Aula 4 - Produto Vetorial

Prévia do material em texto

4 - Produto Vetorial
4.1 – Definições:
i) O produto vetorial u⃗ x v⃗ , é um vetor, ao contrário do produto escalar, u⃗ . v⃗ , que é um
número real (escalar). O produto vetorial u⃗ x v⃗ pode ser escrito na forma u⃗∧ v⃗ .
ii) Para efetuar o cálculo do produto vetorial, faremos uso da teoria dos determinantes, em
especial a regra de Sarrus.
iii) Chama-se produto vetorial u⃗ x v⃗ dos vetores u⃗=a. i⃗ +b. j⃗+c. k⃗ e
v⃗=d. i⃗ +e. j⃗+ f. k⃗ nesta ordem, à expressão: u⃗ x v⃗= i⃗ .(b ce f )− j⃗ .(a cd f )+ k⃗.(a bd e) Teorema
de Laplace
Este produto vetorial pode ser expresso na forma de matriz, para o cálculo do determinante
pela Regra de Sarrus: u⃗ x v⃗=∣ i⃗ad j⃗be k⃗cf ∣
Observações:
a) v⃗ x u⃗=−( u⃗ x v⃗ ) . Assim, u⃗ x v⃗ ≠ v⃗ x u⃗ .
b) u⃗ x v⃗= 0⃗ se, e somente se u⃗ // v⃗ .
c) O vetor u⃗ x v⃗ é simultaneamente ortogonal a u⃗ e v⃗ . Se os vetores são
ortogonais, seu produto escalar é zero.
Exemplos:
1º) Sejam u⃗=5. i⃗ +4. j⃗+3. k⃗ e v⃗= i⃗ +k⃗ dois vetores. Determinar u⃗ x v⃗ .
2º) Verificar se os vetores u⃗=(3,1,2) e v⃗=(−2,2,5) são simultaneamente ortogonais a um vetor
w⃗ , tal que w⃗=u⃗ x v⃗ .
4.2 - Comprimento de u⃗ x v⃗ :
Se  é o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗ não-nulos, então:
∣⃗u x v⃗∣=∣⃗u∣.∣⃗v∣. sen (θ) 0º <  < 180º
Observações:
a) O produto vetorial não é associativo, pois em geral (u⃗ x v⃗ ) x w⃗≠u⃗ x ( v⃗ x w⃗ ) .
b) Para quaisquer vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ e o escalar k, valem as propriedades:
i) u⃗ x ( v⃗+ w⃗ )=(u⃗ x v⃗ )+(u⃗ x w⃗ )
ii) (u⃗+ v⃗ ) x w⃗=( u⃗ x w⃗ )+( v⃗ x w⃗ )
iii) k. (u⃗ x v⃗ )=(k. u⃗) x v⃗=u⃗ x (k. v⃗ )
iv) u⃗. ( v⃗ x w⃗ )=(u⃗ x v⃗ ) . w⃗
4.3 – Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
Observe o gráfico abaixo:
A base do paralelogramo é dada por ∣⃗u∣ e sua altura é expressa por h=∣⃗v∣. sen(θ) . A
área do paralelogramo é dada por: Área = base x altura
A=∣u⃗∣.∣⃗v∣. sen (θ) → A=∣u⃗ x v⃗∣
Exemplos:
3º) Determinar o vetor x⃗ , tal que x⃗ seja ortogonal ao eixo das ordenadas e u⃗= x⃗ x v⃗ , com
u⃗=(1,1 ,−1) e v⃗=(2,−1,1) .
4º) Sejam os vetores u⃗=(1,−1,−4) e v⃗=(3,2 ,−2) . Determinar um vetor w⃗ que seja:
a) Ortogonal a u⃗ e v⃗ .
b) Ortogonal a u⃗ e v⃗ e unitário.
c) Ortogonal a u⃗ e v⃗ e tenha módulo 4.
d) Ortogonal a u⃗ e v⃗ e tenha cota igual a 7.
5º) Seja um triângulo equilátero ABC, de lado 10. Calcular ∣A⃗B x A⃗C∣ .
6º) Dados os vetores u⃗=(1,−1,1) e v⃗=(2,−3,4) , calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u⃗ e v⃗ .
b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u⃗ .
7º) Determinar a distância do ponto P(5,1,2) à reta que passa por A(3,1,3) e B(4,-1,1).
8º) Dados os vetores u⃗=(2,1 ,−1) e v⃗=(1 ,−1 ,α) . Calcular o valor de α para que a área do
paralelogramo determinado por u⃗ e v⃗ seja igual a √62 .
Exercícios
1) Dados os vetores u⃗=(3,−1,−2) , v⃗=(2,4 ,−1) e w⃗=(−1,0 ,1) , determinar:
a) ∣⃗u x u⃗∣ b) (2. v⃗ ) x (3. v⃗ ) c) (u⃗ x w⃗ )+(w⃗ x u⃗ )
d) (u⃗ x v⃗ ) x ( v⃗ x u⃗) e) ( u⃗−v⃗ ) x w⃗ f) ( u⃗ x v⃗ ) x w⃗
g) u⃗ x ( v⃗ x w⃗ ) h) u⃗ x ( v⃗+ w⃗ ) i) (u⃗ x v⃗ )+( u⃗ x w⃗ )
j) (u⃗ x v⃗ ) . v⃗ k) ( u⃗ x v⃗ ) . w⃗ l) u⃗ . ( v⃗ x w⃗ )
2) Dados os pontos A(2,1,-1), B(3,0,1) e C(2,-1,-3), determinar o ponto D tal que A⃗D=B⃗C x A⃗C .
3) Determinar o vetor x⃗ tal que x⃗.(1,4 ,−3)=−7 e x⃗ x (4,−2,1)=(3,5 ,−2) .
4) Resolver os sistemas: a) {x⃗ x j⃗=k⃗x⃗ .(4 ,−2,1)=10 b) {x⃗ x (2 ,−1,3)= 0⃗x⃗ .(1,2 ,−2)=12
5) Dados os vetores u⃗=(3,1,1) , v⃗=(−4,1,3) e w⃗=(1,2,0 ) , determinar x⃗ de modo que
x⃗⊥ w⃗ e x⃗ x u⃗=v⃗ .
6) Sejam os vetores u⃗=(1,−2,1) , v⃗=(1,1,1) e w⃗=(1,0 ,−1) .
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é
paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que u⃗ x ( v⃗ x w⃗ )=0⃗
7) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u⃗+2. v⃗ e v⃗−u⃗ , sendo
u⃗=(−3,2 ,0) e v⃗=(0,−1,−2) .
8) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2,3,1), B(1,-1,1) e C(4,1,-2).
Considere o extremo inicial dos vetores como sendo o ponto A.
9) Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a u⃗=(3,2,2 ) e v⃗=(0,1,1) .
10) Sendo ∣⃗u∣=2.√2 , ∣⃗v∣=4 e 45º o ângulo entre u⃗ e v⃗ , calcular:
a) ∣2. u⃗ x v⃗∣ b) ∣25 u⃗ x 12 v⃗∣
11) Determinar u⃗. v⃗ sabendo que ∣⃗u x v⃗∣=12 , ∣⃗u∣=13 e v⃗ é unitário.
12) Dados os vetores u⃗=(3,−1,2) e v⃗=(−2,2,1) , calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u⃗ e v⃗ .
b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v⃗ .
13) Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4,1,2), B(5,0,1), C(-1,2,-2) e D(-2,3,-1) é um
paralelogramo e calcular a sua área.
14) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2,-4,0) e B(1,-3,-1) e o ponto médio das
diagonais é M(3,2,-2). Calcular a área do paralelogramo.
15) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por u⃗=(m ,−3,1) e
v⃗=(1,−2,2) seja igual a √26 .
16) Sabendo que ∣⃗u∣=6 , ∣⃗v∣=4 e 30º é o ângulo entre os vetores, calcular:
a) a área do triângulo determinado por u⃗ e v⃗ .
b) a área do paralelogramo determinado por u⃗ e −v⃗ .
17) Calcular a distância do ponto P(4,3,3) à reta que passa por A(1,2,-1) e B(3,1,1).
18) Calcular o valor da componente z, sabendo que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são vértices de um
triângulo de área 6.
19) Dados os pontos A(2,1,-1) e B(0,2,1), determinar o ponto C do eixo 0y de modo que a área de
triângulo ABC seja
3
2
u.a.
20) Os pontos médios do triângulo ABC são M(0,1,3), N(3,-2,2) e P(1,0,2). Determinar a área do
triângulo ABC.
Respostas:
1) a) |⃗u x u⃗|=0⃗ b) (2. v⃗ ) x (3. v⃗ )= 0⃗ c) (u⃗ x w⃗ )+(w⃗ x u⃗ )=0⃗
d) (u⃗ x v⃗ ) x ( v⃗ x u⃗)= 0⃗ e) (u⃗−v⃗ ) x w⃗=(−5,0 ,−5)
f) (u⃗ x v⃗ ) x w⃗=(−1 ,−23 ,−1) g) u⃗ x ( v⃗ x w⃗ )=(−6 ,−20,1)
h) u⃗ x ( v⃗+ w⃗ )=(8 ,−2,13) i) ( u⃗ x v⃗ )+( u⃗ x w⃗ )=(8 ,−2,13)
j) (u⃗ x v⃗ ) . v⃗=0 k) ( u⃗ x v⃗ ) . w⃗=5 l) u⃗ . ( v⃗ x w⃗ )=5
2) D(−4 ,−1,1) 3) v⃗=(3 ,−1,2) 4) a : x⃗=(1,−3,0)
b : x⃗=(−4,2 ,−6)
5) ∄ x⃗
6) a)
u⃗ . v⃗=0
u⃗ . w⃗=0
v⃗ . w⃗=0
; b)
u⃗ x v⃗=−3 w⃗
u⃗ x w⃗=2 v⃗
v⃗ x w⃗=−u⃗
; c) Demonstração 7)
x⃗=(2 y3 , y ,− y2 ) y ∈ R
ou
x⃗=(−12,−18,9)
8) x⃗=(12 ,−3,10) 9)
x⃗=(0 ,−√2 ,√2)
ou
x⃗=(0,√2 ,−√2)
10)
|2 u⃗ x v⃗|=16
|25 u⃗ x12 v⃗=85| 11) ±5
12) A=3√10
h=√10
13) Demonstração
A=√122
14) A=2.√74 15) m=0
m=2
16) a : A=6
b : A=12
17) d=√65
3
18) ±4 19) C(0, 52 ,0)
C(0,1,0)
20) A=4.√2