Exercicios (1001)-mesclado-118

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
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Parte I 
Capítulo 1 Conjuntos 
PAIVA
 
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1 MANOEL 
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TEXTO COMPLEMENTAR
Teoremas sobre 
números inteiros
Qualquer propriedade da Matemática que pode ser 
demonstrada é chamada de teorema. Neste item, estuda-
remos as demonstrações de alguns teoremas envolvendo 
números inteiros.
Demonstrações de um teorema 
da forma p ] q
Em todo teorema que apresenta uma afirmação p da 
qual se pode concluir uma afirmação q, as afirmações p e q 
são chamadas, respectivamente, de hipótese e tese, sendo 
o teorema representado por p ] q. Essa sentença pode ser 
lida das seguintes formas:
• p implica q;
• se p, então q;
• p é condição suficiente para q;
• q é condição necessária para p.
Por exemplo, a propriedade “Se k é um número inteiro 
par, então k 1 1 é um número inteiro ímpar” é um teorema 
da forma p ] q, onde p é a sentença “k é um número inteiro 
par”, e q é a sentença “k 1 1 é um número inteiro ímpar”.
A ideia fundamental para a demonstração de teoremas 
do tipo p ] q é:
Se o fato de uma afirmação p ser verdadeira garantir 
que outra afirmação q também é verdadeira, então a 
sentença p ] q é verdadeira.
Exercícios resolvidos
1 Demonstre que: “se a e b são números pares, en-
tão a 1 b é um número par”.
Resolução
Uma técnica de demonstração de um teorema do 
tipo p ] q consiste em deduzir a tese q a partir da 
hipótese p, isto é, admite-se que a hipótese p é verda-
deira e conclui-se a tese q. Essa técnica de demons-
tração é chamada de demonstração direta.
Assim, admitindo-se que a e b são números pares, 
temos, por definição, que a 5 2n e b 5 2k, com 
{n, k} - b.
Logo: a 1 b 5 2n 1 2k 5 2(n 1 k)
Como a soma de dois números inteiros é um 
número inteiro (propriedade P3), temos que 
n 1 k é um número inteiro e, portanto, 2(n 1 k) é 
um número par. 
Logo, a 1 b é um número par.
(Nota: a sentença “se a e b são números pares, 
então a 1 b é um número par” poderia ter sido 
enunciada de outra forma, por exemplo, “a soma 
de dois números pares é um número par”.)
2 Sendo x um número inteiro, demonstra-se que: 
“se x2 é ímpar, então x é ímpar”.
Resolução
Outra técnica de demonstração de um teorema 
do tipo p ] q consiste em anexar à hipótese 
p a negação da tese q (essa negação é indicada 
por 8q) e provar que, ao se admitir como ver-
dadeira a “nova hipótese” p e 8q, chega-se a 
um absurdo, com o que se conclui que p ] q. 
Essa técnica de demonstração é chamada de 
demonstração indireta ou demonstração por 
absurdo.
A negação da tese é x não é ímpar, ou seja, x é 
par, pois x é inteiro. Anexando essa negação à 
hipótese x2 é ímpar, temos a “nova hipótese”: 
x2 é ímpar e x é par.
Sendo x um número par, temos, por definição, 
que x 5 2n, com n 9 b. Assim:
x2 5 (2n)2 ] x2 5 4n2
} x2 5 2(2n2)
Como 2n2 é um número inteiro, deduzimos que 
2(2n2) é um número par, ou seja, x2 é um número 
par. O que é um absurdo, pois, por hipótese, x2 é 
um número ímpar.
Como, admitindo que x é par chega-se a um ab-
surdo, concluímos que o número inteiro x não 
poder ser par e, portanto, x é ímpar.
Demonstrações de um teorema 
da forma p ] q
Observe que são verdadeiras as duas implicações: 
• x 2 3 5 0 ] x 5 3
• x 5 3 ] x 2 3 5 0
Pelo fato de essas duas implicações serem verdadeiras, 
dizemos que as sentenças x 2 3 5 0 e x 5 3 são equivalentes 
e escrevemos x 2 3 5 0 [ x 5 3. 
Generalizando:
Duas sentenças p e q, tais que p ] q e q ] p, são 
chamadas de sentenças equivalentes. Indica-se essa equi-
valência por p [ q.
A dupla implicação p [ q pode ser lida das seguintes 
formas:
• p equivale a q;
• p, se e somente se, q;
• p é condição necessária e suficiente para q;
• q é condição necessária e suficiente para q.
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Exemplos
a) x 5 3 [ 2x 5 6
 Essa sentença é verdadeira, pois são verdadeiras as duas implicações:
 x 5 3 ] 2x 5 6 e 2x 5 6 ] x 5 3
b) x 5 5 [ x2 5 25
 Essa sentença é falsa, pois é falsa a implicação x2 5 25 ] x 5 5.
c) Demonstrar que o quadrado de um número inteiro é par se, e somente se, 
esse número é par, isto é, x2 é par [ x é par, com x 9 b.
 Resolução
 A proposição “x2 é par [ x é par, com x 9 b” pode ser decomposta nas 
duas proposições:
 x é par ] x2 é par, com x 9 b (I) e
 x2 é par ] x é par, com x 9 b (II)
 Demonstração de (I):
• Pela hipótese, x é par; logo, podemos representar x por x 5 2n, com n 9 b. 
Então: x2 5 (2n)2 5 4n2 5 2 3 2n2
• Como, por P5, 2n2 é inteiro, concluímos que 2 3 2n2 é par.
 Assim, demonstramos que x2 é par.
 Demonstração de (II):
 Faremos essa demonstração por absurdo.
• Consideramos que x não seja par, isto é, que x seja ímpar. Então, podemos 
representar x por x 5 2n 1 1, com n 9 b.
 Assim:
 x2 5 (2n 1 1)2 5 4n2 1 4n 1 1 5 2(2n2 1 2n) 1 1
• Como por P3 e por P5, (2n2 1 2n) é inteiro, então x2 5 2(2n2 1 2n) 1 1 é 
impar.
 Mas isso é um absurdo, pois, por hipótese, x2 é par. Como, admitindo x 
ímpar, chegamos a um absurdo, concluímos que x não pode ser ímpar, 
portanto x é par.
 Assim, está demostrada a parte (II).
 Pela demonstração de (I) e (II), provamos que:
 x2 é par [ x é par, com x 9 b
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Capítulo 1 Conjuntos 
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TEXTO COMPLEMENTAR
Demonstrações adotando 
símbolos matemáticos
Veremos novamente a demonstração da propriedade P1 da união de conjuntos 
e da P1 da diferença de conjuntos, agora adotando os símbolos matemáticos.
Se B é subconjunto de A, então A 0 B 5 A e, se A 0 B 5 A, então B é subcon-
junto de A. Ou seja: B - A [ A 0 B 5 A
Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos: B - A [ B 2 A 5 ~
Demonstração
A sentença B - A [ A 0 B 5 A pode ser decomposta em duas sentenças:
Demonstração
A sentença B - A [ B 2 A 5 ~ pode ser decomposta em duas sentenças:
B - A ] A 0 B 5 A
(I)
A 0 B 5 A ] B - A
(II)
B - A ] B 2 A 5 ~
(I)
B 2 A 5 ~ ] B - A
(II)
Demonstração de (I):
• x 9 A ] x 9 (A 0 B); logo, A - (A 0 B).
• x 9 (A 0 B) ] x 9 A ou x 9 B, mas como B - A, temos:
 x 9 (A 0 B) ] x 9 A; logo (A 0 B) - A.
Assim, provamos que A - (A 0 B) e (A 0 B) - A.
Logo, podemos concluir que (A 0 B) 5 A.
Demonstração de (II):
• x 9 B ] x 9 (A 0 B), mas como A 0 B 5 A, temos x 9 B ] x 9 A; logo B - A.
As demonstrações de (I) e (II) permitem concluir que: B - A [ A 0 B 5 A
Demonstração de (I):
x 9 (B 2 A) ] x 9 B e x ( A, mas como B - A, não existe x tal que x 9 B e 
x ( A.
Portanto, B 2 A 5 ~.
Demonstração de (II):
Se B 2 A 5 ~, então x 9 B ] x 9 A, ou seja, B - A.
As demonstrações de (I) e (II) permitem concluir que: B - A [ B 2 A 5 ~
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Capítulo 1 Conjuntos 
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TEXTO COMPLEMENTAR
Vamos demonstrar que a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 não é 
um número racional.
Demonstração
A medida d da diagonal de um quadrado de lado 1 é dada por: 
d2 5 12 1 12 ] d2 5 2
Precisamos mostrar que d não é racional. Para isso, faremos uma demonstração 
por absurdo.
Suponhamos que existam dois números inteiros p e q, com q % 0, tal que @ p __ q # 2 5 2.
Podemos admitir, sem perda de generalidade, que a fração 
p
 __ q é irredutível, isto é, 
mdc(p, q) 5 1. Assim, temos apenas dois casos a considerar: p é par ou p é ímpar.
1o caso
Sendo p um número par, podemos representá-lo por p 5 2n, como n 9 b. 
Assim: @ 2n ___ q # 2 5 2 ] 4n2 5 2q2
} 2n2 5 q2
Note que q2 é par, pois 2n2 é par. Além disso, q é par, pois o quadrado de um número 
inteiro é par se, e somente se, esse número é par. Essa conclusão é absurda, pois, 
sendo p e q números pares, a fração 
p
 __ q não é irredutível. Logo, o primeiro caso não 
pode ocorrer.
2o caso
Sendo p um número ímpar, podemos representá-lo por q 5 2n 1 1, com n 9 b. 
Assim:
 @ 2n 1 1 _______ q # 2 5 2 ] (2n 1 1)2 5 2q2
O quadrado de um número ímpar é sempreímpar, logo (2n 1 1)2 é ímpar. Então, 
temos:
Essa última igualdade é absurda, pois não existe um número que seja par e ímpar 
simultaneamente. Logo, o segundo caso também não pode ocorrer.
Como não é possível nenhum dos dois casos, concluímos que não existe nenhum 
racional 
p
 __ q cujo quadrado seja igual a 2. Assim, demonstramos que a medida da 
diagonal de um quadrado de lado 1 não é um número racional.
(2n 1 1)2 5 2q2
ímpar par