Volume 6-5-41

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Paradoxo das gêmeas
Assista ao vídeo para entender mais o fenômeno da dilatação 
do tempo. Nele você verá o famoso experimento mental proposto 
por Einstein para exemplificar a teoria da dilatação do tempo, 
e ainda verá como esse fenômeno afeta os satélites de GPS e a 
importância da correção do tempo registrado por eles. Aproveite!
Introdução à Relatividade Especial
FÍ
SI
C
A
91Bernoulli Sistema de Ensino
Quando a velocidade de um corpo é comparável à velocidade 
da luz, o fator γ é suficientemente maior que 1, de modo que 
a dilatação do tempo é perceptível. Para exemplificar esse 
fenômeno, considere que a nave da figura 3 se afaste da Terra 
com velocidade v = 0,6c. O astronauta comunica à estação 
de controle terrestre que ele vai descansar durante 1 hora. 
Na Terra, quanto tempo irá durar o descanso? A resposta não 
é 1 hora, pois o início e o fim do descanso não ocorrem na 
mesma posição no referencial terrestre. Portanto, o tempo 
terrestre é dilatado do fator de Lorentz, que vale:
γ = = =1/ 1 0,6 1/0,8 1,25_ 2
Então, Δt = 1,25.Δt’ = 1,25 . 1h = 1,25 h.
Portanto, o descanso medido na Terra é de 1,25 h.
Contração do comprimento
Um fenômeno diretamente relacionado à dilatação do 
tempo é a contração do comprimento. Para explicarmos 
esse conceito, observe a grande régua da figura 3. 
O comprimento da régua medido no referencial S, no 
qual ela se acha em repouso, é chamado de comprimento 
próprio LP. Ana Lúcia pode calcular esse comprimento 
usando a expressão LP = v.Δt, em que v é a velocidade da 
nave, e Δt é o tempo que a nave leva para se deslocar de 
xA até xB (posições alinhadas com as extremidades da régua). 
De dentro da nave, o astronauta vê a Terra passando com 
uma velocidade –v (o sinal negativo indica que o sentido 
de movimento da Terra é oposto ao da nave). De forma 
semelhante, o astronauta pode calcular o comprimento 
da régua pela expressão L = vΔt’. Para ele, as passagens 
das extremidades da régua pela nave ocorrem em uma 
mesma posição do seu referencial S’. Por isso, o tempo Δt’ 
medido por ele é menor que o tempo Δt medido por Ana 
Lúcia. Como consequência disso, o astronauta vê a barra 
contraída. É fácil mostrar que o fator de contração do 
comprimento vale 1/γ. Assim, se a nave se move com uma 
velocidade v = 0,6c (ou seja, 1/γ = 0,8) e o comprimento 
próprio da régua for LP = 10 m, o astronauta verá a régua 
com o comprimento L = LP(1/γ) = 10 . 0,8 = 8 m.
Agora, imagine que o astronauta veja a sua nave com 
um comprimento de 3 m e uma altura de 2 m. Esses 
são os comprimentos próprios da nave, pois ela está em 
repouso em relação ao astronauta. Da Terra, Ana Lúcia vê a 
nave contraída com um comprimento L = 3 . 0,8 = 2,4 m. 
Como a nave não apresenta movimento na direção vertical (y), 
a altura da nave não é contraída. Portanto, Ana Lúcia vê 
a nave com a sua altura própria, de 2 m. Logo, podemos 
concluir que, assim como na dilatação do tempo, a contração 
do comprimento é percebida nos referenciais em movimento 
em relação ao objeto de medida.
Adição relativística de velocidades
Considere um trem que se afasta com velocidade de 
60 km/h de uma estação. Se um passageiro caminhar 
com velocidade de 1 km/h em relação ao trem no sentido 
do seu movimento, alguém parado na estação verá 
o passageiro se afastando com a velocidade de 61 km/h. 
Para pequenas velocidades, o cálculo por meio da simples 
adição ou subtração das velocidades é adequado. Porém, para 
velocidades comparáveis à velocidade da luz, o cálculo feito 
dessa maneira não fornece resultados corretos. Por exemplo, 
considere uma nave se afastando de uma estação espacial 
com uma velocidade v1 = 0,4c (c é a velocidade da luz). 
Dentro da nave, um elétron é emitido no mesmo sentido do 
movimento da nave com uma velocidade v2 = 0,8c em relação 
à nave. Qual é a velocidade do elétron em relação à estação? 
A adição simples das velocidades nos conduz à seguinte 
resposta: 0,4c + 0,8c = 1,2c. Porém, essa velocidade é maior 
que a velocidade da luz, o que é impossível de acordo com 
a Teoria da Relatividade. No caso de as velocidades serem 
comparáveis à velocidade da luz, devemos usar a seguinte 
equação relativística de adição de velocidades (não vamos 
deduzir a equação, tampouco você precisa memorizá-la):
v
v v
v v c
=
+
+
1 2
1 2
21 ( )/
Substituindo as velocidades do elétron e da nave nessa 
expressão, obtemos:
=
+
+
=v 0,4c 0,8c
1 (0,4c . 0,8c / c )
0,91c
2
Agora, o resultado é possível. Um cientista na estação 
espacial detecta o elétron se afastando dele com uma 
velocidade muito alta, porém inferior à velocidade da luz. 
Podemos usar a equação anterior para calcular a 
velocidade da luz no seguinte caso. Em vez do elétron, 
imagine que um pulso de luz seja disparado de dentro 
da nave com a velocidade v2 = c e no mesmo sentido da 
velocidade v1 = 0,4c da nave. A velocidade do pulso luminoso 
em relação à estação pode ser obtida substituindo-se as 
velocidades da nave e do pulso na equação anterior. Isso 
nos leva ao seguinte resultado:
v c c
c c c
c c= +
+
= =0 4
1 0 4
1 4
1 42
,
( , . )
,
,/
Assim, a velocidade do pulso de luz em relação à estação 
também vale c, o que é consistente com o 2º Postulado da 
Teoria da Relatividade.
Por último, destacamos o fato de que a equação relativística 
de adição de velocidades se reduz à equação clássica 
quando as velocidades são pequenas. Nessas situações, 
o produto v1.v2 é muito menor que c2. Por isso, o termo 
entre parênteses na equação relativística é praticamente 
zero, o denominador se iguala a 1 e a velocidade v 
se iguala à soma algébrica simples de v1 e v2.
https://youtu.be/kjHNZ5uyQ10
Frente C Módulo 18
92 Coleção 6V
A energia relativística
No início do século XX, os princípios da conservação da 
energia e da massa eram conceitos distintos. Basicamente, 
o Princípio da Conservação da Energia envolvia os processos 
mecânicos, térmicos, químicos e eletromagnéticos. De outro 
lado, a Conservação da Massa se aplicava à não modificação da 
massa em transformações físicas (ebulição, forjamento, etc.) 
e químicas (oxidação, combustão, etc.).
No desenvolvimento da Teoria da Relatividade, Einstein 
concluiu que a matéria em si é uma forma de energia. Com essa 
ideia, Einstein unificou os princípios da conservação da energia 
e da massa em um único conceito. De acordo com a Teoria da 
Relatividade, um corpo de massa m possui uma energia, que 
se deve a essa massa, dada pela seguinte equação:
E = mc2
Essa energia é chamada de energia de repouso. 
Naturalmente, se um corpo está em movimento, além da 
parcela mc2, o corpo também possuirá uma parcela de 
energia cinética. A energia de repouso, quando liberada, 
aparece na forma de energia eletromagnética. Como 
a velocidade da luz é muito grande e como aparece elevada 
ao quadrado na equação anterior, podemos verificar, por meio 
de cálculos simples, o gigantesco potencial energético da 
massa. Imagine, por exemplo, que uma massa igual a 1 kg 
tenha sido integralmente convertida em energia. 
De acordo com Einstein, essa energia possui um valor igual 
a 1,0(3 . 108)2 joules ou 2,5 . 1010 kWh. A um custo de 
50 centavos o kWh, essa energia vale 12,5 bilhões de reais.
Não é simples converter grandes quantidades de massa 
em energia. Na natureza, parcelas ínfimas de massas 
atômicas são transformadas em energia. Quando a taxa 
de átomos mutantes é elevada, a energia gerada pode ser 
muito grande. É dessa forma que ocorre a produção de 
energia nas estrelas, nas quais núcleos leves de hidrogênio 
se fundem, transformando-se em núcleos de hélio (fusão 
nuclear). A conversão de massa em energia também explica 
a geração de energia nas usinas nucleares, nas quais núcleos 
pesados de urânio são quebrados em núcleos mais leves 
(fissão nuclear).
De forma inversa, a energia eletromagnética também pode 
ser convertida em massa. Por exemplo, a figura 4 mostra 
o processo de formação de pares elétron/pósitron em que 
dois fótons de radiação gama colidem, convertendo as 
suasenergias nas massas das duas partículas produzidas: 
um elétron (e−) e um pósitron (e+). O pósitron (antipartícula 
do elétron) possui a mesma massa e carga de mesmo módulo 
que o elétron, tendo, contudo, carga positiva.
Fóton de 
radiação gama
Fóton de 
radiação gama
e
e
+
_
Pósitron
Elétron
Figura 4. A produção de pares é um exemplo de conversão de 
energia em massa.
As massas dos fótons são nulas. As massas do elétron 
e do pósitron valem, cada uma, m = 9,1 . 10–31 kg. Essas 
massas surgem das energias dos fótons, cuja soma vale 
2hf (h = 6,6 . 10–34 J.s é a constante de Planck, e f é a 
frequência de cada fóton). Igualando 2hf com a energia 
de repouso E = 2mc2 das duas partículas, obtemos para 
a frequência dos fotóns o valor f = 1,24 . 1020 Hz. Veja que esse 
valor de frequência está inserido na faixa da radiação gama.
Ao efetuarmos o cálculo relativo ao processo de produção 
do par elétron/pósitron, igualamos a energia hf de cada 
fóton à energia mc2 de cada partícula e, por consequência, 
desprezamos a energia cinética EC das partículas. Nas 
situações em que essa energia é expressiva, devemos efetuar 
os cálculos considerando a energia total, que é dada por:
E = EC + mc2
Para velocidades comparáveis à velocidade da luz, 
a energia cinética não pode ser calculada pela equação clássica 
EC = mv2/2. Considerando os efeitos relativísticos, é possível 
provar que a energia cinética de uma partícula é dada por:
EC = (γ – 1)m.c2
Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos 
uma expressão para a energia relativística total:
E = (γ – 1)mc2 + mc2 = γ.mc2
Na produção do par elétron/pósitron descrito anteriormente, 
as velocidades das partículas são pequenas, de forma que 
γ = 1. Por isso, a energia total pôde ser aproximada por E = mc2.
Em alguns textos sobre a Teoria da Relatividade, 
a quantidade de movimento de uma partícula é expressa 
pela equação clássica Q = mv, em que a massa é dada por 
m = γm0. Desse ponto de vista, a massa é relativística e 
aumenta com a velocidade. Para a partícula em repouso, γ = 1, 
e a sua massa vale m0 (massa de repouso). Para a partícula 
em movimento, γ > 1, e a massa vale m > m0. Atualmente, 
entende-se que a massa é uma propriedade física da matéria, 
tendo o mesmo valor em todos os referenciais. Nesse caso, 
a quantidade de movimento é dada por Q = γmv. Quando 
a velocidade de uma partícula aumenta, a sua quantidade de 
movimento também aumenta, pois tanto v quanto o fator γ 
crescem. Contudo, a massa da partícula permanece constante. 
Você deve ficar atento, pois, em alguns exames, o conceito da 
massa relativística ainda é usado.
RADIOATIVIDADE
Descoberta e constituição da 
radioatividade
Em 1896, Antoine Becquerel descobriu acidentalmente 
a radioatividade, quando colocou sais de urânio dentro 
de uma caixa fechada, na qual também havia uma placa 
fotográfica. Apesar de o interior da caixa ser escuro, 
no dia seguinte, Becquerel verificou que a placa havia 
sido sensibilizada por algum tipo de radiação. Ele concluiu 
corretamente que o urânio tinha a propriedade de emitir 
espontaneamente essa radiação. Em seguida, diversos 
cientistas se dedicaram ao estudo da radiação emitida 
espontaneamente por corpos frios. Entre eles, destacam-se 
os nomes de Pierre e Marie Curie.