SOBRE OS ESTUDOS DE FUNCAO

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SOBRE OS ESTUDOS DE FUNÇÃO: 
 
I) Quais são os conjuntos Domínio e Imagem da função 
- Para todas as funções de 1º grau, o Df é sempre todos os números reais 
do eixo X (𝐷𝑓 = ℝ (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑋)), e a Imf é sempre todos os números reais do 
eixo Y (𝐼𝑚𝑓 = ℝ (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑌)) . 
- Para todas as funções de 2º grau, o Df continua sendo todos os números 
reais do eixo X (𝐷𝑓 = ℝ (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑋)), porém a Imf sempre vai depender do 
ponto vértice Y (𝑌𝑣) . 
Ex.: 
 
Nessa função de 2º grau, a Imf da função é ≥ −5 (maior ou igual). 
 
II) Quais são, se houverem, os valores do Domínio que caracterizam 
as Raízes da função 
- Para todas as funções de 1º grau, só pode haver uma raiz. 
Ex.: 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 > 𝑔(𝑥) = |2𝑥 − 1 = 0| > 2𝑥 = 1 > 𝑥 =
1
2
 
Nessa função, 
1
2
 é a raiz. 
 
- Para as funções de 2º grau, a quantidade de raízes depende do valor do 
delta (Δ), sendo Δ 0 duas raízes. O 
valor de Δ é obtido a partir da fórmula: Δ = b2 − 4 ∗ a ∗ c 
Lembrando que numa função de segundo grau, (𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 10𝑥 + 0) = 
(𝑓(𝑥) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐). 
Ex.: 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 10𝑥 + 0 > Δ = (−10)2 − 4 ∗ 5 ∗ 0 > Δ = 100 
Nessa função, Δ é maior que 0, então a equação possui 2 raízes. 
 
III) Qual é, se houver, o valor da Imagem que caracteriza o 
Intercepto da função; 
- Nas funções de 1° e 2º grau, o intercepto, o ponto onde X e Y se cruzam, é 
sempre o último número da função, ou o número “isolado”. 
Ex.: 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
Nessa função de 1º grau, o -1 é o intercepto. 
Ex.: 𝑔(𝑥) = 5𝑥2 − 10𝑥 + 0 
Nessa função de 2º grau, o 0 é o intercepto. 
 
IV) Como é o comportamento da função em termos de variação de 
sinal (positivo/negativo) 
- Para funções de 1º grau, se observa de onde a linha da função está vindo 
antes e depois do ponto raiz, desse jeito podemos identificar quando a 
função é positiva e quando ela é negativa. 
- Para funções de 2º grau, é necessário analisar a concavidade da função 
para determinar quando ela é positiva ou negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 1º grau, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) é positivo em 𝑥 >
1
2
 e 
negativo em 𝑥 2 . Como visto no 
gráfico, essa função tem essas propriedades por ter sua concavidade para 
cima, onde ela só é negativa enquanto entre 0 e 2, e positiva antes e após 
passar desse valor. 
 
 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 2º grau, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 4, 𝑔(𝑥) é negativa em 𝑥 ≠ 2, ou 
seja, enquanto o valor de x não for 2, a função é somente negativa. Neste 
gráfico, como o y da função nunca excede 0, não se escreve que ela é 
positiva em algum ponto. 
 
V) Como é o comportamento da função em termos de sua 
MONOTONICIDADE (crescimento/decrescimento) 
- Para funções de 1º grau, se observa a direção que a linha da função vai 
depois do ponto raiz, sendo funções de 1º grau sempre crescentes ou 
decrescentes. 
- Para funções de 2º grau, deve se observar a concavidade da função, 
sendo assim possível determinar quando a função é crescente e quando 
ela é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 1º grau, 𝑔(𝑥) é sempre crescente. 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 2º grau, 𝑔(𝑥) é crescente em 𝑥 
2. Apesar do gráfico ser negativo em 𝑥 ≠ 2, ela é crescente até atingir sua 
raiz, e decrescente após passar de sua raiz. 
 
VI) Quais são, se houverem, valores do Domínio que caracterizam 
abscissas de pontos de Máximo ou de Mínimo da função 
(absolutos ou locais) 
- Para todas as funções de 1º grau, não há ponto de máximo ou de mínimo. 
- Para as funções de 2º grau, para identificar quais funções tem ponto de 
máximo ou de mínimo absoluto, deve se observar a concavidade. Caso o 
gráfico seja concavo para cima (aberto para cima), o vértice da função é 
um ponto de mínimo absoluto. Caso o gráfico seja concavo para baixo 
(aberto para baixo), o vértice da função é um ponto de máximo absoluto. 
 
Ex.: 
 
 Nessa função de 2º grau, o vértice é um ponto de máximo absoluto. 
 
VII) Como é a abertura da curva (CONCAVIDADE) que representa 
graficamente a função ao longo de seu Domínio (para cima/para 
baixo) 
- Para todas as funções de 1º grau, não há concavidade. 
- Para as funções de 2º grau, deve se observar se o gráfico é aberto para 
cima (concavidade para cima), ou aberto para baixo (concavidade para 
baixo). 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 2º grau, a função é aberta para cima, ou seja, possui 
concavidade para cima. 
 
VIII) Quais são, se houverem, os valores do Domínio que caracterizam 
abscissas de pontos de Inflexão da curva (pontos onde ocorre 
inversão de concavidade) 
- Para todas as funções de 1º grau, não há ponto de inflexão. 
- Para as funções de 2º grau, deve se observar se a concavidade da função 
varia, ou seja, onde a concavidade muda de direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
Nessa função de 2º grau, a concavidade da função muda de direção. 
 
ANOTAÇÕES EXTRAS SOBRE PONTOS DE INFLEXÃO: 
 
 
Algumas funções com pontos de inflexão podem ter diversos máximos 
locais e mínimos locais, mas apenas o ponto mais alto pode ser o máximo 
absoluto, e apenas o ponto mais baixo de todos pode ser o mínimo 
absoluto.