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\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[x - 
\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}. 
 \] 
 
12. **Questão 12**: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\), temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3. 
 \] 
 
13. **Questão 13**: Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx\). 
 a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x^2 + 3x + C\) 
 c) \(x^3 - 4x^2 + x + C\) 
 d) \(x^3 - 4x^2 + 3x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 3x^2 \, dx = x^3, \quad \int -4x \, dx = -2x^2, \quad \int 1 \, dx = x. 
 \] 
 
14. **Questão 14**: Determine a derivada de \(h(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). 
 a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(-\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) 
 d) \(\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta**: a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra do quociente, temos: 
 \[ 
 h'(x) = \frac{(0)(x^2 + 1) - (1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}. 
 \] 
 
15. **Questão 15**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 3x) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\). 
Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2}\right] - \left[0\right] = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + 
\frac{18}{12} = \frac{1}{4} + \frac{10}{12} = \frac{1}{4} + \frac{5}{6} = 2. 
 \] 
 
16. **Questão 16**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2}{3x^3 - 4}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x^3\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^3}} = \frac{1}{3}. 
 \] 
 
17. **Questão 17**: Calcule a integral \(\int (5x^4 - 3x^3 + 2) \, dx\). 
 a) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\) 
 b) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + x + C\) 
 c) \(x^5 - \frac{3}{5}x^4 + 2x + C\) 
 d) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 3x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 5x^4 \, dx = x^5, \quad \int -3x^3 \, dx = -\frac{3}{4}x^4, \quad \int 2 \, dx = 2x. 
 \] 
 
18. **Questão 18**: Determine a derivada de \(k(x) = \sqrt{x^3 + 1}\). 
 a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 b) \(\frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 c) \(\frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 d) \(\frac{3}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\sqrt{u}\) é \(\frac{1}{2\sqrt{u}} 
\cdot u'\), onde \(u = x^3 + 1\) e \(u' = 3x^2\). Portanto, 
 \[ 
 k'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}. 
 \] 
 
19. **Questão 19**: Calcule a integral \(\int_1^3 (x^2 - 4x + 4) \, dx\). 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 6 
 d) 8 
 **Resposta**: b) 4 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x\). Avaliando de 1 a 3: 
 \[ 
 \left[\frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 4(3)\right] - \left[\frac{1^3}{3} - 2(1^2) + 4(1)\right] = (9 - 18 + 
12) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 4\right) = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}. 
 \]