Lista de Exerciciso - algebra Linear (36)

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Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
8. Prove que o produto de dois números inteiros é impar se, e somente se, ambos os números
são ı́mpares.
Solução:
(⇒)
Admita dois números ı́mpares p e q tal que p = 2k + 1 e q = 2k′ + 1.
Fazendo p · q
p · q = (2k + 1)(2k′ + 1)
= 4kk′ + 2k + 2k′ + 1 = 2(2kk′ + k + k′) + 1
(⇐)
Considere um número w = pq. Onde w é um número ı́mpar. Supondo por absurdo que p
e/ou q são pares chegamos ao absurdo de que w é par. Assim, p e q devem ser ı́mpares.
9. Prove que, quaisquer que sejam os inteiros a e b, a expressão a+ b+ a2 + b2 representa um
par.
Solução:
Se a é par, a2 também é par, mas se a é ı́mpar, a2 também é ı́mpar. O mesmo acontece com
b e b2.
Sendo assim, a2+a é um número par e b2+b também é um número par e portanto, a2+a+b2+b
também é par.
10. Na divisão euclidiana de 802 por a, o quociente é 14. Determine os valores posśıveis de
a e do resto.
Solução:
Pelo algoritmo de divisão euclidiana 802 = 14a+ r com 0 ≤ r