Constante de Planck

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Experimento para a Determinação da Constante de Planck 
para o Ensino Médio 
 
Ednilson Santos1, Aníbal Bezerra1, Rodrigo Pereira1, Mariama Dias*1, Victor 
Lopez-Richard1 
 
1 Universidade Federal de São Carlos/Departamento de Física/Centro de Ciências Exatas e 
Tecnologia, ed@df.ufscar.br 
Resumo 
Tendo em vista a nescessidade e a importância da inserção de Física moderna no 
Ensino Médio e os poucos experimentos relacionados à essa área, o presente trabalho teve 
como objetivo a construção de um equipamento através do qual foi possível determinar a 
constante de Planck e verificar as propriedades de diodos, para a sua aplicação nas aulas 
de Física moderna. Para tanto , foi utilizado um circuito elétrico constituido por LED’s (Light 
Emissor Diodes), ligados em paralelo entre sí e com uma fonte de tensão contínua , em série 
com um resistor e um potenciômetro. Mediu-se indiretamente, através do resistor, a corrente 
que atravessa o circuito e a tensão aplicada nos LED’s. Com isso obteve-se a tensão de 
corte dos LED’s e, através da expressão da quantização de energia obtida por Max Planck, 
determinou-se sua constante (h). Para se obter uma maior precisão no valor da constante, 
foram feitas medidas do espectro de emissão de cada LED e extraídos seus comprimentos 
de onda. Além da proposta de determinar a constante de Planck, propôs-se um tratamento 
estatístico nos dados extraídos pelo equipamento, através do método dos mínimos 
quadrados (MMQ). O principal desafio foi a realização de uma montagem experimental que 
fosse auto-explicativa, segura e, principalmente, durável, desafio esse que julgamos ter 
vencido. Com ele foi possível determinar a constante de Planck da ordem de (6 ,36 ± 
0,30).10-34J.s, o que está bastante próximo ao valor esperado (6,62.10 -34J.s), uma 
concordância de aproximadamente 96%. Além do equipamento foi desenvolvido um texto 
que tem por objetivo orientar o manuseio deste por professores, alunos e até por pessoas 
leigas no assunto. 
Palavras-chave : Constante de Planck, Física Moderna, Ensino Médio , 
instrumentação 
Introdução 
Um dos temas que mais têm sido abordado atualmente é a introdução de 
conceitos de Física Moderna no ensino médio. Dentre os tópicos que devem ser 
discutidos nessa introdução, estão os conceitos básicos de Mecânica Quântica, os 
quais muitas vezes, por terem um caráter não intuitivo, tornam-se bastante 
complicados. Para tentar ultrapassar essa barreira, a utilização de experimentos em 
sala de aula pode ser uma ferramenta bastante útil. Tendo em vista esse fato, foi 
construído um equipamento constituído basicamente de Led’s e resistores, através 
do qual é possível motivar uma discussão de conceitos de Mecânica Quântica, por 
meio das propriedades dos Led’s. 
Devido ao desenvolvimento de novos materiais e do estudo de suas 
propriedades, vem se desenvolvendo Led’s cada vez mais eficientes e, com isso, 
sua utilização tem perdido o caráter de simples sinalizadores, tais como stand by de 
televisores, e assumindo um papel importante na iluminação em geral. Comparando 
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a relação consumo e potência de Led’s e lâmpadas incandescentes comuns, têm-se 
que a eficiência de um Led branco, por exemplo, é 10 vezes maior que a de uma 
lâmpada incandescente normal – até o ano de 2020, calcula-se que utlilização de 
Led’s na iluminação dos Estados Unidos evitaria a construção de 133 usinas com 
capacidade de 1Mwatt cada [Ciência Hoje , 2008]. 
O LED 
Os semicondutores, base para a fabricação dos LED’s, começaram a ser 
estudados a partir de 1930, com o surgimento da idéia de bandas de energia para 
explicar o comportamento do elétron no interior desses. Com isso foi possível 
entender a diferença entre metais, semicondutores e isolantes [S INGH, 2003]. Por 
de?niç ão, um semicondutor é um material que conduz a eletricidade imperfeitamente 
e cuja resistividade decresce com o aumento da temperatura, ao contrário dos 
metais [HALLYDAY, 1995]. 
Ao se descrever materiais sólidos através da Mecânica Quântica, devido ao 
caráter probabilístico o qual esta assume, chega-se a um modelo de bandas de 
energia, o qual descreve a estrutura cristalina do material através de bandas de 
valência e condução, separadas por uma região de energias “proibidas” as quais os 
elétrons não podem possuir, denominado gap de energia (Eg). O tipo de 
preenchimento das bandas e o tamanho do gap permitem classificar os sólidos em 
isolante, semicondutor e condutor, figura 01. 
 
Figura 01: Representação idealizada da con?guração de bandas e lacunas para um isolante 
(a), um condutor (b) e um semicondutor (c). Os índices Eg e Ef signi?cam energia do gap e 
energia de Fermi respectivamente 
 Um material semicondutor pode ser definido também como um material 
isolante que se encontra, na temperatura de zero absoluto, com gap de energia da 
ordem de alguns eV. 
A versatilidade dos semicondutores pode ser grandemente aumentada se 
introduzirmos impurezas doadoras e aceitadoras de elétrons na rede cristalina, este 
processo é conhecido como dopagem [HALLYDAY, 1995; ASHCROFT, 1976], a 
qual pode ser de dois tipos: Tipo N e tipo P. Um diodo emissor de luz (LED) consiste 
na junção de semicondutores fortemente dopados, sendo um dopado com elétrons e 
outro com buracos (junção P-N). Nesse tipo de junção, os elétrons em excesso da 
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região N e buracos da região P começam a se difundir e se recombinam. Podemos 
dizer que o lado P desse semicondutor ?ca mais negativo na extremidade da junção, 
que a parte mais interna do material, o mesmo ocorrendo com o lado N que ?ca 
mais positivo [SCHUBERT, 2008], conforme esquema da Erro! Fonte de referência 
não encontrada.. 
 
Figura 02: a) diagrama esquemático mostrando uma junção P-N. b) Diagrama de energia 
para a junção P -N 
O deslocamento dessas cargas origina um campo elétrico que cria uma barreira ao 
movimento. Se aplicarmos um campo elétrico no mesmo sentido que o estabelecido 
na junção, teremos uma corrente elétrica muito pequena ou desprezível. No entanto, 
se aplicarmos um campo elétrico no sentido oposto ao campo estabelecido na 
junção, favoreceremos o deslocamento de portadores majoritários (elétron do lado N 
e buracos do lado P) gerando correntes tanto maiores quanto maior o campo 
externo aplicado [EISBERG, 1979]. A ?gura 2b mostra os diagramas de energia para 
a junção feita na ?gura 02a. Quando um elétron da banda de condução recombina 
se com um buraco da banda de valência, uma energia Eg, igual à diferença entre os 
dois níveis, é liberada [SHULBERT, 2006]. Em alguns semicondutores, essa energia 
se manifesta na forma de vibrações da rede cristalina (Fônons), em outros, como no 
caso dos LED’s, a energia pode ser emitida como um fóton de energia hf, cujo 
comprimento de onda é dado por [EISBERG, 1979]: 
gg E
hc
h
E
c
f
c
===λ
 (1) 
 
A constante h na equação é a constante de Planck, derivada por Max Planck 
no início do século XX, quando este tentava explicar o espectro de radiação de 
corpo negro. A determinação dessa constante pode ser alcançada através da curva 
característica de um LED, como sugere a montagem experimental, uma vez que a 
energia necessária para o acendimento do mesmo é igual à energiaemitida pela 
radiação [STUDART, 2000] 
 
INSTRUMENTAÇÃO 
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Tendo em vista que este estudo teve como principal objetivo o cálculo da 
constante de Planck, foi utilizado um diodo emissor de luz (LED) e, a partir da sua 
tensão de corte, obtivemos o valor dessa constante. Além disso, foi possível utilizar 
esse componente para explicitar o funcionamento de diodos e suas propriedades, 
como por exemplo, a condução elétrica apenas em uma direção, sobre bandas de 
energia e a relação entre o gap e a cor desses LED’s. 
A montagem realizada permite explicitar essas propriedades através de 
medidas de tensões, acompanhando a condução de corrente através do diodo. Para 
a realização deste experimento foram utilizados os componentes dispostos na 
Tabela 1: 
Tabela 01: Custos aproximados para a confecção do equipamento 
Material Quantidade 
Valor 
unitário (R$) 
Valor 
Total (R$) 
Borne B0058 15A Fusibrás 4 1,75 7,00 
Led 5mm azul cristal 4000MCD 1 1,20 1,20 
Led 5mm amarelo cristal 
9000MCD 1 2,00 2,00 
Led 5mm vermelho cristal 
2000MCD 1 1,50 1,50 
Led 5mm roxo cristal 200MCD 1 1,50 1,50 
Led verde cristal 4000MCD 1 2,00 2,00 
Chave MTS 101 2 posições 2 
terminais azul 5 1,50 7,50 
Fonte 3V 300mA (+) Esteves 1 15,00 15,00 
Potenciômetro 1w 1kO 16mm 1 2,00 2,00 
Jack J4 2,1x5,5mm c/ porca 
tower 2 1,70 3,40 
Knob 1 0,80 0,80 
Dobradiça 2 0,50 1,00 
Parafusos 4 0,15 0,60 
Caixa para fonte 120x35x120mm 1 7,50 7,50 
Caixa de transporte 
200x200x120mm - - - 
Resistor 1/8w 560O 1 0,05 0,05 
TOTAL 53,05 
 
Nesse projeto, para o cálculo da constante de Planck apenas um LED seria 
necessário, mas para obter maior precisão foram usados 5 LED’s diferentes, com 
cápsulas transparentes. Além disso, foram usados dois jacks para a conexão com a 
fonte, num deles, os LED’s são polarizados diretamente, e no outro inversamente, 
dessa maneira o aluno poderá perceber que o diodo conduz apenas em uma 
direção. 
A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra, esquematicamente, 
o circuito eletrônico utilizado nessa montagem. Nota-se nela a presença de cinco 
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LED’s, cada qual com sua respectiva chave liga-desliga (MTS), ligados 
paralelamente entre sí e em série com um resistor de 560?. Para se obter a 
variação da tensão sobre os LED’s foi utilizado um potenciômetro de 1k?, o qual 
teve suas extremidades ligadas à alimentação do circuito e sua parte central ligada 
em série com o resistor e os LED’s. Para alimentar o circuito foi utilizada um fonte 
reti?cada de 3V (300mA), a qual é conectada através de dois jacks, um deles 
alimenta o circuito positivamente e o outro negativamente. Para a realização das 
medidas de corrente-tensão (I-V), estão ligados em paralelo com o resistor (para 
obtenção da corrente que atravessa o circuito através da Lei de Ohm) e com os 
LED’s (medida de tensão), dois pares de Bornes para a conexão de voltímetros. 
 
Figura 03: Esquema do circuito eletrônico utilizado na montagem. Na ?gura, (-) e 
(+) representam as entradas que polarizam o Led inversamente e diretamente 
respectivamente.(A) e (B) são os bornes que permitem a medição da tensão no Led e no 
resistor 
Além disso, foi feita uma caixa para proteção do equipamento, para 
transportá-lo mais facilmente. Essa caixa possui dimensões externas de 
20x20x12cm, foi envernizada e para não haver choque do protótipo com as paredes 
internas da caixa, esta foi também revestida por espuma. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
O procedimento experimental consiste basicamente na obtenção das curvas 
de corrente tensão para cada LED. Para isso, liga-se a fonte no equipamento, 
seleciona-se um dos LED’s e varia-se a tensão aplicada neste com o auxílio do 
potenciômetro. 
Ao se variar a tensão, faz-se a leitura desta com o voltímetro conectado aos 
bornes do lado A (lado direito olhando de cima) e, concomitantemente realiza-se 
medidas de tensão nos bornes do lado B (lado esquerdo olhando de cima), ou seja, 
mede-se a tensão no LED e no resistor, respectivamente. 
Para comprovarmos o funcionamento do LED em suas duas polarizações, 
temos duas entradas de alimentação no circuito. Numa delas, a de sinal (-), aplica 
corrente no sentido contrário à condução do LED, portanto, este será polarizado 
inversamente e não irá conduzir corrente e, assim, as medidas de tensões tanto no 
resistor, quanto no LED serão nulas, como foi explicado anteriormente na teoria. Se 
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ligarmos agora, a alimentação na entrada (+), o LED será polarizado diretamente e 
irá conduzir corrente quando a tensão aplicada no circuito for su?ciente para excitar 
os elétrons para a banda de condução. 
Usando a lei de Ohm [HALLIDAY, 1984], pode-se obter a corrente que 
atravessa o circuito e, com isso, construir um grá?co de tensão versus corrente. A 
partir desses grá?cos pode-se obter a tensão de corte dos LED‘s, para isso traça-se 
a melhor reta que ajusta o crescimento linear das curvas. 
Sabendo a tensão de corte para cada LED, constrói-se um grá?co de 
freqüência dos LED‘s versus tensão de corte e, através do coe?ciente angular da 
reta que melhor ajusta os pontos experimentais ou do Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ), obtêm-se o valor da constante de Planck. 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Para conseguir uma boa precisão do comprimento de onda de emissão do 
LED, foi medido o espectro de emissão para cada LED. A medida foi feita no 
Laboratório de Fotoluminescência na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 
com um espectrômetro de linhas e o resultado obtido está representado abaixo. 
Em seguida foram feitas, conforme discutido na seção anterior, as medidas 
de tensão e correntes a ?m de encontrar a tensão limiar de cada LED. A Erro! Fonte 
de referência não encontrada.4 mostra os dados colhidos. 
Analisando cada grá?co, notamos que cada LED possui uma tensão limiar 
particular, isso é devido ao gap de energia de cada um, pois, LED’s de cores de 
freqüências altas são os LED’s que possuem um gap de energia maior do que as de 
baixa freqüência, por isso, de acordo com o que Planck propôs na equação, esses 
LED’s emitem fótons com maiores energias. 
Depois de construídos os grá?cos, foi traçada uma reta visual que unia os 
últimos pontos da curva de cada LED para, dessa forma, encontrarmos a tensão 
limiar. Para traçá-la procurou-se construir uma reta que passasse em cima dos 
pontos que estivessem alinhados. Os valores obtidos são apresentados na Erro! 
Fonte de referência não encontrada.. 
Usando os valores obtidos, foi construído um grá?co de tensão versus 
freqüência, a partir deste, fez-se um ajuste linear e obteve -se como coe?ciente de 
inclinação o valor de: 
a = 3,98.10-15 Vs 
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350 400 450 500 550 600 650 700 750
 
 
In
te
ns
id
ad
e 
(u
.a
.)
Comprimento de onda (nm)
-- 399,88nm
-- 465,63nm
-- 540,41nm
-- 593,98nm
-- 626,34nm 
 
Figura 04: Representação do espectro de emissão de luz de cada LED 
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
 
C
or
re
nt
e 
(A
)
Tensão (v)
 Tensãolimiar = 2,87V
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Tensão limiar = 2,66V
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
 Tensão limiar = 2,60V 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Tensão limiar = 1,78V
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Tensão limiar = 1,75V
 
 
 
Figura 05: Representação das medidas de corrente versus tensão para cada LED 
 
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 Sabendo que quando estamos aplicando a tensão limiar estamos fornecendo 
a energia mínima para excitar um elétron para a banda de condução, temos: 
eVh
e
hV
heV
hE
υ
υ
υ
υ
=
=
=
=
 
onde V é a tensão limiar, ν é a freqüência e e a carga elementar. O nosso 
coeficiente de inclinação nos fornec e: 
υ
V
a =
 
Portanto, obtemos: 
eah .= 
h = 3, 98.10-15 .1, 6.10-19 
h = 6, 36.10-34 ± 1, 88.10-23Js 
Esse valor concorda em 96,19%. 
A ?gura 6 mostra o tratamento descrito dos dados gra?camente. 
 
4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Equation: y = a*x 
a 3.9886E-15 ±1.8778E-16
 
 
T
en
sã
o 
lim
ia
r (
V
)
Frequência (1014 Hz)
 
Figura 06 : Representação dos pontos de tensão limiar versus frequência para cada LED 
juntamente com o ajuste linear feito com o auxílio do programa Origin 7.0 
 
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O ajuste da reta feito pelo programa computacional, representado na Erro! 
Fonte de referência não encontrada., pode ser obtido analiticamente a partir do 
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), para isso partirmos de?nindo uma reta que 
passe pela origem, pois não há condução em V=0v, portanto: 
y = ax 
Em seguida devemos encontrar o coe?ciente que torne a expressão abaixo 
mínima: 
[ ] [ ] 0
25
1
25
1
=−
∂
∂
→− ∑∑
== i
ii
i
ii axy
a
axy
 
∑
∑
∑∑
=
=
=−
=
=
5
1
2
5
1
5
1
2
5
1
i
i
i
ii
i
i
i
ii
x
xy
a
axxy
 
onde, nesse caso, y é a tensão limiar e x é a freqüência de emissão do LED. 
Têm-se no total cinco pontos, um para cada LED, e seus respectivos valores, x e y, 
estão representados nas ?guras 5 e 6, respectivamente. Dessa forma obteve-se: 
a = 3,98.10-15Vs 
valor igual ao obtido pelo ajuste feito computacionalmente. Com isso o valor 
obtido anteriormente é o mesmo para a constante de Planck. 
Fez-se também um tratamento de erros para o cálculo da constante a partir 
do método dos mínimos quadrados (MMQ). 
( )[ ]
2
i
2 y
1
1 ∑+
=
n
i
ixf
n
σ
 
onde n é o número de pontos, nesse caso n é igual a cinco, e 
( )
2
2
2 σσ ∑ 





∂
∂=
=
n
i i
a
ii
y
a
axxf
 
∑
∑=
∂
∂
j j
i
i x
x
y
a
2
 
Então obtêm-se: 
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∑∑
=
±=∆⇒=
n
j jj j
a
x
a
x
1
2
2
2
2 σσσ
 
Na equação têm-se que yi são os valores das tensões limiares para cada 
LED e xi são os valores de suas freqüências , calculando obtem-se: 
sVa .10.88,1 16−±=∆ 
assim encontra-se a constante de Planck e seu respectivo erro: 
( ) sJhh .10.30,036,6 34−±=∆± 
Valor igual ao obtido com o auxílio do programa Origin e em bom acordo 
com o encontrado na literatura, 6, 62.10-34 J.s, fornecendo concordância de 96,19%, 
onde o desvio pode estar associado às medidas experimentais e erros de precisão 
de equipamentos de medida. 
CONCLUSÃO 
Esse trabalho teve como principal objetivo, determinar a constante de Planck 
através de um equipamento simples e de fácil reprodução, para dessa forma tornar 
mais atraente o aprendizado de Física moderna no Ensino Médio. Através desse 
equipamento, foi possível determinar o valor da constante como sendo h = (6, 36 ± 
0, 30).10- 34Js, concordância de 96,19%, desvio que pode se atribuído a erros de 
medidas experimentais e de precisão de equipamentos de medida. 
Referências 
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