Aula 3 - Produto Escalar

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3 – Produto escalar
3.1 – Definição
O produto escalar dos vetores u⃗=x . i⃗ + y . j⃗+z . k⃗ e v⃗=a . i⃗ +b . j⃗+c . k⃗ , indicado por u⃗ . v⃗
é o número real tal que:
u⃗ . v⃗=x .a+ y .b+z .c
Exemplos
1º) Dados os vetores u⃗=3 i⃗−5 j⃗+8 k⃗ e v⃗=4 i⃗−2 j⃗−k⃗ , determine u⃗. v⃗
2º) Sejam os vetores u⃗=(3,2,1) e v⃗=(−1,4 ,−1) , calcular:
a) (u⃗+ v⃗ ) (2 u⃗− v⃗ ) b) 〈u⃗ ,u⃗ 〉 c) o⃗. u⃗
3º) Dados os vetores u⃗=(4,a ,−1) e v⃗=(a ,2 ,3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determinar o
valor de a tal que u⃗ ( v⃗+ B⃗A)=5
3.2 – Propriedades do produto escalar
Dados os vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ e um número real k, verifica-se:
i) u⃗ . v⃗= v⃗ . u⃗
ii) u⃗ .( v⃗+ w⃗)=u⃗ . v⃗+u⃗ . w⃗ e (u⃗+v⃗ ) . w⃗=u⃗ . w⃗+ v⃗ . w⃗
iii) k .(u⃗ . v⃗)=(k . u⃗). v⃗=u⃗ .(k . v⃗ )=( u⃗ . v⃗ ). k
iv) u⃗ . u⃗>0 se u⃗≠0
u⃗ . u⃗=0 se u⃗=0⃗=(0,0,0)
v) u⃗ . u⃗=|⃗u|2
3.3 – Teoremas
Dados os vetores u⃗ e v⃗ , temos:
i) |⃗u . v⃗|≤|u⃗|.|⃗v| desigualdade de Schwartz
ii) |⃗u+ v⃗|≤|⃗u|+|v⃗| desigualdade triangular
iii) Se
u⃗ . v⃗>0
cos (θ)>0
0<θ<90 º
u⃗ . v⃗<0
cos (θ)<0
90 º<θ<180 º
u⃗ . v⃗=0
cos(θ)=0
θ=90 º
3.4 – Cálculo do ângulo entre dois vetores
Para determinar o ângulo formado entre dois vetores quaisquer, temos: cos (θ)= u⃗ .
⃗⃗v
|u⃗||⃗v|
3.4.1 - Definição geométrica do produto escalar
 Sejam u⃗ e v⃗ vetores não nulos e θ o ângulo formado entre eles, conforme a figura
abaixo.
No triângulo dado, aplicamos a lei dos cossenos:
|⃗u− v⃗|2=|⃗u|2+|⃗v|2−2|⃗u||v⃗|cos (θ) (1)
Podemos observar que:
|⃗u− v⃗|2=(u⃗− v⃗ )2=( u⃗− v⃗ ) ( u⃗−v⃗ )=u⃗ (u⃗−v⃗ )− v⃗ (u⃗−v⃗ )
|⃗u− v⃗|2=u⃗ u⃗− u⃗ v⃗− v⃗ u⃗+ v⃗ v⃗=|⃗u|2−2 u⃗ v⃗+|⃗v|2 (2)
Comparando as expressões (1) e (2) temos:
|⃗u|2+|⃗v|2−2|⃗u||⃗v|cos (θ)=|u⃗|2−2 u⃗ . v⃗+|⃗v|2
Eliminando os termos semelhantes e dividindo tudo por (−2) obtemos:
|⃗u||⃗v|cos (θ)= u⃗ v⃗ ; 0≤θ≤180 º
Exemplos
4º) Sendo |⃗u|=2 , ∣⃗v∣=3 e θ=120 º o ângulo entre u⃗ e v⃗ , determine:
a) u⃗ . v⃗ b) |⃗u+ v⃗| c) |⃗u− v⃗|
a) u⃗ v⃗=|u⃗||⃗v|cos (θ ) u⃗ . v⃗=2.3 . cos(120 º ) u⃗ . v⃗=6.(−12) u⃗ . v⃗=−3
b) |⃗u+ v⃗|2=|⃗u|2+|⃗v|2+2 u⃗ v⃗ |⃗u+ v⃗|2=22+32+2(−3) |⃗u+ v⃗|2=7 |⃗u+ v⃗|=√7
c) |⃗u− v⃗|2=|⃗u|2+|⃗v|2−2 u⃗ v⃗ |⃗u− v⃗|2=22+32−2(−3) |⃗u+ v⃗|2=19 |⃗u+ v⃗|=√19
5º)Mostrar que os vetores u⃗=(1 ,−2,3) e v⃗=(4,5 ,2) são ortogonais.
6º)Provar que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é triângulo retângulo.
7º) Determinar um vetor ortogonal aos vetores u⃗=(1,−1,0) e v⃗=(1,0,1)
8º) Calcular o ângulo formado entre os vetores u⃗=(1,1,4) e v⃗=(−1,2 ,2)
9º) Sabendo que o vetor v⃗=(2,1 ,−1) forma ângulo de 60º com o vetor A⃗B determinado pelos
pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m), determinar o valor de m.
10º) Determinar o ângulo B no triângulo ABC de vértices A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).
Exercícios
1) Dados os vetores u⃗=(2 ,−3 ,−1) e v⃗=(1,−1,4 ) , calcular:
a) 2 u⃗ . (−v⃗ ) b) (u⃗+3 v⃗ ) ( v⃗−2 u⃗ ) 
2) Sejam os vetores u⃗=(2,a ,−1) , v⃗=(3,1 ,−2) e w⃗=(2a−1 ,−2,4 ) . Determinar a de modo
que u⃗. v⃗=( u⃗+ v⃗ ) ( v⃗+ w⃗ )
3) Dados os pontos A (4,0 ,−1) e B(2,−2,1) e os vetores u⃗=(2,1 ,1) e v⃗=(−1,−2,3) , obter o
vetor x⃗ tal que 3 x⃗+2 v⃗= x⃗+( A⃗B. u⃗) . v⃗
4) Determinar o vetor v⃗ , paralelo ao vetor u⃗=(2,−1,3) , tal que v⃗. u⃗=−42 .
5) Determinar o vetor v⃗ , sabendo que ∣⃗v∣=5 , v⃗ é ortogonal ao eixo Ox, v⃗ . w⃗=6 e
w⃗= i⃗ +2 j⃗
6) Dados os vetores u⃗=(1,2 ,−3) , v⃗=(2,0 ,−1) e w⃗=(3,1,0 ) , determinar o vetor x⃗ tal que
x⃗ .u⃗=−16 , x⃗. v⃗=0 e x⃗. w⃗=3 .
7) Calcular u⃗. v⃗+ u⃗. w⃗+ v⃗. w⃗ sabendo que u⃗+ v⃗+ w⃗=0⃗ , ∣⃗u∣=2 , ∣⃗v∣=3 e ∣w⃗∣=5 .
8) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 centímetros.
Calcular A⃗B. A⃗C e A⃗B. C⃗A
9) Sabendo que ∣⃗u∣=√2 , ∣⃗v∣=3 e que u⃗ e v⃗ formam ângulo de 3π
4
rad, determinar:
a) ∣(2 u⃗− v⃗ ) (u⃗−2 v⃗ )∣ b) |( u⃗−2 v⃗ )|
10) Verificar para os vetores u⃗=(4,−1,2) e v⃗=(−3,2 ,−2) as desigualdades:
a) ∣u⃗. v⃗∣≤∣u⃗∣∣⃗v∣ b) ∣⃗u+ v⃗∣≤∣⃗u∣+∣v⃗∣
11) Qual o valor de α para que os vetores a⃗=α i⃗ +2 j⃗−4 k⃗ e b⃗=2 i⃗ +(1−2α) j⃗+3 k⃗ sejam
ortogonais?
12) Dados os pontos A (−1,0,5) , B (2 ,−1,4) e C (1,1,1) determinar x tal que A⃗C e B⃗P
sejam ortogonais, sendo P(x ,0 , x−3) .
13) Dados os pontos A (m ,1 ,0) , B(m−1,2m ,2) e C (1,3 ,−1) determinar m de modo que o
triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.
14) Determinar o vetor u⃗ tal que ∣⃗u∣=2 , o ângulo entre u⃗ e v⃗=(1,−1,0) é 45º e u⃗ é
ortogonal a w⃗=(1,1,0) .
15) Seja o vetor v⃗=(2,−1,1) , obter:
a) um vetor ortogonal a v⃗
b) um vetor unitário ortogonal a v⃗
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v⃗ .
16) Sendo a⃗⊥ b⃗ , ∣⃗a∣=6 e ∣⃗b∣=8 , calcular |⃗a+b⃗| e ∣⃗a− b⃗∣
17) Determinar o ângulo entre os vetores:
a) u⃗=(2,−1,−1) e v⃗=(−1,−1,2) b) u⃗=(1,−2,1) e v⃗=(−1,1 ,0)
18) Seja o triângulo de vértices A (3,4,4) , B(2 ,−3,4) e C (6,0,4) . Determinar o ângulo interno
ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B?
19) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores u⃗=(1 ,−2,1) e
v⃗=(−2,1 ,m+1)
20) Calcular n para que seja 30º o ângulo entre os vetores v⃗=(−3,1 , n) e k⃗
Respostas
1) 2 u⃗ (− v⃗)=−2
(u⃗+3 v⃗ )( v⃗−2 u⃗)=21
2) a=5
8
3) x⃗=(3,6 ,−9) 4) v⃗=(−6,3 ,−9)
5) v⃗=(0,3,4 )
v⃗=(0,3 ,−4)
6) x⃗=(2,−3,4) 7) u⃗ . v⃗+ u⃗ . w⃗+ v⃗ . w⃗=−19
8) A⃗B . A⃗C=200
A⃗B . C⃗A=−200
9) a : |(2 u⃗−v⃗ ) ( u⃗−2 v⃗ )|=37
b : |(u⃗−2 v⃗ )|=√50
10) a : (V ) 18≤√357
b : (V ) √2≤√21+√17
11) α=−5 12) x=25
2
13)
m=1
A=√30
2
14) u⃗=(1 ,−1 ,√2)
u⃗=(1 ,−1 ,−√2)
15)
a : u⃗=(α ,α ,−α)
b : V⃗ e=(
√3
3
,√3
3
,−√3
3
)
c : u⃗=(4√3
3
,
4√3
3
,−4√3
3
)
16) |⃗a+b⃗|=10
|⃗a−b⃗|=10
17) a : θ=120º
b : θ=150º
18) B i=45 º
B e=135º
19)
m=0
m=−18
20) n=±√30