03 Variavél aleatória discreta e distribuição de probabilidade

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VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETA E DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE 
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1 Variável aleatória discreta 
 
Uma variável aleatória é uma variável que assume um único valor numérico, 
determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento. 
Uma variável aleatória discreta possui uma coleção de valores que é finita ou 
enumerável. Por exemplo, um sistema de comunicação por voz para uma empresa 
comercial contém 48 linhas externas. Em certo tempo, o sistema é observado e algumas 
das linhas estão sendo usadas. Seja a variável aleatória X o número de linhas em uso. 
Então, X pode assumir um dos valores inteiros de 0 a 48. Quando o sistema é observado, 
se 10 linhas estão em uso, então X=10, logo, X é uma variável aleatória discreta. 
Qualquer variável aleatória cujos únicos valores possíveis são 0 e 1 é denominada 
Variável Aleatória de Bernoulli. 
 
Exemplo 01: Uma viga de concreto pode apresentar falha por cisalhamento (C) ou flexão 
(F). Suponha que três vigas com defeito sejam selecionadas aleatoriamente e o tipo de 
falha seja determinado para cada uma delas. Seja X número de vigas entre as três 
selecionadas que falharam por cisalhamento. Relacione cada resultado no espaço 
amostral juntamente com o valor de X associado. 
 
 
 
Exemplo 02: Para cada variável aleatória definida a seguir, descreva o conjunto de valores 
possíveis da variável e diga se é discreta. 
a) X número de ovos não quebrados em uma caixa de ovos padrão selecionada 
aleatoriamente; 
b) Y número de estudantes ausentes no primeiro dia de aula em uma lista de chamada 
de um determinado curso; 
c) O pH de uma amostra de solo selecionada aleatoriamente; 
d) X tensão (psi) no encordoamento de uma raquete de tênis selecionada 
aleatoriamente; 
 
3 
 
2 Distribuição de probabilidade 
 
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é uma descrição das 
probabilidades associadas aos valores possíveis de X. Para uma variável aleatória 
discreta, a distribuição é frequentemente especificada por apenas uma lista de valores 
possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. Em alguns casos, é conveniente 
expressar a probabilidade em termos de uma fórmula. 
Toda distribuição de probabilidade deve satisfazer cada um dos três requisitos 
seguintes: 
1. Há uma variável aleatória numérica X e seus valores estão associados às 
correspondentes probabilidades. 
2. ∑ 𝑃(𝑥) = 1 em que X assume todos os valores possíveis. (A soma de todas 
as probabilidades deve ser 1, mas valores como 0,999 ou 1,001 são aceitáveis 
quando resultam de erros de arredondamento) 
3. 0 ≤ 𝑃(𝑋) ≤ 1 para todo valor individual de X. 
 
2.1 Gráficos 
 Há várias maneiras de se fazer o gráfico de uma distribuição de probabilidade, 
mas o mais utilizado é o histograma de probabilidade. Esse gráfico é muito parecido com 
o histograma de frequência relativa, mas a escala vertical mostra probabilidades em vez 
de frequências relativas baseadas em dados amostrais. A Figura 1 é um histograma de 
probabilidade que corresponde à probabilidade do número de meninas em dois 
nascimentos. 
 
Figura 1. Histograma de probabilidade para o número de meninas em dois nascimentos. 
4 
 
Exemplo 03: Considere um grupo de cinco doadores de sangue potenciais: A, B, C, D e 
E. Desses, apenas A e B possuem o tipo O+. Cinco amostras de sangue, uma de cada 
indivíduo, serão testas em ordem aleatória até que seja identificado um indivíduo O+. 
Seja a variável aleatória Y=número de testes necessários para identificar um indivíduo 
O+. Qual é a função distribuição de probabilidade de Y? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: Perguntou-se a executivos seniores quando os candidatos a emprego devem 
discutir salário e a tabela a seguir se baseia em suas respostas. A tabela descreve uma 
distribuição de probabilidade? 
Número de entrevistas X P(X) 
1 0,30 
2 0,26 
3 0,10 
 
 
5 
 
2.2 Função distribuição cumulativa 
Um método alternativo para descrever uma distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória é usar probabilidade cumulativas, tal como P(X ≤ x). Além disso, 
probabilidades cumulativas podem ser usadas para encontrar a função de probabilidade 
de uma variável discreta. A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória 
discreta X, denotada por F(x), é 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖≤𝑥
 
 
Exemplo 05: Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 delas 
que não obedeçam às exigências do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, 
sem reposição, da batelada. Seja a variável aleatória X o número de peças não conformes 
na amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa de X? 
 
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2.3 Parâmetros de uma distribuição de probabilidade 
Com uma distribuição de probabilidade, tem-se a descrição de uma população em 
vez da descrição de uma amostra, de modo que os valores da média, do desvio-padrão e 
da variância representam parâmetros em vez de estatísticas. 
• Média de uma distribuição de probabilidade: 
𝜇 = ∑[𝑋 ∙ 𝑃(𝑋)] 
• Variância de uma distribuição de probabilidade: 
𝜎2 = ∑[(𝑋 ∙ 𝜇)2 ∙ 𝑃(𝑋)] ou 𝜎2 = ∑[𝑋2 ∙ 𝑃(𝑋)] − 𝜇² 
• Desvio-padrão de uma distribuição de probabilidade: 
𝜎 = √∑[𝑋2 ∙ 𝑃(𝑋)] − 𝜇² 
 Arredonde os resultados usando uma casa decimal a mais do que o número de 
casas decimais usadas para a variável aleatória X. 
2.3.1 Valor esperado 
 A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico para um 
número infinito de tentativas. Pode-se considerar tal média como o valor esperado no 
sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar 
indefinidamente. O valor esperado também é chamado de esperança ou esperança 
matemática. 
 
Exemplo 06: Dois novos projetos de produto devem ser comparados, baseando-se no 
potencial de retorno. O setor de comercialização sente que o retorno do Projeto A pode 
ser previsto bem acuradamente como US$ 3 milhões de dólares. O potencial de retorno 
do Projeto B é mais difícil de estimar. O setor de comercialização conclui que há uma 
probabilidade de 0,3 de que o retorno do projeto B seja de US$ 7 milhões de dólares, mas 
há uma probabilidade igual a 0,7 de que o retorno seja de apenas US$ 2 milhões de 
dólares. Qual projeto você prefere? 
 
 
 
 
7 
 
Exemplo 07: Você tem 5 dólares para apostar no cassino Golden Nugget, em Las Vegas. 
Você reduziu sua escolha a uma de duas apostas: 
Roleta: Apostar no número 7 na roleta. 
Dados: Apostar na linha de passe no jogo de dados. 
a) Se você aposta 5 dólares no numero 7 na roleta, a probabilidade de perder os 5 dólares 
é 37/38 e a probabilidade de ter um ganho líquido de 175 dólares é 1/38. (O prêmio é 
de 180 dólares, incluindo seus 5 dólares, de modo que o ganho líquido são 175 
dólares). Ache o valor esperado se você aposta 5 dólares no número 7 da roleta. 
b) Se você aposta 5 dólares na linha de passe no jogo de dados, a probabilidade de perder 
cinco dólares é 251/495 e a probabilidade de ter um ganho líquido de 5 dólares é 
244/495. (Se você aposta 5 dólares na linha de passe e ganha, você recebe 10 dólares, 
que incluem os 5 que você apostou, de modo que o ganho líquido são 5 dólares). Ache 
o valor esperado se você aposta 5 dólares na linha de passe. 
Qual das duas apostas precedentes é melhor? Por quê? 
 
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3 Distribuição binomial 
 
Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz 
os seguintes requisitos: 
1. O experimento tem um número fixo de tentativas 
2. As tentativas devem ser independentes. 
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias. 
4. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas. 
Ao selecionarmos uma amostra (tal como sujeitos de uma pesquisa) para alguma 
análise estatística, usualmente fazemos amostragem sem reposição. Amostragem sem 
reposição envolve eventos dependentes, o que violao segundo requisito na definição 
anterior. No entanto, pode-se sempre admitir a independência, aplicando a diretriz dos 
5%: 
Se um experimento satisfaz os quatro requisitos anteriores, a distribuição da variável 
aleatória x (número de sucessos em n repetições) é chamada de distribuição de 
probabilidade binomial (ou distribuição binomial). A notação seguinte será usada: 
S e F (sucesso e fracasso) representam as duas categorias possíveis de todos os resultados. 
P(S)=p p=probabilidade de um sucesso 
P(F)=1-p=q q=probabilidade de um fracasso 
n número de fixo de tentativas 
x denota um número especifico de sucessos em n tentativas, de modo x 
pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive 
p denota a probabilidade de sucesso em uma das n tentativas 
q denota a probabilidade de fracasso em uma das n tentativas 
P(x) denota a probabilidade de se obter exatamente x sucessos em n 
tentativas. 
 A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, 
algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso S, desde que 
sua probabilidade seja identificada como p (o valor q pode sempre ser encontrado 
subtraindo-se p de 1; se p=0,95, então q=1-0,95). Ao usar a distribuição binomial, 
Considere a amostragem sem reposição de uma população dicotômica de tamanho 
N. Se o tamanho da amostra (número de tentativas) n for no máximo 5% do tamanho 
da população, o experimento pode ser analisado como se fosse exatamente binomial. 
9 
 
certifique-se de que x e p sejam consistentes no sentido de se referirem à mesma categoria 
designada como um sucesso. 
 Em uma distribuição de probabilidade binomial, as probabilidades podem ser 
calculadas usando-se a seguinte equação: 
𝑃(𝑥) =
𝑛!
(𝑛−𝑥)!𝑥!
∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞𝑛−𝑥 para 𝑥 = 0,1,2,3, … 
 
Exemplo 08: Quando se seleciona aleatoriamente um adulto (com reposição), há uma 
probabilidade de 0,85 de que essa pessoa saiba o que é Twitter. Suponha que desejamos 
encontrar a probabilidade de que exatamente três de cinco adultos escolhidos 
aleatoriamente saibam o que é o Twitter. 
a) Esse procedimento resulta em uma distribuição binomial? 
b) Se o procedimento resulta realmente em uma distribuição binomial, identifique os 
valores de n, x, p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 09: Uma vez que há a probabilidade de 0,85 de uma pessoa, selecionada 
aleatoriamente, saber o que é o Twitter, use a fórmula da probabilidade binomial para 
encontrar a probabilidade de se obterem exatamente três adultos que saibam o que é o 
Twitter, quando cinco adultos são selecionados aleatoriamente. 
 
 
 
 
Exemplo 10: Cada amostra de água tem 10% de chance de contar determinado poluente 
orgânico. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença do 
poluente. Encontra a probabilidade de que nas próximas 18 amostras, exatamente duas 
contenham o poluente. 
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3.1 Parâmetros da distribuição binomial 
As fórmulas citadas na seção 2.3 podem ser utilizadas para encontrar a média e o 
desvio-padrão de qualquer distribuição de probabilidade discreta, porém, como a 
distribuição binomial é um tipo especial de distribuição discreta de probabilidade, pode-
se usar essas fórmulas mas, se os valores de n e p são conhecidos, é mais fácil o uso das 
fórmulas a seguir: 
• Média: 
𝜇 = 𝑛𝑝 
• Variância 
𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 
• Desvio padrão 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 
 
Exemplo 11: O nome de marca McDonald’s tem uma taxa de reconhecimento de 95%. 
Um grupo focal especial consiste em 12 adultos selecionados aleatoriamente para serem 
usados para testes extensivos de mercado. Para tais grupos de 12 pessoas, ache a média e 
o desvio-padrão do número de pessoas que reconhecem o nome da marca McDonald’s. 
Para grupos de 12 pessoas selecionadas aleatoriamente, encontre o número mínimo usual 
e o numero máximo usual de pessoas que reconhecem o nome da marca McDonald’s. Em 
um grupo de 12 pessoas selecionadas aleatoriamente, 12 é um número não usualmente 
alto de pessoas que reconhecem o nome de marca de McDonald`s? 
 
Relembrando: Regra empírica da amplitude 
Valor usual máximo: 𝜇 + 2𝜎 
Valor usual mínimo: 𝜇 − 2𝜎 
 
11 
 
4 Distribuição hipergeométrica 
 
 A distribuição binomial é o modelo aproximado de amostragem sem reposição de 
uma população dicotômica finita, enquanto a distribuição hipergeométrica é o modelo de 
probabilidade para o número de sucessos em uma amostra. A variável aleatória x é o 
número de S quando o número de tentativas está estabelecido. 
 As hipóteses que levam a distribuição hipergeométrica são as seguintes: 
1. A população ou conjunto de onde é retirada a amostra consiste de N indivíduos, 
objetos ou elementos. 
2. Cada individuo é classificado como sucesso (S) ou falha (F) e há M sucessos na 
população. 
3. É selecionada uma amostra sem reposição de n indivíduos de forma que cada 
subconjunto de tamanho n seja igualmente provável de ser escolhido. 
Se X for o número de S de uma amostra completamente aleatória de tamanho n 
tirada de uma população constituída de M sucessos e (N − M) fracassos, então a 
distribuição de probabilidade de X, denominada distribuição hipergeométrica, será dada 
por: 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = ℎ(𝑥, 𝑛, 𝑁, 𝑀) =
(
𝑀
𝑥
) (
𝑁 − 𝑀
𝑛 − 𝑥
)
(
𝑁
𝑛
)
 
 Se X for uma variável aleatória hipergeométrica, com parâmetros N, M e n, então 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) (
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
) 
Sendo 𝑝 = 𝑀/𝑁. 
 
Exemplo 12: Cinco indivíduos de uma população animal suspostamente ameaçada de 
extinção em certa região foram capturados, marcados e liberados para que se misturem à 
população. Após terem uma oportunidade de cruzarem, foi selecionada uma amostra 
aleatória de 10 desses animais. Seja X=número de animais marcados na segunda amostra. 
Se, na verdade, houver 25 animais desse tipo na região, qual será a probabilidade de: 
a) X=2? 
b) X≤2? 
 
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Exemplo 13: Uma batelada de peças contém 100 peças de um fornecedor local de tubos 
e 200 peças de um fornecedor de tubos de um estado vizinho. Se quatro peças forem 
selecionadas, ao acaso e sem reposição: 
a) Qual será a probabilidade de que elas sejam todas provenientes do fornecedor 
local 
b) Qual é a probabilidade de duas ou mais peças na amostra serem provenientes do 
fornecedor local? 
c) Qual é a probabilidade de no mínimo uma peça na amostra ser proveniente do 
fornecedor local? 
 
Exemplo 14: Uma batelada contém 36 células de bactérias, das quais 12 não são capazes 
de replicação celular. Suponha que você examine três células de bactérias selecionadas 
aleatoriamente, sem reposição. 
a) Qual é a função de probabilidade do número de células na amostra que podem se 
replicar? 
b) Quais são a média e a variância do número de células na amostra que podem se 
replicar? 
c) Qual é a probabilidade de no mínimo uma das células selecionadas não poder se 
replicar? 
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5 Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica 
a ocorrências de eventos ao longo de intervalos especificados. Em geral, considere um 
intervalo T de números reais, dividido em subintervalos com comprimentos pequenos ∆𝑡, 
e considere que quando ∆𝑡 tende a zero, 
1) A probabilidade de mais de um evento em um subintervalo tende a zero; 
2) A probabilidade de um evento em um subintervalo tende a 𝜆∆𝑡; 
3) O evento em cada subintervalo é independente de outros subintervalos. 
Um experimento aleatório com essas propriedades é chamado de processo de Poisson. 
Uma variável aleatória X, que é igual ao número de eventos no intervalo, é uma 
variável aleatória de Poisson, com parâmetro 0As ocorrências devem ser aleatórias. 
3. As ocorrências devem ser independentes umas das outras. 
4. As ocorrências devem ser uniformemente distribuídas sobre o intervalo em uso. 
Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial nestes aspectos 
fundamentais: 
1. Uma distribuição binomial é determinada pelo tamanho n da amostra e pela 
probabilidade p, enquanto a distribuição de Poisson é determinada apenas pela 
média µ. 
2. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1, ..., 
n, mas uma distribuição de Poisson tem, para valores possíveis de x, 0, 1, 2, ..., 
sem limite superior. 
Se X for uma variável aleatória de Poisson ao longo de um intervalo de 
comprimento T com parâmetro 𝜆, então 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝜆𝑇 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝜆𝑇 
14 
 
 A média e a variância de uma variável aleatória de Poisson são iguais. Por exemplo, se 
uma contagem de partículas seguir a distribuição de Poisson, com uma média de 25 partículas por 
centímetro quadrado, então a variância é também 25 e o desvio-padrão das contagens será 5 por 
centímetro quadrado. Assim, informações sobre a variabilidade são muito facilmente obtidas. 
Contrariamente, se a variância dos dados de contagem for muito maior que a média dos mesmos 
dados, então a distribuição de Poisson não será um bom modelo para a distribuição da variável 
aleatória. 
 
Exemplo 15: Contaminação é um problema na fabricação de discos magnéticos de 
armazenamento. O número de partículas de contaminação que ocorrem na superfície de um disco 
tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas por centímetro quadrado de 
superfície do disco é 0,1. A área do disco em estudo é igual a 100 centímetros quadrados. 
 
a) Determine a probabilidade de 12 partículas ocorrem na área de um disco em estudo. 
b) Qual a probabilidade de nenhuma partícula ocorrer na área do disco em estudo. 
c) Determine a probabilidade de 12 ou menos partículas ocorrerem na área do disco em 
estudo. 
 
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6 Exercícios 
 
Parte A – Variável aleatória e distribuição de probabilidade 
 
1) Para cada um dos seguintes exercícios, determine a faixa (valores possíveis da 
variável aleatória): 
a) A variável aleatória é o número de conexões soldadas não conformes em uma 
placa de circuito impresso com 1000 conexões. 
b) Uma balança eletrônica que mostra pesos em libras aproximando para o inteiro 
mais próximo é usada para pesar pacotes. O mostrador apresenta somente cinco 
algarismos. Qualquer peso maior que aquele que o mostrador pode indicar é 
mostrado como 99999. A variável aleatória é o peso mostrado. 
c) Uma batelada de 500 peças usinadas contém 10 que não atendem às requisições 
do consumidor. Peças são selecionadas sucessivamente, sem reposição, até que 
uma peça não conforme seja obtida. A variável aleatória é o número de peças 
selecionadas. 
 
2) Identifique se os valores dados se são variáveis aleatórias discretas: 
a) Pesos exatos de moedas de 25 centavos em circulação; 
b) Número de jogadas de moedas de 25 centavos necessárias para obtenção de cara; 
c) Respostas à pergunta de sondagem “Você fumou pelo menos um cigarro na última 
semana?” 
d) Número de rodadas da roleta necessárias para a obtenção do número 7; 
e) Comprimentos exatos de pés humanos; 
f) Tamanho de sapatos (tais como 36, 37, 38...) 
 
3) A tabela a seguir lista as probabilidades para os números correspondentes de meninas 
em três nascimentos. Qual é a variável aleatória? A variável aleatória é discreta? A 
tabela descreve uma distribuição de probabilidade? 
Número de meninas (x) P(x) 
0 0,125 
1 0,375 
2 0,375 
3 0,125 
 
4) Uma instalação de recondicionamento de automóveis especializada em regulagem de 
motores sabe que 45% de todas as regulagens são feitas em automóveis de quatro 
cilindros, 40% em automóveis de seis cilindros e 15% em automóveis de oito 
cilindros. Seja x=número de cilindros do próximo carro a ser reparado. 
a) Qual é a função distribuição de probabilidade de x? 
b) Desenhe o histograma da função de probabilidade de x. 
c) Qual é a probabilidade de o próximo carro a ser regulado ter no mínimo seis 
cilindros? Mais de seis cilindros? 
 
5) Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem seis linhas telefônicas. Seja 
x o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de 
probabilidade de x seja conforme a tabela a seguir: 
x 0 1 2 3 4 5 6 
P(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04 
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos: 
16 
 
a) No máximo três linhas estão em uso; 
b) Menos de três linhas estão em uso; 
c) Pelo menos três linhas estão em uso; 
d) Entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso; 
e) Entre duas e quatro linhas, inclusive, não estão em uso; 
f) Pelo menos quatro linhas não estão em uso. 
 
6) A voltagem de uma pilha nova pode ser aceitável (A) ou inaceitável (I). Uma lanterna 
especifica exige duas pilhas, que serão selecionadas e testadas independentemente até 
que sejam encontradas duas aceitáveis. Suponha que 90% de todas as pinhas tenham 
voltagem aceitável. Seja Y o número de pilhas que devem ser testadas. 
a) Qual é o valor de p(2), isto é, P(Y=2)? 
b) Qual é o valor de p(3)? 
c) Para ter Y=5, o que deve ser verdadeiro para a quinta pilha selecionada? Relacione 
os quatro resultados possíveis para os quais Y=5 e depois determine p(5). 
 
7) Muitos fabricantes possuem programas de controle de qualidade que incluem a 
inspeção de defeitos no recebimento dos materiais. Suponha quem um fabricante de 
computadores receba placas em lotes de cinco. Duas placas em cada lote são 
selecionadas para inspeção. Pode-se representar os resultados possíveis do processo 
pela seleção de pares. Por exemplo: o par (1,2) representa a seleção das placas 1 e 2 
para inspeção. 
a) Relacione os 10 resultados diferentes possíveis. 
b) Suponha que as placas 1 e 2 sejam as únicas com defeito em um lote de cinco. 
Duas placas serão escolhidas aleatoriamente. Defina x como o número observado 
de placas com defeito entre as inspecionadas. Determine a distribuição de 
probabilidades de x. 
 
8) A tabela a seguir descreve os resultados de grupos de 10 nascimentos de 10 casais 
diferentes. A variável aleatória x representa o número de meninas entre 10 crianças. 
Número de meninas x P(x) 
0 0,001 
1 0,010 
2 0,044 
3 0,117 
4 0,205 
5 0,246 
6 0,205 
7 0,117 
8 0,044 
9 0,010 
10 0,001 
a) Ache a média e o desvio padrão para o número de meninas em 10 nascimentos. 
b) Ache a probabilidade de se obterem exatamente 8 meninas em 10 nascimentos. 
c) Ache a probabilidade de se obterem 8 ou mais meninas em 10 nascimentos. 
 
9) Em uma bateria NiCd, uma célula completamente carregada é composta de hidróxido 
de níquel III. Níquel é um elemento que tem múltiplos estados de oxidação. Considere 
as seguintes proporções dos estados: 
 
17 
 
 
Carga de níquel Proporções encontradas 
0 0,17 
+2 0,35 
+3 0,33 
+4 0,15 
a) Determine a função de distribuição cumulativa da carga de níquel; 
b) Determine a média e a variância da carga de níquel 
 
10) Ao jogar na roleta no cassino Venetian, em Las Vegas, um apostador tenta decidir se 
aposta 5 dólares no número 27 ou se aposta 5 dólares em que o resultado será qualquer 
uma das cinco possibilidades: 0, 00, 1, 2, ou 3. Sabe-se que o valor esperado de uma 
aposta de 5 dólares para um único número é -26 centavos. Para uma aposta de 5 
dólares em que o resultado será 0, ou 00, ou 1, ou 2 ou 3, há uma probabilidade de 
5/38 de se obter um lucro líquido de 30 dólares, e uma probabilidade de 33/38 de uma 
perda de 5 dólares. 
a) Ache o valor esperado para a aposta de 5 dólares em que o resultado será 0, ou 00, 
ou 1, ou 2, ou 3. 
b) Qual é melhor: uma aposta de 5 dólares no número 27, ou uma aposta de 5 dólares 
em que o resultado será 0, ou 00, ou 1, ou 2, ou 3? Por quê? 
 
Parte B – Distribuição binomial 
 
11)Para cada cenário descrito, estabeleça se a distribuição binomial é um modelo razoável 
para a variável ou não e por quê. Estabeleça qualquer suposição que você faça. 
a) Um processo de produção gera milhares de transdutores de temperatura. Seja x o 
número de transdutores não conformes em uma amostra de tamanho 30, 
selecionada ao acaso a partir do processo. 
b) De uma batelada de 50 transdutores de temperatura, uma amostra de tamanho 30 
é selecionada, sem reposição. Seja x o número de transdutores não conformes na 
amostra. 
c) Seja x o número de acidentes que ocorrem ao longo de uma autoestrada federal, 
durante o período de um mês. 
d) Seja x o número de respostas corretas dadas por um estudante ao fazer um teste 
de múltipla escolha, em que um estudante pode eliminar algumas das opções como 
incorretas em algumas questões e todas as opções incorretas nas outras questões. 
e) Defeitos ocorrem aleatoriamente sobre a superfície de um chip semicondutor. 
Entretanto, somente 80% dos defeitos podem se encontrados por meio de testes. 
Uma amostra de 40 chips, cada um com um defeito, é testada. Seja x o número de 
chips em que o teste encontra um defeito. 
f) Reconsidere a situação do item anterior. Agora, suponha que a amostra de 40 chips 
consista em chips com 1 e com 0 defeito. 
g) Uma operação de enchimento tenta encher embalagens de detergente até o peso 
especificado. Seja x o número de embalagens de detergente que não estejam cheias 
completamente. 
h) Seja x o número de falhas na superfície de uma grande serpentina de aço 
galvanizado. 
 
18 
 
12) Amostras de mitocôndrias rejuvenescidas são mutantes (defeituosas) em 1% dos 
casos. Suponha que 15 amostras sejam estudadas e que elas possam ser consideradas 
independentes para mutação. Determine as seguintes probabilidades: 
a) Nenhuma amostra é mutante. 
b) No máximo uma amostra é mutante. 
c) Mais da metade das amostras é mutante. 
 
13) Um artigo em Information Security Technical Report forneceu os seguintes dados 
sobre os dez maiores casos de softwares maliciosos de 2002. O líder no número de 
incidentes registrados no ano de 2002 foi “Klez”, e ainda é uma das ameaças mais 
difundidas. Esse vírus foi detectado pela primeira vez em 26 de outubro de 2001 e tem 
se mantido, por um período mais longo da história da virologia, no topo entre os 
programas mais maliciosos. A tabela mostra os 10 mais maliciosos programas 
difundidos em 2002. 
Lugar Nome Percentagem de casos 
1 I-Worm.Klez 61,22% 
2 I-Worm.Lentin 20,52% 
3 I-Worm.Tanatos 2,09% 
4 I-Worm.Badtransll 1,31% 
5 Macro.Word97.Thus 1,19% 
6 I-Worm.Hybris 0,60% 
7 I-Worm.Bridex 0,32% 
8 I-Worm.Magistr 0,30% 
9 Win95.CIH 0,27% 
10 I-Worm.Sircam 0,24% 
Suponha que 20 exemplos de programas maliciosos sejam reportados. Suponha que 
as fontes maliciosas possam ser consideradas independentes. 
a) Qual é a probabilidade de no mínimo um caso ser “Klez”? 
b) Quais são a média e o desvio-padrão do número de casos “Klez” entre os 20 
reportados? 
 
14) Amostras de 20 peças de um processo de corte metálico são selecionadas a cada hora. 
Tipicamente, 1% das peças requer retrabalho. Seja x o número de peças na amostra 
de 20 que requerem retrabalho. Suspeita-se de um problema no processo se x exceder 
sua média em mais de três desvios-padrão. 
a) Se a porcentagem de peças que requerem retrabalho permanecer em 1%, qual será 
a probabilidade de x exceder sua média em mais de três desvios-padrão? 
b) Se a porcentagem de retrabalho aumentar para 4%, qual será a probabilidade de x 
exceder 1? 
 
15) Os dados provenientes de 200 reações endotérmicas, envolvendo bicarbonato de 
sódio, estão resumidos a seguir: 
Condições finais de temperatura Número de reações 
266 K 48 
271 K 60 
274 K 92 
Um total de 20 reações independentes deverá ser conduzido: 
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 12 reações resultem em uma 
temperatura final menor do que 272 K? 
b) Qual é a probabilidade de que no mínimo 19 reações resultem em uma temperatura 
final menor do que 272 K? 
19 
 
c) Qual é o número esperado de reações que resulta em uma temperatura final menor 
que 272 K? 
 
16) Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere 
que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. 
Encontre a probabilidade de que nas próximas 18 amostras: 
a) Exatamente 2 contenham a molécula rara. 
b) No mínimo 4 amostras contenham a molécula rara. 
 
17) Bateladas, que consistem em 50 molas provenientes de um processo de produção, são 
verificadas em relação à conformidade às exigências dos consumidores. O número 
médio de molas não conformes em uma batelada é igual a 5. Suponha que o número 
de molas não conformes em uma batelada, denotada como x, seja uma variável 
aleatória binomial. 
a) Quais são os valores de n e p? 
b) Qual é P(x ≤ 2)? 
c) Qual é P(x ≥ 49)? 
 
18) A probabilidade de o pouso de um avião ser bem-sucedido usando um simulador de 
voo é dada por 0,70. Seis estudantes de pilotagem, escolhidos aleatoriamente e 
independentemente, são convidados a tentar voar no avião, usando o simulador. Qual 
é a probabilidade de dois dos seis estudantes pousarem com sucesso o avião, usando 
o simulador? 
 
19) Uma empresa de cristais finos sabe por experiência que 10% de suas taças possuem 
defeitos e devem ser classificadas como “de segunda linha”. 
a) Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de uma ser de 
segunda linha? 
b) Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de no mínimo 
duas serem de segunda linha? 
c) Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade de no máximo 
cinco terem de ser selecionadas para encontrar quatro que não sejam de segunda 
linha? 
 
20) Um grande lote de componentes chegou em um distribuidor. O distribuidor decide 
selecionar 10 componentes aleatoriamente e aceitar o lote apenas se o número de 
componentes defeituosos nas amostras for no máximo 2. Qual é a probabilidade de o 
lote ser aceito quando a proporção real de itens com defeito for 0,01? 0,05? 0,10? 
0,20? 0,25? 
 
21) A Companhia Farmacêutica Medassist recebe grandes carregamentos de 
comprimidos de aspirina e usa este planejamento de amostragem de aceitação: 
Seleciona aleatoriamente e testa 40 comprimidos e aceita o lote todo se houver apenas 
uma ou nenhuma que não corresponda as especificações exigidas. Se um 
carregamento particular de 5000 comprimidos de aspirina tem, na verdade, uma taxa 
de 3% de defeituosos, qual é a probabilidade de que o carregamento seja aceito? A 
maioria desse carregamento será aceita, ou será rejeitada? 
 
20 
 
Parte C – Distribuição Hipergeométrica 
22) Uma companhia emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha que 30% 
carreguem um marcador no cromossomo masculino, que indique um risco crescente 
de pressão sanguínea alta. 
a) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse 
cromossomo, qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse 
marcador? 
b) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse 
cromossomo, qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador? 
 
23) Uma talhadeira contém 48 lâminas. Cinco lâminas são selecionadas ao acaso e 
avaliadas a cada dia em relação ao afiamento. Se alguma lâmina não afiada for 
encontrada, o arranjo será trocado por um novo conjunto de lâminas afiadas. 
a) Se 10 das lâminas em uma talhadeira não estiverem afiadas, qual será a 
probabilidade de que a talhadeira seja trocada no primeiro dia que ela seja 
avaliada? 
b) Se 10 das lâminas em uma talhadeira não estiverem afiadas, qual será a 
probabilidade de que a talhadeira não seja trocada até o terceiro dia de avaliação? 
c) Considere que no primeiro dia de avaliação duas das lâminas estejam não afiadas; 
no segundo dia de avaliação, seis estejam não afiadas; e no terceirodia de 
avaliação, 10 estejam não afiadas. Qual é a probabilidade de que a talhadeira não 
seja trocada até o terceiro dia de avaliação? 
 
24) Doze refrigeradores de um determinado tipo foram devolvidos ao distribuidor por 
causa de um ruído audível, oscilante e agudo que faziam quando em funcionamento. 
Suponha que sete desses refrigeradores possuam um compressor defeituoso e os 
outros cinco tenham problemas graves. Se os refrigeradores forem examinados em 
ordem aleatória, seja x o número de refrigeradores examinados entre os seis primeiros 
com compressores defeituosos. Calcule os seguintes valores: 
a) P(x = 5) 
b) P(x ≤ 4) 
 
25) Um geólogo coletou 10 amostras de rocha basáltica e 10 de granito. Instruiu o geólogo 
assistente de laboratório para selecionar aleatoriamente 15 amostras para análise. 
a) Qual é o número de amostras de granito selecionadas para análise? 
b) Qual é a probabilidade de todas as amostras de um dos dois tipos de rocha serem 
selecionadas para análise? 
 
26) A análise de resultados de um experimento de transmutação de uma folha (a folha se 
transforma em uma pétala) é resumida pelo tipo de transformação completada: 
 Transformação total da textura 
 Sim Não 
Transformação total da cor 
Sim 243 26 
Não 13 18 
Um naturalista seleciona aleatoriamente, sem reposição, três folhas desse conjunto. 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) Exatamente uma sofreu ambos os tipos de transformação. 
b) No mínimo uma sofreu ambos os tipos de transformação. 
c) Exatamente uma sofreu um tipo, mas não ambos os tipos de transformação. 
21 
 
 
Parte D – Distribuição de Poisson 
 
27) Astrônomos tratam o número de estrelas em um dado volume do espaço como uma 
variável aleatória de Poisson. A densidade na Via Láctea, na vizinhança de nosso 
sistema solar, é uma estrela por 16 anos-luz³. 
a) Qual é a probabilidade de duas ou mais estrelas por 16 anos-luz³? 
b) Quantos anos-luz³ de espaço tem de ser estudados de modo que a probabilidade 
de uma ou mais estrelas exceda 0,95? 
 
28) Dados provenientes de Central Hudson Labs determinaram que o número médio de 
fragmentos de insetos em uma barra de 225 g de chocolate foi igual a 14,4; porém, 
três marcas apresentaram contaminações por inseto maior que duas vezes a média. 
Veja o U.S. Food and Drug Administration-Center for Food Safety and Applied 
Nutrition for Defect Action Levels para produtos alimentícios. Considere que o 
número de fragmentos (contaminantes) segue a distribuição de Poisson. 
a) Se você consumir uma barra de 225 gramas de uma marca com um nível médio 
de contaminação, qual será a probabilidade de não ter contaminação por insetos? 
b) Suponha que você consuma uma barra que tem um quinto do tamanho testado (45 
gramas) de uma marca com um nível médio de contaminação. Qual é a 
probabilidade de não ter contaminação por insetos? 
c) Se você consumir sete barras de 28,35 gramas essa semana, de uma marca com 
um nível médio de contaminação, qual será a probabilidade de você consumir um 
ou mais fragmentos de inseto em mais de uma barra? 
 
29) O número de falhas em parafusos de máquinas da indústria têxtil segue a distribuição 
de Poisson, com uma média de 0,1 falhas por metro quadrado. 
a) Qual é a probabilidade de que haja duas falhas em 1 metro quadrado de tecido? 
b) Qual é a probabilidade de que haja uma falha em 10 metros quadrados de tecido? 
c) Qual é a probabilidade de que não haja falhas em 20 metros quadrados de tecido? 
d) Qual é a probabilidade de que haja no mínimo duas falhas em 10 metros quadrados 
de tecido? 
 
30) O número de insucessos de um instrumento de teste para partículas de contaminação 
no produto é uma variável aleatória de Poisson, com uma média de 0,02 insucesso por 
hora. 
a) Qual é a probabilidade de que o instrumento não falhe em um turno de oito horas? 
b) Qual é a probabilidade de no mínimo um insucesso em um dia de 24 horas? 
 
31) Inclusões são defeitos em um metal vertido causadas por contaminantes. O número 
de inclusões (grande) em ferro fundido segue uma distribuição de Poisson, com uma 
média de 2,5 mm³. Determine o seguinte: 
a) Probabilidade de no mínimo uma inclusão em um mm³. 
b) Probabilidade de no mínimo cinco inclusões em 5,0 mm³. 
c) O volume de material para inspecionar, de modo que a probabilidade de existir 
pelo menos uma inclusão seja igual a 0,99. 
d) Em vez de uma média de 2,5 mm³, determine as inclusões médias por mm³, de 
modo que a probabilidade de existir no mínimo uma inclusão seja igual a 0,95. 
 
22 
 
32) O número de mudanças de conteúdo em uma página da internet segue a distribuição 
de Poisson, com uma média de 0,25 por dia. 
a) Qual é a probabilidade de duas ou mais mudanças em um dia? 
b) Qual é a probabilidade de nenhuma mudança em cinco dias? 
c) Qual é a probabilidade de duas ou menos mudanças em cinco dias? 
 
33) O número de falhas na superfície de painéis de plástico, usados no interior de 
automóveis, tem uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,05 falha por pé 
quadrado de painel plástico. Considere que o interior de um automóvel contém 10 pés 
quadrados de painel plástico. 
a) Qual é a probabilidade de não haver falha na superfície do interior do automóvel? 
b) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será 
a probabilidade de que nenhum dos 10 carros tenha qualquer falha na superfície? 
 
34) O número de solicitações de assistência recebido por um serviço de guincho é um 
processo de Poisson com taxa de 4 solicitações por hora. 
a) Calcule a probabilidade de exatamente dez solicitações chegarem em um certo 
período de duas horas. 
b) Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos para almoço, qual é a 
probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? 
 
23 
 
Respostas dos exercícios 
 
1) a) {0, 1, 2, ..., 1000}; b) {0, 1, 2, ..., 99999}; c) {1, 2, ..., 49} 
2) a) Contínua; b) Discreta; c) Não é variável aleatória; d) Discreta; e) Contínua; f) 
Discreta 
3) A variável aleatória é o número de meninas e seus valores possíveis são 0, 1, 2, 3. A 
tabela descreve uma distribuição de probabilidade porque os três requisitos são 
satisfeitos: A variável aleatória é numérica e seus valores estão associados à 
probabilidades, ∑ 𝑃(𝑥) = 1 e cada uma das probabilidades está entre 0 e 1. 
4) a) 
X (número de cilindros) P(X) 
4 0,45 
6 0,40 
8 0,15 
b) P(X ≥ 6)=0,55; P(X > 6) =0,15 
5) a) 0,70; b) 0,45; c) 0,55; d) 0,71; e) 0,65; f) 0,45. 
6) a) 0,81; b) 0162; c) 0,0324. 
7) a) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5); 
 b) 
 
 
 
 
8) a) µ = 5; σ = 1,6; b) 0,044; c) 0,055 
9) 
10) a) -0,39; b) A aposta no número 27 é melhor porque seu valor esperado é maior do 
que o valor esperado para a outra aposta. 
11) a) Razoável; b) A suposição de independência não é razoável; c) Ensaios não 
independentes com probabilidade constante; d) A probabilidade de uma resposta correta 
não é constante; e) Razoável; f) A probabilidade de encontrar um defeito não é constante; 
g) Razoável; h) Tentativas não independentes com probabilidade constante. 
12) a) 0,86; b) 0,99; c) 0 
13) a) 0,9999; b) 12,244 e 2,179 
14) a) 0.01685; b) 0,1897; c) 0,65 
15 
16) a) 0,284; b) 0,098 
17) 
18) 0,0595 
19) a) 0,354; b) 0,114; c) 0,918 
20)0,999; 0,988; 0,930; 0,678; 0,525 
21) 0,661 
22) 0,12 
23) 
24) a) 0,114; b) 0,878 
25) a) Os possíveis valores de x são 5, 6, 7, 8, 9 ou 10: 
x 5 6 7 8 9 10 
P(x) 0,163 0,135 0,348 0,348 0,135 0,016 
 b) 0,0326 
26) a) 0,087; b) 0,993; c) 0,297 
27) a) 0,264; b) 48 anos luz³ de espaço devem ser estudados 
X P(X) 
0 0,30 
1 0,60 
2 0,10 
24 
 
28) 
29) a) 0,0045; b) 0,3678; c) 0,1353; d) 0,2642 
30) a) 0,8521; b) 0,3812 
31) a) 0,918; b) 0,995; c) 1,84; d) 3 
32) a) 0,0265; b) 0,2865; c) 0,868 
33) a) 0,6065; b) 0,0067 
34) a) 0,099; b) 0,135 
 
25 
 
7 ReferênciasBibliográficas 
 
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: 
Cengage Learning, 2005. 
 
MANN, PREM S. Introdução à estatística. 8ª edição. Rio de Janeiro: LTC: 2015. 
 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 6 ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
 
TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 12ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017.