04 Variável aleatória contínua e distribuição de probabilidade

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VARIÁVEL ALEATÓRIA 
CONTÍNUA E DISTRIBUIÇÃO 
DE PROBABILIDADE 
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1 Variável aleatória contínua 
 
Uma variável aleatória é discreta se os seus valores possíveis constituírem tanto um 
conjunto finito como puderem ser relacionados em uma sequência infinita (uma lista em 
que haja um primeiro elemento, um segundo, etc.). Uma variável aleatória cujo conjunto 
de valores possíveis consiste de um intervalo completo de números não é discreta. 
Uma variável aleatória X é dia contínua se o seu conjunto de valores possíveis 
consistir do intervalo completo de todos os valores, isto é, se, para cada A 0 
a) Determine a probabilidade de a distância até a primeira falha na superfície ser 
menor do que 1000 micrômetros. 
b) Determine a probabilidade de a distância até a primeira falha exceder 2000 
micrômetros. 
c) Determine a probabilidade de a distância estar entre 1000 e 2000 micrômetros. 
 
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4 Média e variância de uma variável aleatória contínua 
 
Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de 
probabilidade f(x). A média ou o valor esperado de X, denotada por µ ou E(X), é: 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 
 A variância de X, denotada por V(X) ou σ² é 
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝜇2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜇²
∞
−∞
∞
−∞
 
 O desvio-padrão de X é 𝜎 = [𝑉(𝑋)]1/2. 
 
Exemplo 04: Encontre a média e a variância para a medida de corrente do fio de cobre do 
Exemplo 01. 
 
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5 Distribuição normal 
 
O modelo mais largamente utilizado para uma medida contínua é uma variável 
aleatória normal. Vários histogramas foram apresentados no decorrer da disciplina com 
formas simétricas, similares a um sino. Um resultado fundamental, conhecido como 
teorema central do limite, implica que histogramas tem frequentemente essa forma 
características, no mínimo aproximadamente. Toda vez que um experimento aleatório for 
replicado, a variável aleatória que for igual ao resultado médio (ou total) das réplicas 
tenderá a ter uma distribuição normal, à medida que o número de réplicas se torne grande. 
Se uma variável aleatória contínua tem uma distribuição com um gráfico simétrico e 
em forma de sino, como Figura 4, e que pode ser descrito pela equação abaixo, dizemos 
que ela tem uma distribuição normal. 
𝑦 = 𝑒
−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)
2
𝜎√2𝜋 
 
Figura 4. Distribuição normal. 
 
 A notação N(µ,σ²) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, 
com média µ e variância σ² . 
 
5.1 Distribuição uniforme 
 A distribuição uniforme possui duas propriedades importantes: 
1. A área sob o gráfico de uma distribuição de probabilidade é 1. 
2. Há uma correspondênciaentre área e probabilidade (ou frequência relativa), de 
modo que algumas probabilidades podem ser encontradas pela identificação das 
áreas correspondentes. 
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Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição uniforme se seus valores se 
espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis. O gráfico de uma distribuição 
uniforme resulta em uma forma retangular, como mostra a Figura 5. 
 
Figura 5. Distribuição uniforme da variável tempo de espera. 
 
5.2 A distribuição normal padrão 
A distribuição normal padrão tem as seguintes propriedades: 
1. O gráfico da distribuição normal-padrão tem a forma de sino, como na Figura 4. 
2. A distribuição normal-padrão tem média igual a 0 (µ = 0). 
3. A distribuição normal-padrão tem desvio-padrão igual a 1 (σ² = 1). 
Serão desenvolvidas habilidades para a determinação de área (ou probabilidades ou 
frequências relativas) correspondentes às várias regiões sob o gráfico da distribuição 
normal-padrão. E também serão encontrados escores z que correspondem a área sob o 
gráfico. 
A curva de densidade de uma distribuição uniforme é uma reta horizontal, de modo 
que pode-se achar a área de qualquer região retangular aplicando a fórmula: área = largura 
× altura. Como a curva de densidade de uma distribuição normal tem a forma de sino 
complicado, é mais difícil encontrar a área, mas o principio básico é o mesmo: há uma 
correspondência entre área e probabilidade. A área total sob a curva da distribuição 
normal – padrão é 1. Não é fácil a determinação manual de áreas sob a curva normal – 
padrão, mas uma maneira relativamente simples é a utilização das Tabelas que constam 
no Anexo I. 
 
 
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Exemplo 05: A densidade mineral de um osso pode ser útil na identificação da presença 
ou a possibilidade de osteoporose, uma doença que faz com que os ossos se tornem mais 
frágeis e suscetíveis a quebras. O resultado de um teste de densitometria óssea é 
comumente medido como um escore z. A população de escores z é normalmente 
distribuída, com média 0 e desvio-padrão 1, de modo que os resultados de teste satisfazem 
os requisitos de uma distribuição normal – padrão. Um adulto selecionado aleatoriamente 
faz um teste de densitometria óssea. 
a) Ache a probabilidade de que o resultado seja uma leitura menor do que 1,27. 
b) Ache a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente uma pessoa com resultado 
acima de -1,00. Um valor acima de -1,00 é considerado estar na faixa “normal” 
de leituras de densidade óssea. 
c) A leitura de um teste de densidade óssea está entre -1,00 e -2,50 indica que o 
sujeito tem osteopenia, que é alguma perda óssea. Ache a probabilidade de que 
uma pessoa escolhida aleatoriamente apresenta leitura entre -1,00 e -2,50. 
d) Ache os escores de teste que separam os 2,5% inferiores e os 2,5% superiores. 
 
 
 
 
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5.3 Padronizando uma variável aleatória normal 
Para trabalhar com distribuições normais não padronizadas (com média diferente 
de 0 e/ou desvio-padrão diferente de 1), usa-se a fórmula a seguir para transformar um 
valor de x em um escore z. 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 A criação de uma nova variável aleatória por essa transformação é referida como 
uma padronização. A variável aleatória z representa a distância de x a partir de sua média 
em termos de desvios-padrão. Essa é a etapa chave para calcular a probabilidade para uma 
variável aleatória normal arbitrária. 
 
Exemplo 06: Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio sigam a 
distribuição normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliampere². 
a) Qual é a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? 
b) Qual é a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes? 
c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar 
abaixo desse valor seja 0,98. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 07: O diâmetro do eixo de um dispositivo óptico de armazenagem é 
normalmente distribuído, com média de 0,2508 polegada e desvio-padrão de 0,0005 
polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015 polegada. Que proporção de 
eixos obedece às especificações? 
 
 
 
 
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5.4 Teorema do limite central 
A distribuição amostral de médias amostrais tende a ser uma distribuição normal à 
medida que o tamanho amostral aumenta. Para todas as amostras de mesmo tamanho n, 
com n > 30, a distribuição amostral de �̅� pode ser aproximada por uma distribuição normal 
com média µ e desvio-padrão 𝜎/√𝑛. 
De acordo com o teorema do limite central, a população original pode ter qualquer 
distribuição (uniforme, assimétrica, e assim por diante), mas a distribuição das médias 
amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal quando n > 30. (Há alguns 
casos especiais de distribuições altamente não normais para as quais a exigência de n > 
30 não é suficiente, de modo que o valor de n deve ser maior, mas tais casos são 
relativamente raros.) 
A Figura 6 ilustra o teorema do limite central. Os gráficos de pontos no topo 
mostram uma distribuição aproximadamente normal, uma distribuição uniforme e uma 
distribuição que lembra a letra U. Em cada coluna, o segundo gráfico de pontos mostra a 
distribuição das médias amostrais para amostras de tamanho n=10, e os gráficos de pontos 
na parte inferior mostram a distribuição das médias amostrais para amostras de tamanho 
n=50. À medida que n aumenta, pode-se ver que a forma da distribuição das médias 
amostrais se aproxima da forma de uma distribuição normal. Tal característica está 
incluída entre as seguintes observações: 
 
 
Figura 6. Distribuições amostrais. 
 
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1. À medida que o tamanho amostral aumenta, a distribuição amostral das médias 
amostrais tende a se aproximar de uma distribuição normal. 
2. A média das médias amostrais é a mesma média da população original. 
3. À medida que o tamanho amostral aumenta, os gráficos de pontos se tornam 
mais estreitos, mostrando que os desvio-padrão das médias amostrais se tornam 
menores. 
 
5.5 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal 
 Para muitos sistemas físicos, o modelo binomial é apropriado com um valor 
extremamente grande de n. Nesses casos, é difícil calcular probabilidades usando a 
distribuição binomial. Felizmente, a aproximação pela normal é mais efetiva nesses casos. 
Uma ilustração é mostrada na Figura 7. A área de cada barra é igual à probabilidade 
binomial de x. Note que a área das barras pode ser aproximada pelas áreas sob a função 
densidade normal. 
 
Figura 7. Aproximação da distribuição binomial pela normal. 
 A partir da Figura 7, pode ser visto que uma probabilidade tal como P(3 ≤ x ≤ 7) 
é mais bem aproximada pela área sob a curva normal de 2,5 a 7,5. Essa observação 
fornece um método para melhorar a aproximação de probabilidades binomiais. Pelo fato 
de uma distribuição contínua normal ser usada para aproximar uma distribuição discreta 
binomial, a modificação é referida como uma correção de continuidade. 
 Os requisitos para usar uma distribuição normal como uma aproximação para a 
distribuição binomial são: 
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1. A amostra é uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população na 
qual a proporção de sucessos é p, ou a amostra é o resultado da realização de n 
tentativas independentes de um experimento binomial, no qual a probabilidade de 
sucessos é p. 
2. np ≥ 5 e nq ≥ 5. 
Se os requisitos anteriores são satisfeitos, então a distribuição de probabilidade da 
variável aleatória x pode ser aproximada por uma distribuição normal, com estes 
parâmetros: 
𝜇 = 𝑛𝑝 
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 
Ao usar a aproximação normal, ajuste o número inteiro discreto x usando a 
correção de continuidade, de modo que x seja representado pelo intervalo de x-0,5 a 
x+0,5. 
 
Exemplo 08: Em um canal digital de comunicação, suponha que o número de bits 
recebidos com erro possa ser modelado por uma variável aleatória binomial. Suponha quea probabilidade de um bit ser recebido com erro seja de 1∙10-5. Se 16 milhões de bits 
forem transmitidos, qual será a probabilidade de haver 150 ou menos erros? 
 
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6 Distribuição exponencial 
 
Admita que num certo problema é possível associar uma velocidade média de 
perda de alguma propriedade específica do sistema com a quantidade dessa propriedade. 
Por exemplo, suponha que a velocidade de desaparecimento de indivíduos em uma 
população seja proporcional ao número total de indivíduos que constituem a população. 
Esse é o caso típico que ocorre quando não há qualquer termo que contribua com o 
aumento do número de indivíduos na população, como no caso de um lote de partículas 
de catalisador que é colocado no interior de um reator químico ou num lote de partículas 
radioativas que é utilizado como fonte de energia em um determinado processo radiativo. 
Nesse caso, um problema bastante importante para o projeto do processo é saber qual a 
probabilidade de encontrar um certo número de partículas “vivas” ou ativas após um 
determinado período de tempo. A distribuição exponencial pode ser usada nesses casos 
citados. 
A variável aleatória x, que é igual à distância entre contagens sucessivas de um 
processo de Poisson com média 𝜆 > 0, é uma variável aleatória exponencial com 
parâmetro 𝜆. A função densidade de probabilidade de x é 
𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒𝜆 para 0 0. Determine a probabilidade 
de: 
a) Um componente durar mais de 3000 horas antes da falha. 
b) Um componente falhar no intervalo de 1000 a 2000 horas. 
c) Um componente falhar antes de 1000 horas. 
d) Determine o número de horas em que 10% de todos os componentes falharam. 
 
2) A função densidade de probabilidade do peso líquido, em libras, de um pacote de 
herbicida químico é 𝑓(𝑥) = 2,0 para 49,75um lote contenha 1000 chips. Aproxime as 
seguintes probabilidades: 
a) Mais de 25 chips serem defeituosos. 
b) Entre 20 a 30 chips serem defeituosos. 
 
15) A água de Phoenix é fornecida para aproximadamente 1,4 milhão de pessoas, que são 
servidas por meio de mais de 362000 contas. Todas as contas são medidas e cobradas 
mensalmente. A probabilidade de uma conta conter um erro em um mês é 0,001, e 
contas podem ser consideradas independentes. 
a) Quais são a média e o desvio-padrão do número de contas com erro a cada mês? 
b) Aproxima a probabilidade de menos de 350 contas com erro em um mês. 
c) Aproxime a probabilidade de mais de 400 contas com erro por mês nos próximos 
dois meses. Considere que os resultados entre os meses sejam independentes. 
 
16) Entre os proprietários de residências em uma área metropolitana, 75% recicla garrafas 
de plástico a cada semana. Uma companhia de gerenciamento de resíduos serve a 
1500 proprietários. Aproxime as seguintes probabilidades: 
a) No mínimo, 1150 reciclam garrafas de plástico em uma semana. 
b) Entre 1075 e 1175 reciclam garrafas de plástico em uma semana. 
 
Parte C – Distribuição Exponencial 
 
17) Suponha que as contagens registradas por um contador Geiger sigam o processo de 
Poisson, com uma média de duas contagens por minuto. 
a) Qual é a probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos? 
b) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 
segundos? 
c) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre um e dois minutos 
depois do início? 
 
18) Suponha que o tempo (em horas) de falha de ventiladores em um computador pessoal 
possa ser modelado por uma distribuição exponencial, com 𝜆 = 0,0003. 
a) Qual a proporção de ventiladores de durará no mínimo 10000 horas? 
b) Qual a proporção de ventiladores que durará no máximo 7000 horas? 
 
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Respostas 
 
1) 
2) 0,05 
3) 0,10 
4) a) 0,562; b) 1,106 
5) 33,19 
6) a) 51,42; b) 10,77; c) 0,0058 
7) 
8) 
9) a) 0,6554; b) 226,5 e 294 
10) a) 40,8; b) 131,86 e 186,94; c) 211,42; d) 0,1359 
11) 
12) a) 0,102; b) 0,7225 
13) a) 0,025; b) 0,1492; c) 92,025 
14) a) 0,1075; b) 0,44 
15) a) 19,01; b) 0,2578; c) 0,00047 
16) a) 1,46; b) 0,997 
17) 
18) a) 0,0498; b) 0,8775 
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8 Referências Bibliográficas 
 
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: 
Cengage Learning, 2005. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 6 ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C.; HUBELE, N. F. Estatística Aplicada à 
Engenharia. 2 ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatística. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1978. 
TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 12ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
 
 
ANEXO I 
 
 
 
 
21