Exercícios de Geometria Vetorial

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C V G A 
P r o f . F e r n a n d o M a r i n h o 
2 ª L i s t a d e E x e r c í c i o s
 
1) Dados os pontos A(2, −3, 1) e B(4, 5, −2), determinar o ponto P tal que AP = PB. 
 
2) Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determinar a ponto P tal que AP = 3AB. 
 
3) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v. 
 
4) Encontrar os ntimeros a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2, sendo v1= (1, −2, 1 ), 
v2 = (2, 0, −4) e w = (−4, −4, 14). 
 
5) Determinar a e b de modo que os vetores u = (4, 1, −3) e v = (6, a, b) sejam paralelos. 
 
6) Verificar se são colineares (estão em uma mesma reta) os pontos: 
a) A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1) 
b) A(2, 1, −1), B(3, −1, 0) e C(1, 0, 4) 
 
7) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, −2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7). 
 
8) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) são vértices de um 
paralelogramo. 
 
9) Determinar o simétrico do ponto P(3, 1, −2) em relação ao ponto A(−1, 0, −3). 
 
10) Dados os vetores u = (1, a, −2a −1), v = (a, a −1, 1) e w = (a, −1, 1), determinar a de 
modo que u • v = (u + v) • w. 
 
11) Dados os pontos A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar o vetor x tal 
2x − AB = x + (BC • AB) AC. 
 
12) Determinar o vetor v, sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v. 
 
13) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor (vetor unitário com 
mesma direção e mesmo sentido) do vetor 3BA − 2BC. 
 
14) Verificar se são unitários os seguintes vetores: u = (1, 1, 1) e v = 





1
6 , −
2
6 , 
1
6 . 
 
15) Determinar o valor de n para que o vetor v = (n, 25 , 
4
5 ) seja unitário. 
 
16) Seja o vetor v = (m + 7)i + (m + 2) j + 5 k. Calcular m para que |v | = 38 . 
 
17) Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |v | = 7, 
sendo v = mAC + BC. 
 
18) Dados os pontos A (3, m − 1, −4) e B(8, 2m − 1, m), determinar m de modo que |AB| = 35 . 
 
19) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(−1, 0, −1) e C(2, −1,0). 
 
20) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, −3, 1) e B(−2, 1, −1). 
 
21) Seja o triângulo de vértices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. 
 
22) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular 
o produto escalar entre os vetores AB e AC. 
 
23) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
AB • AC + BA • BC + CA • CB. 
 
24) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, −1) e C(−1, 2, 1). 
 
25) Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2, 1, −1) e v = (1, −1, m + 2) é pi3 , determinar m. 
 
26) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j. 
 
27) Dados os vetores a = (2, 1, α), b = (α + 2, −5, 2) e c = (2α, 8, α), determinar o valor 
de α para que o vetor a + b seja ortogonal ao vetor c − a. 
 
28) Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (1, −1, 2), tal que v • u = −18. 
 
29) Determinar o vetor v ortogonal ao vetor u = (2, −3, −12) e colinear ao vetor w = (−6, 4, −2). 
 
30) Determinar o vetor v, colinear ao vetor u = (−4, 2, 6), tal que v • w = −12, sendo 
w = (−1, 4, 2). 
 
31) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) são vértices de um triângulo 
retângulo. 
 
32) Qual o valor de α para que os vetores a = αi + 5j − 4k e b = (α + 1)i + 2j + 4k sejam 
ortogonais? 
 
33) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1). 
 
34) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45°, 60° e 90°? Justificar. 
 
35) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e γ. Determinar γ. 
 
36) Determinar o vetor v, sabendo que |v | = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, v • w = 6 e w = 2j +3k. 
 
37) Sabe-se que |v | = 2, cos α = 12 e cos β = − 
1
4 . Determinar v . 
 
38) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v = (2, −1, 1). 
 
39) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1, −1, 2). 
40) 0 vetor v e ortogonal aos vetores u = (2, −1, 3) e w = (1, 0, −2) e forma ângulo agudo com o 
vetor j. Calcular v, sabendo que | v | = 3 6 . 
 
41) Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz às condições v • v1 = 10 e 
v • v2 = −5, sendo v1 = (2, 3, −1) e v2 = (1, −1, 2). 
 
42) Determinar o vetor projeção ortogonal do vetor u = (1, 2, −3) na direção de v = (2, 1, −2). 
 
43) Qual é o comprimento do vetor projeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? 
 
44) Se o vetor AB tem cossenos diretores p, q e r e ângulos diretores α, β e γ, quais são cossenos 
e os ângulos diretores de BA? 
 
45) Mostrar que se u e v são vetores tais que u + v é ortogonal a u − v, então | u | = | v |. 
 
46) Mostrar que, se u é ortogonal a v e w, u também é ortogonal a v+ w. 
 
47) Calcular o módulo dos vetores u + v e u − v, sabendo que | u | = 4, | v | = 3 e o ângulo entre u 
e v é de 60°. 
 
48) Sabendo que | u | = 2, | v | = 3 e que u e v formam um ângulo de 3pi4 , determine 
| (2u − v) • (u − 2v) |. 
 
49) Determinar u • v + u • w + v • w, sabendo que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = 5 . 
 
50) 0 vetor v é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo 
dos x. Determinar v, sabendo que | v | = 14. 
 
RESPOSTAS 
1) P(3, 1, −12 ) 2) (14, −10, −6) 
 
3) v = (1, 1, 1) 4) a1= 2, a2= −3 
 
5) a = 32 , b = −
9
2 6) a) sim b) não 
 
7) a = −3, b = 13 9) (−5, −1, −4) 
 
10) a = 2 11) x = (−17, −13, −15) 
12) v =(1, 1, 1) 13) ( 79 , 
4
9 , 
4
9 ) 
14) v é unitário 15) ± 5 5 
16) −4 ou −5 17) 3 o −135 
18) −3 ou −1 19) 2( 11 + 3 ) 
20) P(1, 0, 0) 21) 45° 
22) 50 23) 169 
24) A^ = arc cos 103 28 , B
^
 = arccos 
2 6 
9 e C
^
 = arccos 
2
42 
 25) m = −4 
26) ± 15 27) 3 ou −6 
28) (−3, 3, −6) 29) v =t (3, −2, 1), t∈ I R 
30) (2, −1, −3) 31) BA • BC = 0 
32) −3 ou 2 33) A^ 
34) Não, cos2 45° + cos2 60° + cos2 90°≠ 1 35) 60° ou 120° 
36) (4, 3, 0) ou (−4, 3, 0) 37) v =(1, − 2 , ± 11 2 ) 
38) Um deles é (0, 1
2 
 , 
1
2 
 ) 39) ( ± 56 , ± 
5
6 , ± 
10
6 ) 
40) (2, 7, 1) 41) (−1, 4, 0) 
42) 109 (2, 1, −1) 43) 3 
44) −p, −q, −r e pi−α, pi−β e pi−γ 47) 37 e 13 
48) 26+15 2 49) −9 
50) (12, −6, 4)