Teoria da Elasticidade em Cilindros

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Departamento de Engenharia MecânicaDepartamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
(Solução de Lamé)
Prof. Arthur Braga
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
P blProblema
Corpo sujeito a ação de 
esforços e ternos (forças
F1
F2
F8
F1
F2
F8
esforços externos (forças, 
momentos, etc.) F3F7 F3F7
D t i F4
F6
F4
F6
Determinar
• Esforços internos (tensões)
D f õ
F5F5
• Deformações
• Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
• Equações de EquilíbrioEquações de Equilíbrio
0 xzxyxx  0 zyx
xzyxx
 
0



zyx
yzyyxy 
0



zyx
zzyzxz 
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformaçõesRelações entre deslocamentos e deformações
   uu11
u
x
ux
xx



 







uu
x
u
y
u yx
xyxy
11
2
1
2
1 
u
y
uy
yy



 






uu
x
u
z
u zx
xzxz
11
2
1
2
1 
z
uz
zz 
 






y
u
z
u zy
yzyz 2
1
2
1 
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
Tzzyyxxxx   xy 
T
EEE
EEE
zzyyxx
yy
xx
 

G
G
xz
xz
xy
2
2



T
EEE
EEE
zzyyxx
zz
yy
 
G
G
yz
yz
xz
2
2
 
EEE G2
 
EG
Mecânica dos Sólidos II
 12G
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
• 15 Equaçõesq ç
– Equilíbrio (3)
– Deformação vs. Deslocamentos (6)
F1
F2
F8
F1
F2
F8
– Tensão vs. Deformação (6)
• 15 Variáveis:
F3
F7
F3
F7
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
 ,,,,,
,,
F4
F
F4
F
• Condições de contorno
yzxzxyzzyyxx  ,,,,,
F5
F6
F5
F6
Mecânica dos Sólidos II
• Condições de contorno
Teoria de Vigas
z 3D
Teoria de Vigas
q(x)
3D
x
y
n(x)Teoria de Vigas
(aproximação)
q(x)
n(x)
1D
Mecânica dos Sólidos II
x
Cilindros de Paredes GrossasCilindros de Paredes Grossas
b 
p
0
a pi
po
0
Mecânica dos Sólidos II
0
Cilindros de Paredes GrossasCilindros de Paredes Grossas
Coordenadas CilíndricasCoordenadas Cilíndricas
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes GrossasCilindros de Paredes Grossas
Tensões em Coordenadas CilíndricasTensões em Coordenadas Cilíndricas
  zz
 z
 



 zr
rzrrr


 

 rrz
rz
 r zzzrz  
rrz
Mecânica dos Sólidos II
EquilíbrioEquilíbrio
Coordenadas CilíndricasCoordenadas Cilíndricas
01  rrrzrrr   0 rzrr 
021
 rzr   021 


rzrr
rzr  


1   01 



rzrr
rzzzzrz 

 
Mecânica dos Sólidos II
Relações Deslocamentos vs. DeformaçõesRelações Deslocamentos vs. Deformações
Coordenadas CilindricasCoordenadas Cilindricas
   uuu  111
uu
r
ur
rr



1  


 


uu
r
uu
rr
u r
rr

 
11
1
2
1
2
1
u
r
uu
r
r


 


1
 






uu
r
u
z
u zr
rzrz 
111
2
1
2
1
z
uz
zz 
 





z
uu
r
z
zz

 
1
2
1
2
1
Mecânica dos Sólidos II
Relações Tensões vs. Deformações
(E C i i )(Eq. Constitutivas)
Coordenadas CilíndricasCoordenadas Cilíndricas
Tzzrr    rr   
T
EEE
T
EEE
zzrr
rr





 G
G
z
z
r
2
2
 


T
EEE
EEE
zzrr
zz   

G
G
rz
rz
z
2
2



EEE G2
 
EG
Mecânica dos Sólidos II
 12G
Cilindros de Paredes GrossasCilindros de Paredes Grossas
b 
p
0
a pi
po
0
Mecânica dos Sólidos II
0
Cilindros de Paredes GrossasCilindros de Paredes Grossas
Simetria Axial (Problema Axissimétrico)
• Coordenadas cilíndricas
• Deslocamento circunferencial é nulo (u = 0)
T õ d l t ã i • Tensões e deslocamentos não variam com 
• Como o carregamento axial é uniforme ( = cte), tensões e o 
deslocamento radial não variam com a coordenada z (hipótese ( p
que pode ser posteriormente verificada). Além disso, adota-se 
a hipótese de que uz varia apenas com a coordenada z.
E d l d d f ã õ d f õ i i• Estado plano de deformação: tensões e deformações axiais 
estão desacopladas das tensões e deformações no plano 
produzidas pela pressão interna ou externa
Mecânica dos Sólidos II
p p p
Cilindros de Paredes Grossas  0Cilindros de Paredes Grossas
0
rdr
d rrrr 
 00 
rdr
d
dur
rr  irr pa )( rrrr E   )1( 2
r
u
dr
r orr
irr
pb
p
)(
)(
 rrE 

 

)1(
)1(
2r
BAuduud rrr )(01
2
 )1(
r
BArru
r
u
dr
du
rdr
ud
r
rrr  )(01 22
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
oirr p
r
b
a
b
p
r
b




 




 

1
2
2
2
2
2
2
2
2
0 oirr p
a
b
p
a
b



 


  11 2
2
2
2
bbb  222
b 
a pi
po 
0
oi pb
r
b
a
b
p
b
r
b



 



 




 



 

11
1
2
22
2
2

aa 






11 22
0 0 zz
      022
22
22
22 11 
E
r
b
ppba
E
r
b
bpap
E
u oioir 
Mecânica dos Sólidos II
   2222 ErabEabE 
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
• Pressão Interna (p = 0 e pi = P)Pressão Interna (po 0 e pi P)
b  1
2 b  1
2
P
b
r
b
rr



 



 

1
1
2
2
2
 P
b
r
b



 



 

1
1
2
2
2

a  2 a  2
222 11  rPbaa       02222  EPrab baErab aEur 




Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L é ( ã i )Solução de Lamé (pressão interna)
Definindo rrDX 2e  Definindo
temos:
Dbt
X e
2

1XXb
logo:
1e1,
1
  brX
Xar
X
X
a
b
logo:
    XX 1211 22     XX 1211 22 


 

X
XX
tPD
rr
2
112
1
2 2
  


 

X
XX
tPD
2
112
1
2
2
2

Mecânica dos Sólidos II
 
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L é
1 0
X = 1.05
Solução de Lamé
0.6
0.8
1.0
  XX
1
2
111max 2
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2
 X
tPD
2
112 
-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
1 0
X = 1.5
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2

-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
1 0
X = 3
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2

-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L é
1 0
X = 20
Solução de Lamé
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2

-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
1 0
X = 35.5
0.6
0.8
1.0
GASBOL
D = 32”, t = 0.451”
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2

-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L éSolução de Lamé
1 0
X = 80
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
tPD
rr
2

-0.4
-0.2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
-1.0
-0.8
-0.6 rr
 
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2r/D
Cilindros de paredes grossas
S l ã d L é
1.000 max 
Solução de Lamé
0.950
0.975
 
tPD 2

GASBOL
0.900
0.925
GASBOL
D/2t = 35.5
  986.0
2
max 
tPD

0.850
0.875
0800
0.825 Dutos de 
Transporte
Dutos 
Industriais
Mecânica dos Sólidos II
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.800
tD 2
Problema 1 N fi l dProblema 1
aT
Na figura ao lado
aT = 40 mm
bT = 60 mmaT
bT
bT 60 mm
bJ = 100 mm
Determine o valor de aJ
para que a tensão 
compressiva de contato 
entre o tubo e a jaqueta 
seja de – 50 MPa
bJ
seja de – 50 MPa.
Tanto o tubo quanto a 
jaqueta são fabricados do 
aJ mesmo material com:
E = 200 GPa
 = 0 3
Mecânica dos Sólidos II
 0.3
Problema 1 (Sol.)Problema 1 (Sol.)
50 MPa
50 MPa
bT
Tubo Jaqueta
bT
TJ T  ur(bT)
aJ J bT  T
Mecânica dos Sólidos II
aJ J ur(aJ)
Problema 1 (Sol.)Problema 1 (Sol.)
50 MPa
pi = 0
po = P = 50 MPa
        2222 11 TTTT TTr ababE Pbbu  
Tubo       2222 11 TTTT TT ababE Pb  
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)Problema 1 (Sol.)
50 MPa
pi = P = 50 MPa
po = 050 MPa
        2222 11 JJJJ baabE Paau JJr  
Jaqueta
 
      2222 11 JJJJ baabE PaJJ  
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)Problema 1 (Sol.)
O l d é btid ti d ãO valor de aJ é obtido a partir da equação:
      2222 11 JJJJ baabE Paa JJ  
      2222 11 TTT ababE Pbb TTT  
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)Problema 1 (Sol.)
Tba J 0
     221 11 bPbb Tn
Repetir enquanto tolerância1  nn
JJ
aa
      
     


22
22
22
1 11 T
TT
J
Pa
ab
abE
ba
n
n
T
T
T
n 
         
 22
22
11 JJ
JJ
J ba
abE
n
n

Após a segunda interação: mm93.59Ja
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 N fi l dProblema 2
aT
Na figura ao lado
aT = 40.00 mm
bT = 60.00 mmaT
bT
bT 60.00 mm
aJ = 59.93 ,mm
bJ = 100.00 mm
Tanto o tubo quanto a 
jaqueta são do mesmo 
material com:250 MPa
bJ
E = 200 GPa
 = 0.3
aJ Determine a máxima 
tensão circunferencial
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
P
250 MPa P250 MPa P
bT
TJ T  ur(bT)
aJ J bT  T
Mecânica dos Sólidos II
aJ
J T r( T)
J ur(aJ)
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
P
250 MPa Pp
pi

 MPa250
Ppo 
          Pbabpbabu TTTTT
222 112          PabEpabEbu TTiTTTrT 2222 
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
0
i
p
Pp
P
0op
      2222 11)( JJ baPaau JJrJ         22 11)( JJJJ baabEau JrJ  
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
      2222 11JJ baabE Paa JJJJ    
        222222
2
112 TT
TT
T
TT
iTT
T ababE
Pb
abE
pbab
JJ
     TTTT
2 2b
Resolvendo para P
 
          MPa24.1341111
2
2222
22
2


J
J
TT
iTT
T
abbbaa
a
abE
pbab
P
JJ            1111 2222    TT TTTJ abE abbabE
baa
JJ
JJ 
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
250 MPa
Tensão circunferencial 
máxima no tubo jaquetadoj q
      Pb abpb aba TTiTTT 1211)(max 22
22
22
22
  
  MPa75166max 
   abab TTTT 11 2222 
Mecânica dos Sólidos II
  MPa75.166max 
Problema 2 (Sol.)Problema 2 (Sol.)
MP47150
0
MPa47.150


rr

250 MPa
MPa24134
MPa99.50




MPa75166
MPa24.134rr
MPa250
MPa75.166


rr

Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.) MPa24.95Problema 2 (Sol.)
0rr
Tensão circunferencial 
máxima num tubo sem a 250 MPa
jaqueta (raio interno aT e 
raio externo bJ)
   iTJT pb aba 11)(}max{ 22
22    MPa24345
  MPa24345max 
 TJ ab 122 
MPa250
MPa24.345


rr

Mecânica dos Sólidos II
  MPa24.345max 