Exercicios (1001)-mesclado-293

Prévia do material em texto

Moderna PLUS MATEMÁTICA
1
Parte III 
Capítulo 13 A circunferência trigonométrica: seno, cosseno e tangente 
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
Para pensar
1 A Giranda Mundi tem 14 ângulos de medida a, e, 
lembrando que a circunferência mede 360w, temos:
a 5 360w _____ 
14
 * 25,7w
Portanto, a medida a do ângulo central é aproxi-
madamente 25,7w.
2 A London Eye tem 135 metros de altura, então 
o raio de sua circunferência mede 67,5 metros. 
Como o comprimento de uma circunferência é 
dado por C 5 2sr, temos:
C * 2 3 3,14 3 67,5 5 423,9
Logo, a circunferência da London Eye tem apro-
ximadamente 424 metros.
3 A Singapore Flyer tem 165 metros de altura, en-
tão o raio de sua circunferência mede 82,5 me-
tros. O comprimento de sua circunferência, em 
metro, é:
C * 2 3 3,14 3 82,5 5 518,1
Como o comprimento da circunferência da Sin-
gapore Flyer é aproximadamente 518 metros e 
cada ciclo (volta completa) demora 37 minutos, a 
velocidade v de giro dessa roda gigante é:
v * 518 m _______ 
37 min
 5 14 m/min
Exercícios propostos
1 A razão entre o comprimento do arco e a medida 
do raio, nessa ordem, é a medida x do arco em 
radiano, ou seja:
x 5 10 ___ 
2,5
 3 rad ] x 5 4 rad
2 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
rad
meridiano
A
linha do Equador
P
s
7
Dividindo o comprimento C do arco + PA pela me-
dida do raio da Terra, obtém-se a medida desse 
arco em radiano:
 C ______ 
6.370
 5 s __ 
7
 ] C 5 910s
Logo, o comprimento do arco + PA é 910s km.
Alternativa b.
3 Como o ponteiro maior mede 2 m, podemos 
dizer que essa é a medida do raio da circunfe-
rência descrita pelo movimento realizado pela 
ponta móvel do ponteiro maior.
Sabemos que em 1 hora essa ponta móvel percor-
re toda a circunferência (2 3 s 3 2 m 5 4s m).
Então:
1h
t
4s m
5s m
t 5 1h 3 5s m __________ 
4s m
 5 1,25h 5 1h 15min
Alternativa a.
4 a) rad
s
x
grau
180
30
] x 5 30s ____ 
180
 5 s __ 
6
 
 Portanto, 30w equivalem a s __ 
6
 rad.
 Portanto, 120w equivalem a 2s ___ 
3
 rad.
 Portanto, 225w equivalem a 5s ___ 
4
 rad.
 Portanto, 300w equivalem a 5s ___ 
3
 rad.
 Portanto, 240w equivalem a 4s ___ 
3
 rad.
 Portanto, 330w equivalem a 11s ____ 
6
 rad.
rad
s
x
grau
180
300
] x 5 300s _____ 
180
 5 5s ___ 
3
 
d)
rad
s
x
grau
180
240
] x 5 240s _____ 
180
 5 4s ___ 
3
 
e)
rad
s
x
grau
180
330
] x 5 330s _____ 
180
 5 11s ____ 
6
 
f )
5 a) s
 
s
 __ 
4
 
180w
x
] x 5 
 s __ 
4
 3 180w
 ________ 
s
 } x 5 45w
s
 3s ___ 
2
 
180w
x
] x 5 
 3s ___ 
2
 3 180w
 _________ 
s
 } x 5 270w
b)
s
 7s ___ 
6
 
180w
x
] x 5 
 7s ___ 
6 
 3 180w
 _________ 
s
 } x 5 210w
c)
s
 2s ___ 
5
 
180w
x
] x 5 
 2s ___ 
5
 3 180w
 _________ 
s
 } x 5 72w
d)
s
 5s ___ 
3
 
180w
x
] x 5 
 5s ___ 
3
 3 180w
 _________ 
s
 } x 5 300w
e)
b)
] x 5 120s _____ 
180
 5 2s ___ 
3
 
rad
s
x
grau
180
120
c) rad
s
x
grau
180
225
] x 5 225s _____ 
180
 5 5s ___ 
4
 
Moderna PLUS MATEMÁTICA
2
Parte III 
Capítulo 13 A circunferência trigonométrica: seno, cosseno e tangente 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
6 Quando a polia maior gira 4s ___ 
3
 rad (ou 240w), a
menor gira a rad tal que: a ___ 
 4s ___ 
3
 
 5 12 ___ 
4
 ] a 5 4s
Alternativa d.
7 a) x1 5 50w
 x2 5 50w 1 360w 5 410w
 x3 5 50w 1 2 3 360w 5 770w
 Logo, as medidas procuradas são 50w, 410w e 
770w.
b) x1 5 50w 2 360w 5 2310w
 x2 5 50w 2 2 3 360w 5 2670w
 Logo, as medidas procuradas são 2310w e 
2670w. 
8 a) x1 5 6s ___ 
7
 
 x2 5 6s ___ 
7
 1 2s ] x2 5 20s ____ 
7
 
 x3 5 6s ___ 
7
 1 2 3 2s ] x3 5 34s ____ 
7
 
 Logo, as medidas procuradas são 6s ___ 
7
 rad,
 20s ____ 
7
 rad e 34s ____ 
7
 rad.
b) x2 5 6s ___ 
7
 2 2s ] x2 5 2 8s ___ 
7
 
 x3 5 6s ___ 
7
 2 2 3 2s ] x3 5 2 22s ____ 
7
 
 Logo, as medidas procuradas são 2 8s ___ 
7
 rad e
 2 22s ____ 
7
 rad.
9 a) 
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
rada é 43w.
b)
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
rada é 172w.
c) 240w 1 360w 5 320w (1a volta positiva)
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
rada é 320w.
d) 2400w 1 360w 5 240 (1a volta negativa)
 240w 1 360w 5 320w (1a volta positiva)
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
rada é 320w.
e) 45s ____ 
11
 rad 5 @ 44s ____ 
11
 1 s ___ 
11
 # rad 5 @ 4s 1 s ___ 
11
 # rad
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
 rada é s ___ 
11
 rad.
f ) 38s ____ 
5
 rad 5 @ 35s ____ 
5
 1 3s ___ 
5
 # rad 5 @ 7s 1 3s ___ 
5
 # rad 5
 5 @ 6s 1 s 1 3s ___ 
5
 # rad 5 @ 6s 1 8s ___ 
5
 # rad
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
 rada é 8s ___ 
5
 rad.
g) 2 
s
 ___ 
13
 rad 5 @ 2 
s
 ___ 
13
 1 2s # rad 5 @ 2s 1 26s
 __________ 
13
 # rad 5
 5 25s ____ 
13
 rad
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
 rada é 25s ____ 
13
 rad.
h) 2 18s ____ 
5
 rad 6 @ 2 8s ___ 
5
 1 2s # rad 5 @ 28s 1 10s
 ___________ 
5
 # rad 5
 5 2s ___ 
5
 rad
 Logo, a medida do arco trigonométrico procu-
 rada é 2s ___ 
5
 rad.
10 a) 
 Logo: x 5 240w
b) x 5 240w 1 360w ] x 5 600w
c) x 5 240w 1 2 3 360w ] x 5 960w
d) x 5 240w 2 360w ] x 5 2120w
11 121s _____ 
6
 5 120s 1 s _________ 
6
 5 120s _____ 
6
 1 s __ 
6
 5 20s 1 s __ 
6
 
a) x 5 s __ 
6
 
b) x 5 s __ 
6
 1 2s ] x 5 13s ____ 
6
 
c) x 5 s __ 
6
 1 2 3 2s ] x 5 25s ____ 
6
 
d) x 5 s __ 
6
 2 2s ] x 5 2 11s ____ 
6
 
12 Temos:
1 volta da engrenagem p 1 __ 
4
 de volta do ponteiro
Assim:
4.135 voltas da engrenagem p 4.135 3 1 __ 
4
 de volta 
do ponteiro
4.135 3 1 __ 
4
 5 1.033 voltas 1 0,75 volta
Logo, 0,75 volta de 360w corresponde a 270w.
Alternativa a.
13 a) Os infinitos números reais associados ao pon-
to Ae são:
 …, 2s, s, 3s, 5s, …
 Observando que a diferença entre dois termos 
consecutivos quaisquer dessa sequência é 2s, 
podemos representar todos esses números 
reais por:
 x 5 s 1 k 3 2s, com k 9 b
b) Os infinitos números reais associados ao pon-
to B são:
 ..., 2 3s ___ 
2
 , s __ 
2
 , 5s ___ 
2
 , 9s ___ 
2
 , ...
 Observando que a diferença entre dois termos 
consecutivos quaisquer dessa sequência é 2s, 
podemos representar todos esses números 
reais por:
 x 5 s __ 
2
 1 k 3 2s, com k 9 b
c) Os infinitos números reais associados aos 
pontos B ou Be são:
 ..., 2 3s ___ 
2
 , 2 
s
 __ 
2
 , s __ 
2
 , 3s ___ 
2
 , ...
 Observando que a diferença entre dois termos 
consecutivos quaisquer dessa sequência é s, 
podemos representar todos esses números 
reais por:
 x 5 s __ 
2
 1 ks, com k 9 b
360w
8
2.923w
43w
360w
5
1.972w
172w
360w
5
2.040w
240w
Moderna PLUS MATEMÁTICA
3
Parte III 
Capítulo 13 A circunferência trigonométrica: seno, cosseno e tangente 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
d) Os infinitos números reais associados aos 
pontos A, B, Ae, Be são:
 …, 2s, 2 
s
 __ 
2
 , 0, s __ 
2
 , s, 3s ___ 
2
 , 2s, …
 Observando que a diferença entre dois termos 
 consecutivos quaisquer dessa sequência é s __ 
2
 ,
 podemos representar todos esses números 
reais por:
 x 5 ks ___ 
2
 , com k 9 b
14 a) Os infinitos números reais associados aos 
pontos M, N, P são:
 …, s __ 
3
 , s, 5s ___ 
3
 , ...
 Observando que a diferença entre dois termos 
consecutivos quaisquer dessa sequência é
 2s ___ 
3
 , podemos representar todos esses núme-
 ros reais por:
 x 5 s __ 
3
 1 k 3 2s ___ 
3
 , com k 9 b
b) Existem infinitas expressões diferentes que 
podem representar esses pontos.
 Paraobtê-las, basta adicionar k 3 2s ___ 
3
 a um nú-
 mero qualquer associado a um dos pontos; 
por exemplo:
 x 5 5s ___ 
3
 1 k 3 2s ___ 
3
 , com k 9 b
15 A cada hora:
• o ponteiro das horas gira 30w;
• o ponteiro dos minutos gira 360w.
A cada 20 minutos:
• o ponteiro das horas gira 1 __ 
3
 3 30w 5 10w;
• o ponteiro dos minutos gira 1 __ 
3
 3 360w 5 120w.
Assim, em 2.400 horas e 20 minutos, temos:
a) 2.400 3 30w 1 10w 5 72.000w 1 10w 5 72.010w
 Logo, o ponteiro das horas girou 72.010w.
b) 2.400 3 360w 1 120w 5 864.000w 1 120w 5 864.120w
 Logo, o ponteiro dos minutos girou 864.120w, o 
 que corresponde a 14.402s ________ 
3
 rad.
c) Como 2.400 horas e 20 minutos equivalem a 
100 dias e 20 minutos, concluímos que, quan-
do parou de funcionar, o relógio marcava 0 h 
20 min.
16 a) N: 180w 2 22w 5 158w
 P: 180w 1 22w 5 202w
 Q: 360w 2 22w 5 338w
b) N: s rad 2 s __ 
7
 rad 5 6s ___ 
7
 rad
 P: s rad 1 s __ 
7
 rad 5 8s ___ 
7
 rad
 Q: 2s rad 2 s __ 
7
 rad 5 13s ____ 
7
 rad
17 a) M: 180w 2 120w 5 60w
 N: 120w
 P: 180w 1 60w 5 240w
 Q: 360w 2 60w 5 300w
b) M: 210w 2 180w 5 30w
 N: 180w 2 30w 5 150w
 P: 210w
 Q: 360w 2 30w 5 330w
c) M: 360w 2 310w 5 50w
 N: 180w 2 50w 5 130w
 P: 180w 1 50w 5 230w
 Q: 310w
d) M: s 2 4s ___ 
5
 5 s __ 
5
 
 N: 4s ___ 
5
 
 P: s 1 s __ 
5
 5 6s ___ 
5
 
 Q: 2s 2 s __ 
5
 5 9s ___ 
5
 
e) M: 4s ___ 
3
 2 s 5 s __ 
3
 
 N: s 2 s __ 
3
 5 2s ___ 
3
 
 P: 4s ___ 
3
 
 Q: 2s 2 s __ 
3
 5 5s ___ 
3
 
f ) M: 2s 2 11s ____ 
6
 5 s __ 
6
 
 N: s 2 
s
 __ 
6
 5 5s ___ 
6
 
 P: s 1 
s
 __ 
6
 1 7s ___ 
6
 
 Q: 11s ____ 
6
 
18 Do estudo dos espelhos planos, sabemos que a 
imagem de um ponto P é o simétrico a ele em 
relação ao plano do espelho. 
Assim, considerando o plano da circunferência 
observada no esquema da página anterior, con-
cluímos que: 
• P1 é o simétrico de P em relação à reta OB; 
• P3 é o simétrico de P em relação à reta OA;
• P2 é o simétrico de P1 em relação à reta OA (e 
também é simétrico de P3 em relação à reta OB). 
 Portanto, aplicando o mesmo raciocínio usado 
nas simetrias de um ponto da circunferência 
trigonométrica, temos:
O
B
P (180° � 148° � 32°)
A
P3 (360° � 32° � 328°)P2 (180° � 32° � 212°)
P1 (148°)
 Assim, concluímos que os arcos + AP , + AP 2 e + AP 3 
medem, respectivamente, 32w, 212w e 328w.
19 A(1, 0), B(0, 1), Ae(21, 0) e Be(0, 21)
a) cos 0 5 1
b) sen 0 5 0
Moderna PLUS MATEMÁTICA
4
Parte III 
Capítulo 13 A circunferência trigonométrica: seno, cosseno e tangente 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
c) cos s __ 
2
 5 0
d) sen s __ 
2
 5 1
e) cos s 5 21
f ) sen s 5 0
g) cos 3s ___ 
2
 5 0
h) sen 3s ___ 
2
 5 21
i ) cos 2s 5 1
j ) sen 2s 5 0
k) cos 720w 5 cos 0w 5 1
l ) sen 450w 5 sen (90w 1 360w) 5 sen 90w 5 1
m) sen 990w 5 sen (2 3 360w 1 270w) 5 sen 270w 5 21
n) cos 810w 5 cos (2 3 360w 1 90w) 5 cos 90w 5 0
o) sen (2270w) 5 sen 90w 5 1
p) cos (2180w) 5 cos 180w 5 21
q) cos 12s 5 cos 0 5 1
r) cos 11s 5 cos (5 3 2s 1 s) 5 cos s 5 21
s) sen 21s ____ 
2
 5 sen @ 20s ____ 
2
 1 s __ 
2
 # 5 sen s __ 
2
 5 1
t) sen 23s ____ 
2
 5 sen @ 20s ____ 
2
 1 3s ___ 
2
 # 5 sen 3s ___ 
2
 5 21
u) sen (2s) 5 sen s 5 0
v) cos (23s) 5 cos (22s 2 s) 5 cos (2s) 5 cos s 5
 5 21
20 E 5 sen 90w 2 cos 180w 1 cos 270w _____________________________ 
sen 270w 2 cos 90w
 
E 5 
1 2 (21) 1 0
 _____________ 
21 2 0
 5 2 ___ 
21
 5 22
21 a) f @ s __ 
2
 # 5 2 sen s __ 
2
 1 sen s 1 cos 3s ___ 
2
 
 f @ s __ 
2
 # 5 2 3 1 1 0 1 0 5 2
b) f (s) 5 2 sen s 1 sen 2s 1 cos 3s
 f (s) 5 2 3 0 1 0 1 (21) 5 21
 c) • f (0) 5 2 sen 0 1 sen 0 1 cos 0
 f (0) 5 2 3 0 1 0 1 1 5 1
• f (2s) 5 2 3 sen 2s 1 sen 4s 1 cos 6s
 f (2s) 5 2 3 0 1 0 1 1 5 1
• f @ 3s ___ 
2
 # 5 2 3 sen 3s ___ 
2
 1 sen 3s 1 cos 9s ___ 
2
 
 f @ 3s ___ 
2
 # 5 2 3 (21) 1 0 1 0 5 22
 Logo: 
f (0) 1 f (2s)
 ___________ 
f @ 3s ___ 
2
 # 
 5 1 1 1 ______ 
22
 5 2 ___ 
22
 5 21
22 E 5 
sen s __ 
6
 1 cos s __ 
3
 
 ______________ 
sen s __ 
2
 
 ] E 5 
 1 __ 
2
 1 1 __ 
2
 
 ______ 
1
 5 1 __ 
1
 5 1
23 Para x 9 V, temos:
21