Derivadas de Funções Trigonométricas

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
Para aprofundar nossa compreensão sobre as derivadas das funções 
trigonométricas, é essencial revisitar os fundamentos dessa disciplina 
matemática, que remonta à resolução trigonométrica dos triângulos. Conforme 
destacado por Zahn (2009), a trigonometria visa estabelecer relações entre 
elementos angulares e lineares de figuras geométricas, com aplicações desde a 
astronomia até a geometria aplicada. 
Nesta aula, estudaremos o papel das funções trigonométricas, como o 
seno, cosseno e tangente, não apenas na resolução de problemas geométricos, 
mas também na modelagem de fenômenos oscilatórios, ondulatórios e cíclicos 
presentes em diversas áreas científicas e tecnológicas. O estudo dessas funções 
está intimamente ligado à compreensão dos triângulos retângulos, onde tais 
conceitos se originam. Estendidos para arcos gerais, esses conceitos 
estabelecem uma vasta gama de relações e identidades trigonométricas, 
possibilitando análises mais profundas dos triângulos e compreensão 
abrangente de fenômenos presentes em diversas áreas do conhecimento 
científico e tecnológico. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
AULA 05 – 
DERIVADAS DE 
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
5 DERIVADADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Iniciaremos agora a análise das derivadas de funções de outros tipos, como as 
funções trigonométricas. Recorde-se que o objeto de estudo da trigonometria é a 
resolução trigonométrica dos triângulos, isto é, estabelecer relações entre os 
elementos lineares e os elementos angulares dos triângulos (ZAHN, 2009). Hoje, esse 
aspecto é amplamente conhecido, como já era desde o século III a.C., e tem 
aplicações na astronomia e na geometria. 
As aplicações geométricas são amplamente abordadas, sendo introduzidas no 
final do ensino fundamental e posteriormente aprofundadas no ensino médio. 
Contudo, atualmente, destaca-se o estudo dos aspectos funcionais da trigonometria. 
A amplitude de suas aplicações abrange desde a própria geometria até diversos 
ramos da ciência, incluindo a ciência forense. No ensino médio, após a introdução dos 
números trigonométricos no círculo, é dedicado tempo ao estudo da trigonometria 
como funções periódicas, explorando suas propriedades e as consequências 
derivadas dessas propriedades. 
A aplicação da trigonometria é evidente na modelagem de fenômenos 
oscilatórios, cíclicos e ondulatórios, assim como em movimentos descritos por arcos 
ou circulares. Estas aplicações abrangem uma ampla gama de processamentos de 
imagens digitais, desde edições até a interpretação de imagens de satélites utilizadas 
na exploração espacial. Além disso, a trigonometria é fundamental no estudo dos 
fenômenos ondulatórios, como a oscilação da luz, na sismologia para analisar a 
propagação das ondas de choque de um terremoto, na oceanologia para investigar as 
ondas, marés, correntes marítimas e a propagação de poluentes nos oceanos, assim 
como na propagação de tsunamis. Ela também é aplicada no estudo da propagação 
do som, na criação de música computacional e em muitas outras áreas. 
5.1 Conceitos básicos de trigonometria 
 
Antes de iniciarmos o estudo das derivadas das funções trigonométricas, 
faremos uma breve revisão de alguns conceitos de trigonometria e das funções 
trigonométricas. 
O estudo inicial da trigonometria é realizado a partir de um triângulo retângulo 
(Figura 1), tendo, como referência, um ângulo escolhido. Usam-se os nomes 
“hipotenusa” para o lado oposto ao ângulo de 90°, “cateto oposto” para o segmento 
 
 
oposto ao ângulo de referência e “cateto adjacente” para o segmento adjacente ao 
ângulo não oposto ao ângulo de 90°. 
Figura 1- Funções trigonométricas básicas associadas a um triângulo retângulo 
Fonte: https://shre.ink/8aSv 
Na Figura 1, observe o ângulo de referência α. Com base nesse ângulo de 
referência, as linhas trigonométricas e algumas identidades relevantes para este 
estudo serão listadas e definidas no Quadro 1. 
Quadro 1- Linhas trigonométricas 
Linha 
trigonométrica 
Abreviação Definição 
Seno sen α 
 
Cosseno cos α 
 
Tangente tg α 
 
Secante sec α 
 
Cossecante cossec α 
 
 
 
Cotangente cotg α 
 
Fonte: https://shre.ink/8aAk 
É fácil ver, a partir do Quadro 1, que essas linhas trigonométricas existem aos 
pares, sendo uma a razão entre os comprimentos dos segmentos selecionados e, 
outra, a razão inversa. Uma vez que tratamos de segmentos, são sempre garantidos 
valores diferentes de zero para o denominador, tanto das razões quanto das razões 
inversas, fato que garante a existência de ambas. 
Cumpre considerar, ainda, que tais relações se aplicam a uma série de arcos. 
Uma vez sendo possível a operação com esses arcos, também é possível operar com 
essas relações. Assim, temos o seguinte: 
 Soma de arcos trigonométricos: 
 
 Diferença de arcos trigonométricos: 
 
 Arcos trigonométricos duplos: 
 
 Divisão de arcos trigonométricos: 
 
 
 
Uma vez apresentadas as identidades e definições básicas, apresentamos a 
relação conhecida como relação fundamental da trigonometria: 
sen2x + cos2 x = 1 
A relação acima define que a soma do quadrado de seno de um dado arco ao 
quadrado do cosseno do mesmo arco é 1. Observe que essa relação é similar a uma 
equação de circunferência. A partir da Equação acima, podemos definir o ciclo (ou 
círculo) trigonométrico, apresentado na Figura 2. 
Figura 2 - Ciclo trigonométrico 
Fonte: https://shre.ink/8aLt 
No ciclo trigonométrico da Figura 2, temos uma circunferência de raio 1. 
Observe que essa circunferência é representada em um sistema de eixos similar a um 
 
 
plano cartesiano. No eixo vertical (y), são representados os valores nos senos de 
diversos arcos e, no eixo horizontal (x), os valores dos cossenos. Existem, ainda, duas 
retas paralelas a esses eixos: a reta paralela ao eixo x representa a linha 
trigonométrica relativa às cotangentes e a reta paralela ao eixo y representa a linha 
trigonométrica das tangentes. 
5.2 Derivadas das funções trigonométricas diretas 
Com o propósito de encontrar as derivadas das funções trigonométricas sen x, 
cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x, assumiremos x dado em radianos. Vamos, 
também, precisar dos seguintes limites, os quais são facilmente verificados com os 
conhecimentos adquiridos até aqui: 
Iniciaremos obtendo a derivada da função y = f(x) = sen x, visto que a obtenção 
das demais segue processo análogo. A partir da definição de derivada, obtemos: 
 
Das relações de soma de arcos, resulta que: 
 
 
Como sen x e cos x não dependem de h, esses permanecem constantes 
 
 
quando h → 0. Dessa forma: 
 
Por consequência, temos: 
 
Portanto: 
 
De maneira análoga, podemos obter todos os resultados a seguir: 
 
A aplicação dessas fórmulas é discutida nos exemplos a seguir: 
Exemplo 1: Ache f′(x) se f(x) = x³ · tg x. 
Resolução: usando a regra do produto, obtemos: 
 
 
 
 
Exemplo 2: Ache y′′ (π/6) se y(x) = sec x. 
 
Resolução: 
 
Substituindo x = (π/6): 
 
Exemplo 3: Deriva as seguintes funções: 
a) 𝑦=tan(3𝑥) b) 𝑦=4cosec2(𝑥) 
 
Resolução: 
a) Quando 𝑦=tan (3𝑥), temos: 
 
 
b) Quando 𝑦=4cosec 2(𝑥), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
ZAHN, M. Teoria elementar de funções. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	5 DERIVADADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	5.1 Conceitos básicos de trigonometria
	5.2 Derivadas das funções trigonométricas diretas
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS