Lista de Exerciciso - algebra Linear (46)

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Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
p = 9q2 + 6q + 3
p = 3(3q2 + 2q + 1)
Como p é primo então (3q2 + 2q + 1) = 1. Contudo, essa equação possui somente
uma solução inteira que ocorre para q = 0. O que implicaria em n = 3(0) + 1 = 1.
• Se p = (3q)2 + 2 então, claramente n é múltiplo de 3.
Portanto, se p = n2 + 1 é primo então, ou n = 1 ou n é múltiplo de três. Como se queria
demonstrar.
31. Qual é o menor numero inteiro positivo que tem 15 divisores?
Sugestão: Se a = pα1
1 pα2
2 ...pαm
m é a decomposição do número procurado em fatores primos,
então 15 = (α1 + 1)(α2 + 1)...(αm + 1). Observe que só há duas maneira (salvo quanto à ordem)
de decompor 15 em fatores inteiros positivos.
Solução:
Fatorando o número 15 chegamos ao seguinte:
15 = 3 · 5
15 = (2 + 1)(4 + 1)
Sendo assim, o número procurado terá a forma
a = p21 · p42
Como desejamos o menor inteiro e como p1 e p2 são primos então fica claro que os valores de
p1 e p2 são primos, então os valores de p1 e p2 serão 3 e 2, respectivamente. Sendo assim:
a = 32 · 24
= 144
32. Demonstre que o conjunto dos números primos positivos é infinito.
A primeira demonstração conhecida desse resultado, alias a mesma que esboçaremos a seguir,
foi dada por Euclides em seus Elementos.
Esboço da demonstração: Suponha que esse conjunto fosse finito: digamos que seus elementos
fossem p1, p2, ..., pn. Construa o número p = p1p2...pn + 1. Esse numero não é nenhum dos pi,
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