gl algorimo

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**Resposta:** A) \( 2 \) 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2. 
\] 
 
**Questão 27:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)? 
A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
C) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
D) \( \frac{1}{3x^2} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}. 
\] 
 
**Questão 28:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
B) \( 5x^5 - x^3 + 2x + C \) 
C) \( 5x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
D) \( 5x^5 - x^3 + 2 + C \) 
**Resposta:** A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = x^5 - x^3 + 2x + C. 
\] 
 
**Questão 29:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 3x^3 + 2x) \, dx \). 
A) \( 0 \) 
B) \( \frac{1}{6} \) 
C) \( \frac{1}{3} \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta:** B) \( \frac{1}{6} \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (x^5 - 3x^3 + 2x) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{3x^4}{4} + x. 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
F(1) - F(0) = \left( \frac{1}{6} - \frac{3}{4} + 1 \right) = \frac{1}{6} - \frac{9}{12} + \frac{12}{12} = 
\frac{1 - 9 + 12}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. 
\] 
 
**Questão 30:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
A) \( \frac{1}{6} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{6} \) 
**Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \): 
\[ 
\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5). 
\] 
Portanto, \( x - \sin(x) = \frac{x^3}{6} + O(x^5) \): 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = 
\frac{1}{6}. 
\] 
 
**Questão 31:** Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
A) \( 2xe^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( x e^{x^2} \) 
D) \( 2e^{x^2} \) 
**Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2xe^{x^2}. 
\] 
 
**Questão 32:** Calcule a integral \( \int (7x^6 - 4x^3 + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{7}{7}x^7 - \frac{4}{4}x^4 + x + C \) 
B) \( x^7 - x^4 + x + C \) 
C) \( 7x^7 - x^4 + x + C \) 
D) \( 7x^7 - 4x^4 + x + C \) 
**Resposta:** D) \( 7x^7 - 4x^4 + x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (7x^6 - 4x^3 + 1) \, dx = \frac{7}{7}x^7 - \frac{4}{4}x^4 + x + C = x^7 - x^4 + x + C. 
\] 
 
**Questão 33:** Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( 1 \) 
C) \( \frac{5}{12} \) 
D) \( \frac{1}{3} \) 
**Resposta:** B) \( 1 \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (3x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{3}{4}x^4 - x^2 + x. 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[