Exercicios (1001)-mesclado-168

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Resolução
a) Qualquer termo dessa sequência, a partir do 
segundo, é a soma do termo anterior com uma 
constante (no caso, 4). Logo, a sequência é uma PA.
b) Observando que 2122(28) % 282(25), concluí-
mos que a sequência não é PA.
c) A partir da lei de formação, vamos encontrar os 
4 elementos da sequência:
 a1 5 1 1 3 3 1 5 4
 a2 5 1 1 3 3 2 5 7
 a3 5 1 1 3 3 3 5 10
 a4 5 1 1 3 3 4 5 13
 Assim, a sequência é: (4, 7, 10, 13).
 Como a diferença entre dois termos consecuti-
vos quaisquer é sempre a mesma (no caso, 3), 
concluímos que a sequência é uma PA.
d) Devemos verificar se a diferença entre dois ter-
mos consecutivos quaisquer é constante.
 Temos an 5 4n 1 3 e an 1 1 5 4(n 1 1) 1 3 que são 
termos consecutivos da sequência, para qual-
quer n natural não nulo. Calculando a diferença 
an 1 1 2 an, temos:
 an 1 1 2 an 5 4(n 1 1) 1 3 2 (4n 1 3) 5 
 5 4n 1 4 1 3 2 4n 2 3 5 4
 Como essa diferença é constante, concluímos 
que a sequência (an)n 9 vR é uma PA.
Classificação de uma PA
Podemos classificar as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante.
•	 Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior. Isso só 
ocorre quando a razão é positiva.
Exemplo
(6, 10, 14, 18, ...) é uma PA crescente. Observe que sua razão é positiva: r 5 4.
•	 Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Isso só 
ocorre quando a razão é negativa.
Exemplo
(13, 8, 3, 22, 27, ...) é uma PA decrescente. Observe que sua razão é negativa: r 5 25.
• Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Isso só ocorre quando a razão 
é nula.
Exemplo
 @ 5 __ 
2
 , 
5
 __ 
2
 , 
5
 __ 
2
 , 
5
 __ 
2
 , ... # é uma PA constante. Note que sua razão é nula: r 5 0.
8 Verifique se as sequências abaixo são progressões 
aritméticas.
a) (7, 9, 11, 13, 15)
b) (2, 4, 8, 16, 32)
c) (30, 25, 20, 15)
d) (a1, a2, a3, a4, a5) tal que an 5 3n 2 5
e) (a1, a2, a3, a4, a5, a6) tal que an 5 n2 1 1
f ) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) tal que an 5 3n ___ 
2
 1 1
g) (a1, a2, a3, a4) tal que an 5 3 __ 
n
 
9 Calcule a razão de cada uma das progressões arit-
méticas:
a) (0, 2, 4, 6, 8, ...)
b) (10, 7, 4, 1, 22, ...)
c) @ 13 ___ 
6
 , 17 ___ 
12
 , 2 __ 
3
 , ... # 
EXERCÍCIOS pROpOStOS
10 Considere a PA (a1, a2, a3, ...) de razão r 5 1 _______ 
 dll 2 2 1
 e 
 a6 5 1 2 dll 2 . Determine o termo a7.
11 (PUC-MG) Três números naturais, a, b e c, estão, 
nessa ordem, em progressão aritmética de razão 2.
 Se a2 1 b2 2 c2 5 0, a soma a 1 b 1 c é igual a:
a) 12 d) 32 
b) 18 e) 36 
c) 24
12 Verifique se a sequência (an) tal que an 5 3n 1 5 é 
uma PA.
d) (27, 27, 27, 27, ...)
e) @ 6 ___ 
 dll 3 
 , 1 _______ 
2 2 dll 3 
 , 4 , ... # 
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CAP 11.indb 393 05.08.10 17:30:28
Resolva os exercícios complementares 8 a 12.
13 Classifique como crescente, decrescente ou constan-
te cada uma das progressões aritméticas a seguir.
a) (4, 7, 10, 13, ...)
b) (214, 210, 26, 22, ...)
c) (28, 20, 12, 4, ...)
d) (230, 235, 240, 245, ...)
e) (6, 6, 6, 6, ...)
f ) @ 2 2 dll 2 , 1, dll 2 , 21 1 2 dll 2 , ... # 
14 Classifique cada uma das seguintes progressões arit-
méticas como crescente, decrescente ou constante:
a) (an) tal que an 5 8 2 3n
b) (an) tal que an 5 n
2 2 9 ______ 
n 1 3
 2 n
15 Determine o número real x, de modo que a sequên-
cia (1 2 x, x 2 2, 2x 2 1) seja uma PA.
16 Em qualquer PA (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão r, os 
termos podem ser expressos em função de a1 e r, 
 observe: a1, a1 1 r, a1 1 2r, a1 1 3r, ..., ? , ...
a2 a3 a4 an
 . Qual
 é a expressão que representa o termo an em função 
de a1 e r?
Representação genérica de uma PA
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar uma PA de maneira gené-
rica. Mostramos a seguir algumas dessas representações:
• A sequência (x, x 1 r, x 1 2r) é uma PA de três termos e razão r, para quaisquer valores de x e r.
• A sequência (x 2 r, x, x 1 r) é uma PA de três termos e razão r, para quaisquer valores de x e r. 
Essa representação é mais adequada quando se pretende determinar uma PA de três termos, 
conhecendo-se a soma deles.
• A sequência (x, x 1 r, x 1 2r, x 1 3r) é uma PA de quatro termos e razão r, para quaisquer valores 
de x e r.
• A sequência (x 2 3r, x 2 r, x 1 r, x 1 3r) é uma PA de quatro termos e razão 2r, para quaisquer 
valores de x e r. Essa representação é mais adequada quando se pretende determinar uma PA 
de quatro termos, conhecendo-se a soma deles.
3 Determinar a PA decrescente de três termos, sabendo 
 que a soma desses termos é 3 e o produto deles é 5 __ 
9
 .
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Quando conhecemos a soma dos termos, a repre-
sentação mais adequada da PA genérica é 
 (x 2 r, x, x 1 r). Assim, temos:
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 3
(x 2 r) 3 x 3 (x 1 r) 5 5 __ 
9
 
 Da primeira equação, obtemos x 5 1.
 Substituímos x por 1 na segunda equação, obtendo:
 (1 2 r) 3 1 3 (1 1 r) 5 5 __ 
9
 ] 1 2 r 2 5 5 __ 
9
 
 } r 2 5 4 __ 
9
 ] r 5 ± 2 __ 
3
 
 Como queremos uma PA decrescente, só nos inte-
 ressa a razão negativa, isto é, r 5 2 2 __ 
3
 . Assim, a PA
 decrescente (x 2 r, x, x 1 r) é
 @ 1 2 @ 2 2 __ 
3
 # , 1, 1 1 @ 2 2 __ 
3
 # # , ou seja, @ 5 __ 
3
 , 1, 1 __ 
3
 # .
4 Em uma PA crescente de quatro termos, a soma de 
todos os termos é 16 e o produto do segundo pelo 
terceiro termo é 12. Determinar essa PA.
Resolução
 Como conhecemos a soma dos termos, a represen-
tação mais adequada da PA genérica é
 (x 2 3r, x 2 r, x 1 r, x 1 3r). Assim, temos:
x 2 3r 1 x 2 r 1 x 1 r 1 x 1 3r 5 16
(x 2 r) 3 (x 1 r) 5 12
]
x 5 4
(x 2 r) 3 (x 1 r) 5 12
]
 Substituímos x por 4 na segunda equação, obtendo:
 (4 2 r)(4 1 r) 5 12 ] 16 2 r2 5 12
 } r2 5 4 ] r 5 ±2
 Como queremos uma PA crescente, só nos interessa 
a razão 2r positiva, o que ocorre para r 5 2. Assim, a 
PA crescente (x 2 3r, x 2 r, x 1 r, x 1 3r) é 
 (4 2 3 3 2, 4 2 2, 4 1 2, 4 1 3 3 2), ou seja, 
 (22, 2, 6, 10).
EXERCÍCIOS pROpOStOS
c) (an) tal que 
a1 5 10
an 1 1 5 an 1 8
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CAP 11.indb 394 05.08.10 17:30:28
17 Determine a PA crescente de três termos cuja soma 
dos três termos é 6 e o produto deles é 210.
20 Durante três meses consecutivos, um investidor apli-
cou em um fundo de capitais, perfazendo um total 
de R$ 2.790,00 aplicados. Sabendo que as aplicações, 
mês a mês, formam uma progressão aritmética, qual 
foi o valor aplicado no segundo mês?
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 13 e 14.
18 Determine a PA crescente de quatro termos cuja 
soma dos quatro termos é 4 e o produto do terceiro 
pelo quarto termo é 40.
19 (Faap-SP) As medidas dos ângulos internos de 
um triângulo, em ordem crescente, formam uma 
progressão aritmética. A medida do maior desses 
ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ân-
gulo interno desse triângulo mede:
a) 68w b) 72w c) 76w d) 80w e) 82w
a1 5 a1 1 0r
a2 5 a1 1 1r
a3 5 a1 1 2r
a4 5 a1 1 3r
...
Observando que, em cada igualdade, o coeficiente de r tem uma unidade a menos que o índice 
do termo à esquerda da igualdade, concluímos: an 5 a1 1 (n 2 1)r
De maneira geral:
Numa PA (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) de razão r, temos:
an 5 a1 1 (n 2 1)r
A identidade acima é chamada de fórmula do termo geral da PA.
Sendo r a altura de cada degrau, a sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) é uma PA.
•	 Se	uma	pessoa	estiver	no	patamar	de	altura	a1,	quantos	degraus	deverá	subir	para	atingiro	
patamar	de	altura	a6?
 Observando	a	figura,	constatamos	que	a	pessoa	deve	subir	5 degraus (5r). Assim, a altura a6 é 
igual à soma a1 1 5r.
•	 Generalizando,	se	uma	pessoa	estiver	no	patamar	de	altura	a1, quantos degraus deverá subir 
para	atingir	o	patamar	de	altura	an?
 Ora,	no	patamar	de	altura	a2,	a	pessoa	terá	subido	1	degrau;	no	de	altura	a3, terá subido 2 de-
graus;	no	de	altura	a4,	terá	subido	3	degraus;	e	assim	por	diante,	ou	seja:
 Fórmula do termo geral 
de uma PA
Numa	progressão	aritmética,	um	
termo	qualquer	pode	ser	expresso	em	
função da razão (r)	e	do	primeiro	ter-
mo (a1)	por	uma	fórmula	matemática.	
Para	entender	essa	fórmula,	imagine	
uma	escada	que	une	dois	pisos	de	um	
edifício.	O	piso	inferior	tem	altura	a1, 
em relação ao térreo do edifício, e os 
patamares	dos	degraus	têm alturas 
a2, a3, a4, a5, ... , an, em relação ao tér-
reo, conforme mostra a figura.
a1
piso inferior
...
a2
a3
a5
r
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Numa PA (a1, a2, a3, a4, a5, ..., ak, ..., an, ...) de razão r, temos:
an 5 ak 1 (n 2 k)r
Outra fórmula do termo geral de uma PA
Voltando à figura anterior, observe que:
• se a pessoa estiver no patamar de altura a6 e quiser se deslocar até o patamar de altura a10, 
ela deve subir (10 2 6) degraus:
 a10 5 a6 1 (10 2 6)r, ou seja, a10 5 a6 1 4r
• se a pessoa estiver em um patamar de altura ak e quiser se deslocar até o patamar de altura 
an , ela deve subir (n 2 k) degraus, ou seja: an 5 ak 1 (n 2 k)r
De maneira geral:
Essa identidade é outro modo de apresentar a fórmula do termo geral da PA. 
Note que, se k 5 1, obtemos a fórmula anterior: an 5 a1 1 (n 2 1)r.
Exemplos
a) a30 5 a10 1 (30 2 10)r ] a30 5 a10 1 20r
b) a6 5 a8 1 (6 2 8)r ] a6 5 a8 2 2r
c) a40 5 a1 1 (40 2 1)r ] a40 5 a1 1 39r
5 Determinar o 51o termo da PA (4, 10, 16, 22, ...).
Resolução
 Indicando por n o número de termos, devemos obter 
o valor de n na expressão an 5 a1 1 (n 2 1)r tal que: 
a1 5 2, an 5 250 e r 5 8
 Logo:
 250 5 2 1 (n 2 1) 3 8 ] 250 5 2 1 8n 2 8
 } 256 5 8n ] n 5 32
 Concluímos, então, que a PA possui 32 termos.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Devemos determinar o termo an 5 a1 1 (n 2 1)r dessa 
PA tal que: a1 5 4, r 5 6 e n 5 51
 Logo:
 a51 5 4 1 (51 2 1) 3 6 ] a51 5 4 1 50 3 6 5 304
 Concluímos, assim, que o 51o termo da PA é 304.
6 Obter a razão da PA (a1, a2, a3, ...) tal que a1 5 7 e 
a5 5 8.
Resolução
 Aplicando a fórmula do termo geral 
 an 5 a1 1 (n 2 1)r da PA para n 5 5, temos:
 a5 5 a1 1 4r ] 8 5 7 1 4r
 } r 5 1 __ 
4
 
 Concluímos que a razão da PA é 1 __ 
4
 .
7 Determinar o número de termos da PA 
(2, 10, 18, ..., 250).
8 Qual é a razão da PA (an) tal que a1 1 a5 5 26 e 
a2 1 a9 5 46?
Resolução
 Pela fórmula an 5 a1 1 (n 2 1)r, podemos representar 
os termos a5, a2 e a9 por: 
 a5 5 a1 1 4r, a2 5 a1 1 r e a9 5 a1 1 8r
 Assim:
a1 1 a5 5 26
a2 1 a9 5 46
a1 1 a1 1 4r 5 26
a1 1 r 1 a1 1 8r 5 46
]
2a1 1 4r 5 26
2a1 1 9r 5 46
}
 Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, 
temos:
 25r 5 220 ] r 5 4
 Concluímos, então, que a razão da PA é 4.
9 A partir do momento em que havia 684 pessoas em 
um ginásio de esportes, a contagem dos torcedores 
que entravam passou a ser feita por catracas que 
registraram o ingresso de 208 pessoas por hora, até 
completar a capacidade máxima do ginásio, que é de 
3.180 espectadores. Ninguém saiu antes do jogo, que 
começou quando a capacidade máxima do ginásio 
foi atingida.
a) Construir a sequência em que os termos repre-
sentem o número de pessoas no ginásio, hora a 
hora, a partir do instante em que a contagem das 
pessoas passou a ser feita por catracas.
b) Durante quantas horas as catracas estiveram em 
funcionamento?
EXERCÍCIOS pROpOStOS
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