
foi a quantia aplicada?
Vamos, inicialmente, determinar quanto rendeu de juro por ano:
1 800 : 2:900
Representando a quantia aplicada por x, podemos escrever:
18% de x dá 900.
0,18x : 900
*: 999 :5ooo" 0,18
A quantia aplicada foi de 5 000 reais.
E importante notar que todas essas situacões se referem ao cálculo de juro simples.
L Um agricultor fez um empréstimo de 5 200
reais e vai pagá-lo em 5 meses, a uma taxa de
7,57o ao mês.
a) Qual a quantia de juro que o agricultor vai
pagff por mês? 18 ea s
b) Após os 5 meses, qual o total (empréstimo *
juro) pago pelo agricultor? 5 5eo reais
2 Quanto renderá de juro:
a) a quantia de 1 800 reais, aplicada durante 5
meses a uma taxa de 2,3Vo ao trlês? 2a1 reas
b) a quantia de 2 450 reais, aplicada durante 2
meses a uma taxa de 7,96% ao mês? e6,04 rea s
3 Uma loja colocou o anúncio de um liquidifi-
cador em um jornal. O anúncio indicava o pa-
gamento à vista de 60 reais ou, após luÍn prazo
de 30 dias, de 69 reais. Qual a taxa mensal de
juro que essa loja está cobrando para pagamen-
to a ptazo? i5r,'. ao nôs
PROMOÇAO
"."YJ:".'Jff'S.
ou
R$ 6900 com
30 dias de Prazo
Assim, eu gosto só o gue
eu posso gostor... e nõo pogo
Clono que não!
Prefiro esperar
pelo meu
pogomento.
7-.
xa_rctcl(]9
295
4 ÍJrna aplicação de 40 000 reais rendeu, em 3
meses, 3 000 reais de juro. Qual a taxa mensal
de juro? 2s%
5 Luís Roberto colocou parte do seu 134 salá-
rio em uma aplicação que rendia 25,6% de juro
ao ano. Sabendo-se que após dois anos ele rece-
beu389,72 reais de juro, qual foi a quantia que
ele aplicou? 760 reais
fr* 
ando o qtla- a1ra-^dau
L Quando o preço de um objeto aumenta de
1
f toU." o Preço anterior, a quantos por cento
corresponde esse aumento? 257o
2 O desconto do INSS corresponde a9,5Vo do
salário de uma pessoa. A quanto corresponde
esse desconto para quem tem um salário de 7 620
reais? 153,90 reais
3 Compreium aparelho por 2 050 reais e o ven-
di com um lucro de30%. Nessas condições, res-
ponda:
a) A quanto corresponde o meu lucro? 6T b rears
b) Por quanto vendi esse aparelho? 2 66b rea s
do Sul tem uma superfície de
aproximadamente. O Brasil tem
aproximada de 8 500 000 km2.
Qual a porcentagem que a superfície brasileira
representa em relação à superfície da América
do Sul? 47Yo
5 Por aquecimento, o comprimento de uma
barra de ferro aumt 7]nra 
2 000 em reraçao ao
valor inicial. Qual é o aumento do comprimen-
to em porcentagem? o,3so/"
(6 Um par de sapatos custa 58 reais e sofre um
aumento de21%.Durante uma promoção, a loja
passa a oferecer o sapato com207o de desconto,
para pagamento à vista. Qual é o preço desse
sapato durante a promoção? 85,68 reais
(6 Umcomerciantere-
solveu parcelar a dívi-
da de um freguês em
duas vezes, cobrando,
porém, juro de 7,9Vo ao
mês. Se o freguês pa-
gou um total de 931
reais de juro, qual era
o valor da sua dívida?
24 500 reais
7 Qt:anto representa 30Vo de 40%? o)z ou 12"k
€i Sabe-se que o volume de uma bexiga aumen-
)
tou -i- em relação ao seu valor inicial. De quan-5',
tos por cento é o aumento do volune dessa be-
xiga? 4ook
9 Um fichário tem25 fichas numeradas. Saben-
do-se que dessas fichas 13 têm nú:meros Í-pu-
res, pergunta-se:
a) Qual é a porcentagem de números ímpares
nesse fichário? 5za/o
b) E de números pares? 4s%
10 O preço à vista de um aparelho é 3 050
reais. Em 3 vezes, o preço passa a serr 4 514 reais.
Qual é a taxa mensal de juro cobrada por essa
loja? 16y,
L L Francisco vendeu uma moto por 16 800
reais. Com isso ele teve um lucro de 72%.Qrnn-
to ele pagou pela moto? 15 ooo rea s
296
L2 Uma passagem de ônibus intermunicipal
passou de 9 reais paral7,70 reais. Qual foi a por-
centagem do aumento? 30%
L 3 A área de um retângulo, como você já sabe,
é obtida multiplicando-se o comprimento pela
Iargura. Um retângulo tem 40 cm de comprimen-
to por 25 cm de largura. Se você aumentar o com-
primento em25% e a largura em2}Vo, aâreado
novo retângulo aumentará de quantos por cen-
to em relação ao retângulo original? 5a"i,,
L4 A tabela a seguir mostra as cidades mais
procuradas pelos turistas brasileiros em1997, se-
gundo levantamento em 150 agências de viagem.
Supondo qre754 000 brasileiros visitaram For-
taleza, com base na tabela, responda:
a) Quantos visitaram o Rio de Janeiro? 60e 000
b) Quantos viajaram para as cidades do Sul?
232 00A
15 O volume de uma caixa-d'água em forma
de bloco retangular é calculado pelo produto das
suas três dimensões. Uma caixa-d'âgua tem
3,5 m de comprimento;2,5 m de largura e 2 m
de altura e contém água até 80% da sua capaci-
dade total. Quantos litros de água Íaltam para
encher totalmente essa caixa-d' ág:ua? (Lembre-
sedeque 1 m3 : 1 000ú.) 3booí
LG A classe Á tem 35 alunos, entre meninos e
meninas. Num determinado dia faltaram 3 me-
ninos e o número de meninos presentes passou
a ser igual a 60% do número de meninas. Nes-
sas condições, quantos meninos estudam nessa
classe? i 5 meninos
L7 Aárea de um quadrado é dada pelo qua-
drado da medida do lado. Um quadrado tem 9 cm
de lado e sua área corresponde a45% da área de
um retângulo. Nessas condições, responda:
a) QuaI é a ârea do retângulo? T8o cm'
b) Se o comprimento desse retângulo é 18 cm,
qual é a sua largura? 1o cm
L€l Qual é o número decimal que representa
50Vo do quadrado de10Vo? o,oob
Fortaleza
Porto Seguro
Rio de ]aneiro
Cidades do Sul
Natal
Maceió
Outras
267o
23Vo
21.Vo
8%
11.%
7Vo
4Vo
Fonte: Associação Brasileira de Agências de
Viagens. Vej a, 78 mar. 7998.
297
Os livros indicodos o seguir são especiois. Alén dd
divertidos, cheios de oventuro e desafios, tombám
sõo ótímos poro o formoçõo motemótico.
5ão lívros escritos especiolmente poro guem não tem
receio de perceber gue o Motemático estó em todos
os momentos interessontes do vido.
I rrdica çao dra- l,qitu;r a
0 autor Egidio Trambaiolli Neto e^screveu 
a série O contador de h
histórias aa rvlatei'àtjti roitota FTD'-Sâvocê 
gosta de mistério e eni
iã* ooiititulos ideais paraa sua leitura:
€fr Em A profecia, duas garotas e dois garotos precisam 
resolver um
r^'! 
asteróide o.oàâtã'iõã;pluntú' extinguindo toda 
a vida terr
uúúiur. tuàt t',ãuitioades para salvar arerra?
r9ffi Em 0s exploradores, um grupo de.adolescenlt: ?l^t::u 
impedir q
extraterrest,.t-inuáãu* ít'y1u 9 gtttr.-YgT 
seus ricos manancrars
ótà.itu da sua ajuda para a história 
acabar bem'
a tem dúvida sobre Pra que sen'e Matemática?' 
esta rá uma
sérieãu*o,áoi,^trtu]ãsescntospelosmatemáticoslmenes,Jakuboe
Lellis ãiÊoitotu' Angulos e NÚmeros Negativos'
Da série lnvestigaçáo Matemática, você vai 
aproveitar as Atividades e jogos com
Triângutos.n ,.rponià'uitúãáá eoitoriar e ãâ'r"rã'iu 
á#riz Campos Elias e publicada pela
Editora SciPione.
Eaquivãomaisalgunslivrosbeminteressantesparaasualeitura:((âi-Êõ Em Encontro s de primeiro grau,de Luzia Faraco Ramos' 
Editora Atica' um jovem
vE{Í 
balonista, Rodrigo, visita uma ciouiã oãintãrior, 
onde se apaixona por carolina e faz
amizade com wang. Você pode ulroalot a encontrar 
a solução para um probrlema'
rgsTambémdeLuziaFaracoRamos,EditoraAtica,Umaproporçãoecologicacontaa
história de um grupo de jovens quã pàititipa de 
um projeto de coleta seletiva de lixo'
Bom divertimento!
bih(,iogratia
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BERLOQUIN, Pierre. 100 jogos geométricos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
100 jogoslogicos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
100 jogos numéricos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
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300
Rarpo gtag
I Potôrrcia de uÍh nín^qro racional,
p.11
7. a) 73 d t't e) (0,9)3
b)8'o o,(+)'u(+)"
2 a) 42 b)z'
A.
"zs
4 0,99
5 não, pois 121 # 85
6 a:b
7 0,04
8 a)x:2 c)x:0
b)x:0 d)x:1
9 a) 1 000 c) 727 e) 0,027
cb)343 d)l;í 01
/ Propriedadqt da polenciação
p.75
- _ .5
d)x3o d l+)
e) (o,o)3 h) (0,9)12
, (+)' » 0,n40
tüf
b) 13'2
c) 81
2 a)220 d)zu g)2"
b)22 e) 226 h)28
.) 2" o 221 i 2'o
3 x3 : 70",yn :'1012,*' : yn
e a) 53 x71'x23'
b)2r, x 3a
, ^10 -4c)3 :f
d) (0,6)4 x 0,"1)a
, (+)' ,. (+)'
í) (23)12 : (2,"1)15
5 il36 b)21.6
6 giga: 10e; mega: 106; miria: 104; qui-
lo: 103; hecto: 102; deca: 101
7 a) 35 x 103 c) 92 x 1.04
b) 6 x 707 d)92x 7oe
8 15 x 107km
g 64x'l.os m
103
a\ ü O,7)2 :7,27
J Nímutot quadradot per[eitot
p.19
1 a) sim b) sim
2 a) não é d)não é g) é
b)é e)é h)nãoé
c)é 0é i)é
3 6e10
4 Sim, todos os Íatores apresentam ex-
poente par.
5 Qualquer algarismo que represente
um número ímpar.
Troque idéias... p.19
a) 42 ou2a d) g2
b) 32
c) 22
b) (0,4)3 : (0,064)
./ r \3 l
')[ z.J : s
1,2 a) 252 b) 756 c) 3
13 10
144
Calculadora,.. p.17
b) Á: gráfico de setores
B: grâÍico de barras
C: gráÍico de linhas
c) sim
d) não
e) maiores
Retomando... p.25
I c) 23;22;21
2 uma: a igualdade c
3 não
44
5 sim, pois2916 :22 x 36
6 a)10 b)4
7 252
a2
9 sim
105
11, 5,2
t2 7,7
13 a3xbxcs
t4 0,79
$ A iaao de nín^erosinteiror
p.sl
1 a) -8 pontos e) +42"C
b) -6 f) +21 gols
c) +R$ 550,00 g) -4 000 m
d) +1 200 m
2 -484
3 +6959 m
4-3
5 a) +R$ 50,00 c) +R$ 400,00
b) +R$ 500,00 d) -R$ 20,00
6 -395 m
7 a)+51 "C'
b) -4'c
c) 55 graus
J O con\unto dot níanqros inteiros
p.3s
1 a) -300m
b) +2992 m e *3 014 m
c) -2 000 m
d) -1 700 m
2 av1áo A: -50 km; avião B: +150 km
3 a)+4 .)+6 e)-5
b) -2 d) +9
4 Cidade B: -200 km
Cidade C: +600 km
a) 728
b)729
c) 777 1,47
d)6561.
e) 4096
Í) 0,000729
g) 0,0823543
h) 57,665038
i) 6 s61
j) 76 384
u) + g)o,oz
e) 0,9 h) 0,04
f) 0,6
c) 26 e) 42
d) 16 Í) 48
c) 2,6 e) 0,42
d)1,,6 Í) 0,48
a ))
1 a)8
b)7
.ll
J
,13-20
s+
4 a)22
b)27
s 1120
6 a) 2,2
b)2,7
7 26:64
839
Tiatando a informaçdo 1... p. 22
a) Á: consumo de energia elétrica
B: matrículas nas escolas
C: produção, vendas internas e expor-
tação de tratores e colheitadeiras
30r
5 a) 200 km c) 600 km e) 1 100 km
b) 500 km d) 300 km f) 900 km
6 a) +2 c) o ponto Q
b) o ponto S d) -5
f, llOauio de uA^ ní.^^sro ihteiro
p.37
1 a)5
b)8
c)3
2 a) 140 quilômetros
b) 15 graduações
c) 50 quilômetros
d) 24 graduações
3 a)31 c)28 e)0
b) 300 d)500
4 +2Oe -20
5 a) Módulo de mais onze é igual a
onze.
b) Módulo de menos trinta é igual a
trinta.
6 não
7 a)> b)< c)> d):
8 -2,-1,0,+L,+2
9 a) -13, +20, +27, -25
b) -32, -40
c) +51
10 números opostos ou simétricos
tt a) +26 b) -65
t2 -2
#
13 2 1 o+1+2 +3+4+b
140
.,
I Couparaçô^o da- ní.A^sros intairor
p.47
7. a) -2> -6 c) -7 < +7
b) -20 < -10
2 a)a>0 d)0>d g)d<a
b)b<0 e)a>b h)b<c
c)c>0 f)a>c i)b>d
f) -30 < +6
d)7
e)7
08
c)5
h)8
3 a)0<+7
b)+11>0
c)0>-9
d)-13<0
g) +7 < +20
h) -11 > -30
i) -1< +5
e) +2> -79 j) -20 < -3
a) -10 .) -1 e) +10
b) -"t9 d) +1 f) +30
a equipe B
6 a) -100, -70, -10,0, +20, +80
b) +t2, +7, +1., -100, -160, -300,
-500
7 a) 7 c) Bonito
b)-5 d)-5>-7
8 a equipe Á
9 a) +6, -1., +2, -4,0
b) -20, -1, -7, -4,0
10 a) A: {x € Zlx> -20lr:
: \-19, -1.8, -77, -16, -15, -74, ...1
b) B : {x €Zlx< -7} : 1..., -1-3,
-72, -17, -10, -9, -8].
c)C:{xeZl-5<x<*3[:
: {-5, -4, -3, -2, -7,0, +1, +21
11 a) P : 1-3, -2, -1.,0,7,2,...1
b) Q : t-s, -7, -61
c) R: i..., -\06, -105, -1.04, -103,
-702, -1.011
12 a) três
b) dois
c) -5, -4, -3, -2, -1., +1, +2
$ Aaiçoo de níri^qros ihterror
koque idéias... p.47
A soma dos dois números inferiores é
igual ao número acima.
p.49
1 a) +11 e) -59
b) -13 f) +42
c) +30 B) +12
d) -37 h) -11
2 (+13) + (+18) : +31
3 (-2) + (-1) : -3
4 (+3 600) + (-4 000) :
5 lucro de 17 reais
6 -44 ou 44 a.C.
7 -30 graus
8 a) (+18) + (-21) : -3
b)(+24) + (-25): -1
c) a equipe B
9 Perdeu 16 reais.
10 a) +4 c) +7
b) -4 d) +6
11 +R$ 1 200,00
i) 25s
j) +170
I) +310
rn) -437
-400
") -10
Í) +2
0
-16 +\6
-16 0 +76
-1.2 4 +4 +12
-8 -4 0 +4 +8
302
12 a) +72
b) -92
c) -32
130
14 sim
15 a) -22
b) -90
p.51
1a)+2
b) -e
2 a) +24
b) -10
c) +5
d) -8
3 a) +23
b)0
c) +1
d) -86
c) +34
d) -39
c) -98 ") +1
d) +89
e) -4 r) -23
f) -51 ) +Z+
g) +45 I) -80
h) +29 m) +4
e) +115 l) -27
ft -rc ) +57
g) +10 l) -13
h) -37 m) +50
d) +77 g) +18
") -10
0 -ta
1) +73
j) +s
0 +1-10
g)7+(.,-3
h)1+1-5
r)9-4,-2
j) -1- 1+ 4
Existem outras respostas.
] Subtraçao deniyr^'sros inteiros
p.54
1 -l11 graus
2 33 anos
3 74 anos
4 -56 graus
5 +380 pontos
6 9 graus
7 -134 graus
8 a) +17 s) +18
b) -2s 0 +11
") -7 d -21
d) -18 h) -40
Troque idéias... p. 51
p.56
I a)-9
b) +11
c) -13
d) +27
e)3+2
'lQ aaiçao a!1íhrica,
2 a) -2 c) -8 e) -13
b) +4 d) +2 Í) _2
3 x:-4;y:+5;x<y
4 a) +11 c) -29 e) +SZ
b) -6 d) +43 f) -s7
5 +18; +7; -7; +3; +176; +90
a) 6a feira
b) 4a feira
c) aumentou;233
| | Untttpti*çno ds nínqrosinteiros
p.63
7. a) -72 f) -55
b)+30 d0
c) +28 h) +108
d) +63 il +63
e) -48 j) 0
l) +237
m) -340
n) +289
o) +160
2 a) +1S4 c) +276 e) -1 120
b) -135 d) +324 f) o
3 (+1) . (+20); (-1) . (-20);
(+2) .(+10); (-2) . (-10); (+ ) .(+5);
(-4) .(-5)
s -7 .(+6 - 8) : -7 .(-2): *14 ou
-7 .(+6 - 8): -7 .(+6) + en.(-8) :
:-42+56:"14
6 (-s) . (-8) + (-s) .(+s) :
:+40-25:15
7 a)+7 c)0
b) +9 d) +11
8 a) +1 d)0 d +46
b) -2 e) +39 h\ -77
c) -5 Í) +11
9 a) -3 b) -10 ,) +2
10 a) +4 c) +73 e) -2
b)+6 d)0 Í)+2
1,1 -2 e -3
+5e-2
Calculadora... p. 64
slm
'lZ »iuiuao da- nín^eros inteiror
p.66
1 negativo
2 positivo
3 zero, zero
4 (+9) : (-9);0: (+5); (-2) : (+1)
5 -16
6 sim
7 a)-g
b) +1
c) +3
d) -e
e)0
f) -1
10 a) +1
11 a) +11
b) -15
c) -11
a2 il -1.2
b) -6
8) -15
h) +26
i) +13
i) -15
1) +4
m) +3
b) -1
d) -2
e)0
f) -10
c) +24
d) +60
n) -4
o) -8
p) +3
q) -3
g) +21
I J V olencraçno de híÍu.aro5 i hteiror
p.70
1 positivo
2 negativo
3 a) (-7D2: +289
b) (+1sf : +3 375
c) (+40)2: +1 600
d)(-30)3 : -27 000
e) (-5)4 : +625
g 1+3)s : +243
d (+5)4 : +62s
4 a) +81 i) -343
b) +81 j) +t
ç) +729 l) -1
d) -729 m) +625
e) +32 n) +1 000 000
O -gz o) -1
g) +1 p) +1
h) +81 q) +1
5 a)0 b)+2
6 a) (-8)10 d)(+9)20 g) (+10)14
b) G»12 e) (-13)6 h) (+zo)1
c) (-10)3 Í) (+n1z
7 a) +1,6 b) -8
8 a) +1 d)+68 il +41
b) -1 e) -100 h) -32
c) -72 f) +22
14 noi, quadrada exata de
níneroE inteiros
p.72
1 a)5
b)8
2 JTz- e 160
3 a)6
b) -e
4 a)20
b) -30
5 +11
6 -1.
/ nao
c) 10
d) -7
c) -50
d)72
| ) Lxpreróa5 tv"rv\drica5
p.73
a) +63 c) -24 e) +27
b) -14 d) -2 fl +6
Retomando... p.73
a (+2)
2-8
3 -10
4+2
5 7 graus
6 r+»s : +22; (-6)2 : +36;
(-1)10 : +1
, -ó
8 5 elementos
9 uma: b
10 Na cidade de Dimitri, pois
-75> -27.
11 a) +1 b) -1
a2 ú -16 b) +64
13 -36
14 +4
t5 +625
16 74
17 Terá 450 Íichas a menos.
18 -3x
t9 -200
20 +37
Tratando a informaqdo 2.., p.74
1 a) maio, julho, agosto, setembro, ou-
tubro, novembro e dezembro; janeiro,
fevereiro e março
b) novembro
c) abril e junho
d) sim; R$ 143 000,00
2 a) tempo e temperatura
b) julho; janeiro e fevereiro
c) maior
d)6 (aumento de 6'C); -3 (queda
de 3 "C)
e) :3,6 "C; 9,5 'C
lf, 0 coniunlo dos níA^eros racionais
p.79
1 sim
2 a)Z,Q c)Q
b) N,z,Q d)Q
3 sirn
4 a)0,5 b) -7,0,5 c) todos
)s 0, á,5
6a)Ç e)É i)€
b)E 0€ »e
c)€ g)€ l)É
d)É h)€ m)e
Troque idéias... p.79
1 litro de água comPletu aP"r,us f
da jarra. É Íácil perceb". qr" 
"rr, f
da jarra cabe0,5 litro de água. Logo, na
jarra toda cabe 1,5 litro de água.
11 a ruto Nltt^íricr^racioha(,
p.81
1 a) pontoR
1b)- 
z
1).)-áou-15
d)ponto Á
e) pontoM
2 a)+2
3 - Ib)- 2 ou-r ,
c) ponto D
d)ponto E
1el-r 
2
Troque idéias... p. 82
1 alternativa d
2 alternativa a
16 naiçao al4íhric.c, de. nífi^eroE
racionai5
p.84
1Lra)-f e)- 
15
ur*f o *+
.1 1c)+ 5 9+-4
d) -0,65 h) -2,08
g
L=
5
17
72
3
4
5
6
7
8
a) +1 c) -0,74 el + !
d-â d)+á
a)'11.,7 üatts b) 10 graus
.77111il-'f b)+ 12 c)+-T
24,40m
-9,56
-1,5 grau
7
4
Troque idéias... p. 85
larinha: +.+:+
2arinha: +++:+
3êlinha: + *1: +
'l] nnttipti"açao do- níMteros
raciohaie
p.86
L
1 a) - -=i-I5
12b)+ 
11
?z a)-j4-
1d+iT
(t a)-i
b) +2,4
4 -72,50m
5 9,9t
6 +0,6
-1.t-12
") 
*+
d)++
.Jc)- 
20
d) +4,68
.74c)+ 
3
d) -13
e) -9,60
Í) +1,47
.9
")- 50
") 
*+s,l_#.)_+
b) -0,5 d) 0
c) +a't)
d)-+,5
d) -0,5
e) +0,6
Í) -7,6
2
c) l- --)
cü-+
304
Z0oiuirao da. nífi^errr. racior.c^\5
p.90
t a)-1
J
b)++
2 a)-4
b) +0,75
.) _4,3
s a)-*
5
b)++
J
.2e)+ ,
^5rl- 
2
g) +o
h) -2,4
nil-+ ur*{- .)-+
sul*jf, d+2,5 ")-+
o) - + d) + 4! r) -2,25
o a)+l b)+0,4
7 -0,2
Troque idéias... p.90
1 R$ 966,00
2 alternativa d
/'l Polunciaçno de. níMeros
racionai5
p.94
, d(.+)'
b) (-2,D5
z a)+f
ur +f
,)++
d) -0,343
e) +1
f) +0,729
,,(-+)'
d) (+0,05)3
d++
l,) +77,64
AO
t) t -==-
Z5
j) +t
D*+
,-.i + rfr-
, (-+)' : *:*
b) (+0,8)3 : +0,57it
, (-+)' : *-#
d)(-2,5)2 : +6,25
.1a)+ t6
.1a)- 
2
b) -:-JO
.63u)- 
8
o) --T
") 
* 1l e) +1
d)-l+
J
33 13b)--l c)+ 4
7
I
9
_1'76
-10
, - ,10u l-+) d)e4,7to
b) (+7,il3 e) (-0,02)11
o (.+)" n (-+)"
10 a)+
ü+
,1
") --s r)
o r-#o- »
8
27
-32
tt
t2
t3
o-f st**
al +{o rrl +f
a) 1o-2
b)to s
a) +1,M
b) 0,0001
a) +27
ul *il
It)
2
c) 10-3
d) 10-6
c) 0,125
d) -0,2s
c) +36
al *9
o
Calculadora... p. 95
ra2,^3 -2a)z-ró-ta)
b)21+33+53
c)23+32+s2+73
d)22+ 30+52 +72+92
Existem outras possibilidades de res-
postas.
ZZ noi, quadrada uata da-
nímqros racionais
98
a) 6 b)0,7
1a)x:10 c)x: -j-
+
p
1,
af
,2t)g
e)x:5
b)x:1,1 d)x:0,04 f) x: 6
7
a) 48
b)26
a) 3,5
b) 3,6
11
74
a5.b'
7
c) 42
d) s0
c) 5,5
d) 5,4
e) 0,28
Í) 0,32
5
6
7
23 r*nao das rnidlias
p.101
1. -3
2 73,2
3 77,40 reais
c79
36
5 2,02m
o 57 centavos
7 a) 74 gols
b) 9 gols
8 23,75 anos
I 72
10 R$ 25,75
2 a) Recife
3 a) Recife
c) 2,8 gols
d) 1,8 gol
b) Porto Alegre
b) Porto Alegre
Tratando a int'ormação 3... p. 102
1 a) Belo Horizonte b) Recife
2 xi 7:0;x 1:0;x:-1
3 Embora ela seja uma igualdade, não
apresenta número desconhecido.
4 uma incógnita
5 duas incógnitas
67y 2
7 ilx+ 31:100
b)x-8:41
c) 2x + 37 :73
d)3x-73-47
, I 1 ^-e) 2 x - J-x-if,
Í) 4x:x+72
8 x + 10:28
9 3x:2(x + 10)
Troque idéias... p.111
1 a) 5 reais
b) 10 reais
2 a) 100 kg
b) (90 + x) kg
3 a) 30'3 : 90
b)30.t
c) 15 reais
d) z reais
c) 85 kg
d) (e0 - y) kg
c)30:f,:16
d)30: n
ZL Con\unto rhivar5o e cohjrnto
rcl,uçdo ds wu^a aqucqito
0 s: {-4}
a) sim
b) não
2e3
1
6
sim
g) S : {-8t
h) s : {-10}
Ij ils:{-1}
j) s: l-1I
l) s : {12}
ds: {+}
c) sim e) sim
d) sim
4 Sim, o fato ocorreu em Recife.
5 Sim, o fato ocorreu em PortoAlegre.
Retomando,., p. L03
1 as três
2 +0,5
a, *É
4 -7e-2
5 13,12 anos
6 -0,725
7 a)73:1, b)sim c)1
8 3,75 m
9 400km
ro +-L
9
11 + 1
7
24 \ualdadz
p.708
1 a) 1am : 52 ! 2;2ern: 7 . 4 - 7
b) 1n m : 732 - 722;2a rn: g2
c)lam:10.22;2qm:23 25
d) 1'm : 23 . 2';2" m: 2o . 2
2 propriedadesimétrica
3 a- -7;transitiva
4 sim; propriedade simétrica
5 sim;x : z - 2;propnedadetransitiva
1o tzt). i
7 8-6
8 multiplicativo
9 a)x:4 b)x:-3
lO a)x:/ b)x:-5
/j rqnaçoos
p.171
1 É uma equação, pois representa uma
igualdade e tem um elemento desco-
nhecido.
p 115
1a)S:{7}
b) s : (-e)
l'sc)b:1 
8
üs: a
e) S: {13}
3
4
5
l)
1
305
ZJ rqnaços5 sqaivaíatia5
121
a) sim
b) sim
c) não
a)x:3
b)x:11
c) x: -2
d)sim g) sim
e) não h)sim
f) sim
d)x: 1
e)x:1
f) x:9
8)x: j) x:
1) x:
m)x:
h)x:3
2.T
J
1
6
1
-a
,7
---
J
6i)x=-i-'5
/] xuo\vendo u,nnaqqucçt,o do
1e gran cou^tntu^a incógnita
p,131
1a)S:{8}
b)s:{6}
c)S:{2} g)S:{-1}
l' ol
d)s: l- --l h)s: t2)I 2)
2 ilS: l4l
c)S:{2)
,': {-+}
a) S : 110)
b,s: {-+l
c) S : {30}
,,t:{+}
b)s:{5}
c)S:{6}
a)S:{8}
b) s : {-16}
.,r:{+}
b)s: {-2} , t: {+}
e)S:{3}
n':{-+}
e)S:{3}
g)s: {1}
a13: 12,7t
d)s:{-+}
,':{+}
f) s : {-40)
d) s : {-4}
e)S:{a}
Í) s: {6}
.,s: {+}
e)S:l3l
0 s: {4}
6 3x-5:4e5x-7-B
/ nao
8 0e1
9il2 b)4 c)8
1O um número negativo
)1
4
6t2 -:-
5
13 a) 1,2,5,L0 c) 100
b)1
a4 !-
3
Troque idéias... p.132
1 x:17anos
77+6:23anos
o)+
jQ Usando aqtlaçla5 rta ra5ol,uçt^o
do problemat
p.1.37
r37
245
396
46
5 40 anos
6 3000m2
7 a)6000t b)3600t
8 63 caixas
9 180 páginas
10 2 350 pessoas
11. 63
12 3T6funcionários
13 45cme75cm
14 24alunos
15 3 galinhas e 10 coelhos
1,6 335 e286
17 Sêrgío: 77;Toninho: 87
18 100 x 85
t9 il258km b)86km c)344km
2O 30 vitórias
Troque idéias... p.139
1 I-alternativae
II - alternativa c
l.
tkg
12
4kc
3kg
3 quilogramas
3l Apí,icaç,âo dat equaçóa.s:
at [6 r rnul,m rnat qtní^t\cat
p.141
1 10cme20cm
2 8 cm,9 cm, 10 cm
3 50cm
4 16rn
5 IUM
6 30m
7 alternativa c
8 sim
9 sim
ao 50176
ar2
P +x-_2x: 1_2"
306
c)y:
13 76
14 90 pontos e 83 Porttos
158
16 10 proÍessores
U 1]2lltros
18 3p+q=g
19 30 recenseadores
20 R$ 12,00 (bola de volei.bol) e
R$ 15,00 Oola de basquete)
21 R$ 250,00
22 a) 30 jogos c) 10 jogos
b) 18 jogos
23 a) 30 aulas c) 6 aulas
b) 12 aulas
24 0,65 m e 1,30 m
iZ {uaçao do 1e Sravcofr^ dva5
rncíSnital
p.147
1 a)x+Y:61
b)2x-7:y
c) 3x + 5y: 100
d)x_y _Zoux_ y:7
1e) 2 x:2y
^23i) ^ x- - v:IJ J'
*-y:2
a)x+y:32 ,;)x:6y
b)x:y+25 ,l)2x+5y:00
1a)x y:29 ,1) , x:5y
b)x:3y r:)4xt2y:+Z
"1y:y+12
,
3
5 a) sim
b) não
6 a) não
7 (2,1)
8 a) 4x: 3y
b) 20 cm
9 sim
,:) sim
,f) sim
b) sim
c)9cm
10 Existem várias p,ossibilidades de
resposta.
11 a) (0,20)
t2 a) (7,"1)
t3 a)y:2
b)v:-3
b)(-+,,3)
,(',+)
5-4
33 ili*u^^a de duag oqaaçóas do
1e yau conn dumincoyilas
Troque idéias... p,753
J
p.154
1 fx+y:207
1*=2y
2 {:* y_:15_-
IJx+5y=5U
3 sim
4 não
5 não
6 a) (72,8) b) (-6, -3)
7 a) (8,2) b) (-6, -36)
8 a) (4,2) c) (3,2) e) (2, B)
b) (2,1) d) (2,7) 0 (1, 3)
9 15 carros e 7 motos
10 7 reais
11 18 reais (lapiseira) e 6 reais (caneta)
12 1,89 m e 0,96 m
13 100 páginas
14 6 proÍessores
p.155
O 14-Bis percorreu 60 metros, durante
7 segundos.
Troque idéins... p.155
O burro levava 7 sacos, e o cavalo, 5.
Tratando a infonnaçao 4... p.156
a) cola bastão (10 g)
b) caderno universitário (96 folhas),
caderno universitário (200 folhas) e ca-
derno brochura (capa dura - 96 folhas)
c) caderno universitário (200 folhas)
d) caneta hidrográÍica (cj. com 12 cores)
Retonundo... p.156
I 2x- y:10
2 sim
3 não
4 Y: -zo
5 Existem várias possibilidades de res-
posta.
6 sim
7 (4,1)
82
9 alternatla d
10 alternativa a
7.1 a) 2x + 10 : 4y c) 25 crn
b) 13 cm
1-272 x:1ey:
307
13 27 Íitas
14 10 Livros de 7 cm e 12 livros de 3 cm
Jl »zsijualdadq
p.164
1 Não muda nada, segundo o princi
pio aditivo.
2 52+22
3 propriedadetransitiva
4 não
5 sim; princípio aditivo
6 x>11
7 sim; princípio multiplicativo
I x>-7
9 x>5
Ji lnequaçao
p.166
1 Sim, pois representa uma desigual-
dade e tem um elemento desconheci-
do.
2 Embora represente uma desigualda-
de, não possui elemento desconhecido.
3 a) 1 - 4x (1q membro);
), * t (2emembro)
D + - 1(lomembro);
+. +(2emembro)
4 a) não c) sim e) não
b) sim d) sim f) sim
5 a)2x +7>20 d)x - fx< t
)1d lx<2y e) 3x- f x >1
d4x-7>20
6 4x> 20
7 a)x-r y>10 b)3x<5y
8 a)2x + 60< 500 b)30x>300
9 x-3< 12-x
2 x>77
3 2<x<5
n , 
{,.e elx.+}
b){xeQlx>9)
.r {*eal..+}
a){xeQlx<-a}
e) {xe ol*>4}L 5l
0lxe Qlx<7)
5 pertence
6 -6, -3,0
Explorando... p.177
a) Nilton
b) Ana tem menos de 6 000, Nilton tem
mais de 24000, Ricardo tem 11 000 e
Kátia tem menos de 18 000 reais.
c) Não, pois ela pode ter qualquer
quantia abaixo de 18 000 reais. Ricardo
tem 11 000 reais.
d) O máximo que Ana pode ter é a ter-
ça parte do máximo que Kátia pode ter.
e) Nilton, Ricardo, Ana, Kátia
f) RicardoTratando a informação 5,.. p.172
a) 1: gráÍico de barras;
2: gráÍico de linha
b) 1: expectativa de vida do brasileiro;
2: evolução da expectativa de vida
no país, de 1950 a 2000
c) Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística
d) Em ambos, o sexo feminino.
e) 25,27 anos
Retomando... p.173
1 x>50
2 5x< -'l
s S: {*cOIx=- 13 II^-*'^- 6 I
4 -3,0,5,8
q
5 *. ú-
6 -3, -2, -7
73
E S : 10,7,2)
, t: {,=al.r+i
10 alternativa d
a7. x> 4,5
12 verdadeira
Jf, lneqnoçt^o d,o 1e Srau con^ tLA^a
incftnitn
Troque idéias... p.169
a) R$ 608,00
b)s>500+2p
p.170
I a)x>6 d)x<1
b)x<-5 e)x>4
c)x>-13f)x<
g)x> 76
h)x<1
1
2
13 -9e-6
14 alternativa c
,
3
j$ uuaiaodaunaàniu[o
p.182
1 a) vértice: B
+ ._
lados: BA e BC
b) vértice: O
+ +
lados: OM e ON
^A^AOB, AOC, BOC
u) 20' d)90'
b) 48' e) 120'
c) 55' Í) 180'
u) 45" c) 130'
b) 130" d)20"
^^A5 DFE:ILMe GHI=
7 180'
8 360'
9 x:25"
10 x : 30o;50'
Troque idéias... p.182
aumentou; 180o
p.187
I a) 54" 22'20'
b))5" 4',30',
c) 52" 1.9' 40"
d)47" 2' 2',
e) 100" 38'
2 a) 56o 22' 5"
b) 6'56',
3 7" 39', 35',
4 28"27',75',
5 36'15'
6 25'6',40'
7 52" 47', 46',
8 110'30'
9 747'35',
10 84" 49',40',
g) 70"
h) 30'
") 
2o'
f) 90'
r NOP
Í) 47" 39',
g)9" 72' 17'
h)20" 55',7',
i) 125'47',17',
j) 74" 37', 30'
c) 76" 7' 50"
J] Oparoçôss cou^ trnqdidas de.
ànlulot
p.785
1 a) 1 080" b) 135' c) 10 800"
2 il2400' b)757' c) 34'
3 a) 1o 35' 70u c) 72" 4'37"
b) 14'50'
4 a) 20" b) iguais
5 a) 1.' 20" c) 3'20' e) 5o 1' 40"
b)14',25', d)2'31,',30" f) 10'1' 10'
Troque idéias,.. p.188
1 30"
2 Continuará medindo 30o, Pois Per-
manece com a mesma abertura'
!-l bissetrrz deutv. ân3uÍ,0
p.192
1 Existem várias possibilidades de res-
Posta' 
^ ^2 a) AOB e BOC
ul aÊP e PÊc
3 37" 30',
4 med (AôM) :23" e
med (Aôn;:46"
5 90'
6 70"
5 a)x:a:70"
y: 110"
b)x:45"
y: 135"
a:b:90"
Explorando... p.205
1 8 dobras
Retomando... p. 206
I 45"
2 x:27"
3 a) 75" 43' 27' r:) 23"
b) 59" 19', 8"
4 med (Aôc) :39" 14' 20"
5 a) 158' 32' 41' b) 47" 48' 52"
6 6" 52', 40'
7 \1" 39', 57u
8 med taôcl :78o g'27",
mea (eôC) :60 3t gtr
g 27" 70' 40u
10 complemento: 52'' 31' 70'
suplemento: 742o 31' 70'
11 155'30'
12 5'1"
13 32o e 58"
14 a) x: 30"
I: b : 130'
15 67" 30' e 112" 30'
16 a) 20" b) 50'
17 140"
lg 11.2",680,680
1 a) escaleno
b) eqüilátero
2 a) acutângulo
b) retângulo
'o) x : 30'
y :720"
c) 140"
c) isósceles
c) obtusângulo
Tratando a informação ti... p.207
a) Íutebol de salão
b) O número de alunos nos dois trei-
namentos é o mesmo.
c) 60 alunos
d) 30 alunos treinam natação e, tam-
bém,30 alunos treinarn ginástica olím-
prca.
4J V^o re-Laçtoentra ar rnsdidat
dor ânguüor intarnoE do kiân5u[,0
p.21.4
ll Ãnlulor oíloeto5 pelo vártice
p.204
1 a)xez,wey
b) x ey,y ez,z e7L),w e x
2 45",135'e 135o
3 a)x:60" b)x:8'
4 20"20'
!/ Ãnjulo reto,àn1uLo alu,do a
ân5r[o oÍotuso
Troque idéias... p.196
a) ângulo reto ou de 90o
lj ivjulor cofi^pl,au^a$lc^rs5 a
ân3rí,os 5u.lÍa^^s tara5
p.201
I a) 82" b) 54' 42' c) 1'
2 a) 90" b) 30' c) 761." 17'
3 a)90-x c) 180--x
2
b)180-x d)5(180-x)
4 76" 30',
5 45'
5 a) x:55' ç) 1: 80'
f)1:40' d)x:18'
7 x: y:45"
8 med (aôc) : so'
9 53'
10 86'10'
11 135'
12 x:25"
308
3 90'
4 a)x:45'
b)x:60'
c)x:82'
d)x:59'
5 Não, pois a soma dos ângulos inter-
nos de um triângulo é igual a 180'.
6 65'
iQ Umo roiaçto arrÍra a5 n^qdidas
dos ànlu\ot tnlernot de u,l^
quadri!í^tero
p.219
1 Não, pois os lados opostos não são
paralelos.
2 360"
3 a : 60",b : 60", c : 120", d : 720.;
a*b*c+d:360'
4 triângulos isósceles e retângulo
koque idéias... p.220
alternativa d
Tratando a informação 7... p. 222
1 a) 1a trimestre; 24,34 e 4a trimestres
b) 500 unidades; 250 unidades
Tiimestre Número de
CDs vendidos
1a 3725
z- 3 625
J- 3 875
4a 4750
3 15 375 unidades
,1 Razô*o
p.228
24.,3.,3
.. 5 .. 1d)4r)2
d)+
5
2t)r
.1a)-
J
)
b) Í-
.1a)4
b)+
5
.4c) ---=-
:)
.4
a) --f,
3
-5
2u)s
Io) 
12
,4
L'_
9
2
J
8
9
10
t7
t2
1
8
1
2
8
9
75 000 habitantes
r 60 anos
R$ 168,00
I alternativa d
jf etjnnno5 razóa5 a5psciai5
Troque idéias... p.231
a)1:200
b) 1-+ 3,2mx 4,0m;
2-->3,2mx5,2m
c) 43,68 m2
p.232
do,,o : 79,32g/cm3
dprata : 70,49 g/cro:-3
p.234
1 85 km/h
z a)76,6km/h b)92km/h
S 300 000 km/s
+ a) 95 km c) 237,5km
b) 190 km
5 8,33 m,/s
6 7:60
7 7 :2 000 000
E 5cm
s O,56kgldm3
19 2,7 g/cm3
t7. 21,5 g/ cm3
12 3,3hablkm2
30,6 hab/km2
77,9]nab/krt
43,3hab/krlr.2
7,2hab/km2
p.237
t a) 51%
b) 39V"
2 a) 55%
b)140%
3 a)3%
b)35%
.24a) U
1o) to
c) 6%
d)72,7%
c) 507o e) 66,6%
il20% il 75%
c) 742% e) 4,5%
d) 628" Í) 22,5%
.6c)-
J
.. 3ot _d
309
a) 0,81 c) 0,045
b) 1.,6s d) 0,111
alternativa c
p.239
| 85%
2 37,570
35%
4 23%
s 89,3%
6 48%
7 457o
c) não
d)sim
c) sim
d) sim
.1c)+
d) 1,8
l)y = 17,25
.2e)x: 
9
Í) x:2
611 x: 5
12 a) sim
b) não
c) sim
d) sim
13 15 copos de água
14 13 cm e 8,4 cm
15 6,4m/s
ij Outras propriad,adu das
Prororçõe5
p.252
I x:20 ey :72
2 a)a:21.eb:2
b)a:35eb:40
3 75 e25
4 60 e36
5 a)x:56ey:24
b)x: 60 ey : 48
6 49 e28
i$ Propriodada {nndarnqnlaL das
pro(1orçôa5
p.244
1 a) sim
b) sim
2 a) sim
b) não
3 x: t9,2
4, a)25
b)3
§, a)x:2
b)x:3
c) x:30
6 14 questões
73rr.
8 340km
9 8 ovos
ro '1,2m
7 a)x--90ey=75
b) a -- 60 e b : 48
c)x:40ey:100
d)x:48,y:30 ez:72
8 100'e 150"
9 9 clássicos e 36 de música popular
10 a)S:1O0,75)l
b) s: {(14,10)}
c) s : {(15,20)}
1,1 7 { de suco de limão e 4,5 ! de âgaa
12 23,8 g de alumínio e 27,2 g de oxi-
gênio
Tratando a informação 8... p.253
a) Vale do rio Sâo Francisco
b) 39,3 milhões de dólares
c) 155,9 milhões de dólares
d) Holanda
e) Porque em 1998 as exportações foram
de US$ 119 milhões e em 2001 somaram
US$ 214 milhões, o que corresponde a
quase o dobro do valor anterior.
Retomando... p.254
Lt -+-
5 ,, .\ --:_
-q)"|
37
. 104 mals/ pols 1g 
:
5 õm/s
6 16cme4cm
7 42rn
8 alternativa &
9 x:5
1
9
67
84e56
6
237
18 km/h e 15 km/h
x:99";y : 45"
20e45
AP:32mmePB=80mm
72 cm,'1.8 cm e 24 cm
a:36";b:54'
t2
5m
10
41,
t2
13
1,4
15
t6
t7
18
19
20
27.
|,,
j f, Ntnneros du ql a s- inv qr Ean^qnl a-
Pr0P0raonat5
p.262
1 a) sim c) não
b) sim d) sim
2 x:1.0 e I : 18
3 x=1.20ey=90
1
4 *= Z ey:2
5 90,270e720
6 200,80 e 100
7 cobre: 28 kg, ztnco: 12kg
8 45 min, 105 min e 30 min
9 transportes:1 500 reais
compras: 900 reais
hospedagem: o00 reais
AO 24 de chocolate, 6 de morango e 15
de flocos
11 Á recebeu 160 reais, B recebeu 100
reais e C recebeu 200 reais.
7.2 70,15 e 20
Tratando a informação 9... p.263
1. a) 75,3 e 15,9 bilhões de dólares
b) L3,9 e 14,5 bilhões de dólares
c) 1,468 e 7,466 bilhão de dólares
2 7,4b11hào de dólares, nos dois casos
3 Não; porque, no gráfico, os valores
das exportações e importações são ape-
nas aproximados, enquanto aqueles
dos saldos são mais precisos.
4 Não, pois 15,3 x 14,5 + 73,9 x 15,9.
Troque idéias... p.267
1 Consumo de gasolina (em litros) e
distância percorrida (em quiiômetros).
2 Sim, porque, dobrando uma delas,
a outra também dobra; triplicando uma
delas, a outra também triplica... e as-
sim por diante.
3 105 km
4 6 litros
p.268
Lr a)f :
600o' 
tsoo
c) iguais
d) diretamente proporcionais
.2 1a) ---;- : ---;-o-,
1q
b) -+- :3
5
c) inversas
d) inversamente proporcionais
a)8'40:320cm2
b) 6' 40 :240 cm2
.84
e)---t:)J
.. 320 4s' 240 3
2
D
2
5
310
e) iguais
f) diretamente prot,orcionais
. 150 3dt 2oo 4
300 3vl 4oo 4
c) iguais
d ) d iretamente prolrorciona is
. 60 6 ..u) so 
: 
s c) rnversas
805,.b) ií 
: 
í cl)inversamente
proporclonars
6 a) diretamente proporcionais
b) diretamente prol)orcionais
c) inversamente proporcionais
d ) d i reta mente profrorcionais
7 alternatla d
51 Reya datràs sirnpLet
p.271
1 60 min ou t hora
2 30m
3 420 páginas
4 74dias
5 41 m
6 74cm
7 60km/h
8 18cm
9 56 250 litros
10 20 caminhões
tt 42,5m/s
12 40 dias
13 90 km/h
14 2h 15min
15 10 dias
16 300 azulejos
17 377 cm ou 3,71 m
18 20m
19 alternativa d
i$ neyadetrisclntpo*a
p.275
1 50 dias
2 250!
3 32 operários
4 lídias
5 15 dias
6 4 dias
7 216 caixas
Troque idéias... p.276
1 200 kg 2 20 sacos
Retomando...p.276
1 sim
2 a: 21,,b :'16
3 As parcelas são 80 e 100; o número é
380.
4 Á receberá 120 reais;
B receberá 300 reais;
C receberá 180 reais.
ô^
-J.-'
'*: 5'Y: 2
6 37 500 reais
7 96,36e90
8 840 t, 560 t, 7 120 4
9 10cm
10 a) 84 min b) th 24min
17.25m
t2 \4m
13 78,5 cm
14 40 latas
ts 837
1,6 7 840 (
17 80 km/h
7a 2T0recenseadores
i7 Po,canloynn
Trntando a informaçdo 70... p.283
a) Participação de mulheres no gover-
no federal de alguns países; Governo
cor-de-rosa
b) gráfico de barras
c) Noruega
d) Argentina
e) Irã
p. 28j
1 a) 75 saques b) 150 saques
2 alternativa a
3 427o; 377o; 707o; 67o; 57o
4 alternativa d
5 a) 60% c) B57o e) 225%
b)30% d)62,s% f) 2s0%
3 11 3ta)5c)20e)4
3 .. 3 -. 9o)ro)^iln
7 45Vo
I 76Vo
9 357o
lo 34%
11 a) 10 d)50% il70%
b)60% e) 30%
c) 407o Í) 80%
t2 a) 0,07 d)0,21 g) 2,60
b) 0,09 e) 0,59 h) 0,024
c) 0,16 f) 0,64 1) 0,204
rc a) fi_;6% d) ff;n+%
a) ffi-;zzn .) #;l,sr"
14 aTternatíva d
15 alternativa a
Calculadora... p.285
20,0% ; 8,3%; 20,2% ; 3,3% ; 72,57o ; 1.3,7 % ;
22,2%; 18,7%; 0%; 74,2%; 5,5%; 70,5%;
7,3%; -7,0%; -6,5%; -1,7%; -2,9%
Troque idéias... p, 288
7. 70%
2 26 000 000
3 26000 000;2 600 000
4 44797
5 6,5 pessoas;3794 pessoas
6 odoitem3
7 contraditórias
Tratando a informação 11... p. 289
7. 307o de 1,28 milháo de quilômetros :
: 0,3 x 1 280 000 : 384 000 quilôme-
tIoS
2 7 ,57o de 1,28 milhão de quilômetros :
: 0,075 x 1 280 000 : 96 000 quilôme-
tros
3 30Eo : 7,5% -- 4 ou
384 000 :96000 - 4
p.289
1 22140votos
2 24970reais
3 45%
4 37%
5 750 reais
6 1600m
7 6 professores
8 a) 40 partidas b) 14 partidas
9 a) 60 alunos b) 33 alunos
10 280,50 reais
tl a)65% b)35%
a2 6070
73 62%
74 a) 9 900 habitantes
b) 45 100 habitantes
1.5 44%
16 meninas: 60%; menínos: 40%
311
b) 10 cm
7.7 Clube A: 80%; Clube B : 75%. Logo,
o clube Á apresenta melhor campanha.
18 120 reais
19 Na loja 1, por 96 reais.
Explorando,.. p.291
7, 97,7%
2 39,7%
3 Rússia (718,270)
4 Grã-Bretanha,/Irlanda (39,7%)
5 g24,6Vo
Troque idéias... p.292
1 aproximadamente 135%
2 No Nordeste, há menos aparelhos
como ar-condicionado, chuveiro elétri-
co, t'reezer e microondas.
Tratando a informaçao 12... p.293
1 a) Índia, Brasil, China, Comunidade
Econômica Européia, Antiga União So-
viética e EUA.
b) 368"
c) 4%
f,Q luro sirrnples
p.295
1 a) 78 reais
2 a)207 reais
3 75Vo ao mês
4 2,5%
5 760 reais
6 24 500 reais
Retomando... p.296
I 25Vo
2 153,90 reais
3 a) 615 reais
4 477o
s 0,35%
6 55,68 reais
7 0,72ou72%
a 40%
9 ilS2Vo
7,O 1670
11 15 000 reais
a2 30%
t3 50%
14 a) 609000
t5 3500 (
16 15 meninos
17 a) 780 cmz
18 0,005
b) 5 590 reais
b) 96,04 reais
b) 2 665 reais
b) 48Vo
b) 232000
Gl,orínrio
Abscissa de um ponto Numa reta numérica,
cada número é chamado abscissa do ponto
correspondente.
Adição OperaÇão usada quando queremos
juntar duas ou mais quantidades ou acrescentar
uma dada quantidade a outra quantidade.
Adição algébrica Toda expressão numérica
que contém somente as operacões de adição e
subtraÇão.
-17+40+21-16-33
Advento Aparecimento.
Ângulo Região convexa formada por duas
semi-retas não opostas que têm a mesma
oflgern.
Ângulo agudo Ângulo cuja medida é menor
que a de um ângulo reto.
Ângulo obtuso Ângulo cuja medida é maior
que a medida de um ângulo reto e menor que a
medida de um ângulo de meia-volta.
Ângulo raso Ângulo que mede 180"
Ângulo reto Ângulo que mede 90''.
Ângulos adjacentes Dois ângulos consecutivos
que não possuem ponto interno corrlum.
Ângulos complementares Dois árngulos cuja
soma de suas medidas é 90'.
Ângulos congruentes Ângulos de mesma
medida.
312
Ângulos consecutivos Dois ângulos que
possuem o mesmo vértice e têm um lado
comum.
Ângulos suplementares Ânguloscuja
de suas medidas é igual a 180".
A
Area da superfície
de uma superfície.
Denominacão da medida
ts
Bissetriz de um ângulo E a semi-reta de
origem no vértice que, com seus lados,
determina dois ângulos adjacentes congruentes.
Z
o-
E
oô
,9o
.o
a
Censo Conjunto de dados estatísticos dos
habitantes de uma localidade com todas as suas
características,
Charada Espécie de enigma, problema.
Comutativa De comutar, trocar.
Concessionária Empresa a que foi dada a
permissão de comercializar certo produto.
Conjunto solução da equação E o
subconjunto do conjunto universo cujos
elementos que tornam verdadeira a equacã0.
x-
Conjunto universo da equação Conjunto
formado por todos os elementos que a incógnita
pode assumir em uma dada situacão-problema.
x+2:6
U : {0, I,2,3,4,51
Conjunto verdade da equacão 0 mesmo
que conjunto soluçã0.
Densidade de um corpo larazão entre a
massa desse corpo e o seu volume.
Densidade demográfica de uma região I a
razão entre o número de habitantes e a área
ocupada pela regiã0.
S:
313
D
Diagonal de um polígono Num polígono,
segmento de reta que une um vértice a outro
não-consecutivo.
Diferença Resultado da subtracão de dois
números.
Dividendo Numa divisã0, a quantidade que se
divide por outra.
Divisão Operacão empregada quando
precisamos dividir uma quantidade em partes
iguais ou quando precisamos saber quantas
vezes uma quantidade cabe em outra.
Divisor Número pelo qual se divide outro.
L
Equacão Sentença matemática expressa por
uma igualdade na qual há uma ou mais letras
que representam números desconhecidos.
3x + 10: 4x
4x: -40
Escala de um desenho larazão entre o
comprimento considerado no desenho e o
correspondente comprimento real.
Estatística Parte da Matemática que estuda os
métodos utilizados na obtenção de dados sobre
uma população ou colecã0, analisa esses dados,
e os rrrganiza na forma de tabelas e gráficos.
Estatuto Regulamento.
Evolução Movimento em determinada direcã0.
1f,2x- ' :3x-'23
Expectativa (de vida) Esperanca de vida ao
nascer.
Exportar Transportar paraÍora dcl país,
estado ou município os produtos Íabricados.
Fatores Cada um dos números errvolvidos
numa multiplicaçã0.
Fraude Falsificaçã0.
I
IBGE Sigla de Fundacão lnstituto Brasileiro de
Geogr afia e Estatística.
lmagem geométrica de um número Cada
um dos pontos de uma reta numérir;a associado
a um número.
Irredutível Que não se pode reduzir ou
decompor.
J
Juro Rendimento de capital investido.
Manipular (a memória da calculadora)
Fazer funcionar.
Média aritmética 0 quociente da soma de n
valores por n.
Miniatura Qualquer coisa em tamanho
reduzido.
314
Minuendo Número do qual se subtrai outro.
Móbile Estrutura móvel formada de material
leve suspensa no espaco por Íios.
Módulo de um número inteiro É a distância
ou afastamento desse número até o zero na reta
numérica inteira.
Multiplicação 0peracãoempregada quando
precisamos adicionar parcelas iguais.
N
Números inteiros opostos ou simétricos
São dois números inteiros que estão associados
a pontos que estão à mesma distância do zero,
situados em lados opostos da reta.
Números quadrados perfeitos Números
naturais que são quadrados de outros números
natu ra is.
t44 729 1 600
8 100
Paralelogramos Quadriláteros que possuem
os lados opostos paralelos e congruentes.
Parcela Cada um dos números envolvidos
numa adicã0.
9
Pirâmide Figura espacial em que a base é
sempre um polígono qualquer, enquanto as
outras faces são triângulos que devem ter um
vértice comum.
Polígono E a reunião de uma linha fechada
simples, formada apenas por segmentos de
reta, com a região interior a essa linha.
Potência É o nome dado à expressão an (a é
um número racional e n é um número natural,
sendo n > 1). A expressão an representa uma
multiplicação de n fatores iguais ao número a.
Produto Resultado da multiplicacã0.
a
Quadrado Paralelogramo em que todos os
ângulos são retos e todos os lados têm a
mesma medida.
Quadriláteros São polígonos de quatro lados.
Quociente Resultado da divisão de uma
quantidade por outra.
R
Raiz quadrada de um número Cada um dos
dois fatores positivos e iguais em que esse
número pode ser decomposto.
Resto Numa divisã0, é a diferenca entre o
dividendo e o produto do divisor pelo quociente.
315
Sottware Qualquer programa ou conjunto de
programas de computador.
Soma Resultado