NJMH o futuro

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Explicação: A derivada \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) é positiva para \( x > 0 \) e negativa para 
\( x 0 \). 
 
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Questão 49: 
Seja a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Determine os pontos críticos e analise a natureza 
desses pontos. 
A) \( x = 0 \) é um máximo local 
B) \( x = 1 \) é um mínimo local 
C) \( x = 2 \) é um ponto de inflexão 
D) \( x = 3 \) é um máximo local 
Resposta: B) 
Explicação: A primeira derivada \( f'(x) = 3x^2 - 6x \) tem raízes em \( x = 0 \) e \( x = 2 \). A 
segunda derivada indica que \( x = 1 \) é um mínimo local. 
 
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Questão 50: 
Dada a função \( f(x) = \tan(x) \), determine o período da função e analise seu 
comportamento em relação às assíntotas. 
A) Período \( \pi \) e assíntotas em \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) 
B) Período \( 2\pi \) e assíntotas em \( x = k\pi \) 
C) Período \( \frac{\pi}{2} \) e assíntotas em \( x = k\pi \) 
D) Não possui assíntotas 
Resposta: A) 
Explicação: A função \( \tan(x) \) tem período \( \pi \) e assíntotas verticais em \( x = 
\frac{\pi}{2} + k\pi \), onde \( k \) é um inteiro. 
 
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Questão 51: 
Seja a função \( f(x) = e^{x^2} \). Determine a derivada \( f'(x) \) e analise seu 
comportamento em relação ao crescimento da função. 
A) \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \) 
B) \( f'(x) 0 \) e negativa para \( x 0 \). 
 
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Questão 52: 
Considere a função \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). Determine o comportamento da função em 
relação às assíntotas e limites. 
A) Não possui assíntotas 
B) Assíntota horizontal em \( y = 0 \) 
C) Assíntota vertical em \( x = 0 \) 
D) Assíntota horizontal em \( y = 1 \) 
Resposta: B) 
Explicação: A função não possui assíntotas verticais, mas tem uma assíntota horizontal 
em \( y = 0 \) quando \( x \to \infty \). 
 
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Questão 53: 
Dada a função \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) para \( x \neq 0 \) e \( f(0) = 0 \), 
determine se a função é contínua em \( x = 0 \). 
A) Sim, é contínua 
B) Não, não é contínua 
C) É contínua, mas não derivável 
D) É derivável em \( x = 0 \) 
Resposta: A) 
Explicação: O limite \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \), que é igual a \( f(0) \). Portanto, a função é 
contínua em \( x = 0 \). 
 
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Questão 54: 
Seja a função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). Determine a derivada \( f'(x) \) e analise seu 
comportamento em relação ao crescimento da função. 
A) \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \) 
B) \( f'(x) 0 \) e negativa para 
\( x 0 \). 
 
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Questão 55: 
Seja a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Determine os pontos críticos e analise a natureza 
desses pontos. 
A) \( x = 0 \) é um máximo local 
B) \( x = 1 \) é um mínimo local 
C) \( x = 2 \) é um ponto de inflexão 
D) \( x = 3 \) é um máximo local 
Resposta: B) 
Explicação: A primeira derivada \( f'(x) = 3x^2 - 6x \) tem raízes em \( x = 0 \) e \( x = 2 \). A 
segunda derivada indica que \( x = 1 \) é um mínimo local. 
 
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Questão 56: