Prova - Questões Desafiadoras de Probabilidade e Combinatória

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Prova - Questões Desafiadoras de Probabilidade e Combinatória
Introdução:
Nesta prova, você será desafiado a resolver questões de probabilidade e combinatória que exigem atenção aos detalhes, além de bom conhecimento de como calcular diferentes arranjos e combinações em diversos contextos. Prepare-se para aplicar fórmulas e raciocínio lógico em uma variedade de situações matemáticas.
Questões:
1. Qual é a quantidade de permutações possíveis de 6 letras da palavra "COMPUTADOR", considerando que a letra "O" se repete duas vezes?
· A) 5040
· B) 720
· C) 360
· D) 3600
· E) 2520
2. Em uma urna com 5 bolas vermelhas, 3 bolas verdes e 2 bolas azuis, qual é a probabilidade de retirar uma bola vermelha ou verde?
· A) 810\frac{8}{10}108​
· B) 510\frac{5}{10}105​
· C) 310\frac{3}{10}103​
· D) 710\frac{7}{10}107​
· E) 110\frac{1}{10}101​
3. Se um time de futebol possui 11 jogadores, de quantas maneiras diferentes uma seleção de 4 jogadores pode ser formada?
· A) 330
· B) 440
· C) 495
· D) 550
· E) 660
4. Em um sorteio com 3 prêmios e 15 participantes, qual é a probabilidade de um participante específico ganhar pelo menos 1 prêmio?
· A) 315\frac{3}{15}153​
· B) 35\frac{3}{5}53​
· C) 25\frac{2}{5}52​
· D) 15\frac{1}{5}51​
· E) 115\frac{1}{15}151​
5. Quantas diferentes senhas de 4 dígitos podem ser formadas usando os números 1, 2, 3, 4, 5, sem repetição de dígitos?
· A) 120
· B) 60
· C) 24
· D) 36
· E) 48
6. De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 livros em uma prateleira, se 2 dos livros são idênticos?
· A) 60
· B) 120
· C) 180
· D) 240
· E) 360
7. Se duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que as duas cartas sejam do mesmo naipe?
· A) 117\frac{1}{17}171​
· B) 113\frac{1}{13}131​
· C) 451\frac{4}{51}514​
· D) 1251\frac{12}{51}5112​
· E) 1651\frac{16}{51}5116​
8. Em uma pesquisa, um total de 20 pessoas foi entrevistado. Qual é a probabilidade de escolher 2 pessoas, sendo ambas do mesmo sexo, se há 10 homens e 10 mulheres?
· A) 1038\frac{10}{38}3810​
· B) 45190\frac{45}{190}19045​
· C) 45190\frac{45}{190}19045​
· D) 519\frac{5}{19}195​
· E) 919\frac{9}{19}199​
9. Se um dado é lançado três vezes, qual é a probabilidade de obter um número par em todos os lançamentos?
· A) 18\frac{1}{8}81​
· B) 14\frac{1}{4}41​
· C) 38\frac{3}{8}83​
· D) 12\frac{1}{2}21​
· E) 16\frac{1}{6}61​
10. Quantas maneiras diferentes podemos escolher 3 cores de uma paleta com 8 cores, se a ordem das cores não importa?
· A) 56
· B) 84
· C) 120
· D) 70
· E) 72
Gabarito e Justificativas:
1. A) 5040
Justificativa: A palavra "COMPUTADOR" tem 10 letras, mas a letra "O" se repete duas vezes. O número de permutações possíveis é dado por 10!2!=5040\frac{10!}{2!} = 50402!10!​=5040.
2. D) 710\frac{7}{10}107​
Justificativa: O total de bolas é 10, sendo 5 vermelhas e 3 verdes. A probabilidade de retirar uma bola vermelha ou verde é 810\frac{8}{10}108​.
3. C) 495
Justificativa: O número de maneiras de escolher 4 jogadores entre 11 é dado por (114)=495\binom{11}{4} = 495(411​)=495.
4. B) 35\frac{3}{5}53​
Justificativa: A probabilidade de um participante específico ganhar pelo menos 1 prêmio é dada por 35\frac{3}{5}53​, já que ele tem 3 chances de ser sorteado entre 15 participantes.
5. A) 120
Justificativa: O número de senhas de 4 dígitos possíveis, sem repetição de dígitos, é dado por 5×4×3×2=1205 \times 4 \times 3 \times 2 = 1205×4×3×2=120.
6. B) 120
Justificativa: Como 2 livros são idênticos, o número de formas de organizar 5 livros é dado por 5!2!=120\frac{5!}{2!} = 1202!5!​=120.
7. C) 451\frac{4}{51}514​
Justificativa: O número total de combinações de 2 cartas de 52 é (522)=1326\binom{52}{2} = 1326(252​)=1326. O número de combinações em que as cartas são do mesmo naipe é (132)=78\binom{13}{2} = 78(213​)=78. Logo, a probabilidade é 781326=451\frac{78}{1326} = \frac{4}{51}132678​=514​.
8. B) 45190\frac{45}{190}19045​
Justificativa: A probabilidade de escolher 2 pessoas do mesmo sexo é dada por (102)+(102)(202)=45190\frac{\binom{10}{2} + \binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190}(220​)(210​)+(210​)​=19045​.
9. A) 18\frac{1}{8}81​
Justificativa: A probabilidade de obter um número par em um dado é 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}63​=21​. Para 3 lançamentos, a probabilidade de obter números pares em todos é (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(21​)3=81​.
10. D) 70
Justificativa: O número de maneiras de escolher 3 cores entre 8 é dado por (83)=70\binom{8}{3} = 70(38​)=70.