Matemática nos séculos XVII a XIX

Prévia do material em texto

HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Descrever a era Bernoulli e a de Euler.
 > Identificar as contribuições dos matemáticos da Revolução Francesa e do 
século XIX.
 > Demonstrar técnicas da matemática dos séculos XVII a XIX na sala de aula 
de Matemática.
Introdução
A matemática evoluiu em diversos aspectos entre os séculos XVII e XIX. Novos 
conceitos foram introduzidos e desenvolvidos nas mais diversas áreas, como 
teoria dos números, cálculo diferencial e integral, geometria, teoria das proba-
bilidades, entre outras e novas formas de pensar propostas, com aumento do 
rigor e do formalismo nas demonstrações e divulgações do raciocínio matemático. 
Para alcançar esses novos patamares matemáticos, diversos personagens foram 
marcantes. Grandes matemáticos espalhados por toda a Europa contribuíram 
para um dos períodos mais produtivos da matemática.
Neste capítulo, você vai estudar alguns dos principais avanços da matemática 
entre os séculos XVII e XIX, além de conhecer os principais personagens desses 
avanços e como os conceitos por eles introduzidos se fazem presentes até os dias 
atuais no ensino da matemática. 
Matemática nos 
séculos XVII a XIX
Alex Rodrigo dos Santos Sousa
As eras Bernoulli e Euler
Os séculos XVII e XVIII estão marcados pelo estabelecimento de duas eras na 
história da matemática: a era da família Bernoulli, com início no século XVII, 
e de Leonhard Euler, no século XVIII. Podemos entende-las como eras devido 
às vastas contribuições e avanços dos Bernoulli e de Euler em diversas áreas 
da matemática, que são ensinadas e aplicadas até os dias de hoje. 
O cenário da matemática no século XVII era efervescente, devido ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton e Got-
tfried Leibniz e pela melhor compreensão de alguns processos envolvendo 
o infinito, como as séries infinitas e o limite. Além disso, os avanços eram 
descentralizados geograficamente, isto é, encontramos ao longo desse 
período matemáticos influentes em diversos países europeus, como França, 
Alemanha, Inglaterra, Suíça e Holanda. Mais do que isso, a grande maio-
ria desses pensadores estava em constante comunicação. Esse contexto 
favoreceu o surgimento das importantes eras dos Bernoulli e de Euler, e 
por que não dizer o estabelecimento do que chamamos de era moderna 
da matemática. 
A família Bernoulli
A família Bernoulli ficou conhecida por possuir diversos matemáticos renoma-
dos e influentes. De fato, cerca de 12 membros da família tiveram contribuições 
significativas na matemática ou em áreas correlatas, como a física. A família 
se estabeleceu na Basiléia, Suíça, em 1576, após fugir dos Países Baixos devido 
a perseguições religiosas (BOYER; MERZBACH, 2018).
Na primeira geração de matemáticos da família, estão os irmãos Jacques 
Bernoulli (1654–1705) e Jean Bernoulli (1667–1748). O mais velho, Jacques, 
mergulhou no estudo do cálculo infinitesimal por meio da leitura de artigos 
de Leibniz, além de obras dos ingleses Isaac Barrow (1630–1677) e John Wallis 
(1616–1703). Devemos a ele o termo “integral” na linguagem do cálculo, termo 
que sugeriu a Leibniz e que foi adotado pelo alemão. Após certo tempo, 
Jacques Bernoulli já estava contribuindo para o cálculo com publicações na 
Acta eruditorum, a revista matemática que Leibniz ajudou a fundar e na qual 
publicava frequentemente.
Apesar de seu interesse pelo cálculo infinitesimal e por séries infinitas, 
Jacques Bernoulli obteve avanços em diversas áreas. Uma desigualdade 
importante na matemática, conhecida como desigualdade de Bernoulli, foi 
desenvolvida por ele:
Matemática nos séculos XVII a XIX2
Vamos analisar a desigualdade de Bernoulli para o caso particular em 
que n = 2, isto é:
Observe que essa desigualdade em particular pode ser verificada expan-
dindo-se o termo do lado esquerdo da desigualdade (quadrado da soma), ou seja:
uma vez que . 
O gráfico exibido na Figura 1 mostra a desigualdade de Bernoulli 
para n = 3. Observe que a curva está acima da curva 
.
Figura 1. Curvas que mostram a desigualdade de Bernoulli graficamente para n = 3.
Além de diversas publicações no Acta eruditorum, Jacques Bernoulli 
escreveu um influente tratado, o Ars conjectandi (A arte de conjecturar) 
(Figura 2), que foi publicado postumamente em 1713 e que aborda problemas 
de contagem envolvendo permutações e combinações e principalmente 
problemas relacionados à teoria das probabilidades. 
Matemática nos séculos XVII a XIX 3
Figura 2. Capa da obra Ars conjectandi, publicado em 1713 por Jacques Bernoulli.
Fonte: Internacional... (2013, documento on-line).
Nessa obra aparece um importante teorema da área, chamado de lei 
dos grandes números, que enuncia que, se um evento com probabilidade de 
ocorrência p ocorre m vezes em uma sequência de n experimentos, então:
 
Isto é, a probabilidade da frequência relativa de ocorrências deste evento 
tornar-se arbitrariamente próxima da probabilidade p à medida que o número 
de experimentos aumenta tende a 1, ou seja, 100%. 
A tabela a seguir apresenta uma simulação computacional de 
uma sequência de n lançamentos de uma moeda honesta, isto 
é, a probabilidade de sair a face cara é p = 0,5 = 50% em cada lançamento. 
Em cada sequência, a quantidade m de faces cara é obtida e a frequência 
relativa FR = m/n é calculada.
Sequência n m FR = m/n
1 10 8 0,8
2 100 51 0,51
(Continua)
Matemática nos séculos XVII a XIX4
Sequência n m FR = m/n
3 1.000 484 0,484
4 10.000 5.019 0,5019
5 100.000 49.986 0,49986
6 1.000.000 499.604 0,499604
Observe como a frequência relativa do evento “face cara” já fica muito 
próxima de p = 0,5 para uma sequência de n = 100 lançamentos. Esse resultado 
é um exemplo clássico da lei dos grandes números na versão apresentada por 
Jacques Bernoulli. 
Na área de equações diferenciais, Jacques Bernoulli, em parceria com 
seu irmão Jean e com Leibniz, contribuiu para o desenvolvimento da hoje 
conhecida equação de Bernoulli:
onde p(x) e g(x) e são funções quaisquer de x. A solução proposta para essa 
equação consiste na transformação v = y1-n. A equação obtida ao substituir tal 
transformação na equação diferencial original é linear, e portanto, passível 
de solução pelo método do fator integrante, por exemplo. 
Equações diferenciais são equações que envolvem funções desco-
nhecidas e suas derivadas. A resolução de uma equação diferencial 
consiste basicamente em obter tais funções ou classes de funções que satisfazem 
a equação dada. 
O irmão de Jacques, Jean Bernoulli, também obteve resultados impor-
tantes na matemática. Escreveu livros didáticos sobre cálculo diferencial 
e integral e, enquanto esteve em Paris, ensinou esse então novo ramo da 
matemática para um marquês, que possuía grande interesse pela área, o 
marquês de L’Hospital (1661–1704). Além dos ensinamentos, Jean Bernoulli 
(Continuação)
Matemática nos séculos XVII a XIX 5
enviava ao marquês artigos e descobertas recentes da matemática. Numa 
dessas descobertas feitas por Jean Bernoulli está a conhecida regra de 
L’Hospital, extremamente utilizada no cálculo diferencial. Se f(x) e g(x) são 
diferenciáveis em x = a e f(a) = g(a) = 0, então:
caso o limite do lado direito da equação exista. Logo, a regra de L’Hospital é 
amplamente aplicada em problemas envolvendo indeterminações no cálculo 
de limites. Essa regra foi colocada por L’Hospital em seu livro Analyse des 
infinement petit, publicado em 1696 e considerado o primeiro livro didático 
impresso de cálculo diferencial. 
Os filhos de Jean Bernoulli, Nicholas (1695–1726), Daniel (1700–1782) 
e Jean II (1710–1790) também se tornaram professores de matemática, 
com destaque para Daniel Bernoulli, que fez importantes avanços em 
hidrodinâmica (princípio de Bernoulli), na teoria das probabilidades, 
entre outras áreas, quando professor da Academia de Ciências de São 
Petersburgo, na Rússia. 
Mais detalhes técnicos sobre a regra de L’Hospital, e também sobre 
cálculo diferencial em geral, consulteStewart (2017).
Leonhard Euler
Considerado um dos matemáticos mais produtivos da história, com mais de 
500 artigos publicados em diversas áreas, o suíço Leonhard Euler (1707–1783) 
(Figura 3) influenciou gerações com o desenvolvimento e a fundamentação 
da análise matemática. Sua obra Introductio in analysin infinitorum, de 1748, 
é considerada a fonte inicial dos fundamentos da análise e proporcionou o 
avanço da área posteriormente por outros matemáticos. 
Matemática nos séculos XVII a XIX6
Figura 3. Leonhard Euler.
Fonte: About... ([2021?], documento on-line)/CC BY-NC-SA 4.0).
Euler estudou com Jean Bernoulli e fez grandes amizades com seus filhos 
Nicholas e, principalmente, Daniel. Tinha imensa habilidade em outras áreas 
do saber, como medicina, línguas, astronomia e teologia. Tais conhecimen-
tos permitiram sua entrada na cadeira de medicina da Academia de São 
Petersburgo, na Rússia, onde os irmãos Nicholas e Daniel Bernoulli estavam 
trabalhando, porém como professores de matemática. Certo tempo depois, 
Euler conseguiu transferência para a cadeira de filosofia natural da academia. 
Construiu grande reputação na instituição e em toda a Europa, onde ganhou 
diversas premiações acadêmicas. Fez parte da Academia de Berlim a convite 
de Frederico, o Grande, onde ficou por 25 anos, até retornar à Rússia. Mesmo 
com graves problemas de visão, que o levaram à completa cegueira, Euler 
permaneceu produzindo e pesquisando até sua morte, em 1783 (FLOOD; 
WILSON, 2013).
A influência de Euler já é evidente com as notações matemáticas defi-
nidas por ele e utilizadas até os dias de hoje. Para citar alguns exemplos, a 
utilização da letra grega ∑ para representar somatórios, a notação f(x) para 
funções da variável x, a aplicação de letras maiúsculas para ângulos internos 
Matemática nos séculos XVII a XIX 7
de um triângulo e minúsculas para seus lados, além da letra i para unidade 
imaginária de um número complexo. Por fim, a definição da letra e para a 
base dos logaritmos naturais, constante conhecida como número de Euler. 
Com essas notações, pode-se estabelecer a famosa identidade de Euler:
que relaciona alguns dos números mais importantes da matemática, como 
0, 1 e π, e ainda apresenta todo um leque de operações básicas, incluindo 
soma, potenciação, multiplicação e igualdade.
Como já mencionado, uma das principais contribuições de Euler 
foi a fundamentação da análise matemática, que estuda processos e 
metodologias associados ao infinito, como o comportamento de se-
quências, limites de funções, convergência de séries infinitas, entre 
outros. De fato, com o avanço da análise, diversos resultados oriundos 
do cálculo diferencial e integral foram formalmente demonstrados com 
ferramentas da análise. 
A família Bernoulli e Leonhard Euler foram os personagens principais de 
uma era na matemática. Entretanto, diversos matemáticos importantes foram 
contemporâneos dos Bernoulli e de Euler, responsáveis por grandes avanços 
em áreas como cálculo diferencial e integral, análise matemática e teoria 
dos números. Nesse âmbito, podemos destacar Colin Maclaurin (1698–1746), 
Brook Taylor (1683–1731) e Michel Rolle (1652–1719) com importantes trabalhos 
no cálculo, Gabriel Cramer (1704–1752) e Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783) 
na álgebra e Alexis Clairaut (1713–1765) nas equações diferenciais (BOYER; 
MERZBACH, 2018; ROONEY, 2017).
A matemática na Revolução Francesa 
e no século XIX
O período da Revolução Francesa, no final do século XVIII, trouxe vários grupos 
de matemáticos responsáveis por avanços em diversas áreas, principalmente 
na própria França. Matemáticos como Lagrange, Laplace, Legendre, entre 
outros, são personalidades tanto na matemática quanto, alguns deles, na 
revolução em si. Nesse período, os matemáticos começam a propor maior 
rigor e formalidade no pensamento matemático, o que se solidificou princi-
palmente no século seguinte. 
Matemática nos séculos XVII a XIX8
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), italiano, mas com ascendência francesa, 
contribuiu significativamente para o cálculo diferencial e integral. Formulou 
o teorema do valor médio, que enuncia que, se uma função f é contínua em 
 e diferenciável em , então existe tal que:
Além disso, Lagrange propôs a utilização dos atualmente conhecidos 
multiplicadores de Lagrange para obtenção de máximos e mínimos de fun-
ções com restrições em seu domínio, além de ter sido o autor do método 
da variação de parâmetro na resolução de equações diferenciais lineares 
não homogêneas. Ficou conhecido pela elegância de seus métodos, além da 
preocupação com o rigor analítico de suas proposições. Assim como Lagrange, 
o francês Adrien-Marie Legendre (1752–1833) foi importante no cálculo, por 
meio de estudos em equações diferenciais, integrais elípticas e na escrita do 
tratado Exercices du calcul integral, produzido entre 1811–1819, com grande 
impacto na análise matemática. O formalismo e o rigor matemático defendidos 
por Lagrange também são encontrados em Legendre, cuja obra Éléments 
de géometrie, de 1794, ficou famosa pela clareza e pelo rigor aplicados nos 
conceitos abordados (BOYER; MERZBACH, 2018).
O século XVIII foi marcante pelos primeiros desenvolvimentos na teoria 
das probabilidades, com participações fundamentais dos franceses Abraham 
De Moivre (1667–1754) e Pierre-Simon Laplace (1749–1827) (Figura 4). O primeiro 
foi o autor da influente obra Doctrine of chances, de 1718, com abordagem em 
diversos problemas probabilísticos envolvendo jogos de dados e retiradas 
de bolas em urnas, além de estabelecer uma teoria para permutações e 
combinações. Segundo Boyer e Merzbach (2018), foi o primeiro a trabalhar 
com a expressão da curva gaussiana ou distribuição normal:
que também fora estudada por Laplace e utilizada por Gauss na sua teoria 
dos erros. Laplace, inclusive, foi o autor de diversos artigos na área de teoria 
das probabilidades. Reuniu seus resultados na obra Théorie analytique des 
probabilités, de 1812, considerada clássica na área. Por fim, escreveu Essai 
philosophique des probabilités, de 1814, em que considera toda a teoria 
desenvolvida sobre a área até então, além de introduzir o assunto para o 
público leigo. 
Matemática nos séculos XVII a XIX 9
Figura 4. Pierre-Simon Laplace.
Fonte: Pierre... ([2021?], documento on-line).
A matemática do século XIX evoluiu tanto em aspectos técnicos — com 
o surgimento de novos conceitos, como geometria não euclidiana, espaços 
n-dimensionais e álgebras não comutativas — quanto em aspectos filo-
sóficos, em que o rigor lógico-dedutivo passava a ter papel central nas 
demonstrações dos resultados. A matemática pura recebeu mais atenção, 
com maiores incentivos à pesquisa e à divulgação. Foi esse o século que 
testemunhou o auge de Gauss, considerado o principal matemático do 
período.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855) nasceu na Alemanha e desde criança 
já demonstrava habilidades com a matemática. Pesquisas importantes 
na geometria, na álgebra e na teoria dos números foram conduzidas, com 
resultados de destaques obtidos por Gauss ainda jovem. Apresentou de-
monstrações do teorema fundamental da álgebra, que afirma que uma 
equação de grau n possui exatamente n raízes (reais ou complexas). Desco-
briu o famoso método dos mínimos quadrados, fundamental na estatística, 
por ser um método de otimização que visa obter a melhor aproximação 
ou, em linguagem estatística, melhor ajuste, considerando a minimização 
da soma dos quadrados das distâncias entre o ajuste e as observações 
(ROONEY, 2017).
Matemática nos séculos XVII a XIX10
Vejamos um exemplo com registros de vendas de certo produto. 
Uma reta de regressão é o ajuste obtido aos dados pelo critério 
de mínimos quadrados desenvolvido por Gauss. Se y i são as observações em 
xi, i = 1, ..., n, então os coeficientes α e β da reta de regressão 
da reta de regressão são obtidos minimizando a quantidade:
A Figura 5 apresenta um exemplo de uma reta de regressão ajustada a um 
conjunto de pontos.Figura 5. Exemplo de reta de regressão.
Para mais detalhes sobre métodos de mínimos quadrados em esta-
tística, consulte Montgomery, Peck e Vining (2012).
Matemática nos séculos XVII a XIX 11
Em teoria dos números, Gauss publicou a influente obra Disquisitiones 
arithmeticae (Figura 6), publicada em 1801, em que reuniu diversos avanços 
na área obtidos por matemáticos como Euler, Lagrange e Legendre, além de 
resultados alcançados por ele mesmo. 
Figura 6. Capa de Disquisitiones arithmeticae, de Gauss, publicada em 1801.
Fonte: Gauss (1801, documento on-line).
Em teoria de probabilidades, Gauss aplicou a curva hoje conhecida como 
curva gaussiana ou distribuição normal, apresentada na Figura 7, para modelar 
erros de medição em dados astronômicos. Postulou que a frequência dos 
erros distribuía-se simetricamente ao redor de zero, que era o valor modal. 
A expressão analítica da curva gaussiana já fora estudada por De Moivre 
e Laplace, mas sua aplicação por Gauss no âmbito da teoria dos erros foi 
fundamental para seu desenvolvimento e popularidade. 
Matemática nos séculos XVII a XIX12
Figura 7. Distribuição normal, ou curva gaussiana.
Apesar do destacado papel de Gauss na matemática do século XIX, diversos 
matemáticos devem ser mencionados por suas importantes contribuições 
no período. Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), por exemplo, estabeleceu 
o termo “determinante” e realizou diversos trabalhos sobre o assunto, que 
hoje é essencial em estudos sobre matrizes. Entre outras contribuições, 
generalizou de certa forma o teorema do valor médio no cálculo, em que, se f 
e g satisfazem as condições mencionadas anteriormente quando introduzido 
o teorema, então:
O prussiano Carl Cristov Jacobi (1804–1851), o norueguês Niels Henrik Abel 
(1802–1829) e o francês Évariste Galois (1811–1832), apesar do pouco período 
em que viveram (Galois, por exemplo, faleceu em um duelo aos 20 anos), foram 
responsáveis por avanços na teoria dos números, no cálculo diferencial e 
integral, na álgebra, entre outras (BOYER; MERZBACH, 2018).
Influências em sala de aula
Os avanços realizados em todas as áreas da matemática entre os séculos 
XVII e XIX estão presentes atualmente nas salas de aula, a começar pelas 
Matemática nos séculos XVII a XIX 13
notações, muitas delas introduzidas por Euler no século XVIII para funções 
matemáticas, para a unidade imaginária e para a base do logaritmo natural, 
por exemplo. As ferramentas de cálculo, amplamente estudadas naquele 
período, podem ser vistas em diversos assuntos. Ao abordar esses conceitos 
em sala de aula, o professor pode fazer conexões com o contexto histórico e 
com os matemáticos que os desenvolveram. O exemplo a seguir interpreta o 
teorema do valor médio em termos de retas secantes e tangentes. 
Interpretação do teorema do valor médio
A partir do teorema do valor médio, temos que:
Note que o lado esquerdo da equação representa o coeficiente angular 
da reta secante ao gráfico da função de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, 
f(b)). O teorema diz que existe um ponto (c, f(c)) cuja reta tangente ao gráfico 
neste ponto possui o mesmo coeficiente angular que o da reta secante em 
(a, f(a)) e (b, f(b)), isto é, as retas secantes em (a, f(a)) e (b, f(b)) e tangente em 
(c, f(c)) são paralelas. 
Para ilustrar, considere a função:
Vamos considerar também a = 1 e b = 6. É fácil verificar que a função 
é contínua e diferenciável em [1, 6]. Pelo teorema do valor médio, existe 
 tal que:
Esse valor c pode ser encontrado sabendo-se que f ’(x) = 2x – 5. Assim:
A Figura 8 apresenta o gráfico de f com as retas secante em 
e , em vermelho, e tangente em , 
em verde. Observe que as retas são paralelas, com coeficiente angular igual 
a 2 pelo teorema do valor médio.
Matemática nos séculos XVII a XIX14
Figura 8. Gráfico de f com as retas secante e tangente.
Conceitos trabalhados no ensino básico, como matrizes, determinantes e 
equações também apresentam fortes influências dos trabalhos dos matemá-
ticos dos séculos XVII a XIX. Os exemplos a seguir ilustram estas influências.
Os determinantes foram desenvolvidos por matemáticos importantes 
dos séculos XVIII e XIX, como Laplace, Lagrange e Cauchy, inclusive 
com aplicações na geometria. Considere um triângulo cujos vértices são os 
pares ordenados (1, 2), (3, 8) e (–1, –5). Lagrange estabeleceu a famosa fórmula 
de cálculo da área A do triângulo fazendo:
onde:
isto é, a primeira coluna de M são os valores da abscissa, a segunda coluna são 
as ordenadas e a terceira é preenchida com 1. Ao calcular o determinante de M, 
temos que det(M) = –2 . Logo:
Matemática nos séculos XVII a XIX 15
Diversos matemáticos estudaram como demonstrar o teorema fun-
damental da álgebra, e Gauss foi um deles. Esse teorema tem grande 
impacto no estudo de equações, uma vez que expande a ideia de raízes de uma 
equação para os números complexos. Considere a equação quadrática:
x2 + 1 = 0
De fato, a equação dada não possui raízes reais. Porém, o teorema funda-
mental da álgebra garante que tal equação possui duas raízes, por ser de grau 
igual a 2. Nesse caso, as duas raízes são complexas, isto é:
onde é a unidade imaginária. Note que se um número complexo é raiz 
de uma equação, seu conjugado também o é. 
Por fim, o incentivo ao rigor matemático em demonstrações e raciocínios 
também é fruto do período histórico estudado nesta seção. 
Com os exemplos examinados, fica evidente que a matemática ensinada e 
aplicada atualmente é resultado de séculos de árduas pesquisas, experimentos 
e pensamentos desenvolvidos por diversos matemáticos em várias partes do 
mundo. Além disso, seus conceitos são desenvolvidos e aperfeiçoados gradu-
almente, assim como ocorre na ciência de forma geral. Entender o contexto 
histórico do pensamento de um dado conceito matemático é fundamental 
para sua completa compreensão. 
Referências
ABOUT Project Euler. In: PROJECTEULER.NET. [S. l.], [2021?]. Disponível em: https://
projecteuler.net/about. Acesso em: 22 fev. 2021. 
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2018.
FLOOD, R.; WILSON, R. A história dos grandes matemáticos: as descobertas e a pro-
pagação do conhecimento através das vidas dos grandes matemáticos. São Paulo: 
MBooks, 2013.
GAUSS, C. F. Disquisitiones arithmeticae. In: SMITHSONIAN Libraries. New York, 1801. 
Disponível em: https://archive.org/details/disquisitionesa00gaus. Acesso em: 22 
fev. 2021.
INTERNACIONAL CONFERENCE ARS CONJECTANDI, 2013. Basel: Swiss Statistical Society, 
2013. Disponível em: http://www.statoo.ch/bernoulli13/. Acesso em: 22 fev. 2021.
MONTGOMERY, D.; PECK, E.; VINING, G. Introduction to linear regression analysis. Ho-
boken: Wiley, 2012.
Matemática nos séculos XVII a XIX16
PIERRE Simon. Matemáticos famosos. In: PROFESSOR Cardy. [S. l.], [2021?]. Disponível 
em: http://www.profcardy.com/matematicos/index.php?c=Fran%C3%A7a. Acesso em: 
22 fev. 2021.
ROONEY, A. A história da matemática. São Paulo: MBooks, 2017.
STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Matemática nos séculos XVII a XIX 17