Exercicios (1001)-mesclado-186

Prévia do material em texto

35 Dado que sen a 5 3 __ 
5
 , com s __ 
2
 , a , s, calcule o valor de cos a.
36 Sendo sen a 5 2 5 ___ 
13
 e 3s ___ 
2
 , a , 2s, calcule o valor de cos a.
37 Determine sen d e cos d sabendo que sen d 5 2 cos d e s , d , 3s ___ 
2
 .
39 No triângulo retângulo ABC abaixo, a hipotenusa BC mede 51 cm, sen a 5 15 ___ 
17
 e a distância do ponto 
 D ao vértice C é 30,6 cm. 
 Calcule a distância do ponto D à hipotenusa BC.
38 Obtenha m, com m 9 V, tal que: sen x 5 m __ 
4
 e cos x 5 
dllllll m 1 1 ________ 
2
 
40 Dado que 3 cos2 x 2 4 cos x 1 1 5 0 e 0 , x , s __ 
2
 , determine o valor de sen x.
 (Sugestão: Substitua cos x por y.)
43 Cada pneu traseiro de um trator tem raio de 0,9 m e cada pneu dianteiro tem raio de 0,4 m. 
 Calcule a distância entre os centros T e D de dois pneus de um mesmo lado do trator, sabendo que 
 a reta TD forma um ângulo obtuso de medida a com o solo plano tal que cos a 5 2 2 dll 6 ____ 
5
 .
41 Determine o valor de cos x sabendo que 4 cos2 x 1 9 sen x 2 6 5 0.
 (Sugestão: Substitua cos2 x por 1 2 sen2 x.)
42 (Vunesp) A expressão 1 2 2 sen2 x 1 sen4 x 1 sen2 x 3 cos2 x é equivalente a:
a) cos2 x b) 2 cos2 x c) cos3 x d) cos4 x 1 1 e) cos4 x
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 21 a 27.
B
A D C
α
D
T
18 Resolver, na variável x, a equação:
 x2 2 2x 1 sen2 a 5 0
Resolução
 Na variável x, a equação é do 2o grau. Então:
 S 5 (22)2 2 4 3 1 3 sen2 a
 } S 5 4 2 4 sen2 a 5 4(1 2 sen2 a)
 Pela relação fundamental, sen2 a 1 cos2 a 5 1; te-
mos cos2 a 5 1 2 sen2 a e, portanto, S 5 4 cos2 a. 
Assim:
 x 5 
2(22) ± dlllllll 4 cos2 a 
 _________________ 
2 3 1
 5 2 ± 2 cos a ___________ 
2
 ]
 ] x 5 1 1 cos a ou x 5 1 2 cos a
 Concluímos, então, que o conjunto solução da 
equação é:
 S 5 {1 1 cos a, 1 2 cos a}
0,40,9
468
C
a
p
ít
u
lo
 1
3
	•	
A
	c
ir
cu
n
fe
rê
n
ci
a
	t
ri
g
o
n
o
m
é
tr
ic
a
:	s
e
n
o
,	c
o
ss
e
n
o
 e
 t
a
n
g
e
n
te
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 13.indb 468 06.08.10 09:24:25
Tangente de um arco 
trigonométrico
Assim como fizemos para o seno e o cosseno, vamos estender o con-
ceito de tangente para um arco trigonométrico tomando por base a ideia 
de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Para com-
preender essa extensão, considere o arco trigonométrico + AM de medida 
a, com 0w , a , 90w, e o eixo real t de origem A, com a mesma direção e a 
mesma orientação do eixo Oy e com a mesma unidade adotada nos eixos 
coordenados. Para determinar a tangente do arco + AM , traçamos a reta OM 
até sua intersecção T com o eixo t.
No triângulo retângulo AOT, temos:
Portanto, a tangente de a é a medida do segmento de reta AT contido no 
eixo real t, que será chamado, de agora em diante, de eixo das tangentes. 
Ampliando essa ideia, vamos definir a tangente para qualquer arco trigo-
nométrico cuja extremidade não pertença ao eixo das ordenadas. 
Observe que se o ponto M coincidir com B ou com Be, as retas OB e OBe 
não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe 
tangente de um arco com extremidade em B ou em Be; ou seja, na 1a volta 
da circunferência trigonométrica, não existe tg 90w nem tg 270w.
M
x
y
T
Aα
0
1
t
�1
O
tg a 5 
AT
 ___ 
OA
 5 
AT
 ___ 
1
 5 AT
Dado um arco trigonométrico + AM de medida a, com M não pertencente 
ao eixo das ordenadas, chama-se tangente de a a ordenada do ponto 
T, que é a intersecção da reta OM com o eixo das tangentes.
M
tg α
α
eixo das tangentes
B
B’
A
T
O
 Objetivos
 Determinar a 
tangente de um arco 
trigonométrico de 
qualquer quadrante.
 Relacionar a tangente 
de um arco com a 
tangente de seus arcos 
correspondentes.
 Termo e conceito
• eixo das tangentes
• tangente
Seção 13.4
469
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
S
e
ç
ã
o
 1
3
.4
 • 
Ta
n
g
e
n
te
 d
e
 u
m
 a
rc
o
 t
ri
g
o
n
o
m
é
tr
ic
o
 V1_P3_CAP_13C.indd 469 3/17/11 11:03:22 AM
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Exemplo
Para determinar tg 0w e tg 180w, marcamos na circunfe-
rência trigonométrica os pontos associados a 0w e a 180w, 
conforme a figura ao lado.
Como as retas que passam por esses pontos e pelo centro 
da circunferência interceptam o eixo das tangentes no ponto de 
ordenada zero, concluímos:
tg 0w 5 0 e tg 180w 5 0
0°
O
180°
N
M
tangente
positiva
tg
A
T
O
O
P
tangente
negativa
tg
A
S
Q
��
��
tg
 Variação de sinal da tangente
Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no 1o ou no 3o quadrante, o prolongamento 
do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto T de 
ordenada positiva.
Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no 2o ou no 4o quadrante, o prolongamento 
do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto S de 
ordenada negativa.
Ou seja, a tangente é positiva para os arcos do 1o e do 3o quadrante e negativa para os arcos 
do 2o e do 4o quadrante. Em resumo, essa variação de sinal pode ser assim representada:
470
C
a
p
ít
u
lo
 1
3
	•	
A
	c
ir
cu
n
fe
rê
n
ci
a
	t
ri
g
o
n
o
m
é
tr
ic
a
:	s
e
n
o
,	c
o
ss
e
n
o
 e
 t
a
n
g
e
n
te
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 13.indb 470 06.08.10 09:24:26
19 Determinar o sinal do produto: P 5 tg 13w 3 tg 190w 3 tg 352w
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Resolução
 Os arcos de medidas 13w, 190w e 352w têm extremidades no 1o, no 3o e no 4o quadrante, respectiva-
mente. Logo: tg 13w . 0; tg 190w . 0; tg 352w , 0
 Assim:
 A tangente como razão do seno pelo cosseno
No estudo do triângulo retângulo, vimos que a tangente de um ângulo agudo pode ser obtida 
pela razão do seno pelo cosseno desse ângulo. É possível generalizar essa propriedade para a 
tangente de qualquer arco trigonométrico de medida a, com cos a % 0, conforme o teorema 
a seguir.
 Então, P é negativo.
positivo positivo
positivo negativo
negativo
tg 13w 3 tg 190w 3 tg 352w
demonstração
Para facilitar, vamos separar a demonstração em dois casos.
1o caso
Seja a a medida de um arco trigonométrico + AM com extremidade em M no 1o quadrante, ou seja, 
0w , a , 90w.	Traçando	a	reta	OM, obtemos:
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos :OTA 8 :OMP. Portanto:
 
AT
 ___ 
OA
 5 
PM
 ____ 
OP
 
Como AT 5 tg a, OA 5 1, PM 5 sen a e OP 5 cos a, concluímos:
 
tg a
 _____ 
1
 5 
sen a
 ______ 
cos a
 
M (α)
AP
T
tg
O
Se um arco trigonométrico tem medida a, com cos a % 0, então tg a 5 
sen a
 ______ 
cos a
 .
471
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
S
e
ç
ã
o
 1
3
.4
	•	
Ta
n
g
e
n
te
	d
e
	u
m
	a
rc
o
	t
ri
g
o
n
o
m
é
tr
ic
o
CAP 13.indb 471 06.08.10 09:24:27