Sem 11 - Fund Mecânica Poli 2021 2 Cap 10

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Fundamentos da 
Mecânica 
Semana 11 
Semestre 2022.2 
Cap. 10 - Rotações 
 
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Prof. MsC. Eduardo César 
CAP. 10 – ROTAÇÃO 
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OBJETIVOS 
• Saber que, se todas as partículas de um corpo giram da mesma forma em torno de 
um eixo, o corpo é um corpo rígido; 
• Saber que a posição angular de um corpo rígido em rotação é o ângulo que uma 
reta interna de referência faz com uma reta externa fixa; 
• Conhecer a relação entre o deslocamento angular e as posições angulares inicial e 
final; 
• Conhecer a relação entre a velocidade angular média, o deslocamento angular e o 
intervalo de tempo durante o qual ocorreu o deslocamento; 
• Conhecer a relação entre a aceleração angular média, a variação de velocidade e o 
intervalo de tempo durante o qual ocorreu a variação de velocidade; 
• Saber que o movimento anti-horário é considerado positivo e o movimento horário 
é considerado negativo; 
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OBJETIVOS 
• Calcular a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade 
angular média em um dado intervalo, dada a posição angular em função do tempo ; 
• Determinar a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade 
angular média em um dado intervalo, dada uma curva da posição angular em função 
do tempo; 
• Saber que a velocidade angular escalar é o módulo da velocidade escalar 
instantânea; 
• Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração 
angular média em um dado intervalo, dada a velocidade em função do tempo; 
• Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração 
angular média em um dado intervalo, dada uma curva da velocidade angular em 
função do tempo ; 
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OBJETIVOS 
• Calcular a variação de velocidade angular de um corpo integrando a função 
aceleração angular em relação ao tempo; 
• Calcular a variação de posição angular de um corpo integrando a função velocidade 
angular em relação ao tempo; 
• Usar as relações entre posição angular, deslocamento angular, velocidade angular, 
aceleração angular e tempo transcorrido, no caso de uma aceleração angular 
constante; 
• Conhecer a relação entre as variáveis angulares do corpo (posição angular, 
velocidade angular e aceleração angular) e as variáveis lineares de uma partícula do 
corpo (posição, velocidade e aceleração) para qualquer raio dado, no caso de um 
corpo rígido girando em torno de um eixo fixo; 
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OBJETIVOS 
• Conhecer a diferença entre aceleração tangencial e aceleração radial, e traçar os 
vetores correspondentes às duas acelerações em um desenho de uma partícula de 
um corpo que esteja girando em torno de um eixo, tanto para o caso em que a 
velocidade angular está aumentando como para o caso em que a velocidade radial 
está diminuindo; 
• Calcular o momento de inércia de uma partícula em relação a um ponto; 
• Calcular o momento de inércia total de várias partículas que giram em torno do 
mesmo eixo fixo; 
• Calcular a energia cinética de rotação de um corpo a partir do momento de inércia 
e da velocidade angular; 
• Calcular o momento de inércia de corpos com variadas geometrias; 
• Calcular o momento de inércia de um corpo por integração a partir dos elementos 
de massa do corpo; 
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OBJETIVOS 
• Aplicar o teorema dos eixos paralelos no caso de um eixo de rotação que não passa 
pelo centro de massa do corpo; 
• Saber que o torque aplicado a um corpo depende de uma força e de um vetor 
posição, que liga um eixo de rotação ao ponto onde a força é aplicada; 
• Calcular o torque usando o ângulo entre o vetor posição e o vetor força, a linha de 
ação e o braço de alavanca da força e a componente da força perpendicular ao vetor 
posição; 
• Saber que, para calcular um torque, é preciso conhecer o eixo de rotação; 
• Saber que um torque pode ser positivo ou negativo, dependendo do sentido da 
rotação que o corpo tende a sofrer sob a ação do torque: “os relógios são 
negativos”; 
• Calcular o torque resultante quando um corpo está submetido a mais de um 
torque; 
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OBJETIVOS 
• Saber que a segunda lei de Newton para rotações relaciona o torque resultante 
aplicado a um corpo ao momento de inércia e à aceleração angular do corpo; todas 
essas grandezas calculadas em relação a um dado eixo de rotação; 
• Calcular o trabalho realizado por um torque aplicado a um corpo integrando o 
torque em relação ao ângulo de rotação do corpo; 
• Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado 
por um torque à variação da energia cinética de rotação do corpo; 
• Calcular o trabalho realizado por um torque constante relacionando o trabalho ao 
ângulo de rotação do corpo; 
• Calcular a potência desenvolvida por um torque determinando a taxa de variação 
do trabalho realizado pelo torque; 
• Calcular a potência desenvolvida por um torque em um dado instante a partir do 
valor do torque e a velocidade angular nesse instante; 
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10.1 POSIÇÃO ANGULAR 
• Movimentos estudados até o momento foram de translação, neste capítulo 
estaremos estudando movimentos de rotação em um corpo rígido, o qual se 
caracterizam por serem realizados em torno de algum eixo fixo; 
• Para melhor compreender as variáveis de rotação, deve-se associá-las às variáveis 
de translação; 
• No movimento linear, todos os pontos se deslocam ao longo de uma reta, no 
mesmo Δt, no movimento angular, todos os pontos se movem ao longo da 
circunferência, descrevendo o mesmo ângulo, no mesmo Δt. 
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10.1 POSIÇÃO ANGULAR 
• Posição angular (θ) da reta é o ângulo que a reta de 
referência faz com o eixo de referência; 
• Giro no sentido anti-horário  Aumenta θ; 
• Giro no sentido horário  Diminui θ; 
• Figura anterior θ =0°; 
• Figura ao lado θ [rad]= s [m]/r[m]; 
• Radiano é um número puro e, portanto, adimensional; 
• 1 volta completa = 1 rev = 360° = 2π rad 
• 1 rad = 57,3° = 0,159 ver 
• 1° = 0,00278 rev = 0,0175 rad 
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10.2 DESLOCAMENTO ANGULAR 
• Deslocamento angular (Δθ) da reta de referência é a variação das posições da reta, 
em relação ao eixo de rotação, sendo a diferença entre a posição angular final e 
inicial; 
• Deslocamento angular no sentido anti-horário  Δθ>0; 
• Deslocamento angular no sentido horário  Δθdireita para determinar o sentido do vetor velocidade angular. 
 
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10.4 ACELERAÇÃO ANGULAR MÉDIA E INSTANTÂNEA 
• Aceleração angular média é a variação de velocidade angular média (Δω) de um 
corpo que está girando em torno do eixo, numa variação de tempo Δt; 
][
]/[
]/[ 2
st
srad
sradméd





• Aceleração angular instantânea é a taxa de variação de velocidade angular, num 
corpo que está girando em torno do eixo; 
][
]/[
]/[ 2
sdt
sradd
srad

 
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10.5 EQUAÇÕES CINEMÁTICAS PARA ACELERAÇÃO 
ANGULAR CONSTANTE 
• Característica principal para ser uma equação cinemática para aceleração angular 
constante: α = d²θ/dt² = constante 
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10.6 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E 
ANGULARES 
• Posição linear (s) x posição angular (θ): 
rs 
• velocidade linear (v) x velocidade angular (ω): 
rv
dt
rd
dt
ds


 rf
T
r
t
s
v 

2
2



 f
Tt


 2
2




• aceleração linear tangencial (v) x aceleração angular (α): 


ra
dt
rd
dt
dv

• No movimento circular, a velocidade de cada ponto varia de acordo com a distância 
ao centro, logo essa aceleração radial vale: a=v²/r 
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10.6 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E 
ANGULARES 
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10.7 ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO 
•Para cálculo da energia total na rotação, devemos tomar a massa e a velocidade de 
cada partícula em função da sua posição, logo: 
 

n
i ii
n
i iiii rmvmvmvmvmK
1
22
1
222
22
2
11
2
1
2
1
2
1
...
2
1
2
1

• Aplicando a definição de momento de inércia (I), temos que: 
IK 2
2
1

• Sua equivalente em momento de translação é: 
MvK CM
2
2
1

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10.8 MOMENTO DE INÉRCIA 
• Aplicando a definição de inércia do tópico anterior, num sistema de partículas, 
temos que: 
 

n
i iirmI
1
2
• Para objetos sólidos e contínuos, aplica-se: 
 dmrI ²
• Para determinar o momento de inércia de vários objetos, pode aplicar-se a tabela 
no próximo slides ou o Teorema dos Eixos paralelos 
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10.8 MOMENTO DE INÉRCIA 
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10.9 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
• Considerando o deslocamento do eixo de rotação de 
O(0,0) para P(a,b) e dado um elemento infinitesimal de 
massa dm(x,y), temos que: 
 
 


 



dmbaydmbxdmadmyx
dmbybyaxax
dmbyaxdmrI
²)²(22²)²(
2²²2²²
)²()²(²
Considerando que R é a distância de O até dm, considerando a definição de CM, no 
eixo XY e considerando o valor de h, escrevemos o teorema dos eixos paralelos: 
²MhII CM 
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10.10 TORQUE 
• É a tendência de rotação ou torção em torno de um eixo que determinado corpo 
sofre ao ser aplicado uma força, em uma posição em relação ao eixo. 
• Se a força aplicada for radial, não há giro, porém se for tangencial, haverá. 
• Caso seja aplicado uma força em qualquer direção, deve ser decomposta nas 
componentes radiais e tangenciais, em relação ao ponto de aplicação, com a reta de 
ligação do centro ao ponto de contato. 
 rFsenrFt 
• No caso do braço de alavanca, podemos 
reescrever como: 
 FrFrsenrFt 
• Relembrando: Sentido horário é negativo 
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10.11 2ª LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES 
• Aplicando a 2ª Lei de Newton e a definição de Torque, temos: 
 ImrrrmrmarF tt  )( 2
•Fazendo uma analogia: 
- Torque está para força, assim como a massa está para o momento inercial, bem 
como a aceleração linear, está para a angular. 
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10.12 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO 
• Para aplicação em movimentos rotacionais, inicialmente utilizamos os movimentos 
de translação, sendo assim: 











dt
d
Fv
dt
dW
P
dWdrdFdsFdWFdxW
Imrrrm
vvmmvmvKKKW
f
i
f
i
tt
x
x
ififif
ififif
)(
2
1
)²(
2
1
)²²(
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
222222
2222
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10.12 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO 
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LISTA DE EXERCÍCIOS HALLIDAY – PÁGS. 286 A 294 
 
• As variáveis da rotação 6; 
• Rotação com aceleração angular constante 10; 
• Relação entre as variáveis lineares e angulares 24; 
• Energia cinética da rotação: 33; 
• Cálculo do momento de inércia: 42; 
• Torque 47; 
• 2ª Lei de Newton para rotações: 57; 
• Trabalho e energia cinética de rotação: 66; 
• Problemas adicionais: 73 e 98. 
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REFERÊNCIAS 
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BIBLIOGRAFIA 
BÁSICA: 
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Vols. 1 e 2. 10ª ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
•TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1. 6ª ed. LTC, 
2009. 
•KELLER, F. J.; GETTYS, E.; SKOVE, M. Física, Vol. 1. São Paulo: Makron Books, 1999. 
 
COMPLEMENTAR: 
• SERWAY, R.Física, Vols. 1 e 2. 3ª ed. São Paulo: THOMSON, 2007. 
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