Ciclo Trigonométrico II

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CICLO TRIGONOMÉTRICO II
TANGENTE
Na geometria dizemos que uma reta é 
tangente à uma circunferência quando ela 
intersecta a circunferência em apenas um 
ponto. Essa definição se estende para a 
trigonometria, pois o eixo da tangente é o eixo 
que intersecta a circunferência trigonométrica 
somente no ponto A (1,0). Nesse ponto o arco 
tem medida zero radianos e, portanto, o valor 
da tangente no ponto A é zero. Acima do 
ponto A os valores da tangente são positivos 
e abaixo desse ponto os valores da tangente 
são negativos. 
Para ilustrarmos a tangente no ciclo 
trigonométrico, considere o ponto O(0,0) 
o centro da circunferência, A o ponto com 
coordenadas (1,0), M um ponto qualquer do 
primeiro quadrante e o arco formado por 
esses dois pontos. A reta 𝑂𝑀 é a reta que passa 
pelo ponto O e pelo ponto M, formando um 
ângulo α com o eixo horizontal e intersectando 
o eixo da tangente no ponto T. Definimos que:
A tangente do ângulo α é a ordenada do ponto T.
Em outras palavras, para obter o valor da 
tangente de um ângulo descrito no ciclo 
trigonométrico, basta projetá-lo no eixo da 
tangente. Vamos entender porque isso ocorre:
Observe na imagem anterior que o triângulo formado pelos pontos O, A e T é um 
triângulo retângulo, com ângulo reto Â. Portanto podemos aplicar a definição da 
tangente no triângulo e obtemos:
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝐴𝑇 
𝑂𝐴
=
𝐴𝑇 
1 = 𝐴𝑇
Ou seja, a tangente do ângulo α é igual ao tamanho do segmento de reta 𝐴𝑇 .
AM
2
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Tr
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II Observação: 
 f A demonstração é análoga para os demais quadrantes, é possível concluir, 
portanto, que a definição de tangente vale para qualquer ângulo!
Exemplo: Encontre a tangente do ângulo de 
𝜋
4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 45° �
.
Solução: Para encontrarmos a tangente de 
𝜋
4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 45° �, encontramos na circunferência o ponto 
B associado ao arco de 𝜋4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 45° �e traçamos a reta 
𝑂𝐵 , que passa pelo centro da circunferência e pelo 
ponto B. Perceba que a reta 𝑂𝐵 intersecta o eixo da 
tangente em 1. Portanto dizemos que a tg 𝜋4 
 =1.
Tangente Indefinida
Conforme aumentamos o arco no primeiro quadrante, o valor da tangente vai aumentando 
até que a sua projeção sobre o eixo da tangente não exista mais, isso acontece quando 
as extremidades dos arcos estão exatamente sob o eixo das ordenadas. Para encontrar 
o valor da tangente desses arcos deveríamos traçar a reta que passa pela extremidade 
do arco e pelo centro da circunferência, mas essa reta coincidiria com o eixo das 
ordenadas, e como esses dois eixos são paralelos, não encontraríamos nenhum ponto 
de interseção. Portanto, para esses arcos dizemos que não existe valor de tangente. Na 
primeira volta isso ocorre para os arcos de 𝜋
2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
 radianos e 3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜s
 radianos. 
Outra forma de pensarmos nesses casos envolve 
o entendimento da tangente como uma razão 
trigonométrica do seno pelo cosseno. Os cossenos 
de 𝜋2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 radianos e 
3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜s
 radianos valem zero. E 
dividir por zero é uma indeterminação matemática. 
Portanto:
A tangente não é definida para ângulos cujo 
cosseno vale zero.
Sinal da tangente
Você deve ter percebido que no primeiro quadrante os valores da tangente são sempre 
positivos. Porém seguindo para o segundo quadrante passamos a ter arcos cuja tangente 
é negativa. Isso ocorre porque a reta que passa pela extremidade do arco e pelo centro 
da circunferência intersecta o eixo da tangente na parte negativa. Note que o mesmo 
acontece para os arcos que possuem extremidade no quarto quadrante. Portanto:
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IIA tangente será negativa para todos os arcos do segundo e do quarto quadrantes.
E no terceiro quadrante o que acontece? A reta que passa pelo centro da circunferência 
e pela extremidade de um arco do terceiro quadrante tocará o eixo da tangente onde 
seus valores são positivos, exatamente como um arco do primeiro quadrante.
Resumindo: a tangente será positiva para arcos do 1° e 3° quadrantes e negativa para 
arcos do 2° e 4 quadrantes. Como ilustra a figura a seguir:
4
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Tr
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II RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Agora que já conhecemos as razões trigonométricas seno, cosseno e a tangente, 
estamos prontos para o próximo passo: conhecer as razões trigonométricas inversas. Elas 
são chamadas de secante, cossecante e cotangente, e recebem a notação de sec (𝛼), 
cossec(𝛼) e cotg(𝛼), sendo 𝛼 um ângulo qualquer.
Secante, Cossecante e Cotangente no Triângulo Retângulo
No estudo das razões trigonométricas no triângulo retângulo definimos o cosseno como a 
razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, o seno como a razão entre o cateto oposto 
e a hipotenusa e a tangente como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. As 
razões trigonométricas inversas também podem ser definidas no triângulo retângulo, como 
veremos a seguir.
A razão trigonométrica inversa do cosseno é chamada de secante e a definimos como 
a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente. Já a razão inversa do seno é chamada 
de cossecante, e definida pela razão entre a hipotenusa e o cateto oposto e a inversa da 
tangente é chamada de cotangente e é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
 
 sec (𝛼) = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 =
𝑎
𝑐
 
cossec (𝛼) = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
= 
𝑎
𝑏
 
cotg (𝛼) = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
=
𝑐
𝑏
Dessa forma podemos concluir que, para qualquer ângulo agudo 𝛼 :
sec (𝛼) = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ sec 𝛼 =
1
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
⇒ 𝐬𝐞𝐜 𝜶 =
1
𝐜𝐨𝐬(𝜶)
cossec (𝛼) = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ⇒ cossec 𝛼 =
1
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
⇒ 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝜶 =
1
𝐬𝐞 𝐧(𝜶)
cotg (𝛼) = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ⇒ cossec 𝛼 =
1
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶 =
1
𝐭 𝐠(𝜶)
Observação: 
 f Cuidado para não associar a secante com o seno e a cossecante com o cosseno, 
por iniciarem com o mesmo prefixo. 
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IIRAZÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
Assim como representamos seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico, assim 
também faremos com as razões trigonométricas inversas e estenderemos as definições 
de secante, cossecante e cotangente para ângulos quaisquer.
Secante
Para representar a secante na circunferência trigonométrica, considere o ponto A de 
coordenadas (1,0), M um ponto qualquer da circunferência, o arco formado por esses 
dois pontos e 𝛼 o ângulo referente ao arco , conforme a figura abaixo. A reta r é a reta 
que tangencia a circunferência no ponto M e a reta s é a reta que passa pelo centro da 
circunferência e pelo ponto M. Considere ainda o ponto P como o ponto de interseção 
da reta r com o eixo das abscissas. Portanto:
A secante do ângulo 𝛼 é a abscissa do ponto P. 
Perceba na ilustração ao lado que temos um 
triângulo retângulo de vértices O, M e P com ângulo 
reto em 𝑀� . Portanto podemos aplicar a definição 
de cosseno no triângulo e chegar na definição de 
secante que já conhecemos:
cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 𝑂𝑀
𝑂𝑃
Como 𝑂𝑀 é o raio da circunferência trigonométrica, 
então 𝑂𝑀 = 1. Segue que:
cos 𝛼 =
1
𝑂𝑃
 ⇒ 𝑂𝑃 = 
1
cos 𝛼 ⇒ 𝐬𝐞𝐜 𝜶 = 
1
𝐜𝐨𝐬 𝜶
Observe na ilustração abaixo que nos demais quadrantes também é possível traçar o 
triângulo OMP e a demonstração é análoga. Podemos concluir, portanto, que a definição 
de secante vale para ângulos quaisquer.
 
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II Secante Indefinida
Vimos queem alguns casos a tangente não existe, será que a secante existe para todos 
os arcos? A resposta é não. Vamos entender porquê:
Note que quando o ponto M está sob o eixo das ordenadas a reta r não intersecta o eixo 
das abscissas, nestes casos dizemos que a secante desses arcos não está definida ou 
que ela não existe. 
Pensando na definição de secante como sec 𝛼 =
1
co s( 𝛼) é fácil ver que quando o 
cos(𝛼)=0 a secante não vai existir, pois estaríamos diante de uma divisão por zero, 
que é uma indeterminação matemática.
Sinais da secante
Sinal da Secante
Levando em consideração que a sec 𝛼 = 1cos (𝛼) , quando 
o cosseno de 𝛼 for positivo, a secante será positiva, 
e quando o cosseno de 𝛼 for negativo a secante 
também será. Portanto os sinais da secante são os 
mesmos que o do cosseno. 
Cossecante
Se você analisar a imagem que usamos para ilustrar 
a secante vai perceber que a reta r não intersecta 
somente o eixo das abscissas, mas também o eixo 
das ordenadas. Chamaremos de Q o ponto de 
interseção da reta r com o eixo das ordenadas. Dito 
isso podemos definir a cossecante:
 A cossecante do ângulo 𝛼 é a ordenada do ponto Q.
É possível provar que a definição de cossecante vale 
para qualquer ângulo, levando em consideração que 
é possível traçar o triângulo OMQ, triângulo em M, em 
todos os quadrantes e usar a definição da cossecante no 
triângulo retângulo. Assim como fizemos na secante.
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IICossecante Indefinida
A cossecante não está definida para 
os arcos cuja extremidade M está sob 
o eixo das abscissas, pois nesse caso 
a reta r, tangente à circunferência no 
ponto M, não possuirá nenhum ponto de 
interseção com o eixo das ordenadas. 
Pensando na definição de cossecante como cossec 𝛼 =
1
se𝑛(𝛼) fica evidente que quando 
o sen(𝛼)=0 a cossecante não vai existir, pois estaríamos diante de uma indeterminação 
matemática.
Sinal da cossecante
A cotangente do ângulo 𝛼 é a abscissa do ponto P.
Vamos entender de onde surge a definição acima:
Note que o triângulo OBP é retângulo em 𝐵� e que, por 
conta do teorema dos ângulos alternos internos, 𝑃�= Ô = 𝛼. 
Usando a definição da cotangente no triângulo retângulo 
temos que:
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 =
𝐵𝑃 
𝐵𝑂 =
𝐵𝑃 
1 = 𝐵𝑃
Ou seja, a cotangente do ângulo 𝛼 é igual ao tamanho 
do segmento de reta 𝐵𝑃.
AM
Sinal da Cossecante
Como a definição da cossecante é cossec 𝛼 =
1
se𝑛(𝛼) , os sinais da 
cossecante são os mesmos que o do seno.
Cotangente
Conheceremos agora a cotangente, que é a razão trigonométrica inversa da tangente. 
Sua ilustração no ciclo trigonométrico é bastante parecida com a ilustração da tangente, 
pois o eixo da cossecante também intersecta a circunferência trigonométrica em apenas 
um ponto. Mas desta vez a intersecção ocorre no ponto B(0,1).
Considere novamente o ponto O(0,0) o centro da circunferência, A (1,0), B(0,1), o ponto 
M um ponto qualquer do primeiro quadrante e o arco formado por esses dois pontos. 
A reta 𝑂𝑀 é a reta que passa pelo ponto O e pelo ponto M, formando um ângulo com o 
eixo horizontal e intersectando o eixo da cotangente no ponto P. Definimos que:
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II Observação: 
 f Quando M pertence aos demais quadrantes a demonstração é análoga, portanto 
a definição de cotangente vale para todos os ângulos.
Cotangente Indefinida
A cotangente não está definida para os arcos cuja extremidade M está sob o eixo das 
abscissas. Pois nesse caso a reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto 
M não possuirá nenhum ponto de interseção com o eixo da cotangente. Na primeira 
volta isso ocorre para os ângulos de 0 radianos e π radianos.
Sinal da cotangente
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS AUXILIARES
Você recorda que na apostila anterior conhecemos a relação fundamental da 
trigonometria? Agora iremos conhecer as relações fundamentais auxiliares, que são 
obtidas através da relação fundamental combinada com as razões trigonométricas.
Podemos obter diversas relações auxiliares, basta manipularmos algebricamente 
a relação fundamental. Aqui encontraremos as duas relações fundamentais mais 
relevantes.
 f A relação fundamental que relaciona a cotangente com a cossecante é obtida 
quando dividimos a relação fundamental por sen2 (𝛼):
Sinal da Cotangente
Como a cotangente é definida por 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶 = 1𝐭 𝐠(𝜶) , 
o sinal seu sinal será igual ao sinal da tangente. 
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II
𝒔𝒆𝒏2 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔2 𝜶 = 1
𝒔𝒆𝒏²(𝜶)
𝒔𝒆𝒏²(𝜶) +
𝒄𝒐𝒔²(𝜶)
𝒔𝒆𝒏²(𝜶) =
1
𝒔𝒆𝒏²(𝜶)
1 + 𝒄𝒐𝒕𝒈2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄²(𝜶)
 f A relação fundamental que relaciona a secante com a tangente é obtida quando 
dividimos a relação fundamental por cos2 (𝛼):
𝒔𝒆𝒏2 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔2 𝜶 = 1
𝒔𝒆𝒏²(𝜶)
𝒄𝒐𝒔²(𝜶) +
𝒄𝒐𝒔²(𝜶)
𝒄𝒐𝒔²(𝜶) =
1
𝒄𝒐𝒔²(𝜶)
𝒕𝒈2 𝜶 + 1 = 𝒔𝒆𝒄²(𝜶)
 
ANOTAÇÕES