TIC_Jean Tomasia - Final

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UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ 
JEAN CARLOS TOMASIA JUNIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE LAJES NERVURADAS EM CONCRETO ARMADO E LAJES PLANAS 
EM CONCRETO PROTENDIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itajaí 
2017 
 
1 
 
JEAN CARLOS TOMASIA JUNIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE LAJES NERVURADAS EM CONCRETO ARMADO E LAJES PLANAS 
EM CONCRETO PROTENDIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto – Trabalho de Iniciação Científica - 
TIC apresentado como requisito total para 
obtenção da M3 da disciplina Trabalho de 
Iniciação Científica e Tecnológica do curso de 
Engenharia Civil - Centro de Ciências 
Tecnológicas da Terra e do Mar pela 
Universidade do Vale do Itajaí. 
 
Professor: Luiz Alberto Duarte Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itajaí 
2017 
[
C
a
2 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço a todos os professores do curso de Engenharia Civil, por terem 
compartilhado seu conhecimento e experiência ao longo de toda a minha formação, 
contribuindo para minha formação profissional e acadêmica. 
Em especial ao orientador, Professor e Mestre Luiz Alberto Duarte Filho por ter 
aceitado o convite e principalmente pela atenção e dedicação ao longo de todo o 
desenvolvimento do trabalho. 
Aos membros da banca examinadora, Professora e Mestre Flávia Gelatti e Professor 
Lucas Matheus de Oliveira Scoz pela disposição em contribuir com o trabalho. 
Membros que foram escolhidos não apenas pela afinidade com o tema, mas 
também pela competência e pelo exemplo de profissionais que desejo me tornar. 
Por último e mais importante, à minha família por ter me fornecido todo o suporte, 
apoio e carinho necessários para que eu pudesse chegar ao final do curso e 
desenvolver esse trabalho de pesquisa. 
 
 
3 
 
RESUMO 
 
As soluções em concreto protendido estão cada vez mais presentes nos projetos 
estruturais de escritórios de engenharia ao redor do Brasil, visto que a técnica 
possibilita maior liberdade arquitetônica e economia, em alguns casos. O presente 
projeto de pesquisa envolve o estudo de dois sistemas construtivos: lajes 
nervuradas em concreto armado e lajes maciças planas em concreto protendido não 
aderente. Foram dimensionados dois edifícios no software CAD/TQS, ambos com o 
mesmo projeto arquitetônico. Também foi desenvolvida uma planilha de cálculo no 
Excel para armadura passiva e de punção. A finalidade principal desse estudo é 
comparar os dois sistemas em termos de viabilidade técnica e econômica, com foco 
na análise da estabilidade global, flecha e consumo de materiais. Outro objetivo do 
trabalho é a comparação dos resultados gerados pelo software com os obtidos pela 
planilha de cálculo manual. Verificou-se que o modelo em concreto armado foi mais 
econômico, em função da tipologia da laje ser mais favorável ao projeto 
arquitetônico em questão. No modelo em concreto protendido a armadura mínima 
obrigatória encareceu o projeto, tornando-o menos vantajoso economicamente. No 
que diz respeito à estabilidade global, a utilização de lajes planas foi prejudicial, uma 
vez que a eliminação de vigas reduziu o número de pórticos resistentes ao vento. A 
comparação de flechas entre os modelos mostrou que a protensão foi capaz de 
eliminar quase completamente a deformação da laje, enquanto no pavimento em 
concreto armado ocorreram flechas maiores que um centímetro nas principais lajes. 
Em relação à planilha de cálculo, concluiu-se que os valores calculados de armadura 
passiva para a laje protendida foram semelhantes aos obtidos pelo software, já a 
planilha de punção necessita de ajustes para se adequar ao mesmo. 
 
Palavras-chave: Concreto armado; Concreto protendido não aderente; Laje 
nervurada; Laje plana; Punção. 
 
4 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1: Gráfico de tensão-deformação de aços protendidos. ................................. 24 
Figura 2: Distribuição de tensões na seção. ............................................................. 26 
Figura 3: Curvatura reversa nos cabos de protensão. .............................................. 27 
Figura 4: Cobrimento da ancoragem passiva. ........................................................... 28 
Figura 5: Ponto de inflexão do cabo. ......................................................................... 29 
Figura 6: Espaçamento mínimo para sistemas de pós-tração................................... 29 
Figura 7: Separação dos feixes de cabos das monocordoalha engraxadas. ............ 30 
Figura 8: Desvio da direção dos cabos em planta. .................................................... 31 
Figura 9: Fissuração na ocasião de ruptura. ............................................................. 37 
Figura 10: Superfície de ruptura de uma laje sem armadura transversal. ................. 38 
Figura 11: Ruptura na zona adjacente ao pilar.......................................................... 38 
Figura 12: Ruptura na armadura da zona com armadura transversal. ...................... 39 
Figura 13: Ruptura na zona além da armadura transversal. ..................................... 39 
Figura 14: Perímetro crítico em pilares internos. ....................................................... 40 
Figura 15: Perímetro crítico em pilares de borda. ..................................................... 42 
Figura 16: Perímetro crítico em pilares de canto. ...................................................... 43 
Figura 17: Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície 
C’. .............................................................................................................................. 45 
Figura 18: Disposição da armadura de punção em corte. ......................................... 46 
Figura 19: Armadura contra colapso progressivo. ..................................................... 47 
Figura 20: Planta baixa do pavimento tipo. ............................................................... 50 
Figura 21: Planta de formas do modelo 1. ................................................................ 52 
Figura 22: Cobrimentos adotados. ............................................................................ 53 
Figura 23: Características da seção e cargas da laje nervurada. .............................. 54 
Figura 24: Planta de formas do modelo 2. ................................................................ 56 
Figura 25: Características da seção e cargas da laje plana. ..................................... 57 
Figura 26: Valores de flecha para laje nervurada. ..................................................... 60 
Figura 27: Armadura positiva principal para laje nervurada. ..................................... 62 
Figura 28: Armadura positiva secundária para laje nervurada. ................................. 63 
Figura 29: Armadura negativa principal para laje nervurada. .................................... 64 
Figura 30: Armadura negativa secundária para laje nervurada. ................................ 65 
5 
 
Figura 31: Planta baixa com vigas analisadas. ......................................................... 66 
Figura 32: Momentos fletores na viga V8. ................................................................. 67 
Figura 33: Detalhamento da viga V8. ........................................................................ 67 
Figura 34: Momentos fletores na viga V14. ............................................................... 68 
Figura 35: Detalhamento da viga V14. ...................................................................... 69 
Figura 36: Valores de flecha para laje protendida. .................................................... 73 
Figura 37: Planta de formas com vigas destacadas. ................................................. 74 
Figura 38: Momentos fletores para viga V4. .............................................................. 75 
Figura 39: Detalhamento da viga V4. ........................................................................do concreto de cálculo; 
fck = Resistência característica à compressão do concreto. 
 
Quando os vãos que chegam a um pilar interno não diferem mais de 50% e não 
existem aberturas junto ao pilar, o valor de Sd pode ser ampliado em 20% por efeito 
do estado múltiplo de tensões. 
 
b) Tensão resistente na superfície C’ em trechos sem armadura de punção 
A verificação na superfície crítica C’ deve ser realizada pelas equações 21, 22 e 23: 
 
(21) 
 
(22) 
 
(23) 
 
 
Onde: 
 = Taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser 
desprezada); 
x e y = Taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas: 
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos 
lados; 
- no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 
3d. 
 
 







250
1 ck
V
f

1RdSd  
  CPckRd f
d
 








 10,0100
20
113,0
3/1
1
yx  
45 
 
c) Tensão resistente na superfície C’ em trechos com armadura de punção 
 
Nesse caso, a verificação na superfície crítica C’ deve ser realizada pelas equações 
24 e 25: 
 
(24) 
 
(25) 
 
 
Onde: 
Sr = Espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior do que 0,75d; 
ASW = Área de armadura de punção em um contorno completo paralelo a C’; 
 = Ângulo de inclinação entre o eixo de armadura de punção e o plano da laje; 
FyWd = Resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos. 
 
d) Definição da superfície crítica C’’ 
A armadura transversal, quando necessária, deve ser estendida em contornos 
paralelos a C’, em um contorno C’’ afastado 2d do último contorno de armadura até 
que não seja mais necessária armadura, ou seja, quando a condição da equação 21 
for satisfeita. (Figuras 17 e 18). 
 
 Figura 17: Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície C’. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 167. 
 
dus
senfAd
f
d r
yWdSW
CPckRd













 5,110,0100
20
113,0
3/1
1
3RdSd  
46 
 
 Figura 18: Disposição da armadura de punção em corte. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 167. 
 
Em alguns casos, a estabilidade global da estrutura depende da resistência da laje à 
punção, nessa situação deve-se prever armadura transversal mesmo que as 
solicitações sejam menores que a tensão resistente. Essa armadura deve ser 
suficiente para equilibrar o mínimo de 50% de FSd. 
 
e) Colapso progressivo 
A armadura de flexão inferior que atravessa o contorno do pilar deve estar 
suficientemente ancorada além do contorno C’ ou C’’, para garantir a ductilidade 
local e proteção contra colapso progressivo, conforme Figura 19. O cálculo da 
armadura é realizado pela equação 26. 
 
(26) 
 
 
Onde: 
As,ccp = Somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada uma das faces 
do pilar; 
FSd = Força ou reação concentrada de cálculo, pode ser calculado com majoração de 1,2. 
 
Sdccpsyd FAf  5,1,
47 
 
 Figura 19: Armadura contra colapso progressivo. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 168. 
 
 
 
 
48 
 
3 METODOLOGIA 
3.1 Perspectiva de Pesquisa 
Do ponto de vista da natureza, esta pesquisa se classifica como aplicada, pois 
objetiva gerar conhecimentos de aplicação prática de lajes protendidas em edifícios. 
A abordagem do problema é de natureza quantitativa e qualitativa, uma vez que os 
dados obtidos são traduzidos em vantagens e desvantagens. 
A pesquisa tem um delineamento exploratório, descritivo e comparativo, já que os 
resultados são descritos com foco na comparação entre os sistemas estudados. 
Quanto aos procedimentos técnicos, a pesquisa é bibliográfica e experimental, dado 
que o objetivo é estudar as características de dois sistemas construtivos em uma 
laje única, obtendo conhecimento detalhado sobre a influência de cada um deles na 
mesma. O desenvolvimento foi feito em laboratório de informática. 
 
3.2 População e Participantes da Pesquisa 
O projeto de pesquisa para estudo e modelagem no software foi fornecido pela 
empresa Duarte e Pereira Engenharia. Trata-se de um edifício residencial e o 
pavimento analisado foi o tipo. A planta baixa do pavimento em questão se encontra 
no item 3.4 deste trabalho. 
Para a modelagem do projeto foi utilizado o software CAD/TQS, fornecido pela 
UNIVALI. A planilha de cálculo foi desenvolvida com o auxílio do Excel. 
 
3.3 Procedimentos e instrumentos de análise e coleta de informações 
 
A primeira etapa do projeto foi a modelagem do pavimento estudado com o software 
CAD/TQS, fazendo-se uso de lajes em concreto armado, apoiadas em vigas. Após o 
processamento realizou-se a análise da estabilidade global pelo coeficiente gama z 
e da flecha máxima nas lajes. Por fim, foram obtidos os detalhamentos de armadura 
para as lajes e algumas vigas isoladamente, assim como o quantitativo de materiais 
total do edifício. 
49 
 
Na sequência, modelou-se no CAD/TQS o mesmo pavimento em concreto 
protendido com o sistema não-aderente com monocordoalha engraxadas. Para esse 
modelo foram utilizadas lajes planas. Ainda nesse modelo, analisou-se a 
estabilidade global e a flecha máxima na laje plana. Por fim, foram obtidos os 
detalhamentos de armadura para as lajes e algumas vigas isoladamente, assim 
como o quantitativo de materiais total do edifício. 
Posteriormente, foi elaborada uma planilha de cálculo para lajes planas protendidas 
por meio do Excel. A planilha apresentou as verificações das tensões em serviço 
para a quantidade de cordoalhas dimensionada pelo software e o dimensionamento 
da armadura passiva complementar. Também se desenvolveu uma planilha para 
cálculo de punção em pilares de centro, com função de verificar as tensões 
resistentes e solicitantes, assim como dimensionar a armadura para combater tal 
efeito. 
Em posse de todos os dados, realizou-se a comparação entre os dois modelos, em 
termos de estabilidade global, flecha e quantitativos. Por fim, foi definido o sistema 
mais vantajoso para a tipologia estudada, com base em todas as vantagens e 
desvantagens apresentadas. 
 
3.4 Projeto arquitetônico 
A Figura 20 apresenta a planta baixa do pavimento tipo a ser dimensionado, 
fornecido pela empresa Duarte e Pereira Engenharia. 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 Figura 20: Planta baixa do pavimento tipo. 
 Fonte: DUARTE E PEREIRA; 2017.1 
 
 
1 Projeto fornecido pela empresa Duarte e Pereira Engenharia. 
 
51 
 
3.5. Modelo 1: Concreto armado 
3.5.1. Dimensionamento no Software TQS V 19 
O dimensionamento do edifício em concreto armado foi realizado utilizando-se o 
Software TQS V19. Para isso, considerou-se que o mesmo era composto por 15 
pavimentos tipos, com a planta de formas apresentada na Figura 21. O pé-direito 
considerado para cada pavimento foi de 3,24m, totalizando 48,60m de altura para o 
edifício. Os coeficientes de arrasto calculados pelo programa, de acordo com as 
dimensões do edifício, estão apresentados no Quadro 5. 
A planta de formas pode ser melhor visualizada no Apêndice A. 
 
 Quadro 5: Coeficientes de arrasto. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 Figura 21: Planta de formas do modelo 1. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
53 
 
3.5.2. Características dos materiais 
A resistência característica do concreto definida para o projeto foi de 30 MPa para 
todos os elementos e a classe de agressividade foi CAA II, por se tratar de ambiente 
urbano. Os cobrimentos mínimos podem ser vistos na Figura 22. Foram utilizadosaços CA50 e CA60 nas bitolas comerciais de 5mm a 25mm. 
 
Figura 22: Cobrimentos adotados.
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
3.5.3. Características das lajes 
As lajes número 4 e 6, por possuírem grandes dimensões, foram dimensionadas 
com 30 cm, o restante das lajes foi dimensionada com 25 cm, conforme a Figura 21. 
Todas as lajes foram configuradas com nervuras de 10 cm, espaçadas 50 cm entre 
si. A altura do enchimento para todo o pavimento foi de 20 cm, enquanto a altura da 
capa foi de 5 e 10 cm para as lajes de 25 e 30 cm, respectivamente. 
A Figura 23 mostra as características da seção e carga das maiores lajes. 
 
 
54 
 
 
Figura 23: Características da seção e cargas da laje nervurada. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
3.5.4. Cargas 
A determinação das cargas acidentais atuantes nas lajes foi baseada na NBR 
6120:1980. A norma recomenda que se utilize o valor de 2 kN/m² para despensa, 
área de serviço e cozinhas residenciais e 1,5 kN/m² para os demais cômodos, 
entretanto, decidiu-se utilizar o valor de 2 kN/m² para todas as lajes para 
uniformização das cargas. 
As cargas permanentes referentes ao peso próprio são calculadas pelo software, 
tendo como referência o valor de 25 kN/m³, por se tratar de concreto armado. Além 
do peso próprio foi definida uma carga de 1,5 kN/m² em todas as lajes, 
representando o revestimento. As paredes foram calculadas com um peso próprio 
de 13 kN/m³, considerando a espessura de 14cm e altura variando para paredes 
sobre vigas ou lajes. O valor para cargas de parede sobre vigas foi de 4,44 kN/m e 
sobre lajes de 5,46 kN/m. 
 
3.6. Modelo 2: Concreto protendido 
3.6.1. Dimensionamento no software TQS V19 
O dimensionamento do edifício em concreto protendido também foi realizado 
utilizando-se o Software TQS V19. Para isso, considerou-se que o mesmo era 
composto por 15 pavimentos tipos, conforme planta de formas apresentada na 
55 
 
Figura 24. O pé-direito considerado para cada pavimento foi de 3,24m, totalizando 
48,60m de altura para o edifício. Os coeficientes de arrasto não sofreram alteração 
em relação ao edifício de concreto armado, pois as dimensões continuaram as 
mesmas. A maioria das vigas do projeto em concreto armado foram eliminadas, 
restando apenas aquelas necessárias para garantir a estabilidade global do edifício, 
para isso, alguns pilares também precisaram ter suas seções aumentadas. 
A planta de formas pode ser melhor visualizada no Apêndice B. 
 
3.6.2. Características dos materiais 
A resistência característica do concreto definida para o projeto foi de 35 MPa para 
todos os elementos e a classe de agressividade foi CAA II, por se tratar de ambiente 
urbano. Os cobrimentos mínimos foram os mesmos adotados para o edifício em 
concreto armado. Para a armadura passiva, foram utilizados aços CA50 e CA60 nas 
bitolas comerciais de 5mm a 25mm. Apenas a cordoalha de 12,7mm CP190 RB foi 
configurada para a armadura ativa. 
 
3.6.3. Características das lajes 
As lajes da escada e do hall foram dimensionadas como maciças de 15cm e 
apoiadas sobre as vigas do núcleo rígido. Para o restante do pavimento foi 
dimensionada uma única laje plana maciça de 20cm, apoiada sobre os pilares. 
 
3.6.4. Cargas 
Assim como no edifício em concreto armado, foi considerada uma carga acidental de 
2 kN/m² nas lajes, também foi mantida a carga de 1,5 kN/m² devido ao revestimento. 
As características de peso próprio e espessura das paredes foram mantidas, 
entretanto, as cargas mudaram, devido à mudança de alturas. Nesse caso, foram 
utilizadas cargas de 5,53 kN/m representando as paredes. 
A Figura 25 mostra as características de seção e cargas da laje plana. 
56 
 
 Figura 24: Planta de formas do modelo 2. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
57 
 
 Figura 25: Características da seção e cargas da laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
58 
 
4. DESENVOLVIMENTO 
 
4.1. Edifício em Concreto Armado 
4.1.1. Estabilidade Global 
Para a análise da estabilidade global do edifício, optou-se pela utilização do 
coeficiente Gama z. No Quadro 6 é possível visualizar os valores de Gama z obtidos 
pelo TQS para cada combinação, sendo as combinações 5, 6, 7 e 8 referentes às 
direções de vento a 90º, 270º, 0º e 180º, respectivamente. 
 
 Quadro 6: Valores de Gama z para o modelo 1. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
A NBR6118:2014 determina que uma estrutura é considerada de nós móveis quanto 
o Gama Z supera o valor de 1,1. Portanto, constata-se que pelo coeficiente nas 
combinações 7 e 8, a estrutura é de nós móveis, ou seja, deve-se considerar os 
efeitos da não linearidade física e geométrica. 
Outro resultado apresentado pelo programa é o parâmetro , que também pode ser 
utilizado para determinar se a estrutura é de nós móveis ou fixos. Observa-se que 
nos casos 7 e 8 o valor de  é superior a 0,6, valor limite para que o edifício seja 
considerado de nós fixos, segundo a NBR6118:2014. 
Em relação aos deslocamentos horizontais máximos, a NBR6118:2014 estabelece 
como valor limite absoluto de H/1700 e entre pavimentos de Hi/850 para 
deslocamentos oriundos da ação do vento para combinação frequente. Para o 
edifício em questão, com altura total de 48,60 m, o deslocamento absoluto permitido 
é de 2,86 cm, já o deslocamento relativo máximo é de 0,38 cm, considerando o pé 
direito de 3,24 m. 
59 
 
O Quadro 7 apresenta os valores de deslocamentos horizontais absolutos 
calculados pelo TQS para cada direção do vento e o Quadro 8 mostra os valores de 
deslocamento entre pavimentos. Em ambos os quadros pode-se observar que houve 
maiores deslocamentos para os casos 7 e 8, porém, todos ficaram dentro dos 
limites. 
 
 Quadro 7: Deslocamentos absolutos para o modelo 1. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 . 
 Quadro 8: Deslocamentos relativos para o modelo 1. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
4.1.2. Análise de flecha 
Para a análise da flecha considerou-se a combinação quase permanente, no ELS. A 
flecha máxima apresentada pelo TQS para essa combinação foi de 1,51 cm, 
localizada no centro das lajes L4 e L6, as maiores do pavimento. A grelha do 
pavimento com os valores de flecha máxima em cada laje está apresentada na 
Figura 26. 
A NBR6118:2014 estabelece como limite de flecha em lajes, para aceitabilidade 
sensorial, o valor de L/250, sendo L o menor entre os vãos. Para o pavimento em 
análise, todas as flechas atenderam a esse limite, como ilustrado no Quadro 9. 
 
 
 
60 
 
 
 Figura 26: Valores de flecha para laje nervurada. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
61 
 
 Quadro 9: Comparação entre valores de flecha calculada e limite. 
 Laje L1 L2 L3 L4=L6 L5=L7 L8 
Menor vão (m) 1,66 1,5 1,68 6,17 5,62 5,24 
Flecha calculada (cm) 0,13 0,13 0,13 1,51 1,35 0,74 
Flecha limite (cm) 0,66 0,60 0,67 2,47 2,25 2,10 
 Fonte: O autor. 
 
4.1.3. Detalhamento de armaduras das lajes 
Analisando o detalhamento de armaduras das lajes apresentado pelo TQS, pode-se 
observar que para armadura positiva nas maiores lajes foram usadas duas barras de 
12,5 mm em cada nervura da direção principal e uma barra de 10 mm em cada 
nervura na direção secundária. 
Já para atender aos momentos negativos, foram utilizadas armaduras de diversas 
bitolas, destacam-se as barras de 12,5mm próximas aos pilares nas lajes mais 
carregadas. Também é possível observar que foram necessárias armaduras para 
atender as faixas de laje maciça próximas às vigas, com barras de 6,3mm a cada 
15cm. 
O detalhamento das armaduras positivas nas direções principal e secundária está 
apresentado nas Figuras 27 e 28, respectivamente. O detalhamentodas direções 
principal e secundária da armadura negativa está apresentados respectivamente nas 
Figuras 29 e 30. Os Apêndices C e D apresentam em uma escala maior o 
detalhamento das armaduras positivas e negativas, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 Figura 27: Armadura positiva principal para laje nervurada. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
63 
 
 Figura 28: Armadura positiva secundária para laje nervurada. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
64 
 
 Figura 29: Armadura negativa principal para laje nervurada. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
65 
 
 Figura 30: Armadura negativa secundária para laje nervurada. 
 
 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
66 
 
4.1.4. Detalhamento de vigas 
O objetivo principal da pesquisa em questão é a comparação entre as lajes dos dois 
modelos, porém é valido analisar algumas vigas do pavimento para mostrar a 
diferença entre os modelos. As vigas escolhidas para análise foram a V8 e a V14, 
por serem vigas comuns nos dois modelos e por receberem diretamente a carga da 
laje plana no projeto em concreto protendido. As vigas estão destacadas na Figura 
31. 
 
Figura 31: Planta baixa com vigas analisadas. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
A viga V8, no modelo em concreto armado, foi lançada com uma seção de 14 x 
80cm, recebendo as cargas das lajes L3 e L8, além de uma carga de parede de 4,44 
kN/m. Os apoios são os pilares P10 e P11, ambos com dimensões de 30 x 130cm. 
O comprimento total da viga é de 3,14 m. 
A figura 32 mostra o diagrama de momento fletor da viga. O momento negativo 
gerado pelo engastamento com os pilares é de 408 kN.m. Observa-se que devido ao 
momento negativo elevado nos apoios, quase não há momento no meio do vão da 
peça. 
O programa dimensionou a viga com cinco barras de 25 mm na face superior e 
quatro barras da mesma bitola na face inferior. Além disso, há uma armadura de 
pele de 3 barras de 8 mm em cada lado e 29 estribos de 8 mm com espaçamento 
67 
 
variando entre 10 e 12 cm. Como os apoios são largos, não houve necessidade de 
ganchos. Ao todo, será preciso de aproximadamente 120 kg de aço CA50 e 0,35 kg 
de concreto para construir a viga. O detalhamento da armadura pode ser visto na 
Figura 33. 
 
 Figura 32: Momentos fletores na viga V8. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 Figura 33: Detalhamento da viga V8. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
68 
 
A viga V14 possui dimensões de 14x80 cm e recebe as cargas da laje L5, além de 
uma carga de parede de 4,44 kN/m. Está apoiada na maior dimensão do pilar P3 
(25x110) em um dos lados e na menor dimensão do pilar P7 (25x96) no lado oposto. 
O comprimento total da viga é de 1,82 m. 
Com a análise do diagrama na Figura 34, pode-se constatar que na ligação com o 
pilar P3 o momento fletor é muito superior ao lado oposto, devido à maior dimensão 
do apoio. O momento máximo atingiu a grandeza de 117 kN.m. 
 
 Figura 34: Momentos fletores na viga V14. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
Para atender às tensões solicitantes a viga foi dimensionada com três barras de 16 
mm na face superior e três barras de 12,5 mm na inferior. Além disso, há uma 
armadura de pele de 3 barras de 8 mm em cada lado e 9 estribos de 5 m, 
espaçados em 22 cm. Para a ligação com o pilar P7 foram dimensionados ganchos 
de 20 e 25 cm para as armaduras de 12,5 e 16 mm, respectivamente. O consumo 
será de aproximadamente 35 kg de aço e 0,20 kg de concreto para execução da 
viga. O detalhamento da armadura pode ser visto na Figura 35. 
 
 
 
69 
 
 
 Figura 35: Detalhamento da viga V14. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
4.1.5. Consumo de materiais 
O consumo de materiais fornecido pelo TQS está apresentado nos Quadros 10, 11 e 
12. Nesses quadros podem ser vistas as quantidades de aço, formas e concreto 
para pilares, vigas e lajes, distribuídos entre os pavimentos térreo, tipos e cobertura. 
As fundações não foram consideradas pois não representam grande relevância para 
esse estudo. 
 
 
 
 
70 
 
 Quadro 10: Resumo de aço para o modelo 1. 
Pavimento 
Aço (kg) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 1441,7 2233,4 3675,1 
Tipo (x14) 34671,8 27831,8 29491,2 91994,8 
Cobertura 1328,5 1123,5 2182,5 4634,5 
Total 36000,3 30397,0 33907,1 100304,4 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 Quadro 11: Resumo de formas para o modelo 1. 
Pavimento 
Formas (m²) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 218,1 265,2 483,3 
Tipo (x14) 3019,2 2237,2 3820,2 9076,6 
Cobertura 215,7 153,5 287,8 657,0 
Total 3234,9 2608,8 4373,2 10216,9 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 Quadro 12: Resumo de concreto para o modelo 1. 
Pavimento 
Concreto (m³) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 16,3 39,8 56,1 
Tipo (x14) 331,2 175,4 589,2 1095,8 
Cobertura 23,7 12,3 40,0 76,0 
Total 354,9 204,0 669,0 1227,9 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
Analisando os quantitativos, pode-se observar que o consumo de aço está bem 
distribuído entre os elementos, já as formas são mais necessárias para execução 
das lajes. O consumo de formas das vigas representa pouco mais que a metade do 
consumo das lajes. Por fim, observa-se que o concreto para as lajes corresponde à 
aproximadamente metade do consumo total do edifício. 
Relacionando o consumo total de aço com o de concreto, obtém-se uma taxa de aço 
de 81,69 kg/m³. Analisando somente o consumo de aço por área construída, se 
obtém o valor de 21,44 kg/m², já o consumo de concreto é de 0,26 m³/m². 
 
 
71 
 
4.2. Edifício em concreto protendido 
4.2.1. Estabilidade global 
Para a análise da estabilidade global do edifício, novamente optou-se pela utilização 
do coeficiente Gama z. No Quadro 13 é possível visualizar os valores de Gama z 
obtidos pelo TQS para cada combinação, sendo as combinações 6, 7, 8 e 9 
referentes às direções de vento a 90º, 270º, 0º e 180º, respectivamente. 
 
 
Quadro 13: Valores de Gama z para o modelo 2. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
Os valores de Gama z para vento à 0º e 180º foram de 1,126, portanto, a estrutura é 
de nós móveis, ou seja, devem ser considerados os efeitos da não linearidade física 
e geométrica. 
O parâmetro  também classifica a estrutura como de nós móveis, pois em todos os 
casos foi superior ao limite de 0,6 estabelecido pela norma. 
Para esse modelo, decidiu-se manter a altura total do edifício, logo, os valores de 
deslocamento limites são idênticos aos do modelo 1. Portanto, o deslocamento 
absoluto máximo é de 2,86 cm e entre pavimentos de 0,38 cm. 
O Quadro 14 apresenta os valores de deslocamentos horizontais absolutos 
calculados pelo TQS para cada direção do vento e o Quadro 15 mostra os valores 
de deslocamento relativos. Tanto os deslocamentos absolutos quanto os 
deslocamentos entre pavimentos ficaram abaixo do valor limite estabelecido pela 
NBR6118:2014. 
 
 
72 
 
 Quadro 14: Deslocamentos absolutos para o modelo 2. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 Quadro 15: Deslocamentos relativos para o modelo 2. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
4.2.2. Análise de flecha 
Para a análise da flecha considerou-se a combinação para flechas em lajes 
protendidas, considerando deformação lenta do concreto. A flecha máxima 
apresentada pelo TQS para essa combinação foi de 0,43 cm, localizada em uma das 
bordas da laje plana. A grelha do pavimento com os valores de flechas paratodo o 
pavimento está apresentada na Figura 36. 
A região onde ocorreu a maior flecha possui um vão de 6,26 m, logo, a flecha limite 
para aceitabilidade sensorial, segundo a NBR6118:2014, é de 2,50 cm. Com base 
nesse dado, conclui-se que o pavimento atende aos requisitos de flecha máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 Figura 36: Valores de flecha para laje protendida. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
74 
 
4.2.3. Detalhamento de vigas 
As vigas V4 e V6 foram escolhidas para análise no projeto em concreto protendido, 
apesar de terem uma numeração diferente, se localizam nas mesmas posições das 
vigas V8 e V14, analisadas no modelo anterior, conforme a Figura 37. 
 
 Figura 37: Planta de formas com vigas destacadas. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
Nesse modelo, a viga V4 foi lançada com uma seção de 20 x 100cm, recebendo 
diretamente a carga da laje L3 e uma parte da carga da L1, além de uma carga de 
parede de 4,07 kN/m. Os apoios são os pilares P10 e P11, ambos com dimensões 
de 40 x 160cm. O comprimento total da peça é de 2,54 m. 
A Figura 38 mostra o diagrama de momento fletor da viga. O momento negativo 
gerado pelo engastamento com os pilares é de 808 kN.m. Da mesma forma que no 
modelo anterior, o momento no meio do vão é praticamente nulo, uma vez que o 
momento negativo nos apoios é elevado. 
O TQS dimensionou a viga com sete barras de 25 mm na face superior e seis barras 
da mesma bitola na face inferior. Além disso, há uma armadura de pele de quatro 
barras de 8 mm em cada lado e 17 estribos de 12,5 mm com espaçamento de 15cm 
entre eles. Como os apoios são largos, não houve necessidade de ganchos. Ao 
75 
 
todo, será preciso de 286 kg de aço CA50 e 0,50 kg de concreto para construir a 
viga. O detalhamento da armadura pode ser visto na Figura 39. 
 
Figura 38: Momentos fletores para viga V4. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
 Figura 39: Detalhamento da viga V4. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
76 
 
As dimensões da viga V6 são de 14x80 cm, com 1,40 m de comprimento. Parte da 
laje L1 é apoiada diretamente sobre a viga e há uma carga de parede equivalente à 
5,53 kN/m sob a mesma. Está apoiada na maior dimensão do pilar P3 (30x150) em 
um dos lados e na menor dimensão do pilar P7 (30x130) no lado oposto. 
O momento máximo resultante na ligação com o pilar P3 foi de 179 kN.m, conforme 
a Figura 40. No lado oposto o momento é de apenas 45 kN.m. 
Para atender às tensões solicitantes a viga foi dimensionada com quatro barras de 
20 mm na face superior e duas barras da mesma bitola na face inferior. Além disso, 
há uma armadura de pele de 3 barras de 8 mm em cada lado e oito estribos de 5 m, 
espaçados em 20 cm. Para a ligação com o pilar P7 foram dimensionados ganchos 
de 20 e 70 cm para as faces superior e inferior, respectivamente. O consumo será 
de aproximadamente 55 kg de aço e 0,16 kg de concreto para execução da viga. O 
detalhamento da armadura pode ser visto na Figura 41. 
 
Figura 40: Momentos fletores da viga V6. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
 
 
77 
 
 Figura 41: Detalhamento da viga V6. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
4.2.4. Definição em plantas das RPU’s e RTE’s 
O dimensionamento das armaduras ativas pelo TQS é feito com base no lançamento 
das Regiões de Protensão Uniformes (RPU) e Regiões de Transferência de 
Esforços (RTE), definidas pelo projetista. As RPU’s são regiões da laje onde os 
cabos têm as mesmas características em relação às dimensões, elevações, 
números de cordoalhas e força de protensão. As RTE’s agem como limitantes da 
região da laje para extração de esforços, ou seja, os esforços da área delimitada 
pela RTE serão transmitidos para as RPU’s contidas na mesma. 
Quanto a distribuição da armadura ativa, é usual que os projetos concentrem as 
cordoalhas sobre os pilares apenas em uma direção, com intuito de evitar 
interferências de armaduras nas faixas concentradas. No projeto em questão, 
78 
 
decidiu-se concentrar os cabos sobre os pilares na direção do menor vão e distribuir 
os mesmos ao longo de toda a laje na direção oposta. 
Dentro do editor de lajes protendidas do TQS foram lançadas seis RPU’s na direção 
principal (cabos concentrados), sobre o alinhamento de pilares. Nas regiões da laje 
não englobadas pelas RPU’s foram lançadas RTE’s, cada uma com apenas uma 
RPU associada e delimitada pela metade do vão entre as RPU’s adjacentes. 
Na direção secundária toda a extensão da laje foi envolvida por RPU’s, de modo a 
distribuir as cordoalhas por toda a área. Ao todo, foram lançadas 12 RPU’s nessa 
direção. As plantas com o desenho das RPU’s e RTE’s nas duas direções podem 
ser vistas nas Figuras 42 e 43. 
 
Figura 42: Lançamento das RPU’s na direção principal. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
79 
 
Figura 43: Lançamento das RPU’s na direção secundária. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
4.2.5. Disposição vertical das cordoalhas 
Após o lançamento das RPU’s e RTE’s o TQS calcula automaticamente a 
quantidade e traçado da armadura ativa necessária para atender os esforços 
oriundos dos momentos na laje. Entretanto, o melhor traçado para atender os 
carregamentos nem sempre é executável, por esse motivo, é imprescindível a 
edição do traçado para cada RPU. 
Primeiramente, deve-se definir a excentricidade máxima no cabo, esse valor é 
calculado em função do cobrimento mínimo e dos diâmetros da armadura ativa e 
passiva, esse assunto será tratado com mais detalhes posteriormente. Além da 
excentricidade, deve observar se as tensões atendem os requisitos para protensão 
limitada, estabelecidos no item 2.1.11.2. A verificação das tensões no ato da 
protensão também é de suma importância. Neste relatório será analisada 
detalhadamente a RPU destacada na Figura 44. 
 
80 
 
Figura 44: RPU analisada. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
Na Figura 45 pode-se observar algumas informações referentes à esta RPU. Na 
parte superior aparecem os momentos fletores máximos, médios e mínimos da laje, 
nas cores roxo, vermelho e azul respectivamente. Os momentos demonstrados 
nesta figura correspondem à combinação frequente, esses momentos são 
praticamente idênticos para a combinação quase permanente, já que a parcela 
referente às cargas acidentais é pequena. O momento equivalente causado pela 
armadura ativa está representado na cor verde. 
Na parte intermediária está apresentada a disposição vertical dos cabos, assim 
como a posição dos apoios. A linha tracejada representa o centro de gravidade da 
peça, enquanto a linha contínua mostra o traçado das cordoalhas. A excentricidade 
máxima empregada foi de 4,2 cm. 
A parte inferior evidencia os valores da envoltória de momentos fletores, bem como 
o momento equivalente da armadura ativa. 
A Figura 46 apresenta os mesmos dados citados anteriormente, porém, com os 
valores de momento no ato da protensão. 
Na Figura 47 pode-se observar outra aba do editor de lajes protendidas do TQS. As 
partes superior e inferior da imagem mostram as tensões nas fibras, onde a linha 
81 
 
tracejada representa o limite admissível para a combinação de tensões analisada. 
Na faixa intermediária está o traçado do cabo, já citado anteriormente. 
As combinações frequente, quase permanente e ato da protensão estão 
apresentadas nas Figuras 47, 48 e 49, respectivamente. Nota-se que todas as 
tensões nessa RPU permaneceram dentro dos limites estabelecidos pela norma 
para a protensão limitada. 
A Figura 50 apresenta os valores de armadura passiva calculados pelo software. A 
parte superior indica a armadura negativa, enquanto a parte inferior mostra a 
positiva. Para esta RPU foi dimensionada uma armadura passiva negativa de 
aproximadamente 2,2 cm²/m sobre os apoios e positiva de 1,6 cm²/m nos vãos. O 
dimensionamento em questão é para a combinação normal no ELU de esforços. 
No Quadro 16, é possível observar algumas informaçõesimportantes sobre a RPU, 
fornecidas pelo software. 
 
 Quadro 16: Dados da RPU. 
Dados da RPU 
Largura 150 cm 
Altura 20 cm 
Comprimento 11,48 m 
Feixes de cordoalhas 6 - 
Cordoalhas/ Feixe 4 - 
Diâmetro das cordoalhas 12,7 mm 
Espaçamento 12 cm 
Perda inicial 11,1 % 
Perda diferida 8,9 % 
Excentricidade no cabo 4,2 cm 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 
 
 
 
82 
 
 Figura 45: Momentos para CF e CQP. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
83 
 
 
 Figura 46: Momentos para o ato da protensão. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
84 
 
 
 Figura 47: Tensões para CF. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
85 
 
 
 Figura 48: Tensões para CQP. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
86 
 
 
 Figura 49: Tensões para o ato da protensão. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
87 
 
 
 Figura 50: Armadura passiva. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
88 
 
4.2.6. Momento Hiperestático de protensão 
No cálculo do momento a ser equilibrado pela protensão são introduzidas cargas 
distribuídas nos vãos e concentradas nos apoios. Essas cargas são auto 
equilibradas, entretanto, devido às restrições de deslocamento impostas pela 
estrutura hiperestática, surgem reações de apoio igualmente auto equilibradas. Por 
esse motivo, são gerados os momentos hiperestáticos de protensão. 
A figura 52 apresenta os valores de momentos hiperestáticos para a RPU analisada 
no item anterior. No cálculo das tensões apresentado, esses momentos já estavam 
contemplados. 
 
4.2.7. Planta de cabos 
Após a edição e definição do número de cabos em todas as RPU’s foi gerada a 
planta de cabos da armadura ativa no TQS, conforme a Figura 51. 
 
Figura 51: Planta de cabos. 
 
Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
89 
 
 
 
 Figura 52: Hiperestático RPU principal. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
90 
 
4.2.8. Detalhamento de armaduras das lajes 
Analisando o detalhamento de armaduras das lajes apresentado pelo TQS, pode-se 
observar que para armadura positiva na maior laje foram dimensionadas barras de 5 
mm a cada 15 cm na direção principal e de 6,3 mm a cada 15 cm na direção 
secundária. O detalhamento das armaduras positivas nas direções principal e 
secundária está apresentados nas Figuras 53 e 54, respectivamente. 
Já para atender aos momentos negativos, foram dimensionadas barras de 6,3 mm 
espaçadas em 15 cm na direção principal e barras da mesma bitola espaçadas em 
12,5 cm na direção secundária. 
Nas regiões próximas aos pilares, a área de armadura é maior por se tratar de uma 
laje lisa com armadura ativa não aderente. Nesses casos a NBR6118:2004 
estabelece uma armadura mínima em função do vão e da altura da laje. Destacam-
se os pilares P7, P8, P13 e P14 com barras de 12,5 mm a cada 6 cm na direção 
principal. O detalhamento das direções principal e secundária da armadura negativa 
está apresentados respectivamente nas Figuras 55 e 56. 
A armadura de punção se fez necessária em apenas alguns pilares do pavimento, 
três camadas foram suficientes para todos eles. O número de pinos em cada 
camada foi diferente para cada pilar, devido a diferença entre os perímetros. Nos 
pilares P9 e P12, localizados no centro da laje, foram distribuídos 12 pinos de 6,3 
mm em cada camada. O detalhamento da armadura de punção está apresentado na 
Figura 57. 
Observou-se que para alguns pilares do pavimento foi dimensionada apenas a 
armadura mínima de punção para lajes planas que contribuem para a estabilidade 
global, de acordo com os valores estabelecidos pela NBR6118:2014. Esse assunto 
será analisado com mais detalhes posteriormente. 
Os Apêndices E e F apresentam em uma escala maior o detalhamento das 
armaduras positivas e negativas, respectivamente. No Apêndice G está apresentada 
o detalhamento da armadura de punção, também em maior escala. 
 
 
 
91 
 
 Figura 53: Armadura positiva principal para laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
92 
 
 
 Figura 54: Armadura positiva secundária para laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
93 
 
 Figura 55: Armadura negativa principal para laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
94 
 
 Figura 56: Armadura negativa secundária para laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
 
 
95 
 
 Figura 57: Armadura de punção para laje plana. 
 
 Fonte: CAD/TQS. 
 
96 
 
4.2.9. Consumo de materiais 
No modelo 2, além dos quantitativos de armadura passiva, formas e concreto, é 
essencial avaliar os valores de armadura ativa. Todos esses quantitativos estão 
apresentados nos Quadros 17 a 20. 
 
 Quadro 17: Resumo de armadura ativa para o modelo 2. 
Armadura ativa 
Φ (mm) Comp. (m) Peso (kg) 
12,7 305,4 27600 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 Quadro 18: Resumo de armadura passiva para o modelo 2. 
Pavimento 
Aço (kg) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 2319,7 2233,4 4553,1 
Tipo (x14) 34469,6 25954,4 35280,8 95704,8 
Cobertura 1908,1 355 2520,1 4783,2 
Total 36377,7 28629,1 40034,3 105041,1 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 Quadro 19: Resumo de formas para o modelo 2. 
Pavimento 
Formas (m²) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 241,8 265,2 507,0 
Tipo (x14) 3632,4 721,4 3953,2 8307,0 
Cobertura 259,5 37,5 298,3 595,3 
Total 3891,9 1000,7 4516,7 9409,3 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
 Quadro 20: Resumo de concreto para o modelo 2. 
Pavimento 
Concreto (m³) 
Pilares Vigas Lajes Total 
Térreo - 16,3 39,8 56,1 
Tipo (x14) 484,0 52,8 782,0 1318,8 
Cobertura 34,6 2,8 58,2 95,6 
Total 518,6 71,9 880,0 1470,5 
 Fonte: Adaptado do CAD/TQS. 
 
97 
 
Analisando os quantitativos, pode-se observar que o consumo de armadura passiva 
nas lajes é superior ao da armadura ativa. O consumo de formas para vigas 
representa 22,15% do consumo das lajes e o consumo de concreto representa 
apenas 4,88% do total. 
Relacionando o consumo total de aço com o de concreto, obtém-se uma taxa de aço 
de 90,20 kg/m³. Analisando somente a armadura passiva, o valor é de 71,43 kg/m³ e 
para armadura o índice é de 18,77 kg/m³. Por fim, o consumo total de aço por área 
construída corresponde à 28,35 kg/m³ e para o concreto o valor é de 0,31 m³/m². 
 
4.3. Planilha de cálculo para tensões e armadura passiva 
Neste tópico serão relatados passo a passo os procedimentos para o 
desenvolvimento e os cálculos presentes na planilha de tensões e armadura 
passiva. A RPU da direção principal apresentada na Figura 44 foi escolhida como 
base para extração de dados e comparação de resultados. 
 
4.3.1. Determinação das cargas na laje 
As cargas distribuídas por área na laje podem ser permanentes (g) ou acidentais (q). 
Entre as cargas permanentes estão peso próprio da laje e o revestimento da laje. 
Sabe-se que uma estrutura de concreto armado pesa 25 kN/m³, com essa 
informação é possível calcular a carga distribuída na laje proveniente do peso 
próprio da mesma. 
 
𝑃𝑃 = 25 ∗ ℎ𝑙 
𝑃𝑃 = 25 ∗ 0,2 = 5 𝑘𝑁/𝑚² 
 
98 
 
Como visto anteriormente, a carga de revestimento equivale a 1,5 kN/m² e a carga 
acidental 2 kN/m². Portanto, a carga externa total, sem consideração da protensão, é 
de 8,5 kN/m². 
 
4.3.2. Determinação da excentricidade máxima nos cabos 
Com o intuito de obter o melhoraproveitamento do material, buscou-se o maior valor 
de excentricidade possível, respeitando os valores mínimos de cobrimento. Portanto, 
o valor da excentricidade (e) do cabo é dada pelas equações a seguir: 
 
𝑒(𝑥) =
ℎ𝑙
2
− 𝑐 − ∅𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎(𝑥) − ∅𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎(𝑦) − ∅𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎/2 
𝑒(𝑥) = 10 − 2,5 − 1 − 1 −
1,25
2
= 4,87𝑐𝑚 
𝑒(𝑦) =
ℎ𝑙
2
− 𝑐 − ∅𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎(𝑥) − ∅𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎(𝑦) − ∅𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 − ∅𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎/2 
𝑒(𝑦) = 10 − 2,5 − 1 − 1 − 1,25 −
1,25
2
= 3,62𝑐𝑚 
 
4.3.3. Determinação dos esforços de protensão 
Para a pesquisa em questão não foi preciso calcular o número de cordoalhas 
necessária para equilibrar os momentos solicitantes, pois este valor foi determinado 
pelo TQS. Para a faixa analisada foram usados seis feixes com quatro cordoalhas 
cada, totalizando 24 cabos. Considerando que a força aplicada em cada cabo será 
de 15 toneladas, pode-se determinar a força de protensão inicial (Pi): 
 
𝑃𝑖 = 24 ∗ 150 = 3600 𝑘𝑁 
99 
 
Os valores de protensão no tempo inicial (Po) e no tempo infinito (P∞) dependem 
das perdas de protensão. As perdas imediatas definidas no programa foram de 
11,1% e as diferidas de 8,9%, totalizando 20% de perda de protensão. 
 
𝑃𝑜 = 3600 ∗ (1 − 0,111) = 3200,4 𝑘𝑁 
𝑃∞ = 3600 ∗ (1 − 0,2) = 2880 𝑘𝑁 
 
4.3.4. Esforços na laje 
O editor de lajes protendidas do TQS calcula automaticamente os valores de 
momento para as combinações frequente, quase permanente e ato da protensão, 
além de fornecer o momento hiperestático. Esses momentos englobam as cargas 
permanentes e acidentais, porém, para efeitos de cálculo da planilha, foi preciso 
separar as parcelas referentes a cada tipo de carga. 
A separação dos momentos em permanentes, acidentais e de peso próprio foi 
realizada com base no valor da combinação quase permanente. Sabendo que os 
valores de Ψ1 e Ψ2 são de 0,7 e 0,6 respectivamente e conhecendo a fórmula da 
combinação quase permanente (equação 7), pode-se calcular os momentos 
resultantes de cada carga. Os resultados estão apresentados nos Quadros 21, 22 e 
23. 
 
 Quadro 21: Momentos devido ao peso próprio. 
PP 5 kN/m 
M máx + 19,48 kN.m 
M máx - 56,49 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
 Quadro 22: Momentos devido às cargas permanentes. 
g 6,5 kN/m 
M máx + 25,32 kN.m 
M máx - 73,44 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
100 
 
 Quadro 23: Momentos devido às cargas acidentais. 
p 2 kN/m 
M máx + 7,79 kN.m 
M máx - 22,60 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
O momento gerado pela protensão do cabo no tempo infinito também é apresentado 
pelo TQS, assim como o momento hiperestático. Através do momento no tempo 
infinito e das perdas de protensão é possível calcular o momento no ato da 
protensão. Os valores desses momentos estão apresentados nos Quadros 24, 25 e 
26. 
 
 Quadro 24: Momentos devido a protensão inicial. 
Po 3200,4 kN 
M máx + 48,34 kN.m 
M máx - 48,34 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
 Quadro 25: Momentos devido á protensão no tempo infinito. 
P∞ 2880 kN 
M máx+ 43,5 kN.m 
M máx - 43,5 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
 Quadro 26: Momento hiperestático de protensão. 
Hiperestático 
Mhip 13,5 kN.m 
 Fonte: O autor. 
 
4.3.5. Tensões limites para tração e compressão 
A avaliação da quantidade correta de cabos de protensão depende dos limites de 
tração e compressão nas fibras superiores e inferiores da peça. Para compressão no 
tempo infinito, o único valor que não deve ser ultrapassado é do esmagamento do 
concreto, correspondente à metade do fck, ou seja, 1,75 kN/cm² para o projeto em 
questão. O limite de tração para o tempo infinito é diferente para cada combinação, 
como visto anteriormente. Para a combinação quase permanente não pode haver 
101 
 
tração, já para a combinação frequente não deve ultrapassar o fct,f, calculado 
conforme as equações a seguir. 
 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 𝑓𝑐𝑘
2/3
 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 35
2
3 = 2,25 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑓𝑐𝑡,𝑓 = 1,5 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 
𝑓𝑐𝑡,𝑓 = 1,5 ∗ 2,25 = 3,37 𝑀𝑃𝑎 
Para o ato da protensão os limites são diferentes, pois o concreto ainda não atingiu 
o fck, portanto, deve-se calcular a resistência na data da protensão (fckj), 
normalmente aos 5 dias. 
𝛽1 = 𝑒𝑠∗(1−√28/𝑡) 
𝛽1 = 𝑒𝑠∗(1−√28/5) = 0,71 
𝑓𝑐𝑘𝑗 = 𝛽1 ∗ 𝑓𝑐𝑘 
𝑓𝑐𝑘𝑗 = 0,71 ∗ 35 = 24,87 𝑀𝑃𝑎 
Para a tração o valor é de: 
 
𝑓𝑐𝑡𝑚𝑗 = 0,3 ∗ 𝑓𝑐𝑘𝑗
2/3
 
𝑓𝑐𝑡𝑚𝑗 = 0,3 ∗ 24,87
2
3 = 25,56 𝑀𝑃𝑎 
 
 
102 
 
Com essas resistências, pode-se calcular os valores máximos de compressão e 
tração: 
𝜎𝑐,𝑙𝑖𝑚 = 0,7 ∗ 𝑓𝑐𝑘𝑗 
𝜎𝑐,𝑙𝑖𝑚 = 0,7 ∗ 2,487 = 1,74 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎𝑡,𝑙𝑖𝑚 = 1,2 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑚𝑗 
𝜎𝑡,𝑙𝑖𝑚 = 1,2 ∗ 2,556 = 0,30 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
4.3.6. Verificação das tensões em serviço 
Para cálculo das tensões nas fibras superiores e inferiores é necessário conhecer o 
valor da inércia da seção transversal (W): 
 
𝑊 =
𝑏 ∗ ℎ2
12
 
𝑊 =
150 ∗ 202
12
= 10000 𝑐𝑚³ 
 
Com os valores de momento e de inércia conhecidos, foi possível calcular os valores 
das tensões. O resumo para as combinações frequente, quase permanente e ato da 
protensão estão apresentados nos Quadros 27, 28 e 29 respectivamente. 
 
 
 
 
103 
 
 Quadro 27: Verificação de tensões para combinação frequente. 
No vão No apoio 
Md,serv -1350 kN.cm Md,serv -4350 kN.cm 
Wi 10000 cm³ Wi 10000 cm³ 
Ws -10000 cm³ Ws -10000 cm³ 
бi -1,095 kN/cm² бi -1,395 kN/cm² 
бs -0,825 kN/cm² бs -0,525 kN/cm² 
бi0,5 ∗ 𝜌𝑝 ≥ 0,67 ∗ 𝜌𝑚𝑖𝑛 
𝜌𝑠 ≥ 0,164 − 0,5 ∗ 0,79 ≥ 0,67 ∗ 0,164 
𝜌𝑠 = 0,1099% 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,001099 ∗ 20 ∗ 100 = 2,20 𝑐𝑚2/𝑚 
105 
 
4.3.8. Verificação de tensões no ELU: Cálculo da armadura passiva 
 
Para calcular a reação resultante de compressão no concreto (Rcc) são aplicados os 
momentos devido às cargas permanente e acidentais majorados, assim como o 
hiperestático. Já para a resultante de tração da armadura ativa (Rpt), são usados os 
dados e momentos relativos à mesma, caso a reação de tração não supere a 
resultante de compressão no concreto, deve-se acrescentar armadura passiva que 
produza uma resultante de tração (Rst) para complementar a armadura ativa. 
No exemplo em questão apenas a armadura ativa foi suficiente para equilibrar os 
esforços, portanto, utilizou-se a armadura passiva mínima. O Quadro 30 apresenta o 
resumo dos cálculos para o ELU, assim como os valores resultantes de armadura 
passiva. 
 
 Quadro 30: Verificações no ELU e resumo da armadura passiva. 
No vão No apoio 
Md 54,46 kN.m Md -122,30 kN.m 
x 1,57 cm x 3,78 cm 
Rcc 401,34 kN Rcc 963,94 kN 
Rpt 2583,87 kN Rpt 2583,87 kN 
As,mín 1,64 cm²/m As,mín 2,20 cm²/m 
Rcca flecha máxima nos dois modelos, fica evidente que a laje plana 
apresentou melhores resultados. Esse comportamento já era esperado, pois a 
principal função da protensão é combater os esforços de tração nas peças, por esse 
motivo, a flecha no pavimento protendido foi nula em grande parte da laje, exceto 
por uma pequena área na borda em balanço, onde houve um deslocamento de 
0,43cm. 
O modelo em concreto armado apresentou maiores valores de flechas, entretanto, 
todos os deslocamentos do pavimento atenderam aos requisitos de aceitabilidade 
sensorial da NBR6118:2014. Na Figura 58 é possível visualizar a flecha em ambos 
os modelos, em concreto armado à esquerda e em concreto protendido à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
111 
 
Figura 58: Comparação entre flechas. 
 
Fonte: CAD TQS. 
 
 
 
 
112 
 
4.5.3. Análise de vigas 
A Figura 59 demonstra a comparação de momentos fletores entre as duas vigas 
analisadas anteriormente. Pode-se observar um aumento 98,04% na viga V4 do 
pavimento protendido em relação à viga V8 do pavimento em concreto armado, já o 
aumento na V6 em relação à V14 foi de 52,99%. Essa diferença se dá pois existem 
menos pórticos para resistir aos esforços oriundos do vento nesse pavimento. 
Assim, as vigas são sobrecarregadas em relação aos efeitos do vento. 
Ainda pode-se notar que o aumento de momento da viga V8 para a V4 foi maior que 
o aumento da V14 para a V6. Esse fato pode ser explicado pela presença de um 
maior número de pórticos na direção da viga V6 no pavimento protendido. 
 
 Figura 59: Gráfico comparativo de momentos. 
 
 Fonte: O autor. 
 
Na Figura 60 estão apresentados os quantitativos de armadura para todas as vigas 
em análise. Novamente é possível observar uma grande diferença entre os valores 
dos dois modelos. O consumo foi de 38,33% na viga V4 em relação à V8 e de 
57,14% na viga V6 em relação à V14. O aumento na quantidade de aço está 
diretamente relacionado com o aumento de esforços, por esse motivo, o gráfico de 
momentos se mostrou semelhante ao gráfico de armaduras. 
 
408
117
808
179
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
V8 V4 V14 V6M
o
m
en
to
 n
eg
at
iv
o
 m
áx
im
o
 (
kN
.m
)
Comparação de momentos
Concreto Armado Concreto Protendido
113 
 
 Figura 60: Gráfico comparativo do consumo de aço para vigas. 
 
 Fonte: O autor. 
 
4.5.4. Consumo de materiais 
As Figuras 61, 62 e 63 demonstram a comparação entre os consumos totais do 
projeto para aço, formas e concreto, respectivamente. Decidiu-se apresentar a 
comparação entre pilares, vigas e laje separadamente, para uma análise mais 
precisa. 
 
 
 Figura 61: Gráfico comparativo do consumo total de aço. 
 
 Fonte: O autor. 
120
35
286
55
0
50
100
150
200
250
300
350
V8 V4 V14 V6
P
es
o
 (
kg
)
Comparação da quantidade de aço
Concreto Armado Concreto Protendido
36000,3
30397
33907,136377,7
28629,1
40034,3
27600
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
Pilares Vigas Lajes
P
es
o
 (
kg
)
Consumo total de aço
Concreto Armado Concreto Protendido Armadura ativa
114 
 
 Figura 62: Gráfico comparativo do consumo total de formas. 
 
 Fonte: O autor. 
 
 
 Figura 63: Gráfico comparativo do consumo de concreto. 
 
 Fonte: O autor. 
 
No gráfico da Figura 61 observa-se que, ao contrário do que se esperava, a 
armadura passiva foi maior na laje protendida, A explicação para esse fato é que a 
armadura passiva mínima, empregada em toda essa laje, é muito superior à 
necessária. Além disso, a laje plana conta com armadura mínima de punção e com 
uma armadura passiva mínima sobre pilares, obrigatória para lajes planas com 
protensão não aderente, ambas previstas pela NBR6118:2014. 
3234,8
2608,8
4373,2
3891,9
1000,7
4516,7
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Pilares Vigas Lajes
Á
re
a 
d
e 
fo
rm
as
 (
m
²)
Consumo de formas
Concreto Armado Concreto Protendido
354,9
204
669
518,6
71,9
880
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Pilares Vigas Lajes
V
o
lu
m
e 
d
e 
co
n
cr
et
o
 (
m
³)
Consumo de concreto
Concreto Armado Concreto Protendido
115 
 
Nas lajes protendidas, ainda é necessário considerar a armadura ativa. Conforme os 
valores apresentados no gráfico, existe um consumo de armadura ativa de 27.600 
kg no edifício protendido, equivalente a 69% da armadura passiva nas lajes. Por 
esses motivos, as lajes em concreto armado se mostraram mais econômicas nesse 
quesito. 
Observa-se que a adoção de laje maciça de 20 cm para o pavimento protendido 
(solução bastante usual para edifícios com protensão) mostrou-se 
superdimensionado por existirem vãos não muito grandes. Desta forma, o 
dimensionamento com a armadura mínima obrigatória resultou em um consumo 
pouco econômico. 
Uma alternativa para reduzir o consumo poderia ser a utilização de lajes nervuradas 
protendidas, ou a eliminação dos pilares que estão no centro das lajes no modelo 2, 
destacados na Figura 64. Entretanto, esta solução poderia comprometer a 
estabilidade global da estrutura. É valido lembrar que para o projeto em questão os 
pilares não sofrem transição do térreo à cobertura. 
 
Figura 64: Pilares centrais da laje protendida. 
 
Fonte: CAD TQS. 
 
Analisando os pilares, também se observa um pequeno aumento de armadura no 
edifício protendido, pois a eliminação de vigas e a redução na seção da laje 
acarretou no aumento dos pilares para o atendimento dos critérios de estabilidade 
116 
 
global. Além disso, o maior peso próprio das lajes que se apoiam nos pilares 
contribuiu para o aumento na armadura dos mesmos. 
Por outro lado, o consumo de armaduras para vigas foi menor no edifício em 
concreto protendido, por conter pavimentos com lajes lisas. Entretanto, a diferença 
entre os dois modelos é inferior a duas toneladas, valor não muito significativo, 
considerando o consumo total. Essa proximidade de valores ocorre porque não foi 
possível eliminar a maior parte das vigas no pavimento protendido, por questões 
construtivas e de estabilidade. Além do mais, as vigas desse modelo ficaram mais 
carregadas, ocasionando em uma maior taxa de armadura, como visto 
anteriormente. 
Em relação ao consumo de formas, a diferença mais significativa ocorreu entre 
vigas. É possível notar que o consumo para o pavimento com lajes planas foi inferior 
à metade do consumo para o pavimento com lajes nervuradas. Essa relação 
evidencia uma das vantagens mais impactantes do emprego de lajes lisas, a 
redução do número de vigas e consequentemente da área de formas, além da 
redução do tempo de execução. 
Para os pilares, o consumo de formas se mostrou superior no edifício com 
protensão, devido ao aumento na seção supracitado. Em relação às lajes, a área de 
formas se mostrou maior no pavimento protendido, porém, a diferença é irrelevante, 
pois representa menos de 5% do valor total. 
Analisando o consumo de concreto, novamente tornam-se evidentes os efeitos da 
redução do número de vigas e aumento na seção dos pilares. Para o edifício em 
concreto armado, como há um maior número de vigas, o volume de concreto para 
execução das mesmas é superior, ao contrário do consumo para os pilares, que se 
mostra inferior em decorrência das menores dimensões das seções transversais. 
As lajes apresentam o maior consumo de concreto entre os elementos. Entre os dois 
modelos, o concreto armado se mostrou mais econômico nesse aspecto. Apesar da 
altura da laje nervurada ser superior, a maior parte do volume é ocupada pelo 
enchimento, tornando o volume de concreto inferior ao da laje plana maciça. 
117 
 
As Figuras 65 e 66 demonstram a divisão do aço entre os elementosnos dois 
modelos. Nota-se que no edifício em concreto armado os pilares foram responsáveis 
pele maior consumo, já no outro modelo, as lajes tiveram maior influência. Em 
ambos os projetos o consumo das vigas foi o menor, sendo mais representativo no 
modelo 1. 
 
 Figura 65: Divisão de aço no modelo 1 (CA). 
 
 Fonte: O autor. 
 
 
 Figura 66: Divisão de aço no modelo 2 (CP). 
 
 Fonte: O autor. 
 
35,89%
30,30%
33,80%
Divisão de aço no modelo 1
Pilares Vigas Lajes
34,63%
27,26%
38,11%
Divisão de aço no modelo 2
Pilares Vigas Lajes
118 
 
A divisão do consumo de formas entre os elementos pode ser visualizada nas 
Figuras 67 e 68. Percebe-se que as lajes foram as maiores responsáveis pelo 
consumo nos dois modelos. As vigas novamente tiveram a menor influência entre os 
elementos, é valido comentar que houve uma redução de aproximadamente 15% na 
representatividade das mesmas no edifício protendido, em relação ao concreto 
armado. 
 
 Figura 67: Divisão de formas no modelo 1 (CA). 
 
 Fonte: O autor. 
 
 Figura 68: Divisão de formas no modelo 2 (CP). 
 
 Fonte: O autor. 
 
31,66%
25,53%
42,80%
Divisão de formas no modelo 1
Pilares Vigas Lajes
41,36%
10,64%
48,00%
Divisão de formas no modelo 2
Pilares Vigas Lajes
119 
 
Os Gráficos para o consumo de concreto seguiram o mesmo padrão das formas, 
com as lajes apresentando a maior representatividade e as vigas a menor. Porém, 
nos dois casos, o consumo para lajes foi superior à metade do total, os seja, maior 
que a soma do consumo para vigas e pilares. Observa-se ainda que o consumo para 
vigas no modelo em concreto protendido é menor que 5% do total, valor pouco 
significativo. A divisão do consumo de concreto entre os elementos está 
apresentada nos gráficos das Figuras 69 e 70. 
 
 Figura 69: Divisão de concreto no modelo 1 (CA). 
 
 Fonte: O autor. 
 
 
 Figura 70: Divisão de concreto no modelo 2 (CP). 
 
 Fonte: O autor. 
28,90%
16,61%
54,48%
Divisão de concreto no modelo 1
Pilares Vigas Lajes
35,27%
4,89%
59,84%
Divisão de concreto no modelo 2
Pilares Vigas Lajes
120 
 
Na Figura 71 é possível observar a comparação entre as quantidades de armaduras 
passiva e ativa em um pavimento. Percebe-se que a armadura passiva corresponde 
a mais da metade da laje, sendo a principal responsável pelo consumo, entretanto, é 
válido lembrar que as duas armaduras agem de maneira diferente. A armadura ativa 
apresenta resistência e preço elevados em comparação à passiva. 
 
 Figura 71: Gráfico comparativo entre armadura ativa e passiva. 
 
 Fonte: O autor. 
 
A Figura 72 apresenta a comparação entre o consumo total de aço, formas e 
concreto para os dois modelos. Percebe-se que há pouca variação entre os valores 
de armadura e formas, ao contrário dos valores para o concreto. A quantidade de 
armadura ativa é aproximadamente 5% maior no edifício protendido, por outro lado, 
a área de formas reduz em aproximadamente 8%. Já volume de concreto ficou em 
torno de 20% maior no modelo com protensão. 
 
 
 
 
 
 
2520 - 58%
1840 - 42%
Comparação entre armadura ativa e passiva (kg)
Armadura Passiva Armadura Ativa
121 
 
 Figura 72: Gráfico comparativo do consumo total de materiais. 
 
 Fonte: O autor. 
 
4.5.5. Estimativa de custos 
Os quantitativos de material oferecem uma grande base para comparação da 
viabilidade econômica entre os modelos, porém, não é possível comparar 
diretamente o consumo de materiais diferentes. Para transformar todas as 
quantidades em uma única unidade de comparação, decidiu-se atribuir preços para 
cada uma delas, gerando dados mais efetivos de viabilidade econômica e valores 
mais sólidos para comparação geral dos dois edifícios. 
A tabela de insumos do SINAPI de agosto de 2017 foi utilizada como base de preços 
para armadura passiva, formas e concreto. Os preços de referência foram de barras 
de aço cortadas e dobradas e concreto usinado com serviço de bombeamento 
incluso. Já para as formas pesquisou-se diretamente os valores dos insumos, 
considerando chapas de madeira compensada resinada, e elaborou-se uma 
composição levando em conta a reutilização. Os valores de mão de obra e 
equipamentos não foram levados em conta no orçamento. O preço da armadura 
ativa foi obtido através de pesquisas no mercado. 
O resumo de preço para todos os materiais no edifício em concreto armado está 
apresentado na Tabela 1. Observa-se que o aço é o maior responsável pelo custo, 
100304,4 10216,9 1227,9
105041,1 9409,3 1470,5
Armadura passiva (kg) Formas (m²) Concreto (m³)
Consumo total
Concreto Armado Concreto Protendido
122 
 
representando 43,22% do total. As formas correspondem a 18,11% e o concreto a 
38,67%. A Figura 73 ilustra a divisão de valores para cada elemento. 
 
 Figura 73: Divisão de custos no modelo 1 (CA). 
 
 Fonte: O autor. 
 
 
 Tabela 1: Resumo de custos do modelo 1 (CA). 
Insumos Térreo 
Tipo 
(x14) 
Cobertura Total 
Preço 
unitário 
(R$/kg) 
Preço total 
Aço CA60 - 5mm 272,2 1863,7 262,1 2398,0 R$ 3,83 R$ 9.184,34 
Aço CA50 - 6,3mm 1472,8 13264,7 880,7 15618,2 R$ 4,33 R$ 67.626,81 
Aço CA50 - 8mm 824,4 7978,0 591,6 9394,0 R$ 4,34 R$ 40.769,96 
Aço CA50 - 10mm 566,2 10024,9 898,3 11489,4 R$ 4,15 R$ 47.681,01 
Aço CA50 - 12,5mm 455,7 24983,1 948,6 26387,4 R$ 3,93 R$ 103.702,48 
Aço CA50 - 16mm 367,5 8537,4 926,9 9831,8 R$ 3,93 R$ 38.638,97 
Aço CA50 - 20mm - 9970,1 62,1 10032,2 R$ 3,93 R$ 39.426,55 
Aço CA50 - 25mm - 15132,8 20,6 15153,4 R$ 3,93 R$ 59.552,86 
Total Aço (kg) 3958,8 91754,7 4590,9 100304,4 - R$ 406.582,98 
Formas de pilares - 3019,2 215,7 3234,9 R$ 21,31 R$ 68.919,54 
Formas de vigas 218,1 2237,2 153,5 2608,8 R$ 16,84 R$ 43.932,19 
Formas de lajes 265,2 3820,2 287,8 4373,2 R$ 13,16 R$ 57.529,45 
Total formas (m²) 483,3 9076,6 657,0 10216,9 - R$ 170.381,18 
Total concreto (m³) 56,1 1095,8 76,0 1227,9 R$ 296,22 R$ 363.728,54 
Total final - - - - - R$ 940.692,70 
 Fonte: O autor. 
 
43,22%
18,11%
38,67%
Divisão de custos no modelo 1
Armadura Passiva Formas Concreto
123 
 
No edifício em concreto protendido o aço apresentou um custo bastante elevado em 
relação aos demais insumos, representando 54,57% do total, sendo 22,60% 
correspondente a armadura ativa e 31,97% a passiva. As formas e o concreto 
representaram 11,85% e 33,59% do total, respectivamente. A Tabela 2 apresenta o 
resumo de custos para esse modelo e a Figura 74 demonstra a divisão de valores 
entre cada tipo de material. 
 
Tabela 2: Resumo de custos do modelo 2 (CP). 
 Térreo 
Tipo 
(x14) 
Cobertura Total 
Preço 
unitário 
(R$/kg) 
Preço total 
Aço CA60 - 5mm 278,0 5968,7 480,0 6726,7 R$ 3,83 R$ 25.763,26 
Aço CA50 - 6,3mm 756,5 32345,8 2192,7 35295,0 R$ 4,33 R$ 152.827,35 
Aço CA50 - 8mm 538,4 3213,4 101,8 3853,6 R$ 4,34 R$ 16.724,62 
Aço CA50 - 10mm 376,1 6951,2 50,8 7378,1 R$ 4,15 R$ 30.619,12 
Aço CA50 - 12,5mm 245,4 21229,9 1139,6 22614,9 R$ 3,93 R$ 88.876,56 
Aço CA50 - 16mm 282,4 3452,5 166,7 3901,6 R$ 3,93 R$ 15.333,29 
Aço CA50 - 20mm 653,0 4988,9 58,7 5700,6 R$ 3,93 R$ 22.403,36 
Aço CA50 - 25mm 1128,2 18442,4 - 19570,6 R$ 3,93 R$ 76.912,46 
Aço CP190 - 12,7mm - 25760,0 1840,0 27600,0 R$ 11,00 R$ 303.600,00 
Total aço (kg) 4258,0 96592,8 4190,3 105041,1 - R$ 733.060,01 
Formas de pilares - 3632,4 259,5 3891,9 R$ 21,31 R$ 82.916,93 
Formas de vigas 241,8 721,4 37,5 1000,7 R$ 16,84 R$ 16.851,79 
Formas de lajes 265,2 3953,2 298,3 4516,7 R$ 13,16 R$ 59.417,19 
Total formas (m²) 507,0 8307,0 595,3 9409,3 - R$ 159.185,91 
Concreto (m³) 56,1 1318,8 95,6 1470,5 R$ 306,84 R$ 451.208,22 
Total final - - - - - R$ 1.343.454,14 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
124Figura 74: Divisão de custos no modelo 2 (CP). 
 
 Fonte: O autor. 
 
A comparação entre os custos dos dois modelos mostra que o edifício em concreto 
protendido resultou em um orçamento 42,82% mais caro que no edifício em concreto 
armado, traduzindo para valores financeiros houve uma diferença de R$ 402.761,44. 
A Figura 75 ilustra a comparação entre os consumos totais dos dois projetos. 
 
 Figura 75: Gráfico comparativo do custo total. 
 
 Fonte: O autor. 
 
31,97%
11,85%33,59%
22,60%
Divisão de custos no modelo 2
Armadura Passiva Formas Concreto Armadura ativa
R$ 940.692,70
R$ 1.343.454,14
R$ 0,00
R$ 200.000,00
R$ 400.000,00
R$ 600.000,00
R$ 800.000,00
R$ 1.000.000,00
R$ 1.200.000,00
R$ 1.400.000,00
R$ 1.600.000,00
Concreto Armado Concreto Protendido
Comparação do custo total
125 
 
Analisando a Figura 76 constata-se que a maior mudança ocorreu nos valores de 
aço, principalmente por conta da armadura ativa, que apresenta um elevado custo 
unitário. A armadura ativa no segundo modelo representa 22,60% do custo total. 
Entretanto, o aço de protensão não foi o único responsável pela disparidade de 
valores. No modelo protendido houve um aumento de 5,63% no custo para 
armadura passiva e 24,05% no concreto em relação ao modelo 1. É válido lembrar 
que o concreto presente no modelo 2 tem maior quantidade e resistência, fato que 
explica o grande aumento percentual no custo. 
Por outro lado, o custo das formas no segundo modelo foi 6,57% mais econômico 
em relação ao concreto armado. Traduzindo para valores financeiros, a redução foi 
de apenas R$ 11.195,27, representando apenas 0,83% do custo total do edifício 
protendido. Por esse motivo, a redução no custo das formas não foi suficiente para 
tornar o projeto economicamente vantajoso. 
 
 Figura 76: Resumo de custos por insumo. 
 
 Fonte: O autor. 
R$ 406.582,98
R$ 170.381,18
R$ 363.728,54
R$ 733.060,01
R$ 159.185,91
R$ 451.208,22
R$ 0,00
R$ 100.000,00
R$ 200.000,00
R$ 300.000,00
R$ 400.000,00
R$ 500.000,00
R$ 600.000,00
R$ 700.000,00
R$ 800.000,00
Aço Formas Concreto
Resumo de custos
Concreto Armado Concreto Protendido
126 
 
5. Conclusões e recomendações para trabalhos futuros 
A realização do presente trabalho de pesquisa se mostrou satisfatória em termos de 
comparações técnicas e econômicas entre um projeto em concreto armado com 
lajes nervuradas e em concreto protendido com lajes planas maciças. O estudo 
proporcionou um melhor entendimento sobre os critérios e métodos normatizados 
para projetos de ambos os tipos de lajes e sistemas construtivos, além de promover 
um maior conhecimento sobre os processos de dimensionamento do software 
CAD/TQS. 
A primeira conclusão que se obtém com a comparação entre os dois modelos diz 
respeito à estabilidade global. No modelo protendido houve um aumento na seção 
dos pilares para o atendimento de valores aceitáveis de Gama z e deslocamentos 
horizontais. Conclui-se, desta forma, que em edifícios com lajes planas a dimensão 
dos pilares precisa ser elevada para compensar a menor rigidez em virtude da 
ausência de vigas. 
Em relação às flechas, o modelo em concreto protendido apresentou um melhor 
desempenho. A contraflecha gerada pelas cordoalhas foi suficiente para eliminar a 
deformação em praticamente toda a laje protendida. Por esse motivo, constata-se 
que a protensão é uma ótima solução em lajes com grandes vãos, onde é 
necessário reduzir a flecha para atender os limites normatizados. Outro efeito 
impactante da redução de flecha é o aumento na durabilidade das peças, uma vez 
que praticamente não haverá formação de fissuras na laje. 
Também é válido comentar sobre as observações no detalhamento de vigas. No 
pavimento com lajes planas, as vigas que foram mantidas para ajudar na 
estabilidade obtiveram momentos muito superiores ao pavimento em concreto 
armado, resultando em um dimensionamento com uma taxa de armadura muito 
elevada. Com isso, demonstra-se que a eliminação de algumas vigas do pavimento 
gerou uma sobrecarga nas vigas restantes, devido aos efeitos do vento. 
No que se refere ao consumo de aço, o projeto em concreto armado se mostrou 
mais econômico. Normalmente, a aplicação da protensão resulta na redução da 
armadura passiva, principalmente na protensão limitada. Com base nos cálculos 
127 
 
manuais, observou-se que foi empregada a armadura passiva mínima, tanto 
longitudinal como de punção, em praticamente toda a laje plana, porém, não foi 
suficiente para reduzir a quantidade de aço em relação a laje nervurada. Desta 
maneira, é possível deduzir que o edifício em concreto armado obteve menor 
consumo pois foi favorecido pela concepção estrutural, uma vez que a armadura 
mínima para lajes planas é elevada em comparação às nervuradas. 
Acredita-se que pelo fato do edifício não apresentar grandes vãos, a solução em 
concreto armado ficou mais competitiva. Uma alternativa que poderia ser testada 
seria o uso de lajes nervuradas protendidas. A redução do custo no projeto 
protendido também pode ser obtida com a remoção dos pilares centrais da laje, 
aumentando o vão das mesmas, desde que a estabilidade global não seja 
comprometida. 
No que tange o consumo de formas, o modelo em concreto protendido apresentou 
maior economia, por conta da redução do número de vigas. O concreto por sua vez 
apresentou maior consumo devido ao aumento das seções de pilares e lajes, 
mostrando novamente a desvantagem desse modelo em termos econômicos. 
O custo total do edifício protendido foi 42,82% maior, portanto, conclui-se que o 
edifício em concreto armado é mais viável economicamente para este projeto. Uma 
forma de amenizar o custo no edifício com lajes planas seria diminuir o pé direito dos 
pavimentos, propiciando um menor consumo de formas, concreto e 
consequentemente de aço. Entretanto, para o estudo em questão, decidiu-se manter 
a distância de piso a piso, de modo a obter uma maior altura livre no pavimento com 
lajes planas, demonstrando uma das vantagens desse sistema construtivo. 
Apesar do tempo de execução não ter sido contemplado nesse estudo, é válido 
ressaltar que o sistema de lajes lisas oferece uma larga vantagem nesse quesito, 
pois reduz o tempo de montagem e desmontagem de formas de vigas, assim como 
a armação das mesmas, que são os processos mais demorados na execução de 
lajes convencionais. 
No que diz respeito ao TQS, constatou-se que é uma excelente ferramenta para 
desenho e dimensionamento de armaduras. O editor de lajes protendidas 
128 
 
apresentou resultados coerentes e similares aos calculados pela planilha manual. 
Observou-se que em alguns casos ocorrem picos de momentos negativos próximos 
aos pilares, gerando uma armadura negativa elevada nas lajes. Logo, conclui-se que 
a avaliação de um profissional capacitado é imprescindível para adequação do 
projeto. 
Em relação às planilhas de cálculo manual, observou-se que os valores de armadura 
passiva longitudinal foram semelhantes aos dimensionados pelo software, portanto, 
conclui-se que pode ser utilizada como base para dimensionamento. Por outro lado, 
os valores de armadura de punção se mostraram discordantes em relação ao 
programa, com isso, se deduz que a planilha deve ser adequada para contemplar 
outros critérios, como por exemplo, disposição dos studs. 
Após todas as análises e comparações descritas neste trabalho, a conclusão geral 
que se obtém é que para o edifício estudado a solução mais economicamente viável 
foi em concreto armado com lajes nervuradas, porém, a vantagem nesse quesito 
ocorre por causa da tipologia de laje escolhida e não do sistema construtivo. 
Acredita-se que o emprego de lajes nervuradas protendidas favoreceria esse 
sistema construtivo em termos econômicos. 
Por outro lado, conclui-se que a protensão resulta em uma série de vantagens 
técnicas, como redução75 
Figura 40: Momentos fletores da viga V6. ................................................................. 76 
Figura 41: Detalhamento da viga V6. ........................................................................ 77 
Figura 42: Lançamento das RPU’s na direção principal. ........................................... 78 
Figura 43: Lançamento das RPU’s na direção secundária. ...................................... 79 
Figura 44: RPU analisada. ........................................................................................ 80 
Figura 45: Momentos para CF e CQP ....................................................................... 82 
Figura 46: Momentos para o ato da protensão.......................................................... 83 
Figura 47: Tensões para CF...................................................................................... 84 
Figura 48: Tensões para CQP ................................................................................... 85 
Figura 49: Tensões para o ato da protensão. ........................................................... 86 
Figura 50: Armadura passiva. ................................................................................... 87 
Figura 51: Planta de cabos........................................................................................ 88 
Figura 52: Hiperestático RPU principal. .................................................................... 89 
Figura 53: Armadura positiva principal para laje plana. ............................................. 91 
Figura 54: Armadura positiva secundária para laje plana. ........................................ 92 
Figura 55: Armadura negativa principal para laje plana. ........................................... 93 
Figura 56: Armadura negativa secundária para laje plana. ....................................... 94 
Figura 57: Armadura de punção para laje plana. ...................................................... 95 
Figura 58: Comparação entre flechas. .................................................................... 111 
Figura 59: Gráfico comparativo de momentos. ........................................................ 112 
Figura 60: Gráfico comparativo do consumo de aço para vigas.............................. 113 
Figura 61: Gráfico comparativo do consumo total de aço. ...................................... 113 
Figura 62: Gráfico comparativo do consumo total de formas. ................................. 114 
Figura 63: Gráfico comparativo do consumo de concreto. ...................................... 114 
6 
 
Figura 64: Pilares centrais da laje protendida. ........................................................ 115 
Figura 65: Divisão de aço no modelo 1 (CA). .......................................................... 117 
Figura 66: Divisão de aço no modelo 2 (CP). .......................................................... 117 
Figura 67: Divisão de formas no modelo 1 (CA). ..................................................... 118 
Figura 68: Divisão de formas no modelo 2 (CP). ..................................................... 118 
Figura 69: Divisão de concreto no modelo 1 (CA). .................................................. 119 
Figura 70: Divisão de concreto no modelo 2 (CP). .................................................. 119 
Figura 71: Gráfico comparativo entre armadura ativa e passiva. ............................ 120 
Figura 72: Gráfico comparativo do consumo total de materiais............................... 121 
Figura 73: Divisão de custos no modelo 1. ............................................................. 122 
Figura 74: Divisão de custos no modelo 2. ............................................................. 124 
Figura 75: Gráfico comparativo do custo total. ........................................................ 124 
Figura 76: Resumo de custos por insumo. .............................................................. 125 
 
 
7 
 
LISTA DE QUADROS 
 
Quadro 1: Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do 
concreto .................................................................................................................... 23 
Quadro 2: Coeficiente . ............................................................................................ 33 
Quadro 3: Coeficientes Ψ. ......................................................................................... 34 
Quadro 4: Valores do coeficiente K. .......................................................................... 41 
Quadro 5: Coeficientes de arrasto. ............................................................................ 51 
Quadro 6: Valores de Gama z para o modelo 1. ....................................................... 58 
Quadro 7: Deslocamentos absolutos para o modelo 1. ............................................. 59 
Quadro 8: Deslocamentos relativos para o modelo 1. ............................................... 59 
Quadro 9: Comparação entre valores de flecha calculada e limite. .......................... 61 
Quadro 10: Resumo de aço para o modelo 1............................................................ 70 
Quadro 11: Resumo de formas para o modelo 1. ..................................................... 70 
Quadro 12: Resumo de concreto para o modelo 1. ................................................... 70 
Quadro 13: Valores de Gama z para o modelo 2. ..................................................... 71 
Quadro 14: Deslocamentos absolutos para o modelo 2. ........................................... 72 
Quadro 15: Deslocamentos relativos para o modelo 2. ............................................. 72 
Quadro 16: Dados da RPU........................................................................................ 81 
Quadro 17: Resumo de armadura ativa para o modelo 2. ........................................ 96 
Quadro 18: Resumo de armadura passiva para o modelo 2. .................................... 96 
Quadro 19: Resumo de formas para o modelo 2. ..................................................... 96 
Quadro 20: Resumo de concreto para o modelo 2. ................................................... 96 
Quadro 21: Momentos devido ao peso próprio. ........................................................ 99 
Quadro 22: Momentos devido às cargas permanentes. ............................................ 99 
Quadro 23: Momentos devido às cargas acidentais. ............................................... 100 
Quadro 24: Momentos devido a protensão inicial. .................................................. 100 
Quadro 25: Momentos devido á protensão no tempo infinito. ................................. 100 
Quadro 26: Momento hiperestático de protensão. .................................................. 100 
Quadro 27: Verificação de tensões para combinação frequente. ............................ 103 
Quadro 28: Verificação de tensões para combinação quase permanente. ............. 103 
Quadro 29: Verificação de tensões para estado em vazio. ..................................... 103 
Quadro 30: Verificações no ELU e resumo da armadura passiva. .......................... 105 
Quadro 31: Tensões na superfície C. ...................................................................... 106 
8 
 
Quadro 32: Tensões na superfície C’ e armadura de punção. ................................ 108 
Quadro 33: Tensões na superfície C’’. .................................................................... 108 
Quadro 34: Comparação da estabilidade. ............................................................... 109 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1: Resumo de custos do modelo 1 (CA). ..................................................... 122 
Tabela 2: Resumo de custos do modelo 2 (CP). ..................................................... 123 
 
 
 
 
9 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Atendendo ao disposto no Regulamento do Curso de Engenharia Civil,da flecha e do tempo de execução e aumento da 
durabilidade das peças. Em alguns projetos estas vantagens podem ser 
determinantes. 
 
5.1. Recomendações para trabalhos futuros 
Para pesquisas futuras recomenda-se a avaliação do tempo de execução para o 
edifício em concreto armado e concreto protendido. Outra avaliação interessante é 
sobre o custo de mão de obra e equipamentos para execução de ambos os projetos, 
que pode ser realizada com base nas composições do SINAPI, ajustadas para 
contemplar os serviços de protensão. 
129 
 
Outra recomendação é a comparação entre diferentes tipologias de lajes, tanto em 
concreto armado como em protendido. Também é válido estudar o efeito de 
diferentes vãos, ou ainda buscar uma concepção estrutural com lajes 
completamente planas, ou seja, eliminando-se todas as vigas do pavimento. 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projetos de 
estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 238 p. 
 
______. NBR 7197: Projetos de estruturas de concreto protendido. Rio de Janeiro, 
1989. 71 p. 
 
______. NBR 7482: Fios de aço para estruturas de concreto protendido - 
Especificação. Rio de Janeiro, 2008. 8 p. 
 
______. NBR 7483: Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido - 
Especificação. Rio de Janeiro, 2008. 7 p. 
 
______. NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas - Procedimento. Rio de 
Janeiro, 2003. 15 p. 
 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 2. ed. Cidade Nova, Dunas, 2003. 234 
p. 
 
BARBIERI, R. A. Modelo numérico para análise à flexão de elementos 
estruturais com protensão aderente e não aderente. 2003. 330 f. Tese 
(Doutorado em Engenharia) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto 
Alegre, 2003. Disponível em: 
. Acesso em: 18 jun. 2017. 
 
CAUDURO, E. L. Manual para a boa execução de estruturas protendidas 
usando cordoalhas de aço engraxadas e plastificadas. Belo Horizonte: Belgo 
Mineira, 2002. 
 
CORDOVIL, F. A. B. Lajes em concreto armado – Punção. Florianópolis: UFSC, 
1997. 222 p. 
 
EMERICK, A. Projeto e execução de lajes protendidas. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2005. 
 
HANAI, J. B. Fundamentos do Concreto Protendido. São Carlos: USP, 2005. 110 
p. Disponível em: 
. Acesso 
em: 17 maio 2017. 
 
LEONHARDT, F. Construções de concreto: Concreto Protendido. 5. ed. Rio de 
Janeiro: Interciência, 1983. 316 p. 
 
PFEIL, W. Concreto protendido: introdução. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos, 1988. 205 p. 
 
 
SCHMID, M. T. Lajes planas protendidas. 3. ed. [S.l.], Rudloff Industrial, 2009. 30 
p. 
 
SOARES, S. J.; CALIXTO, J. M.; CHUMBINHO, H. Avaliação "in loco" das perdas de 
protensão de cordoalhas engraxadas em lajes planas. Revista IBRACON Estrutura 
dos Materiais São Paulo, v. 1, n. 3, p. 237-260, set. 2008. Disponível em: 
. Acesso em: 23 abr. 2017. 
 
VERÍSSIMO, G. S.; CÉSAR JUNIOR, K. M. L. Concreto protendido: Fundamentos 
básicos. 4. ed. Apostila da disciplina de Concreto Protendido. Universidade Federal 
de Viçaso. Viçosa, 1998. 73 p.submetemos 
à consideração superior o presente TICT, realizado no período de agosto a outubro, 
bem como as considerações a respeito do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 13 
1.1 Tema e problema de pesquisa ....................................................................... 13 
1.2 Objetivos ......................................................................................................... 14 
1.2.1 Objetivo Geral ................................................................................................. 14 
1.2.2 Objetivos Específicos...................................................................................... 15 
1.3 Justificativa ..................................................................................................... 15 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 17 
2.1 Concreto protendido ....................................................................................... 17 
2.1.1 Protensão com aderência inicial (Pré-tração) ................................................. 17 
2.1.2 Protensão com aderência posterior ................................................................ 17 
2.1.3 Protensão não-aderente interna ..................................................................... 18 
2.1.4 Protensão não-aderente externa .................................................................... 19 
2.1.5 Aspectos referentes à aderência .................................................................... 19 
2.1.6 Equipamentos da protensão não-aderente ..................................................... 21 
2.1.6.1 Ancoragens .................................................................................................. 21 
2.1.6.2 Macaco hidráulico ......................................................................................... 22 
2.1.7 Materiais ......................................................................................................... 22 
2.1.7.1 Concreto ....................................................................................................... 22 
2.1.7.2 Armadura ativa ............................................................................................. 23 
2.1.8 Critérios de projeto ......................................................................................... 25 
2.1.8.1 Curvaturas .................................................................................................... 25 
2.1.8.2 Traçado dos cabos ....................................................................................... 25 
2.1.8.3 Considerações para lajes com sistema não-aderente .................................. 27 
2.1.8.4 Espaçamentos .............................................................................................. 29 
2.1.8.5 Abertura nas lajes ......................................................................................... 30 
2.1.9 Perdas de protensão....................................................................................... 31 
2.1.9.1 Perdas imediatas .......................................................................................... 31 
2.1.9.2 Perdas diferidas ............................................................................................ 31 
2.1.10 Combinações de ações .................................................................................. 32 
2.1.10.1 Combinações para o ELU ......................................................................... 32 
2.1.10.2 Combinações para o ELS ......................................................................... 34 
11 
 
2.1.11 Níveis de protensão ........................................................................................ 35 
2.1.11.1 Protensão completa .................................................................................. 35 
2.1.11.2 Protensão limitada .................................................................................... 36 
2.1.11.3 Protensão parcial ...................................................................................... 36 
2.1.12 Punção ............................................................................................................ 36 
2.1.13 Dimensionamento de lajes à punção .............................................................. 39 
2.1.13.1 Definição da tensão solicitante nas superfícies C e C’ ............................. 40 
2.1.13.2 Definição da tensão resistente nas superfícies C, C’ e C’’ ........................ 43 
3 METODOLOGIA ............................................................................................. 48 
3.1 Perspectiva de Pesquisa ................................................................................ 48 
3.2 População e Participantes da Pesquisa.......................................................... 48 
3.3 Procedimentos e instrumentos de análise e coleta de informações ............... 48 
3.4 Projeto arquitetônico ....................................................................................... 49 
3.5. Modelo 1: Concreto armado ........................................................................... 51 
3.5.1. Dimensionamento no Software TQS V 19 ...................................................... 51 
3.5.2. Características dos materiais .......................................................................... 53 
3.5.3. Características das lajes ................................................................................. 53 
3.5.4. Cargas ............................................................................................................ 54 
3.6. Modelo 2: Concreto protendido ....................................................................... 54 
3.6.1. Dimensionamento no software TQS V19 ........................................................ 54 
3.6.2. Características dos materiais .......................................................................... 55 
3.6.3. Características das lajes ................................................................................. 55 
3.6.4. Cargas ............................................................................................................ 55 
4. DESENVOLVIMENTO .................................................................................... 58 
4.1. Edifício em Concreto Armado ......................................................................... 58 
4.1.1. Estabilidade Global ......................................................................................... 58 
4.1.2. Análise de flecha ............................................................................................ 59 
4.1.3. Detalhamento de armaduras das lajes ........................................................... 61 
4.1.4. Detalhamento de vigas ................................................................................... 66 
4.1.5. Consumo de materiais .................................................................................... 69 
4.2. Edifício em concreto protendido ..................................................................... 71 
4.2.1. Estabilidade global .......................................................................................... 71 
4.2.2. Análise de flecha ............................................................................................ 72 
12 
 
4.2.3. Detalhamento de vigas ................................................................................... 74 
4.2.4. Definição em plantas das RPU’s e RTE’s ....................................................... 77 
4.2.5. Disposição vertical das cordoalhas ................................................................. 79 
4.2.6. Momento Hiperestático de protensão .............................................................88 
4.2.7. Planta de cabos .............................................................................................. 88 
4.2.8. Detalhamento de armaduras das lajes ........................................................... 90 
4.2.9. Consumo de materiais .................................................................................... 96 
4.3. Planilha de cálculo para tensões e armadura passiva .................................... 97 
4.3.1. Determinação das cargas na laje ................................................................... 97 
4.3.2. Determinação da excentricidade máxima nos cabos ...................................... 98 
4.3.3. Determinação dos esforços de protensão ...................................................... 98 
4.3.4. Esforços na laje .............................................................................................. 99 
4.3.5. Tensões limites para tração e compressão .................................................. 100 
4.3.6. Verificação das tensões em serviço ............................................................. 102 
4.3.7. Armadura passiva mínima ............................................................................ 104 
4.3.8. Verificação de tensões no ELU: Cálculo da armadura passiva .................... 105 
4.4. Planilha de cálculo para punção ................................................................... 106 
4.4.1. Dados do pilar ............................................................................................... 106 
4.4.2. Verificação na superfície C ........................................................................... 106 
4.4.3. Tensão normal de compressão devido à protensão de alívio ....................... 107 
4.4.4. Armadura de punção na superfície C’........................................................... 107 
4.4.5. Verificação na superfície C’’ ......................................................................... 108 
4.4.6. Armadura contra colapso progressivo .......................................................... 108 
4.5. Comparação entre o edifício em concreto armado e concreto protendido ... 109 
4.5.1. Estabilidade Global ....................................................................................... 109 
4.5.2. Análise de flecha .......................................................................................... 110 
4.5.3. Análise de vigas ............................................................................................ 112 
4.5.4. Consumo de materiais .................................................................................. 113 
4.5.5. Estimativa de custos ..................................................................................... 121 
5. Conclusões e recomendações para trabalhos futuros ............................ 126 
5.1. Recomendações para trabalhos futuros ....................................................... 128 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 130 
 
13 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Tema e problema de pesquisa 
O concreto é um dos materiais mais importantes na construção civil, devido à 
disponibilidade e baixo custo de seus ingredientes em todas as regiões habitadas do 
mundo. Entretanto, o mesmo possui resistência à tração em torno de 10% da 
resistência à compressão, por esse motivo, apenas a última é considerada no 
dimensionamento de peças estruturais. (PFEIL, 1998). Em vista desse 
comportamento, criou-se uma técnica onde são aplicadas tensões prévias no 
concreto com o intuito de eliminar ou diminuir os esforços de tração, à essa técnica 
dá-se o nome de protensão. 
A protensão pode ser definida como a introdução de tensões prévias numa 
estrutura, afim de aumentar sua resistência ou melhorar seu comportamento sob a 
ação das cargas solicitantes. No concreto protendido, essas tensões são aplicadas 
através de cabos de aço de alta resistência, tracionados e ancorados no próprio 
concreto. Os percentuais de acréscimos de resistência desse sistema em relação ao 
concreto armado são muito superiores ao acréscimo de preços dos materiais 
constituintes, tornando-o mais economicamente viável em grande parte das obras. 
(PFEIL, 1998). 
A primeira proposta de pré-tensionar o concreto foi do americano P.H. Jackson de 
São Francisco em 1886, porém, não obteve êxito, pois naquela época as 
características de retração e fluência do concreto eram desconhecidas. Essas 
propriedades só foram levadas em conta no ano de 1928, por Eugéne Freyssinet, o 
qual patenteou um sistema de protensão com elevadas tensões no aço. Eugéne 
também foi responsável pela execução da primeira obra em concreto protendido no 
mundo. (LEONHARDT, 1983). 
Já no Brasil, Emerick (2005, p. 1) cita que “[...] a primeira obra protendida foi a ponte 
do Galeão no Rio de Janeiro, em 1949, cujo projeto foi desenvolvido na França sob 
supervisão do próprio Freyssinet”. O autor ainda comenta que o uso do concreto 
protendido tem crescido muito no país, devido em grande parte ao desenvolvimento 
do sistema de protensão não aderente, com a entrada da monocordoalha engraxada 
plastificada no mercado nacional. 
14 
 
A monocordoalha engraxada faz parte do sistema não aderente de protensão. Esse 
sistema aumenta a rapidez na montagem das formas, diminui as perdas por atrito e 
a fissuração, garante maior proteção contra a corrosão se comparado com o sistema 
aderente, além de permitir maiores excentricidades nos cabos. As vantagens citadas 
tornam a técnica mais vantajosa em lajes e vigas de edifícios residenciais e 
comercias, onde a praticidade é de enorme importância. 
É notório o crescimento na quantidade de obras com lajes em concreto protendido, 
tanto no Brasil quanto em outros países. A possibilidade de se trabalhar com vãos 
maiores, lajes esbeltas e poucos pilares, chama a atenção de arquitetos e 
engenheiros que buscam maior liberdade arquitetônica, aumento na área útil ou 
ainda, maior número de vagas de estacionamento. (EMERICK, 2005). 
As vantagens da protensão ficam ainda mais acentuadas quando se trabalha com 
lajes planas. Schmid (2009) comenta que o peso próprio de lajes protendidas é 
menor, podendo-se eliminar completamente as deformações provenientes do 
mesmo. Além disso, a opção por lajes sem vigas em edifícios altos pode gerar 
economia de um pavimento, por apresentar uma menor distância entre pisos. 
Diante desse contexto, apresenta-se o seguinte problema de pesquisa: 
Que comparação pode ser apresentada utilizando lajes maciças planas em concreto 
protendido não aderente com cordoalhas engraxadas, em termos de viabilidade 
técnica/econômica, com um dimensionamento em lajes nervuradas com vigas em 
concreto armado em um pavimento de um edifício? 
 
1.2 Objetivos 
1.2.1 Objetivo Geral 
Analisar a utilização de lajes maciças planas em concreto protendido não aderente 
com cordoalhas engraxadas comparando os resultados, em termos de viabilidade 
técnica/econômica, com um dimensionamento em lajes nervuradas com vigas em 
concreto armado em um pavimento de um edifício. 
 
15 
 
1.2.2 Objetivos Específicos 
 
 Dimensionar as lajes nervuradas com vigas em concreto armado com o 
auxílio do CAD/TQS. 
 Dimensionar as lajes maciças planas em concreto protendido com o auxílio do 
CAD/TQS. 
 Desenvolver planilha de cálculo no Excel para dimensionamento das 
armaduras passivas e de punção na laje em concreto protendido. 
 Comparar o consumo de materiais pelos dois sistemas construtivos. 
 Avaliar a viabilidade técnica/econômica de ambas as soluções. 
 Apresentar as vantagens e desvantagens entre os dois sistemas. 
 
1.3 Justificativa 
Atualmente, o sistema construtivo mais utilizado em edifícios é o concreto armado, 
devido à boa interação do aço com o concreto, a disponibilidade de matéria prima, 
facilidade de execução, economia, entre diversos outros motivos.Porém, esse 
sistema não aproveita com eficiência toda a resistência dos materiais constituintes. 
Grande parte do concreto, por exemplo, é submetido à tração, esforço para o qual 
este tem baixa resistência, já o aço empregado, é de menor capacidade, pois a 
resistência das peças é limitada à deformação do concreto. 
O concreto protendido é um sistema no qual parte da armadura é previamente 
alongada com a finalidade de criar uma contra flecha, impedindo ou limitando a 
fissuração do concreto e propiciando um melhor aproveitamento do aço. Desse 
modo, quase a totalidade do concreto trabalha à compressão e o aço empregado 
tem resistência elevada, reduzindo assim, o consumo de materiais. 
O investimento das construtoras em lajes de concreto protendido vem crescendo ao 
longo dos últimos anos devido, principalmente, ao desenvolvimento das 
monocordoalhas engraxadas com bainha plástica extrudada, as quais, permitem 
uma protensão sem aderência, eliminando assim, o complexo trabalho de injeção de 
nata de cimento nas bainhas. Desse modo, há a possibilidade de trabalhar com 
16 
 
maior rapidez e praticidade, requisitos que são incessantemente desejados na 
construção civil. 
A solução em lajes protendidas traz ainda vantagens como: Maior liberdade 
arquitetônica, menor quantidade de pilares, redução na espessura das lajes, menor 
fissuração e flecha, além de proporcionar um melhor comportamento das lajes 
planas, uma vez que aumenta a resistência à punção das mesmas. 
A tecnologia da protensão surgiu como opção em vários países logo após a segunda 
guerra mundial, e desenvolveu-se principalmente nos Estados Unidos. No Brasil, 
essa tecnologia ainda é nova e, apesar de apontar uma tendência de mercado, não 
é frequentemente empregada nas construções por falta de mão de obra 
especializada e principalmente de bons projetistas com conhecimento nessa área. 
Os motivos supracitados justificam o desenvolvimento da pesquisa proposta que 
também representa um interesse pessoal no aprendizado e aperfeiçoamento dos 
conhecimentos em lajes de concreto protendido. Desse modo, o estudo mais 
aprofundado dessa técnica contribuirá para a qualificação do aluno, afim de gerar 
um diferencial no mercado de trabalho. 
 
17 
 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
2.1 Concreto protendido 
As primeiras ideias de se pré-tracionar o concreto datam do século XIX e tinha como 
objetivo aproveitar melhor a resistência à compressão do mesmo. Atualmente, a 
NBR6118 (2014, p. 3) define os elementos de concreto protendido como: 
Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por 
equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em 
condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os 
deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o melhor 
aproveitamento de aços de alta resistência no estado limite último 
(ELU). 
 
2.1.1 Protensão com aderência inicial (Pré-tração) 
 
A proteção com aderência inicial é utilizada exclusivamente para peças pré-
fabricadas. Nesse sistema, o aço é tensionado previamente por um macaco 
hidráulico, em uma pista de protensão com dois blocos de cabeceira, onde são 
ancorados os cabos até o momento da transferência de esforços para a peça. 
Após o tensionamento dos cabos, a peça é concretada na própria pista, de modo 
que o concreto envolva a armadura. Quando a resistência mínima do concreto é 
atingida, liberam-se os cabos e a força de protensão é transferida ao concreto por 
aderência. (CAUDURO, 2002). 
 
2.1.2 Protensão com aderência posterior 
No sistema de protensão com aderência posterior, o tensionamento dos cabos e a 
concretagem acontecem in loco. As cordoalhas são posicionadas no interior de 
bainhas metálicas, sendo injetado nata de cimento após a protensão. 
O primeiro procedimento é a preparação das bainhas com as cordoalhas dentro da 
peça estrutural, seguido da concretagem da mesma. Após o concreto atingir 
aproximadamente 75% da resistência aos 28 dias, acontece o tensionamento dos 
cabos através do macaco hidráulico. Posteriormente faz-se a ancoragem dos cabos, 
segundo Emerick (2005) geralmente projetam-se peças com uma ancoragem ativa e 
18 
 
outra passiva, porém, para cabos com comprimentos maiores que 40 metros, pode 
ser conveniente protender as duas extremidades, com o intuito de reduzir as perdas 
por atrito. 
A última etapa do projeto é a injeção da nata de cimento nas bainhas. A nata é 
injetada com uma bomba injetora através de tubos plásticos ou mangueiras 
previamente acopladas nas bainhas. “O objetivo da injeção da nata de cimento é 
garantir aderência entre a armadura ativa e o concreto, além de proteger contra a 
corrosão. ” (EMERICK, 2005, p. 26). 
 
2.1.3 Protensão não-aderente interna 
Esse sistema tem como característica principal a não aderência entre a armadura 
ativa e o concreto. A protensão é aplicada com a peça de concreto já endurecida e 
os únicos pontos de transferência de esforços são as ancoragens. A técnica mais 
comum nesse sistema é a de monocordoalha engraxada com bainha plástica 
extrudada. (BARBIERI, 2003). 
A monocordoalha engraxada é empregada, principalmente, em edifícios com lajes 
lisas. Essa técnica é empregada nos E.U.A. desde a década de 1950. Soares, 
Calixto e Chumbinho (2008, p. 2) citam que: 
Inicialmente, os cabos eram engraxados e envoltos em papel. 
Posteriormente desenvolveu-se uma proteção anticorrosiva formada 
por um tubo de polietileno de alta densidade associada a uma graxa 
especial que envolve a cordoalha (cordoalha engraxada e 
plastificada). 
Atualmente, as cordoalhas engraxadas são revestidas de Polietileno de Alta 
Densidade - PEAD, impermeável à água, extremamente resistente e durável. Após a 
aplicação da graxa, o revestimento é extrudado diretamente sobre a cordoalha, 
permitindo a movimentação da mesmo em seu interior. As bitolas mais comuns são 
de 12,7mm e 15,2mm. (EMERICK, 2005). 
A proteção contra a corrosão é muito importante nesse sistema. Emerick (2005) 
comenta que os cabos devem estar sempre limpos e qualquer falha no revestimento 
deve ser reparado com fita plástica antes do lançamento do concreto, de modo a 
19 
 
isolar as cordoalhas. Schmid (2009) cita que o emprego do sistema sem aderência 
não é recomendado em elementos exposto à agentes corrosivos ou água do mar. 
Destaca-se ainda, que a armadura passiva sempre deve estar aderente ao concreto, 
ou seja, a não-aderência refere-se apenas à armadura ativa. (HANAI, 2005). 
 
2.1.4 Protensão não-aderente externa 
Esse sistema é frequentemente usado em recuperação de estruturas principalmente 
em pontes. Nesse caso, os cabos são colocados externamente, não havendo 
aderência com o concreto. Também pode ser usado como reforço de peças 
estruturais. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
Segundo Pfeil (1988), os cabos externos são geralmente dispostos em formato 
retilíneo ou poligonal. Caso haja necessidade de desviar o cabo, utilizam-se selas de 
apoio, fixadas lateralmente à viga. 
 
2.1.5 Aspectos referentes à aderência 
Os sistemas aderentes e não aderentes apresentam características distintas, por 
esse motivo, a aplicação dos mesmos difere amplamente. Os sistemas não-
aderentes são indicados para vigas e lajes de edifícios, principalmente aqueles com 
lajes planas, ou ainda para recuperação de estruturas. Já os sistemas aderentes são 
empregados geralmente em peças pré-moldadas e obras de grande porte, como 
pontes e tirantes, embora possa ser aproveitado em lajes também. A escolha entre 
um sistema e outro está diretamente relacionada com as vantagens de cada um. 
A protensão não-aderente conta com maior praticidade e facilidade de execução, 
pois permite o posicionamento dos cabos de forma rápida e simples, além de 
eliminar o complexo processo de injeção de nata. Além disso, esse tipo de 
protensão é menos suscetível ao ataque da corrosão, uma vez que o aço recebe 
proteção fora da obra. Dentro da peça de concreto,os cabos podem ter maiores 
excentricidades que no sistema aderente, e, devido a inexistência de aderência, as 
perdas por atrito são consideravelmente menores. A não-aderência possibilita ainda 
20 
 
a operação de reprotensão do aço, desde que sejam tomados os cuidados 
adequados. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
O processo de pré-tencionar o aço também é mais simples no sistema não-
aderente. O macaco hidráulico tem apenas 19 kg e pode ser posicionado em 
qualquer parte do comprimento do cabo, tensionando uma cordoalha a cada 30 
segundos. A bomba utilizada é pequena, leve e de fácil transporte. Não há 
necessidade de retificação das cordoalhas durante a operação, por esse motivo, a 
protensão é realizada em uma só elevação. (CAUDURO, 2002). 
A protensão aderente, por outro lado, garante um melhor comportamento entre os 
estágios de fissuração e ruptura, além de proporcionar um aumento na capacidade 
das seções no estado limite último. Esse acréscimo de resistência acontece em 
virtude da aderência entre o cabo e o concreto, pois dessa maneira, as cordoalhas 
também podem atuar como armaduras passivas, melhorando o comportamento no 
que diz respeito à fissuração. Além disso, a falha de um cabo, em casos de incêndio, 
explosão ou terremoto por exemplo, tem consequências restritas. (VERÍSSIMO; 
CÉSAR JUNIOR, 1998). 
Existem ainda outras vantagens na protensão aderente, Schmid (2009) destaca que 
nesse sistema, usam-se bainhas metálicas para até quatro cordoalhas, facilitando 
assim o posicionamento das mesmas na laje. Além disso, a aderência proporciona a 
redução na taxa de armadura passiva, se comparado com o sistema não-aderente. 
No que diz respeito ao comportamento das seções de concreto nas vigas 
protendidas, é notório que quando não há flexão na peça, tanto o sistema aderente 
quanto o não-aderente são extremamente semelhantes, as diferenças acontecem 
após a abertura da primeira fissura. 
O sistema aderente apresenta um comportamento similar ao concreto armado 
quanto a fissuração. As fissuras são menores e se formam em grande quantidade 
por todo o comprimento da viga. Essa característica se deve ao fato de que ao se 
abrir uma fissura, os cabos sofrem grandes deformações localizadas no entorno da 
mesma, aumentando consideravelmente a tensão do aço naquela região. 
(VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
21 
 
Por outro lado, no sistema não aderente, o efeito da abertura de uma fissura se dilui 
por um longo comprimento do cabo, produzindo um pequeno alongamento unitário, 
e como consequência, o acréscimo de tensões no cabo é reduzido. Dessa forma, 
formam-se fissuras com maiores aberturas e mais espaçadas entre si. (VERÍSSIMO; 
CÉSAR JUNIOR, 1998). 
 
2.1.6 Equipamentos da protensão não-aderente 
2.1.6.1 Ancoragens 
As ancoragens na protensão não-aderente podem ser classificadas em ativas ou 
passivas. A ancoragem ativa permite a operação de protensão, já a ancoragem 
passiva é fixa e acontece antes da concretagem, a esse processo, dá-se o nome de 
pré-blocagem. Em lajes protendidas é usual projetar uma ancoragem passiva e outra 
ativa para cada cabo. Apesar de serem classificadas de forma diferente, as placas 
de ancoragem são iguais para ambos os tipos. 
O sistema de ancoragem é composto, além das placas de ancoragem, por cunhas 
bipartidas. As placas possuem um cone fêmea, o qual, em conjunto com o cone 
macho (cunhas), fazem o travamento das cordoalhas. As cunhas são introduzidas 
na placa com a mão ou com um martelo antes do cabo ser liberado, de modo que o 
mesmo fique livre para se movimentar. Após a liberação, o cabo tende a puxar as 
cunhas para o cone fêmea, realizando o encunhamento. Entretanto, há um pequeno 
deslizamento no momento da ancoragem que gera perda de protensão. Com o 
intuito de diminuir esse deslizamento, as cunhas geralmente possuem ranhuras que 
aumentam a superfície de contato com a cordoalha. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 
1998). 
Além de promover o travamento, as cunhas ajudam a compensar as irregularidades 
existentes entre a cordoalha e a superfície de apoio da placa. Todos os 
componentes da ancoragem devem trabalhar juntos e harmonicamente, para isso, 
alguns cuidados precisam ser tomados. Fatores externos como sujeira, ferrugem e 
pasta de concreto devem ser limpos antes da operação, mantendo o sistema livre. O 
entendimento básico dos profissionais sobre o controle de qualidade também é de 
vital importância. (CAUDURO, 2002). 
22 
 
A cunha precisa ter resistência e capacidade de penetrar na cordoalha quando a 
força de protensão for aplicada, para tanto, a mesma possui superfície externa e 
dentes extremamente duros. “A cordoalha é mais dura que a placa de ancoragem e 
as cunhas são mais duras que a cordoalha [...] os dentes da cunha penetram na 
superfície externa da cordoalha enquanto tentam se moldar à superfície irregular. ” 
(CAUDURO, 2002, p. 68). 
 
2.1.6.2 Macaco hidráulico 
O pré-tensionamento das cordoalhas é realizado por um macaco hidráulico apoiado 
na borda do elemento construtivo. O equipamento estica os cabos até atingirem a 
força prevista em projeto, geralmente de 15 kN para monocordoalha engraxadas, e, 
após a cravação das cunhas, é retirado para que a força seja transferida à peça 
através do cabo. 
 
2.1.7 Materiais 
2.1.7.1 Concreto 
Estruturas em concreto protendido, em geral, requerem concretos com resistência à 
compressão superior aos usados em concreto armado. Emerick (2005) comenta 
que, em lajes, maiores valores de resistência e módulo de elasticidade possibilitam a 
aplicação da protensão e a retirada antecipada do escoramento. 
Ainda com relação às vantagens dos concretos com alta resistência para projetos 
em concreto protendido, Veríssimo e César Junior (1998) sustenta que o emprego 
do mesmo reduz as dimensões das peças e consequentemente o peso próprio das 
estruturas. A necessidade de resistência nas primeiras idades também é 
evidenciada, uma vez que “a introdução da força de protensão pode causar 
solicitações prévias muito elevadas, frequentemente mais altas que as 
correspondentes a uma situação de serviço”. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998, 
p. 24). O autor ainda coloca que a melhoria nas características de retração e fluência 
também é significativa, por diminuir as perdas de protensão. 
Entretanto, a resistência à compressão não é a única propriedade importante do 
concreto. A durabilidade das peças estruturais é indispensável. Para garantir a 
23 
 
proteção adequada contra a corrosão sob tensão, o concreto precisa ter boa 
compacidade e baixa permeabilidade. Todas essas características dependem de 
uma escolha apropriada dos materiais constituintes, uma produção correta do 
concreto e da escolha correta da relação água/aglomerante da mistura. (HANAI, 
2005). 
A NBR6118:2014 aponta que o concreto deve atender a parâmetros mínimos 
desempenho da durabilidade de estruturas frente ao tipo e classe de agressividade. 
Na falta de ensaios comprobatórios desse requisito, pode-se adotar como base as 
relações mínimas de água/cimento apresentadas no Quadro 1, uma vez que essa 
relação está diretamente ligada à durabilidade e resistência do concreto. 
 
 Quadro 1: Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto 
Concreto Tipo 
Classe de agressividade 
I II III IV 
Relação água/cimento 
em massa 
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 
CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 
Classe de concreto 
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 
CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40 
CA corresponde a componentes e elementos de concreto armado 
CP corresponde a componentes e elementos de concreto protendido 
 Fonte: Adaptado da NBR6118, 2014, p. 18. 
 
2.1.7.2 Armadura ativa 
Os aços utilizados na armadura ativa têm elevada resistência se comparados com 
aqueles utilizados convencionalmente. No concreto armado, a resistência do aço 
está diretamente ligada com a deformação do concreto, inviabilizando o empregode 
barras mais resistentes, pois produziriam fissuras muito abertas. O alongamento 
prévio do aço na protensão evita esse problema. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 
1998). 
Quanto às categorias, Hanai (2005, p. 25) divide os aços da seguinte forma: 
a) fios trefilados de aço carbono, diâmetro de 3 a 8mm, fornecido em 
rolos ou bobinas; 
b) cordoalhas: fios enrolados em forma de hélice, com dois, três ou 
sete fios; 
c) barras de aço-liga de alta resistência, laminadas a quente, com 
diâmetros superiores a 12mm, e com comprimento limitado. 
24 
 
O autor ainda classifica os aços quanto à relaxação: 
a) aços aliviados ou de relaxação normal (RN), que são aços 
retificados por tratamento térmico que alivia as tensões internas de 
trefilação; 
b) aços estabilizados ou de baixa relaxação (RB), que são aços 
trefilados que recebem tratamento termo-mecânico, o qual melhora 
as características elásticas e reduz as perdas de tensão por 
relaxação do aço. (HANAI, 2005, p. 25). 
A designação das armaduras ativas é iniciada pelas letras CP, seguidas da 
resistência característica à ruptura por tração (fptk), em kN/cm². Por fim, indica-se 
entre parênteses a categoria de relaxação. (RN ou RB). 
Além do fptk, existem outras propriedades mecânicas a serem consideradas em 
projetos de concreto protendido. Como por exemplo, o limite de escoamento 
convencional (fpyk), correspondente à deformação residual de 0,2%, e, o módulo de 
elasticidade (Ep). Para fios, os valores médios de Ep são de 205.000 MPa, já para 
cordoalhas, esse valor é de 195.000 MPa. Na falta de resultados precisos fornecidos 
pelos fabricantes, é permitido considerar Ep = 200.000 MPa tanto para fios e 
cordoalhas. (HANAI, 2005). 
A Figura 1 mostra o gráfico de tensão-deformação dos aços protendidos, que pode 
ser utilizado para calcular os estados limites de serviço, através das equações 1 e 2. 
 
 Figura 1: Gráfico de tensão-deformação de aços protendidos. 
 
Fonte: NBR6118, 2014, p. 31. 
25 
 
(1) 
 
(2) 
 
Pode-se notar ainda na Figura 1 que, aços com esse tipo de solicitação, não 
apresentam patamar de escoamento. 
Os valores de fptk e fpyk devem satisfazer os valores mínimos estabelecidos na 
NBR7482:2008 e NBR7483:2008. 
 
2.1.8 Critérios de projeto 
2.1.8.1 Curvaturas 
As curvaturas em armaduras protendidas são projetadas em função do diâmetro dos 
fios, barras ou cordoalhas ou ainda do diâmetro externo da bainha. Cada diâmetro 
requer um raio mínimo de curvatura, segundo a NBR6118:2014, o estabelecimento 
desses raios pode ser realizado experimentalmente, desde que a investigação seja 
realizada adequadamente e devidamente documentada. Nos casos de fios, barras e 
cordoalhas, a justificativa do raio pode ser dispensada para cabos com 
comprimentos maiores que 4 m, 8 m e 12 m, respectivamente. 
“Quando a curvatura ocorrer em região próxima à face do elemento estrutural, 
provocando empuxo no vazio, devem ser projetadas armaduras que garantem a 
manutenção da posição do cabo sem afetar a integridade do concreto nessa região.” 
(NBR6118, 2014, p. 153). 
 
2.1.8.2 Traçado dos cabos 
O principal objetivo da protensão é anular os esforços externos atuantes em uma 
estrutura, para isso, pode-se projetar os cabos com um traçado que favoreça o 
melhor aproveitamento da seção transversal, desde que sejam considerados os 
ajustes necessários para satisfazer os requisitos construtivos peculiares de cada 
situação de projeto. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). A NBR7197 (1989, p. 51) 
15,1
ptk
ptd
f
f 
15,1
pyk
pyd
f
f 
26 
 
determina que “a armadura de protensão pode ser retilínea, curvilínea, poligonal ou 
de traçado misto “. 
A introdução de um cabo retilíneo na posição correspondente ao eixo do baricentro 
da peça produz tensão uniformes de compressão ao longo da mesma. A mudança 
no traçado resulta em tensões variáveis ao longo da estrutura, portanto, pode-se 
trabalhar com traçados que anulem com mais eficiência os esforços externos 
solicitantes. No caso de cabos curvos, a posição ideal é aquela onde o traçado 
acompanha o diagrama de momentos fletores. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 
1998). 
A Figura 2 ilustra que ao se deslocar a linha de atuação da força de protensão do 
eixo baricêntrico da seção, a distribuição tensões deixa de ser uniforme. Ainda pode-
se observar a delimitação do núcleo central de inércia, que pode ser definido como a 
região onde as forças aplicadas causam apenas efeitos de compressão. Em seções 
retangulares, o limite desse núcleo é a distância h/6 ou b/6 do eixo baricêntrico. 
Quanto a força é aplicada fora do núcleo de inércia, surgem tensões de tração no 
bordo mais distante da linha de aplicação. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
 
 Figura 2: Distribuição de tensões na seção. 
 
 Fonte: VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998, p. 63. 
27 
 
O momento (M) produzido pela força de protensão P em um ponto qualquer é dado 
pela equação 3. 
 
(3) 
 
Onde: 
e = excentricidade da força de protensão no ponto considerado. 
 
Para garantir que o traçado seja executado conforme o projeto, pode-se fazer uso de 
suportes plásticos ou metálicos, denominados caranguejos, geralmente espaçados 
em um metro. Contudo, deve-se utilizar suportes adicionais para evitar curvaturas 
reversas (Figura 3). (EMERICK, 2005). Cauduro (2002, p. 44) afirma que “curvaturas 
reversas dos cabos podem causar estilhaçamento do concreto durante a operação 
de protensão. ” 
 
 Figura 3: Curvatura reversa nos cabos de protensão. 
 
Fonte: CAUDURO, 2002, p. 44. 
 
2.1.8.3 Considerações para lajes com sistema não-aderente 
Em lajes protendidas com monocordoalha engraxadas, é recomendável que a 
disposição das ancoragens ativas esteja no baricentro da seção transversal da 
mesma. Além disso, deve-se manter o cabo reto e paralelo ao plano médio da laje 
nos primeiros 50 cm a partir da extremidade da ancoragem ativa. “Essa disposição 
tem por objetivo não introduzir momentos fletores, devido à protensão nas seções de 
ePM *
28 
 
extremidade, onde os momentos devido aos carregamentos externos também são 
nulos. ” (EMERICK, 2005, p. 44). 
Para os demais sistemas de protensão, a NBR6118:2014 recomenda que o 
comprimento reto seja de no mínimo um metro, permitindo o alinhamento do eixo do 
cabo com o eixo dos dispositivos de ancoragem. 
Nas extremidades das ancoragens passivas, deve-se respeitar um cobrimento 
mínimo de 2,5 cm, entretanto é recomendável que esse valor seja de 5 cm para 
evitar ou retardar o processo de corrosão, como mostrado na Figura 4. (EMERICK, 
2005). 
Com relação ao traçado, é comum projetar-se cabos com as maiores flechas 
possíveis, por questões econômicas e construtivas. Os pontos de curvatura (pontos 
de inflexão – Figura 5) são calculados como uma porcentagem  do vão, com  
variando entre 5% e 15%. (EMERICK, 2005). 
 
Figura 4: Cobrimento da ancoragem passiva. 
 
Fonte: EMERICK, 2005, p. 27. 
 
29 
 
Figura 5: Ponto de inflexão do cabo. 
 
Fonte: EMERICK, 2002, p. 25. 
 
2.1.8.4 Espaçamentos 
“Os elementos da armadura de protensão devem estar suficientemente espaçados 
entre si, de modo a ficar garantido o seu perfeito envolvimento pelo concreto. ” 
(NBR6118:2014, p. 154). 
Na direção horizontal, o afastamento deve ser suficiente para permitir a livre 
passagem do concreto e do vibrador, quando este for empregado. Os valores 
mínimos de espaçamento para casos de pós-tração estão indicados na Figura 6. 
(NBR6118:2014). 
 
 Figura 6: Espaçamento mínimo para sistemas de pós-tração. 
 
Fonte: VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998, p. 68. 
 
30 
 
Sobre os espaçamentos entre cabos não-aderentes, Emerick (2005) sugere que 
quando se trabalha com cabos distribuídos uniformemente em uma direção, sejam 
usados espaçamentos maiores que o mínimo de 5 cm. Segundo o autor, usualmente 
são usados espaçamentos de 15 cm, 20 cm e 25 cm parafeixes de 2, 3 e 4 cabos, 
respectivamente. 
As cordoalhas agrupadas em feixes deverão ser suavemente separadas na região 
próxima das ancoragens, conforme ilustra a Figura 7. 
Em lajes protendidas, o espaçamento máximo entre cordoalhas, cabos ou feixes de 
cabos não deve ser maior do que 6h, não excedendo 120 cm. (NBR6118:2014). 
 
Figura 7: Separação dos feixes de cabos das monocordoalha engraxadas. 
 
Fonte: Adaptado de CAUDURO, 2002, p. 41. 
 
2.1.8.5 Abertura nas lajes 
Em projetos de lajes é comum que haja aberturas para dutos de ventilação, shafts, 
entre outros. No caso de lajes protendidas, deve-se desviar os cabos para que os 
mesmos contornem as aberturas. A NBR6118:2014 determina que a inclinação 
máxima que um desvio pode produzir é de 1/10 na corda imaginária que une o início 
e o fim do trecho, mantendo um desenvolvimento similar à uma curva parabólica em 
planta. Se existir desvios maiores que os limites especificados, deve-se prever 
armadura capaz de resistir a força causada pelo mesmo. 
31 
 
A Figura 8 mostra o detalhamento dos cabos desviados. Deve ser mantido ao redor 
de toda a abertura um espaçamento mínimo de 15 cm. Curvas agudas e transições 
devem ser evitadas. (CAUDURO, 2002). 
 
Figura 8: Desvio da direção dos cabos em planta. 
 
Fonte: CAUDURO, 2002, p. 42. 
 
2.1.9 Perdas de protensão 
As perdas de protensão se caracterizam como alívios da tensão aplicada 
inicialmente nos cabos. As perdas se dividem em dois grupos, imediatas e diferidas. 
 
2.1.9.1 Perdas imediatas 
As perdas imediatas ocorrem durante a operação de protensão e acontecem por 
diferentes fatores. O contato entre o cabo e o concreto acarreta perdas por atrito. A 
acomodação das cunhas, quando o esforço é transferido do macaco para as placas 
também gera perdas de tensão no cabo. Além disso, ocorre um alivio de tensões 
pelo encurtamento elástico do concreto após a transferência de esforços. 
(EMERICK, 2005). 
 
2.1.9.2 Perdas diferidas 
As perdas diferidas ocorrem ao longo dos anos, são ocasionadas por propriedades 
do concreto ou do aço. O concreto sofre retração e fluência com o passar do tempo, 
devido ao comportamento viscoso do mesmo quando submetido à esforços de curta 
duração, essas características geram encurtamento da peça, diminuindo as tensões 
32 
 
no cabo. O aço por sua vez, sofre perdas por relaxação quando submetido a cargas 
elevadas durante longos períodos de tempo. (EMERICK, 2005). 
 
2.1.10 Combinações de ações 
Ao longo de sua vida útil, as estruturas estão sujeitas a ações permanentes e ações 
variáveis. Devido à variabilidade dessas ações existem vários tipos de combinações 
que são empregados nos cálculos dos estados limites das estruturas. 
 
2.1.10.1 Combinações para o ELU 
As combinações últimas são classificadas em normais, de construção e 
excepcionais, sendo a primeira mais usada pelos projetistas para o 
dimensionamento no ELU. 
A NBR8681:2003 apresenta as equações que devem ser aplicadas para o cálculo de 
cada uma das combinações. Para o cálculo das combinações normais, deve-se 
utilizar a equação: 
 
(4) 
 
Onde: 
Fd = Valor de cálculo das ações últimas; 
FGi,k = Valor característico das ações permanentes; 
FQ1,k = Valor característico da ação variável considerada como ação principal para a 
combinação; 
0jFQj,k = Valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis; 
g1, q = Coeficientes de ponderação. 
Para o cálculo das combinações de construção, deve-se utilizar a equação: 
 
 (5) 
 
Onde: 
FQ1,k = Valor característico da ação variável considerada como ação principal para situação 
transitória considerada; 
 
 







m
i
n
j
kQjjkQqkGigid FFFF
1 2
,0,1, 
 
 







m
i
n
j
kQjefjkQqkGigid FFFF
1 2
,,0,1, 
33 
 
0j,ef FQj,k = Fator de combinação efetivo de cada uma das demais variáveis que podem agir 
concomitantemente com a ação principal durante a operação transitória. 
 
Para o cálculo das combinações excepcionais, deve-se utilizar a equação: 
 
 (6) 
 
Onde: 
FQ,exc = Valor da ação transitória excepcional. 
Os valores dos coeficientes de ponderação () e de redução () são disponibilizados 
pela NBR6118:2014 através dos Quadros 2 e 3. 
 
 Quadro 2: Coeficiente . 
Combinações 
de ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis (q) Protensão (p) 
Recalques de 
apoio e 
retrações 
D F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
D = Desfavorável; F = Favorável; G = Geral; T= Temporária 
 Fonte: Adaptado da NBR6118, 2014, p. 65. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



n
j
kQjefj
m
i
qexcQkGigid FFFF
1
,,0
1
,, 
34 
 
 Quadro 3: Coeficientes Ψ. 
Ações Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Cargas 
acidentais de 
edifícios 
Locais em que não há predominância de 
pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos 
de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas* 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de 
pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos 
de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas** 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e 
garagens 
0,8 0,7 0,6 
Vento 
Pressão dinâmica do vento nas 
estruturas em geral 
0,6 0,3 0 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
0,6 0,5 0,3 
* Edifícios residenciais 
** Edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios públicos 
 Fonte: Adaptado da NBR6118, 2014, p. 65. 
 
2.1.10.2 Combinações para o ELS 
Segundo a NBR8681 (2003, p. 3), “os estados limites de serviço decorrem de ações 
cujas combinações podem ter três diferentes ordens de grandeza de permanência 
na estrutura. “ 
As ações quase permanentes podem atuar durante grande parte do período de vida 
da estrutura. A combinação para essas ações é calculada pela equação: 
 
(7) 
 
Onde: 
Fd,ser = Valor de cálculo para as combinações de serviço; 
2 = Fator de redução para combinação quase permanente. 
As ações frequentes se repetem muitas vezes durante o período de vida da 
estrutura. A combinação para essas ações é calculada pela equação: 
 
(8) 
 
 

m
i
n
j
kQjjkGiserd FFF
1 1
,2,, 
 
 

m
i
n
j
kQjjkQkGiserd FFFF
1 2
,2,11,, 
35 
 
 
As ações raras ocorrem algumas vezes durante a vida útil das estruturas. A 
combinação para essas ações é calculada pela equação: 
 
(9) 
 
Onde: 
1 = Fator de redução para combinação frequente. 
 
2.1.11 Níveis de protensão 
Os níveis de protensão definidos pela NBR7197:1989 são: protensão parcial, 
limitada e completa. O nível de protensão de uma estrutura é definido por alguns 
critérios preestabelecidos. 
 
2.1.11.1 Protensão completa 
A NBR7197:1989 estabelece duas condições para uma protensão completa: 
a) Para as combinações frequentes de ações deve-se respeitar o estado limite 
de descompressão, ou seja, não pode haver tração para essa combinação. 
b) Para as combinações raras de ações deve-se respeitar o estado limite de 
formação de fissura, ou seja, nessa condição a força de tração não pode 
ultrapassar a resistência à tração do concreto. 
Esse tipo de protensão proporciona uma melhor proteção contra corrosão, devido ao 
fato de impedir a formação de fissuras. Além disso, limita as flutuações de tensões 
no aço a valores moderados. Por esses motivos, a protensão completa é indicada 
para ambientes muito agressivos e para outras aplicações como tirantes, 
reservatórios vigas formadas pela justaposição de peças pré-moldadas. 
(VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
 
 
 
 
 

m
i
n
j
kQjjkQkGiserd FFFF
1 2
,2,11,, 
36 
 
2.1.11.2 Protensão limitada 
Para a protensão limitada a NBR7197:1989 estabelece duas condições: 
a) Para as combinações quase permanentes de ações deve-se respeitar o 
estado limite de descompressão. 
b) Para a combinação frequentede ações deve-se respeitar o estado limite de 
formação de fissuras. 
Nessa situação, as peças estruturais ficam sujeitas a tensões de protensão menores 
que aquelas produzidas por uma protensão completa, resultando em um melhor 
comportamento no estado em vazio. Além disso, esse tipo de protensão apresenta 
menores deformações devido a fluência e se torna mais econômico em função da 
maior participação da armadura passiva. (VERÍSSIMO; CÉSAR JUNIOR, 1998). 
 
2.1.11.3 Protensão parcial 
A NBR7197:1989 classifica a protensão como parcial quando atende duas 
condições: 
a) Para combinações quase permanentes de ações deve-se respeitar o estado 
limite de descompressão 
b) Para combinações frequentes de ações deve-se respeitar o estado limite de 
abertura de fissuras, com aberturas máximas de 0,2mm. 
Os critérios para esse tipo são os mesmos da protensão limitada, porém, permite-se 
aberturas maiores. 
 
2.1.12 Punção 
O tipo de ruptura mais preocupante em lajes planas é a ruptura por punção. Araújo 
(2003) define função como o estado limite último por cisalhamento no entorno de 
forças concentradas, devido a cargas ou reações de apoio. Cordovil (1997), por 
outro lado, afirma que o concreto não sofre os efeitos da punção entendida como 
ruptura por deslizamento, por ser um material granular. Porém, o autor ressalta que 
o efeito chamado convencionalmente de punção em lajes planas é o da ruptura 
37 
 
transversal por cisalhamento, em torno de pequenas regiões submetidas a 
carregamentos localizados. 
As fissuras radiais são as primeiras a aparecer em lajes submetidas à punção, 
fissuras circulares surgem apenas na ocasião da ruptura e limitam o contorno de um 
sólido deslocado ao redor do pilar. A distância entre o pilar e a fissura circular indica 
até onde se estende a superfície de ruptura. O sólido deslocado apresenta a forma 
de um tronco de cone com uma irregularidade acentuada. (CORDOVIL, 1997). 
A Figura 9 apresenta uma vista superior da fissuração na ocasião de ruptura de uma 
laje submetida à uma carga aplicada de baixo para cima. A Figura 10 mostra a 
superfície de ruptura de uma laje sem armadura transversal, onde d é a altura útil da 
mesma. 
 
 Figura 9: Fissuração na ocasião de ruptura. 
 
 Fonte: Adaptado de CORDOVIL, 1997, p. 38. 
 
38 
 
 Figura 10: Superfície de ruptura de uma laje sem armadura transversal. 
 
 Fonte: CORDOVIL, 1997, p. 39. 
 
Em lajes com armadura de cisalhamento, a ruptura pode ocorrer no concreto, na 
região adjacente ao pilar ou na zona situada além da armadura, porém, a situação 
ideal é quando ocorre na zona com armadura, com ruptura simultânea do concreto e 
do aço. Nessa situação, acontece o escoamento plástico da armadura, aumentando 
a ductilidade da estrutura antes do colapso. (CORDOVIL, 1997). 
As Figuras 11, 12 e 13 apresentam os diferentes tipos de ruptura que podem 
acontecer em lajes planas com armadura transversal. 
 
 Figura 11: Ruptura na zona adjacente ao pilar. 
 
 Fonte: CORDOVIL, 1997, p. 40. 
 
 
39 
 
 Figura 12: Ruptura na armadura da zona com armadura transversal. 
 
 Fonte: CORDOVIL, 1997, p. 40. 
 
 Figura 13: Ruptura na zona além da armadura transversal. 
 
 Fonte: CORDOVIL, 1997, p. 41. 
 
2.1.13 Dimensionamento de lajes à punção 
A NBR6118:2014 define que o cisalhamento em lajes submetidas à punção deve ser 
verificado em duas ou mais superfícies críticas, entorno das forças concentradas. 
A primeira superfície (contorno C) é definida como o próprio contorno do pilar ou do 
elemento que transfere a força concentrada. Nessa superfície deve ser verificada 
indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de 
cisalhamento. 
A segunda superfície (contorno C’) afasta-se do contorno C em duas vezes a altura 
útil da laje. Nessa superfície deve-se verificar a capacidade da ligação à punção, 
associada à resistência à tração diagonal, também através da tensão de 
cisalhamento no contorno. Deve ser previsto o reforço com armadura transversal, 
caso necessário. 
40 
 
A terceira superfície (C’’) deve ser verificada apenas quando houver armadura 
transversal. 
 
2.1.13.1 Definição da tensão solicitante nas superfícies C e C’ 
 
a) Pilares internos 
Para carregamentos com efeitos simétricos, a NBR6118:2014 apresenta as 
equações 10 e 11: 
 
(10) 
 
(11) 
 
 
Onde: 
Sd = Tensão solicitante de cálculo; 
FSd = Força ou reação concentrada de cálculo; 
U = Perímetro do contorno crítico C’ (Figura 14); 
d = Altura útil da laje ao longo do contorno C’, externo ao contorno C e deste distante 2d no 
plano da laje; 
dx e dy = Alturas úteis nas duas direções ortogonais. 
 
 Figura 14: Perímetro crítico em pilares internos. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 161. 
 
No caso em que a laje transfere momento para o pilar, a tensão é considerada pela 
equação 12: 
du
FSd
Sd


 
2
dydx
d


41 
 
 
(12) 
 
 
 
Onde: 
MSd = Momento solicitante de cálculo; 
WP = Módulo de resistência plástica do perímetro calculado; 
K = Coeficiente que fornece a parcela de momento transmitida ao pilar por cisalhamento 
(Quadro 4). 
 
Quadro 4: Valores do coeficiente K. 
 
Fonte: NBR6118, 2014, p. 161. 
 
Os valores de WP são calculados pela equação 13 para pilares retangulares e pela 
equação 14 para pilares circulares: 
 
(13) 
 
(14) 
 
Onde: 
D = Diâmetro do pilar. 
 
b) Pilares de borda 
Quando não houver momento no plano paralelo à borda livre a tensão solicitante é 
dada pelas equações 15 e 16: 
 
(15) 
 
dW
MK
du
F
P
SdSd
Sd





1
2
221
2
1 2164
2
CdddCCC
C
WP  
 24dDWP 
dW
MK
du
F
P
SdSd
Sd





1
11
*

42 
 
 
(16) 
 
Onde: 
u* = Perímetro crítico reduzido; 
MSd1 = Momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; 
MSd* = Momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido em 
relação ao centro do pilar; 
WP1 = Modulo de resistência plástica perpendicular à borda livre; 
K1 = Coeficiente que assume os valores de K do Quadro 4, com os valores de C1 e C2 
estabelecidos pela Figura 15. 
 
 Figura 15: Perímetro crítico em pilares de borda. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 163. 
 
Quando houver momento no plano paralelo à borda livre a tensão solicitante é dada 
pela equação 17: 
 
(17) 
 
Onde: 
MSd2 = Momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; 
WP2 = Módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre. 
K2 = Coeficiente que assume os valores de K do Quadro 4, com o valor de C1/C2 
substituído por C2/2C1, sendo C1 e C2 estabelecidos pela Figura 15. 
0*)(1  SdSdSd MMM
dW
MK
dW
MK
du
F
P
Sd
P
SdSd
Sd








2
22
1
11
*

43 
 
c) Pilares de canto 
Quando não houver momento no plano paralelo à borda a tensão solicitante 
calculada analogamente aos pilares de borda. 
Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve-se calcular as tensões 
solicitantes para cada uma delas, quando houver momento fletor perpendicular à 
face considerada. Nesse caso, K é calculado em função da relação C1/C2, sendo 
C1 e C2 aos lados perpendicular e paralelo à borda adotada, respectivamente 
(Figura 16). 
 
 Figura 16: Perímetro crítico em pilares de canto. 
 
 Fonte: NBR6118, 2014, p. 164. 
 
2.1.13.2 Definição da tensão resistente nas superfícies C, C’ e C’’ 
 
a) Compressão diagonal do concreto na superfície crítica C 
Em lajes submetidas à punção, com ou sem armadura, deve ser realizada a 
verificação de compressão diagonal pelas equações 18, 19 e 20: 
 
(18) 
 
(19) 
2RdSd  
cdVRd f  27,02
44 
 
 
 
(20) 
 
 
Onde: 
Sd = Tensão solicitante de cálculo, calculada pela equação 10, com u sendo o perímetro do 
contorno C; 
Rd2 = Tensão resistente de projeto no contorno C; 
fcd = Resistência à compressão