fazendo acontecer X0

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63. **Questão 63:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 **Explicação:** A integral é dada por: 
 \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C. \] 
 
64. **Questão 64:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{4x^3 - 5} \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^3 \): 
 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{4 - \frac{5}{x^3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \] 
 
65. **Questão 65:** Calcule a integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - 4x^2 + x + C \) 
 c) \( x^3 - 4x + C \) 
 d) \( x^3 - 2x^2 + 4 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C. \] 
 
66. **Questão 66:** Determine a derivada de \( f(x) = e^{2x} \sin(x) \). 
 a) \( 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \) 
 b) \( e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) \) 
 c) \( 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \) 
 d) \( 2e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: 
 \[ f'(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) + 2e^{2x} \cdot \cos(x). \] 
 
67. **Questão 67:** Calcule a integral \( \int (2x + 3)(x - 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - x + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - \frac{3}{2} x + C \) 
 d) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2} x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - x + C \) 
 **Explicação:** Expandindo a integral: 
 \[ \int (2x^2 + x - 3) \, dx = \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x + C. \] 
 
68. **Questão 68:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
 \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2. \] 
 
69. **Questão 69:** Calcule a integral \( \int (x^3 + 2x^2 - 3x + 5) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 5x + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{3}{2} x + 5 + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{3}{2} x + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - 3x + 5 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 5x + C \) 
 **Explicação:** A primitiva é: 
 \[ \int (x^3 + 2x^2 - 3x + 5) \, dx = \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 5x + C. 
\] 
 
70. **Questão 70:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{3x}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + 1}. \] 
 
71. **Questão 71:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 b) \( -\frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) 
 d) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) 
 **Explicação:** A integral é dada por: 
 \[ \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C. \] 
 
72. **Questão 72:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -1 \) 
 c) \( -2 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** c) \( -2 \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor: 
 \[ \cos(2x) \approx 1 - 2x^2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{-2x^2}{x^2} = -2. \] 
 
73. **Questão 73:** Calcule a integral \( \int (x^2 + 1) e^{x^2} \, dx \).